2013年河南省中考数学试卷 32页

‎2013年河南省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．﹣ B．﹣2 C． D．2‎ ‎2．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　　）‎ A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3‎ ‎4．（3分）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（　　）‎ A．47 B．48 C．48.5 D．49‎ ‎5．（3分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．6‎ ‎6．（3分）不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）‎ A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC ‎8．（3分）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，满分21分）‎ ‎9．（3分）计算：|﹣3|﹣=　 　．‎ ‎10．（3分）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为　 　．‎ ‎11．（3分）化简：=　 　．‎ ‎12．（3分）已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为　 　cm．‎ ‎13．（3分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．‎ ‎17．（9分）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如下尚不完整的统计图表．‎ 组别 观点 频数（人数）‎ A 大气气压低，空气不流动 ‎80‎ B 地面灰尘大，空气湿度低 m C 汽车尾气排放 n D 工厂造成的污染 ‎120‎ E 其他 ‎60‎ 请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空：m=　 　，n=　 　．扇形统计图中E组所占的百分比为　 　%；‎ ‎（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；‎ ‎（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？‎ ‎18．（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①当t为　 　s时，四边形ACFE是菱形；‎ ‎②当t为　 　s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．‎ ‎19．（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．‎ ‎20．（9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．‎ ‎（1）求k的值及点E的坐标；‎ ‎（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．‎ ‎21．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．‎ ‎（1）求这两种品牌计算器的单价；‎ ‎（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；‎ ‎（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．‎ ‎22．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：‎ ‎①线段DE与AC的位置关系是　 　；‎ ‎②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　 　．‎ ‎（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．‎ ‎（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．‎ ‎23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2013年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．﹣ B．﹣2 C． D．2‎ ‎【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．‎ ‎【解答】解：﹣2的相反数是2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ ‎【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴‎ 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　　）‎ A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3‎ ‎【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，‎ x﹣2=0，x+3=0，‎ x1=2，x2=﹣3，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（　　）‎ A．47 B．48 C．48.5 D．49‎ ‎【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．‎ 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．‎ ‎【解答】解：这组数据的中位数为=48.5．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否为从小到大排列．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）‎ A．1 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．‎ ‎【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎“2”与“4”是相对面，‎ ‎“3”与“5”是相对面，‎ ‎“1”与“6”是相对面．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可．‎ ‎【解答】解：不等式组解集为﹣1＜x≤2，‎ 其中整数解为0，1，2．‎ 故最小整数解是0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了一元一次不等式组的整数解，属于基础题，正确解出不等式的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）‎ A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC ‎【分析】根据切线的性质，垂径定理即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，‎ ‎∴AG=BG，故正确；‎ B、∵直线EF与⊙O相切于点D，‎ ‎∴CD⊥EF，‎ 又∵AB⊥CD，‎ ‎∴AB∥EF，故正确；‎ C、只有当弧AC=弧AD时，AD∥BC，当两个互不等时，则不平行，故选项错误；‎ D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC．故选项正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解定理是关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）‎ A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1‎ ‎【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．‎ ‎【解答】解：∵a=﹣1＜0，‎ ‎∴二次函数图象开口向下，‎ 又对称轴是直线x=1，‎ ‎∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，满分21分）‎ ‎9．（3分）计算：|﹣3|﹣=　1　．‎ ‎【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣2=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是能进行绝对值及二次根式的化简．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为　15°　．‎ ‎【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵∠A=60°，∠F=45°，‎ ‎∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF=90°﹣45°=45°，‎ ‎∵ED∥BC，‎ ‎∴∠2=∠1=30°，‎ ‎∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°．‎ 故答案为：15°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）化简：=　　．‎ ‎【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=+==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为　π　cm．