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  • 2021-05-11 发布

2016中考数学四边形证明题

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中考数学(三角形、四边形)常见题型 ‎1如在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G (1)求证:四边形DEBF是平行四边形; (2)如果∠G=90°,∠C=60°,BC=2,求四边形DEBF的面积. ‎ ‎2.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎(1)证明:∠DFA=∠FAB;(2)证明:△ABE≌△FCE.‎ ‎3.在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.‎ A B C D G E F ‎(第23题)‎ ‎(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,且BE=AD ,点F 在AD上,AF=AB,‎ 求证:AEF≌DFC ‎5. 如图,将?ABCD的边BA延长到点E,使AE=AB,连接EC,交AD于点F,连接AC、ED. (1)求证:四边形ACDE是平行四边形; (2)若∠AFC=2∠B,求证:四边形ACDE是矩形.‎ ‎6.如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.‎ D C F B A E ‎7如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,且AF=CE,BH=DG,‎ 求证:AG∥HE ‎(17(3)题图)‎ ‎8.如图,已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF。‎ ‎⑴求证:四边形AECF是平行四边形;‎ ‎⑵若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长。‎ B A D C E F ‎(第22题图)‎ ‎9.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º,‎ EF⊥AB,垂足为F,连结DF。‎ A B C D E F 第18题图 ‎(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎10.如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°。‎ ‎(1)求证:AC∥DE;(2)过点B作BF⊥AC于点F,连结EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由。‎ ‎11.如图5,在平行四边形中,平分交于点,平分交于点.‎ 求证:(1);(2)若,则判断四边形是什么特殊四边形,请证明你的结论.‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎12如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上, CE∥BF,连接BE、CF.‎ ‎ (1)求证:△BDF≌△CDE;(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.‎ ‎13.如7,在一方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB、ED,‎ ‎(1)求证:△BEC≌△DEC:(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.‎ ‎ ‎ ‎14、如图,在□ABCD中,E,F分别是BC,AD中点。‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF(2)当BC=2AB=4,且△ABE的面积为,求证:四边形AECF是菱形。‎ ‎15.四边形ABCD是矩形,直线l垂直平分线段AC,垂足为O,直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由。‎ ‎16.已知正方形ABCD的边长为,两条对角线AC、BD交于点O,P是射线AB上任意一点.过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F。‎ ‎ (1)如图l.当P点在线段AB上时.求PE+PF的值。‎ ‎{2) 如图2.当P点在线段AB的延长线上时.求PE+PF的值。‎ ‎17在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE.‎ ‎(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;‎ ‎(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)‎ D G C F B E A H 图(七)‎ ‎18在正方形ABCD中,点G是BC上任意一点,连接AG,过B,D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F两点,求证:△ADF≌△BAE ‎19如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.‎ ‎(1)求证:DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证: ME=BD.‎ ‎20已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF。‎ ‎(1求证:BE=DF;‎ ‎(2连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM,判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论。‎ ‎21已知:如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点, 过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. 【小题1】(1)求证:EG=CG; 【小题2】(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.      【小题3】(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ ‎22在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连结EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EG⊥CG.‎ ‎(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.‎ ‎(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.‎ ‎23如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG. (1)求证:①DE=DG; ②DE⊥DG (2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明); (3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想: (4)当时,请直接写出的值. ‎ ‎24如图l0,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.‎ ‎ (1)求证:△BDQ≌△ADP;‎ ‎ (2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号). ‎ ‎25如图,点是正方形内一点,是等边三角形,连接、,延长交边于点.‎ ‎ (1)求证:;(5分) (2)求的度数.(5分)‎ ‎26如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF。‎ A D F E B C 求证:△ACE≌△ACF ‎27如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A.B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE交边BC于点F.