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- 2021-05-10 发布
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2016年广西崇左市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确答案的标号填(涂)在答题卡内相应的位置上.
1.9的绝对值是( )
A.9 B.﹣9 C.3 D.±3
2.sin30°=( )
A. B. C. D.
3.今年我们三个市参加中考的考生共约11万人,用科学记数法表示11万这个数是( )
A.1.1×103 B.1.1×104 C.1.1×105 D.1.1×106
4.如图,一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.下列命题是真命题的是( )
A.必然事件发生的概率等于0.5
B.5名同学二模的数学成绩是92,95,95,98,110,则他们的平均分是98分,众数是95
C.射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18,则乙较甲稳定
D.要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况,可采用抽样调查的方法
6.如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2=( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
7.关于x的一元二次方程:x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,则m2()=( )
A. B. C.4 D.﹣4
8.抛物线y=,y=x2,y=﹣x2的共同性质是:
①都是开口向上;
②都以点(0,0)为顶点;
③都以y轴为对称轴;
④都关于x轴对称.
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是( )
A.点(0,k)在l上 B.l经过定点(﹣1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大 D.l经过第一、二、三象限
10.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的( )
A.内部 B.外部 C.边上 D.以上都有可能
11.如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=( )
A. B. C. D.1
12.若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点,则有( )
A.mn≥﹣9 B.﹣9≤mn≤0 C.mn≥﹣4 D.﹣4≤mn≤0
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分,把答案填在答题卡中的横线上.
13.计算:0﹣10= .
14.计算:a2•a4= .
15.要使代数式有意义,则x的最大值是 .
16.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2.将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是 .
17.同时投掷两个骰子,它们点数之和不大于4的概率是 .
18.如图,已知正方形ABCD边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,则有下列结论:
①∠1=∠2=22.5°;
②点C到EF的距离是;
③△ECF的周长为2;
④BE+DF>EF.
其中正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题共8小题,满分66分,解答过程写在答题卡上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.计算:3+(﹣2)3﹣(π﹣3)0.
20.化简:().
21.如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是 ;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
22.为了了解学校图书馆上个月借阅情况,管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计,并绘制了下列不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)上个月借阅图书的学生有多少人?扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少?
(2)把条形统计图补充完整;
(3)从借阅情况分析,如果要添置这四类图书300册,请你估算“科普”类图书应添置多少册合适?
23.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E、F,连接BF.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径为1,求EF的长.
24.蔬菜经营户老王,近两天经营的是青菜和西兰花.
(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表,老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤,当天售完后老王一共能赚多少元钱?
青菜
西兰花
进价(元/市斤)
2.8
3.2
售价(元/市斤)
4
4.5
(2)今天因进价不变,老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤.但在运输中青菜损坏了10%,而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售,要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱,请你帮老王计算,应怎样给青菜定售价?(精确到0.1元)
25.如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.
26.如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
2016年广西崇左市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确答案的标号填(涂)在答题卡内相应的位置上.
1.9的绝对值是( )
A.9 B.﹣9 C.3 D.±3
【考点】绝对值.
【分析】根据正数的绝对值等于它本身即可求解.
【解答】解:9的绝对值是9.
故选:A.
2.sin30°=( )
A. B. C. D.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可.
【解答】解:sin30°=.
故选:B.
3.今年我们三个市参加中考的考生共约11万人,用科学记数法表示11万这个数是( )
A.1.1×103 B.1.1×104 C.1.1×105 D.1.1×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式.其中1≤|a|<10,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:11万=1.1×105.
故选:C.
4.如图,一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图,结合选项即可作出判断.
【解答】解:所给图形的俯视图是D选项所给的图形.
故选D.
5.下列命题是真命题的是( )
A.必然事件发生的概率等于0.5[来源:学科网ZXXK]
B.5名同学二模的数学成绩是92,95,95,98,110,则他们的平均分是98分,众数是95
C.射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18,则乙较甲稳定
D.要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况,可采用抽样调查的方法
【考点】命题与定理.
【分析】命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【解答】解:A、必然事件发生的概率等于1,错误;
B、5名同学二模的数学成绩是92,95,95,98,110,则他们的平均分是98分,众数是95,正确;
C、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18,则甲稳定,错误;
D、要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况,可采用全面调查的方法,错误;
故选B
6.如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2=( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
【考点】圆周角定理.
【分析】连接AD,构建直角三角形ACD.根据直径所对的圆周角是90°知三角形ACD是直角三角形,然后在Rt△ABC中求得∠BAD=60°;然后由圆周角定理(同弧所对的圆周角相等)求∠2的度数即可.