‎ ‎【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长．‎ ‎【解答】解：l扇形==π，‎ 则扇形的弧长=π cm．‎ 故答案为：π．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是　　．‎ ‎【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ ‎﹣1‎ ‎﹣2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎﹣1‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（﹣2，﹣1）‎ ‎（3，﹣1）‎ ‎（4，﹣1）‎ ‎﹣2‎ ‎（﹣1，﹣2）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（3，﹣2）‎ ‎（4，﹣2）‎ ‎3‎ ‎（﹣1，3）‎ ‎（﹣2，3）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（4，3）‎ ‎4‎ ‎（﹣1，4）‎ ‎（﹣2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，‎ 则P数字之积为负数==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　12　．‎ ‎【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．‎ ‎【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，‎ 由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，‎ ‎∴四边形APP′A′是平行四边形，‎ ‎∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），‎ ‎∴PO==2，∠AOP=45°，‎ 又∵AD⊥OP，‎ ‎∴△ADO是等腰直角三角形，‎ ‎∴PP′=2×2=4，‎ ‎∴AD=DO=sin45°•OA=×3=，‎ ‎∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　或3　．‎ ‎【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：‎ ‎①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．‎ 连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．‎ ‎②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．‎ ‎【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：‎ ‎①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．‎ 连结AC，‎ 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，‎ ‎∴AC==5，‎ ‎∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，‎ ‎∴∠AB′E=∠B=90°，‎ 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，‎ ‎∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，‎ ‎∴EB=EB′，AB=AB′=3，‎ ‎∴CB′=5﹣3=2，‎ 设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，‎ 在Rt△CEB′中，‎ ‎∵EB′2+CB′2=CE2，‎ ‎∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，‎ ‎∴BE=；‎ ‎②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．‎ 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．‎ 综上所述，BE的长为或3．‎ 故答案为：或3．‎ ‎【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．‎ ‎【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x=x2+3，‎ 当x=﹣时，原式=2+3=5．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（9分）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如下尚不完整的统计图表．‎ 组别 观点 频数（人数）‎ A 大气气压低，空气不流动 ‎80‎ B 地面灰尘大，空气湿度低 m C 汽车尾气排放 n D 工厂造成的污染 ‎120‎ E 其他 ‎60‎ 请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空：m=　40　，n=　100　．扇形统计图中E组所占的百分比为　15　%；‎ ‎（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；‎ ‎（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？‎ ‎【分析】（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；‎ ‎（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；‎ ‎（3）利用频率的计算公式即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）总人数是：80÷20%=400（人），则m=400×10%=40（人），‎ C组的频数n=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100（人），‎ E组所占的百分比是：×100%=15%；‎ 故答案为：40，100，15%；‎ ‎（2）100×=30（万人）；‎ 所以持D组“观点”的市民人数为30万人；‎ ‎（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是=．‎ 答：随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及列举法求概率．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①当t为　6　s时，四边形ACFE是菱形；‎ ‎②当t为　1.5　s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．‎ ‎【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；‎ ‎（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；‎ ‎②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AG∥BC，‎ ‎∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵在△ADE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDF（AAS）；‎ ‎（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，‎ 则此时的时间t=6÷1=6（s）；‎ ‎②四边形AFCE为直角梯形时，‎ ‎（I）若CE⊥AG，则AE=CF=BC=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．‎ ‎（II）若AF⊥BC，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴F为BC中点，即BF=3，‎ ‎∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；‎ 故答案为：6；1.5．‎ ‎【点评】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈‎ ‎0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．‎ ‎【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE﹣AE求出AC的长度即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△BAE中，‎ ‎∵BE=162米，∠BAE=68°，‎ ‎∴AE===64.8（米），‎ 在Rt△DCE中，‎ ‎∵DE=176.6米，∠DCE=60°，‎ ‎∴CE===≈102.08（米），‎ 则AC=CE﹣AE=102.08﹣64.8=37.3（米）．‎ 答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．‎ ‎（1）求k的值及点E的坐标；‎ ‎（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．