连接BE、DF。‎ ‎(1)求证:∠ADP=∠EPB;‎ ‎(2)求∠CBE的度数;‎ ‎(3)当的值等于多少时.△PFD∽△BFP?并说明理由.‎ ‎28、已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G. ‎ ‎(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证; ‎ ‎(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论; ‎ ‎(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.‎ ‎29 在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。‎ ‎(1)在图1中证明;‎ ‎(2)若,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;‎ ‎(3)若,FG∥CE,,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数。‎ ‎ ‎ ‎30.丹山以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.‎ ‎(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);‎ ‎(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE;‎ ‎② 求证:HE=HG;‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. ‎ ‎(第23题图2)‎ ‎(第23题图3)‎ ‎(第23题图1)‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ 中考数学(三角形、四边形)常见题型 ‎1、已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G. ‎ ‎(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证; ‎ ‎(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论; ‎ ‎(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°, ‎ ‎ ∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴.‎ ‎(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证明如下: ‎ ‎ 在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.‎ ‎ ∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM,‎ ‎ ∵∠B+∠EGC=180°,‎ ‎∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED.‎ ‎ ∴△ADE∽△DCM,‎ ‎∴,即.‎ ‎(3).‎ ‎2.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AB、CD的中点,AG∥BD交CB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:△ADE∽≌△CBF;‎ ‎(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特A G E B C F D 殊四边形?请说明你的理由.‎ ‎3.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎(1)证明:∠DFA=∠FAB;‎ ‎(2)证明:△ABE≌△FCE.‎ ‎(1)∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边,∴AB∥CD,(1分)∴∠F=∠FAB.(3分)(2)在△ABE和△FCE中,‎ ‎   ∵   ∠FAB=∠F (4分) ∠AEB=∠FEC  (5分) BE=CE (6分)‎ ‎   ∴ △ABE≌△FCE. (7分)‎ ‎4.如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.‎ A B C D G E F ‎(第23题)‎ ‎(1)求证:DE∥BF;‎ ‎(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.‎ ‎23.解:(1)在□ABCD中,AB∥CD,AB=CD          ‎ ‎∵E、F分别为边AB、CD的中点 ∴DF=DC,BE=AB∴DF∥BE,DF=BE ‎ ‎∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF ‎ ‎(2) 证明: ∵AG∥BD∴∠G=∠DBC=90°     ∴△DBC为直角三角形 ‎ 又∵F为边CD的中点∴BF=CD=DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ‎∴四边形DEBF是菱形 ‎ ‎5. 在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。‎ ‎(1)在图1中证明;‎ ‎(2)若,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;‎ ‎(3)若,FG∥CE,,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数。‎ ‎ ‎ ‎(1) 证明:如图1.‎ ‎ ∵ AF平分ÐBAD,∴ÐBAF=ÐDAF,‎ ‎ ∵ 四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎ ∴ AD//BC,AB//CD。‎ ‎ ∴ ÐDAF=ÐCEF,ÐBAF=ÐF,‎ ‎ ∴ ÐCEF=ÐF,∴ CE=CF。‎ ‎ (2) ÐBDG=45°.‎ ‎ (3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2).‎ ‎ ∵ AB//DC,ÐABC=120°,‎ ‎ ∴ ÐECF=ÐABC=120°,‎ ‎ ∵ FG //CE且FG=CE,‎ ‎ ∴ 四边形CEGF是平行四边形.‎ ‎ 由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,‎ ‎ ∴ EG=EC,ÐGCF=ÐGCE=ÐECF=60°.‎ ‎ ∴ △ ECG是等边三角形.‎ ‎ ∴ EG=CG…j,‎ ‎ ÐGEC=ÐEGC=60°,‎ ‎ ∴ÐGEC=ÐGCF,‎ ‎ ∴ÐBEG=ÐDCG…k,‎ ‎ 由AD//BC及AF平分ÐBAD可得ÐBAE=ÐAEB,‎ ‎ ∴AB=BE.‎ ‎ 在□ ABCD中,AB=DC.‎ ‎ ∴BE=DC…l,‎ ‎ 由jkl得△BEG @ △DCG.‎ ‎ ∴ BG=DG,Ð1=Ð2,‎ ‎ ∴ ÐBGD=Ð1+Ð3=Ð2+Ð3=ÐEGC=60°.‎ ‎ ∴ ÐBDG=(180°-ÐBGD)=60°.‎ ‎6.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,且BE=AD ,点F 在AD上,AF=AB,‎ 求证:AEF≌DFC ‎20.证明:∵BE=AD,AF=AB ‎ ∴AE=DF ‎∵四边形ABCD 是平行四边形 ‎∴AB=CD,AB∥CD ‎∴AF=CD, ∠EAF=∠D ‎∴AEF≌DFC ‎7.如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎⑴求证:△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.‎ ‎21.证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC.‎ 在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF.‎ ‎(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.‎ 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.‎ 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.‎ 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.∴口ABEC是矩形. ‎ ‎8.如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.‎ D C F B A E ‎【答案】解:由□ABCD得AB∥CD,‎ ‎∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.‎ 又∵E为BC的中点,‎ ‎∴△DEC≌△FEB.‎ ‎∴DC=FB.‎ 由□ABCD得AB=CD,‎ ‎∵DC=FB,AB=CD,‎ ‎∴AB=BF.‎ B C D E F A ‎20题图 ‎9.如图,是平行四边形的对角线上的点,,请你猜想:线段与线段有怎样的关系?并对你的猜想加以证明。‎ 猜想:。‎ ‎ 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ,·················2分 ‎ ∴,∥。 ‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ 在和,‎ ‎ ‎ ‎ ∴≌。 ···········5分 ‎ ∴,,‎ ‎ ∴∥。‎ 即 。·····················‎ ‎(17(3)题图)‎ ‎10如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,且AF=CE,BH=DG,‎ 求证:AG∥HE ‎(3)证明:∵平行四边形ABCD中,OA=OC, (1分)‎ ‎ 由已知:AF=CE ‎ AF–OA= CE – OC ∴OF=OE (3分)‎ ‎ 同理得:OG=OH ‎ ∴四边形EGFH是平行四边形 (4分)‎ ‎(17(3)题图)‎ ‎ ∴GF∥HE (5分) ‎ ‎11.如图,已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF。‎ ‎⑴求证:四边形AECF是平行四边形;‎ ‎⑵若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长。‎ B A D C E F ‎(第22题图)‎ ‎【答案】22.(本小题10分)‎ ‎⑴证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,且AD=BC,…………………………………………………………………2分 ‎∴AF∥EC,………………………………………………………………………………1分 ‎∵BE=DF,‎ ‎∴AF=EC……………………………………………………………………………………1分 ‎∴四边形AECF是平行四边形……………………………………………………………1分 B A D C E F ‎(第22题图)‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎⑵解:∵四边形AECF是菱形,‎ ‎∴AE=EC,………………………………………1分 ‎∴∠1=∠2,…………………………………………1分 ‎∵∠3=90°-∠2,∠4=90°-∠1,‎ ‎∴∠3=∠4,‎ ‎∴AE=BE,…………………………………………2分 ‎∴BE=AE=CE=BC=5………………………………1分 A B C D E F 第18题图 ‎12.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º,‎ EF⊥AB,垂足为F,连结DF。‎ ‎(1)试说明AC=EF;‎ ‎(2)求证:四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎18、(1)提示: ‎ ‎(2)提示:,AD∥EF且AD=EF ‎13.如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°。‎ ‎(1)求证:AC∥DE;‎ ‎(2)过点B作BF⊥AC于点F,连结EF,试判别四边形BCEF的形状,并说明理由。‎ ‎14.如图5,在平行四边形中,平分交于点,平分交于点.‎ 求证:(1);(2)若,则判断四边形是什么特殊四边形,请证明你的结论.‎ 图5‎ ‎ ‎ ‎15如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上, CE∥BF,连接BE、CF.‎ ‎ (1)求证:△BDF≌△CDE;‎ ‎ (2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.‎ ‎2.2011丹山以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.‎ ‎(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);‎ ‎(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE;‎ ‎② 求证:HE=HG;‎ ‎③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. ‎ ‎(第23题图2)‎ ‎(第23题图3)‎ ‎(第23题图1)‎ ‎[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎20.如罔7,在一方形ABCD中.E为对角线AC上一点,连接EB、ED,‎ ‎(1)求证:△BEC≌△DEC:(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度数.‎ ‎9.2011宜昌如图,在平行四边形ABCD中,E为BC中点,AE的延长线与DC的延长线相交于点F.‎ ‎(1)证明:∠DFA=∠FAB;‎ ‎(2)证明:△ABE≌△FCE.‎ ‎(2011宜宾)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,且AF=CE,BH=DG,‎ 求证:AG∥HE ‎(17(3)题图)‎ ‎10、(2011雅安)如图,在□ABCD中,E,F分别是BC,AD中点。‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF ‎(2)当BC=2AB=4,且△ABE的面积为,求证:四边形AECF是菱形。‎ ‎18. (2011潍坊)‎ ‎ 已知正方形ABCD的边长为,两条对角线AC、BD交于点O,P是射线AB上任意一点.过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F。‎ ‎ (1)如图l.当P点在线段AB上时.求PE+PF的值。‎ ‎{2) 如图2.当P点在线段AB的延长线上时.求PE+PF的值。‎ ‎11.(2011泰州)如图,四边形ABCD是矩形,直线l垂直平分线段AC,垂足为O,直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。‎ ‎(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?‎ ‎(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由。‎ ‎1‎ ‎14.(2011邵阳)在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE.‎ ‎(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;‎ ‎(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)‎ D G C F B E A H 图(七)‎ ‎16(2011陕西)‎ 在正方形ABCD中,点G是BC上任意一点,连接AG,过B,D两点分别作BE⊥AG,DF⊥AG,垂足分别为E,F两点,求证:△ADF≌△BAE ‎17(2011日照)如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.‎ ‎(1)求证:DE平分∠BDC;‎ ‎(2)若点M在DE上,且DC=DM,‎ 求证: ME=BD.