【解答】解:如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CAD=90°(直径所对的圆周角是90°);
在Rt△ABC中,∠CAD=90°,∠1=30°,
∴∠DAB=60°;
又∵∠DAB=∠2(同弧所对的圆周角相等),
∴∠2=60°,
故选C.
7.关于x的一元二次方程:x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,则m2()=( )
A. B. C.4 D.﹣4
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据所给一元二次方程,写出韦达定理,代入所求式子化简.
【解答】解:∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,
∴,
∴则m2()===﹣4.
故答案选D.
8.抛物线y=,y=x2,y=﹣x2的共同性质是:
①都是开口向上;
②都以点(0,0)为顶点;
③都以y轴为对称轴;
④都关于x轴对称.
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】二次函数的性质.
【分析】利用二次函数的性质,利用开口方向,对称轴,顶点坐标逐一探讨得出答案即可.
【解答】解:抛物线y=,y=x2的开口向上,y=﹣x2的开口向下,①错误;
抛物线y=,y=x2,y=﹣x2的顶点为(0,0),对称轴为y轴,②③正确;④错误;
故选:B.
9.关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是( )
A.点(0,k)在l上 B.l经过定点(﹣1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大 D.l经过第一、二、三象限
【考点】一次函数的性质.
【分析】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可.
【解答】解:A、当x=0时,y=k,即点(0,k)在l上,故此选项正确;
B、当x=﹣1时,y=﹣k+k=0,此选项正确;
C、当k>0时,y随x的增大而增大,此选项正确;
D、不能确定l经过第一、二、三象限,此选项错误;
故选D.
10.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的( )
A.内部 B.外部 C.边上 D.以上都有可能
【考点】旋转的性质.
【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长,再由旋转的性质得:∠EBE′=45°,∠E′=∠DEB=90°,求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5,与AB的值相等,所以点A在△D′E′B的边上.
【解答】解:∵AC=BD=10,
又∵∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,
∴BE=5,AB=BC=5,
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,设△D′E′B与直线AB交于G,可知:∠EBE′=45°,∠E′=∠DEB=90°,
∴△GE′B是等腰直角三角形,且BE′=BE=5,
∴BG==5,
∴BG=AB,
∴点A在△D′E′B的边上,
故选C.
11.如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=( )
A. B. C. D.1
【考点】扇形面积的计算;正多边形和圆.
【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和,根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和,再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解.
【解答】解:∵正八边形的内角和为(8﹣2)×180°=6×180°=1080°,
正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°,
∴==.
故选:B.
12.若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点,则有( )
A.mn≥﹣9 B.﹣9≤mn≤0 C.mn≥﹣4 D.﹣4≤mn≤0
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;根的判别式.
【分析】依照题意画出图形,将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,得出关于x的一元二次方程,由两者有交点,结合根的判别式即可得出结论.
【解答】解:依照题意画出图形,如下图所示.
将y=mx+6代入y=中,
得:mx+6=,整理得:mx2+6x﹣n=0,
∵二者有交点,
∴△=62+4mn≥0,
∴mn≥﹣9.
故选A.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分,把答案填在答题卡中的横线上.
13.计算:0﹣10= ﹣10 .
【考点】有理数的减法.
【分析】根据有理数的减法,可得答案.
【解答】解:0﹣10=0+(﹣10)=﹣10,
故答案为:﹣10.
14.计算:a2•a4= a6 .
【考点】同底数幂的乘法.
【分析】根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,进行运算即可.
【解答】解:a2•a4=a2+4=a6.
故答案为:a6.
15.要使代数式有意义,则x的最大值是 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【解答】解:∵代数式有意义,
∴1﹣2x≥0,解得x≤,
∴x的最大值是.
故答案为:.
16.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2.将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是 .
【考点】轨迹.
【分析】根据锐角三角函数,可得BC的长,根据线段旋转,可得圆弧,根据弧长公式,可得答案.
【解答】解:由锐角三角函数,得
BC=AB•sin∠A=3,
由旋转的性质,得
是以B为圆心,BC长为半径,旋转了150°,
由弧长公式,得[来源:学科网]
==,[来源:Z,xx,k.Com]
故答案为:.
17.同时投掷两个骰子,它们点数之和不大于4的概率是 .
【考点】列表法与树状图法.
【分析】根据题意,设第一颗骰子的点数为x,第二颗骰子的点数为y,用(x,y)表示抛掷两个骰子的点数情况,由分步计数原理可得(x,y)的情况数目,由列举法可得其中x+y≤4的情况数目,进而由等可能事件的概率公式计算可得答案.