‎ ‎【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；‎ ‎（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∵点D为BC的中点，‎ ‎∴CD=1，‎ ‎∴点D的坐标为（1，3），‎ 代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；‎ ‎∵BA∥y轴，‎ ‎∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，‎ ‎∵点E在双曲线上，‎ ‎∴y=‎ ‎∴点E的坐标为（2，）；‎ ‎（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），‎ ‎∴BD=1，BE=，BC=2‎ ‎∵△FBC∽△DEB，‎ ‎∴‎ 即：‎ ‎∴FC=‎ ‎∴点F的坐标为（0，）‎ 设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0）‎ 则 解得：k=，b=‎ ‎∴直线FB的解析式y=‎ ‎【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．‎ ‎（1）求这两种品牌计算器的单价；‎ ‎（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；‎ ‎（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；‎ ‎（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；‎ ‎（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．‎ ‎【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，‎ 根据题意得，，‎ 解得：，‎ 答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；‎ ‎（2）A品牌：y1=30x•0.8=24x；‎ B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，‎ ‎②当x＞5时，y2=5×32+32×（x﹣5）×0.7=22.4x+48，‎ 综上所述：‎ y1=24x，‎ y2=；‎ ‎（3）当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；‎ 当y1＞y2时，24x＞22.4x+48，解得x＞30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；‎ 当y1＜y2时，24x＜22.4x+48，解得x＜30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：‎ ‎①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；‎ ‎②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ‎　S1=S2　．‎ ‎（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．‎ ‎（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；‎ ‎②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；‎ ‎（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠‎ DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；‎ ‎（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，‎ ‎∴AC=CD，‎ ‎∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=60°，‎ 又∵∠CDE=∠BAC=60°，‎ ‎∴∠ACD=∠CDE，‎ ‎∴DE∥AC；‎ ‎②∵∠B=30°，∠C=90°，‎ ‎∴CD=AC=AB，‎ ‎∴BD=AD=AC，‎ 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，‎ ‎∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），‎ 即S1=S2；‎ 故答案为：DE∥AC；S1=S2；‎ ‎（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，‎ ‎∴BC=CE，AC=CD，‎ ‎∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠ACN=∠DCM，‎ ‎∵在△ACN和△DCM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACN≌△DCM（AAS），‎ ‎∴AN=DM，‎ ‎∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），‎ 即S1=S2；‎ ‎（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，‎ 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，‎ 此时S△DCF1=S△BDE；‎ 过点D作DF2⊥BD，‎ ‎∵∠ABC=60°，F1D∥BE，‎ ‎∴∠F2F1D=∠ABC=60°，‎ ‎∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，‎ ‎∴∠F1DF2=∠ABC=60°，‎ ‎∴△DF1F2是等边三角形，‎ ‎∴DF1=DF2，‎ ‎∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，‎ ‎∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，‎ ‎∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，‎ ‎∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，‎ ‎∴∠CDF1=∠CDF2，‎ ‎∵在△CDF1和△CDF2中，‎ ‎，‎ ‎∴△CDF1≌△CDF2（SAS），‎ ‎∴点F2也是所求的点，‎ ‎∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，‎ ‎∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，‎ 又∵BD=4，‎ ‎∴BE=×4÷cos30°=2÷=，‎ ‎∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，‎ 故BF的长为或．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；‎ ‎（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，‎ ‎∴C（0，2）．‎ ‎∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，‎ 解得b=，c=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．‎ ‎（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎∴PF=OC=2，‎ ‎∴将直线y=x+‎ ‎2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．‎ 由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．‎ 将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，‎ 联立，‎ 解得x1=1，x2=2，‎ ‎∴m1=1，m2=2；‎ 将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，‎ 联立，‎ 解得x3=，x4=（不合题意，舍去），‎ ‎∴m3=．‎ ‎∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎（3）存在．‎ 理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．‎ 如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，‎ ‎∴FM=yF﹣EM=m，‎ ‎∴tan∠CFM=2．‎ 在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．‎ 过点P作PN⊥CD于点N，‎ 则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．‎ ‎∵∠PCF=45°，‎ ‎∴PN=CN，‎ 而PN=2FN，‎ ‎∴FN=CF=m，PN=2FN=m，‎ 在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．‎ ‎∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，‎ ‎∴﹣m2+3m=m，‎ 整理得：m2﹣m=0，‎ 解得m=0（舍去）或m=，‎ ‎∴P（，）；‎ 同理求得，另一点为P（，）．‎ ‎∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．‎ ‎　‎