‎ ‎18.(2011青岛)已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.‎ ‎(1)求证:BE = DF;‎ D A ‎(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.‎ 证明:(1)‎ F O C E B ‎19(2011宁波)如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:DE∥BF;‎ ‎(2)若∠G=90º,,求证:四边形DEBF是菱形.‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎22.(2011南京)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.‎ ‎⑴求证:△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.‎ ‎24(2011黑河)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连结EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EG⊥CG.‎ ‎(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.‎ ‎(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.‎ 第26题图 图(1) 图(2) 图(3)‎ ‎25、(2011呼和浩特)如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.‎ ‎(1)求证:EG=CF;‎ ‎(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系.‎ ‎28(2011河源)如图5,点P在平行四边形ABCD的CD边上,连结BP并延长与 AD的延长线交于点Q.‎ ‎ (1)求证:△DQP∽△CBP;‎ ‎ (2)当△DQP≌△CBP,且AB=8时,求DP的长.‎ ‎30如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG. (1)求证:①DE=DG; ②DE⊥DG (2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明); (3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想: (4)当时,请直接写出的值. ‎ 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°. 又∵CE=AG, ∴△DCE≌△DAG, ∴DE=DG, ∠EDC=∠GDA, 又∵∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠ADE+∠GDA=90° ∴DE⊥DG. (2)解:如图. (3)解:四边形CEFK为平行四边形. ‎ 证明:设CK、DE相交于M点 ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形, ∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG, ∵BK=AG, ∴KG=AB=CD, ∴四边形CKGD是平行四边形, ∴CK=DG=EF,CK∥DG, ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°, ∴∠KME+∠DEF=180°, ∴CK∥EF,‎ ‎∴四边形CEFK为平行四边形. (4)解:∵, ∴设CE=x,CB=nx, ∴CD=nx, ∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=(n2+1)x2, ∵BC2=n2x2, ∴==.‎ ‎31(2011海南) 如图l0,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.‎ ‎ (1)求证:△BDQ≌△ADP;‎ ‎ (2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号). ‎ ‎32(2011贵阳)如图,点是正方形内一点,是等边三角形,连接、,延长交边于点.‎ ‎ (1)求证:;(5分)‎ ‎(2)求的度数.(5分)‎ ‎33(2011广州)如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF。‎ A D F E B C 求证:△ACE≌△ACF A B C D E F 第18题图 ‎34(2011广东)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º,‎ EF⊥AB,垂足为F,连结DF。‎ ‎(1)试说明AC=EF;‎ ‎(2)求证:四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎37(2011襄阳0如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A.B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE交边BC于点F.连接BE、DF。‎ ‎(1)求证:∠ADP=∠EPB;‎ ‎(2)求∠CBE的度数;‎ ‎(3)当的值等于多少时.△PFD∽△BFP?并说明理由.‎ 已知:如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点, 过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. 【小题1】(1)求证:EG=CG; 【小题2】(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.      【小题3】(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ ‎【小题1】(1)证明:如图①,在Rt△FCD中,  ∵ G为DF的中点, ∴CG=FD.…………………………………………..1分 同理,在Rt△DEF中,EG=FD.  ∴‎ ‎ CG=EG.…………………………………………….2分 【小题2】(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………….3分 证法一:如图②(一),连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点. 在△DAG与△DCG中, ∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴△DAG≌△DCG. ∴ AG=CG.…………………………………………………..4分 在△DMG与△FNG中, ∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG. ∴ MG=NG ………………………………………………5分 在矩形AENM中,AM=EN.  在Rt△AMG与Rt△ENG中, ∵AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG. ∴ AG=EG. ∴EG=CG. …………………………………………………… 6分 证法二:如图②(二),延长CG至M,使MG=CG, 连接MF,ME,EC,  在△DCG 与△FMG中, ∵ FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴ △DCG ≌△FMG. ∴ MF=CD,∠FMG=∠DCG. ………………………………..4分 ∴ MF∥CD∥AB. ∴ . 在Rt△MFE与Rt△CBE中,……………………………………….5分 ∵MF=CB,EF=BE, ∴ △MFE≌△CBE.. ∴ . ‎ ‎∴ ∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.  ∴ △MEC为直角三角形. ∵ MG = CG,∴ EG=MC. ∴ .……………………………………………6分 【小题3】(3)如图③,(1)中的结论仍然成立,即EG=CG. 其他的结论还有:EG⊥CG. ………………………..7分 解析