【解答】解:设第一颗骰子的点数为x,第二颗骰子的点数为y,用(x,y)表示抛掷两个骰子的点数情况,
x、y都有6种情况,则(x,y)共有6×6=36种情况,
而其中点数之和不大于4即x+y≤4的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种情况,
则其概率为=.
故答案为.
18.如图,已知正方形ABCD边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,则有下列结论:
①∠1=∠2=22.5°;
②点C到EF的距离是;
③△ECF的周长为2;
④BE+DF>EF.
其中正确的结论是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)
【考点】四边形综合题.
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2,易得∠1=∠2=∠22.5°,于是可对①进行判断;连结EF、AC,它们相交于点H,如图,利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF,则CE=CF,接着判断AC垂直平分EF,AH平分∠EAF,于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH,FD=FH,则可对③④进行判断;设BE=x,则EF=2x,CE=1﹣x,利用等腰直角三角形的性质得到2x=(1﹣x),解得x=﹣1,则可对④进行判断.
【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°,
在Rt△ABE和Rt△ADF中
,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠1=∠2,
∵∠EAF=45°,
∴∠1=∠2=∠22.5°,所以①正确;
连结EF、AC,它们相交于点H,如图,
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴BE=DF,
而BC=DC,
∴CE=CF,
而AE=AF,
∴AC垂直平分EF,AH平分∠EAF,
∴EB=EH,FD=FH,
∴BE+DF=EH+HF=EF,所以④错误;
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CED+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2,所以③正确;
设BE=x,则EF=2x,CE=1﹣x,
∵△CEF为等腰直角三角形,
∴EF=CE,即2x=(1﹣x),解得x=﹣1,
∴EF=2(﹣1),
∴CH=EF=﹣1,所以②正确.
故答案为①②③.
三、解答题:本大题共8小题,满分66分,解答过程写在答题卡上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.计算:3+(﹣2)3﹣(π﹣3)0.
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】分别进行二次根式的化简、乘方、零指数幂等运算,然后合并.
【解答】解:原式=15﹣8﹣1
=6.
20.化简:().
【考点】分式的混合运算.
【分析】先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,然后把分子分解因式后约分即可.
【解答】解:原式=•
=•
=1.
21.如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是 ;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 (﹣2a,2b) .
【考点】作图-位似变换;作图-轴对称变换.
【分析】(1)根据位似图形可得位似比即可;
(2)根据轴对称图形的画法画出图形即可;
(3)根据三次变换规律得出坐标即可.
【解答】解:(1))△ABC与△A1B1C1的位似比等于===;
(2)如图所示
(3)点P(a,b)为△ABC内一点,依次经过上述两次变换后,点P的对应点的坐标为(﹣2a,2b).
故答案为:,(﹣2a,2b).
22.为了了解学校图书馆上个月借阅情况,管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计,并绘制了下列不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)上个月借阅图书的学生有多少人?扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少?
(2)把条形统计图补充完整;
(3)从借阅情况分析,如果要添置这四类图书300册,请你估算“科普”类图书应添置多少册合适?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;然后用360°乘以借阅“艺术“的人数所占的百分比得到“艺术”部分的圆心角度;
(2)先计算出借阅“科普“的学生数,然后补全条形统计图;
(3)利用样本估计总体,用样本中“科普”类所占的百分比乘以300即可.
【解答】解:(1)上个月借阅图书的学生总人数为60÷25%=240(人);扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数=360°×=150°;
(2)借阅“科普“的学生数=240﹣100﹣60﹣40=40(人),
条形统计图为:
(3)300×=50,
估计“科普”类图书应添置50册合适.
23.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E、F,连接BF.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径为1,求EF的长.
【考点】切线的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】(1)先证明四边形AOCD是菱形,从而得到∠AOD=∠COD=60°,再根据切线的性质得∠FDO=90°,接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)在Rt△OBF中,利用60度的正切的定义求解.
【解答】(1)证明:连结OD,如图,∵四边形AOCD是平行四边形,
而OA=OC,
∴四边形AOCD是菱形,
∴△OAD和△OCD都是等边三角形,
∴∠AOD=∠COD=60°,
∴∠FOB=60°,
∵EF为切线,
∴OD⊥EF,
∴∠FDO=90°,
在△FDO和△FBO中
,
∴△FDO≌△FBO,
∴∠ODF=∠OBF=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△OBF中,∵∠FOB=60°,
而tan∠FOB=,
∴BF=1×tan60°=.
∵∠E=30°,
∴EF=2BF=2.
24.蔬菜经营户老王,近两天经营的是青菜和西兰花.
(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表,老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤,当天售完后老王一共能赚多少元钱?
青菜
西兰花
进价(元/市斤)
2.8
3.2
售价(元/市斤)
4
4.5
(2)今天因进价不变,老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤.但在运输中青菜损坏了10%,而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售,要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱,请你帮老王计算,应怎样给青菜定售价?(精确到0.1元)
【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设批发青菜x市斤,西兰花y市斤,根据题意列出方程组,解方程组青菜青菜和西兰花的重量,即可得出老王一共能赚的钱;
(2)设给青菜定售价为a元;根据题意列出不等式,解不等式即可.
【解答】解:(1)设批发青菜x市斤,西兰花y市斤;
根据题意得:,[来源:Zxxk.Com]
解得:,
即批发青菜100市斤,西兰花100市斤,
∴100(4﹣2.8)+100(4.5﹣3.2)=120+130=250(元);
答:当天售完后老王一共能赚250元钱;
(2)设给青菜定售价为a元/市斤;
根据题意得:100(1﹣10%)×(x﹣2.8)+100(4.5﹣3.2)≥250,
解得:x≥4≈4.1;
答:给青菜定售价为不低于4.1元/市斤.
25.如图(1),菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图(2)若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的性质;矩形的性质.
【分析】(1)根据菱形的性质可得出OA=OC,OD=OB,再由中点的性质可得出OF=OH,结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)证出△AOF≌△COH,从而得出AF∥CH,同理可得出DH∥BF,依据平行四边形的判定定理即可证出结论;
(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b.根据勾股定理及边之间的关系可找出AC=,BD=,利用菱形的性质、矩形的性质可得出∠AOB=∠AGH=90°,从而可证出△BAO∽△CAG,根据相似三角形的性质可得出,套入数据即可得出a=2b①,再根据菱形的面积公式得出a2+b2=80②,联立①②解方程组即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点,
∴OA=OC,OD=OB,
∵点O是线段FH的中点,
∴OF=OH.
在△AOF和△COH中,有,
∴△AOF≌△COH(SAS),
∴∠AFO=∠CHO,
∴AF∥CH.
同理可得:DH∥BF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)设矩形EFGH的长为a、宽为b,则AC=.
∵=2,
∴BD=AC=,OB=BD=,OA=AC=.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠AGH=90°,
∴∠AOB=∠AGH=90°,
又∵∠BAO=∠CAG,
∴△BAO∽△CAG,
∴,即,
解得:a=2b①.
∵S菱形ABCD=AC•BD=••=20,
∴a2+b2=80②.
联立①②得:,
解得:,或(舍去).
∴矩形EFGH的长为8,宽为4.
26.如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)先求出直线BC解析式为y=﹣x+3,再求出抛物线顶点坐标,得出当x=1时,y=2;结合抛物线顶点坐即可得出结果;
(3)设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),由勾股定理得出PB2=(m﹣3)2+(﹣m2+2m+3)2,PQ2=(m+3)2+(﹣m2+2m+3﹣n)2,BQ2=n2+36,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,由AAS证明△PQM≌△
BPN,得出MQ=NP,PM=BN,则MQ=﹣m2+2m+3﹣n,PN=3﹣m,得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m,解方程即可.
【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴x=1,B(3,0),
∴A(﹣1,0)
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3)
∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0)
∴,
∴
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)∵C(0,3),B(3,0),
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4)
∵对于直线BC:y=﹣x+1,当x=1时,y=2;将抛物线L向下平移h个单位长度,[来源:学*科*网]
∴当h=2时,抛物线顶点落在BC上;
当h=4时,抛物线顶点落在OB上,
∴将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),
则2≤h≤4;
(3)设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),
①当P点在x轴上方时,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,如图所示:
∵B(3,0),
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴∠BPQ=90°,BP=PQ,
则∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP,
在△PQM和△BPN中,,
∴△PQM≌△BPN(AAS),
∴PM=BN,
∵PM=BN=﹣m2+2m+3,根据B点坐标可得PN=3﹣m,且PM+PN=6,
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,
解得:m=1或m=0,
∴P(1,4)或P(0,3).
②当P点在x轴下方时,过P点作PM垂直于l于M点,过B点作BN垂直于MP的延长线与N点,
同理可得△PQM≌△BPN,
∴PM=BN,
∴PM=6﹣(3﹣m)=3+m,BN=m2﹣2m﹣3,
则3+m=m2﹣2m﹣3,
解得m=或.
∴P(,)或(,).
综上可得,符合条件的点P的坐标是(1,4),(0,3),(,)和(,).
2016年8月12日