中考总复习专题二次函数与相似的结合修订版 17页

二次函数与相似的结合 题型一：动点在线段上 如图，平面直角坐标系 中，已知 ，一次函数 的图像与 轴、 轴 分别交于点 、 两点，二次函数 的图像经过点 、点 ； （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 是该二次函数图像的顶点，求△ 的面积； （3）如果点 在线段 上，且△ 与△ 相似，求点 的坐标； 如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧）， 与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ； （1）求 、 的值； （2）求 的值； （3）若点 是线段 上一个动点，联结 ；问是否存在点 ，使得以点 、 、 为 顶点的三角形与△ 相似？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由； xOy ( 1,0)B − 5y x= − + x y A C 2y x bx c= − + + A B P APC Q AC ABC AOQ Q 2 2y ax ax c= + + ( 0)a > x ( 3,0)A − B A B y (0, 3)C − M a c tan MAC∠ P AC OP P O C P ABC P 如图，已知抛物线 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为 A（-1， 0），顶点为 B. 点 C（5，m）在抛物线上，直线 BC 交 x 轴于点 E. （1） 求抛物线的表达式及点 E 的坐标； （2） 联结 AB，求∠B 的正切值； （3） 点 G 为线段 AC 上一点，过点 G 作 CB 的垂线交 x 轴于点 M（位于点 E 右侧）， 当△CGM 与△ABE 相似时，求点 M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分） 解：（1）∵抛物线 的对称轴为直线 x=1，∴ . ∵抛物线与 x 轴的一个交点为 A（-1，0），∴ . ∴抛物线的表达式为 .………………………………………………（2 分） ∴顶点 B（1，-2）.…………………………………………………………………（1 分） ∵点 C（5，m）在抛物线上，∴ . ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b（k≠0）， 则 ，∴ 即 BC 的表达式为 y=2x-4. ∴E（2,0）.……………………………………………………………………………（1 分） （2）作 CH⊥x 轴，垂足为 H，作 BP⊥x 轴，垂足为 P， ∵C（5，6），A（-1，0），∴CH=6=AH. ∴∠CAH=45°. ∵B（1，-2），A（-1，0），∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1 分） ∵CH=6=AH，CH⊥x 轴，∴ ∵BP=2=AP，BP⊥x 轴，∴ 2y ax x c= − + 2y ax x c= − + 1 2a = 3 2c = − 21 3 2 2y x x= − − 6m = 6 5 2 k b k b = + − = + 2, 4. k b =  = − 6 2.AC = 2 2.AB = x y A B E C O （第 24 题图） ∴ …………………………………………………………………（2 分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B+∠ACB=90°. ∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B. ………………………………（1 分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE=∠CMG 或∠BAE=∠MCG. 情况 1：当∠BAE=∠CMG 时， ∵∠BAE=45°，∴∠CMG=45°. ∵GM⊥BC，∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB. ∵∠AEB=∠CEM，∴△ABE∽△CME. ……………………………………………（1 分） ∴ .即 .∴EM=5. ∴M（7，0）. ……………………………（1 分） 情况 2：当∠BAE=∠MCG 时， ∵∠BAE=∠CAM，∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA. ………………………………（1 分） 设 M（x，0），∵C（5，6），A（-1，0），∴ ∴x=5. ∴M（5，0）. …………………………………………………………………………（1 分） 题型二：动点在线段的延长线上 如图 7，已知抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ,点 是抛物线的顶点，直线 和 交于点 。 （1）求点 的坐标； （2）联结 ，求 的余切值； （3）设点 在线段 延长线上，如果 和 相似，求点 的坐标。 【答案】（1） （2）3（3） tan 3.ACB AB ∠ = = BE AE EM CE = 5 3 3 5EM = 2 2 2( 1) ( 5) 6 .x x+ = − + 32 ++−= bxxy x A B A B y C OCOB = D AC BD E D BCCD、 DBC∠ M CA EBM△ ABC△ M D 1,4（ ） 6 3, )5 5 −（- 【解析】（1）∵抛物线 与轴的交于点 和点 （点 在点 的左侧） ， 与 轴交于点 ， ,且 , ∴ ∴ （2） (3)由 ，可得,在 AOC 和 BCD 中， , ， 又 ; ; 当 相似时，可知 ; 又点在线段的延长线上， ,可得 ; ; 由题意，得直线的表达式为 ;设 . ,解得 （舍去） 点 M 的坐标是 题型三：动点在对称轴上 如图，抛物线 经过点 , ， 为抛物线的顶点。 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）点 关于抛物线 的对称点为 点，联结 ， ，求 的正 切值； （3）点 是抛物线对称轴上一点，且△ 和△ 相似，求点 的坐标。 2y 3x bx= − + + A B A B y C )3,0(C OCOB = )0,3(B 9 3 3 0, b=b− + + = 解得 2 2 2 3; D 1,4y x x= − + + ∴ （ ） OB OC=∵ 45OCB OBC∴∠ = ∠ = ° y=45DC 。∴∠ ； 180 2 45 =90DCB = °− × ° °∴∠ ； 3 2cot 3 2 BCDBC DC ∠ = = = 2 2 3y x x= − + + 3CO BC AO CD = = 90AOC DCB∠ = ∠ = ° AOC BCD∴∆ ∆∽ ACO CBD∴∠ = ∠ ACB ACO OCB E CBD∠ = ∠ + = ∠ + ∠ 45E OCB∴∠ = ∠ = ° EBM ABC∆ ∆和 E CBA∠ = ∠ ACB EBA∠ = ∠ EMB ACB∠ = ∠ 3 2MB BC∴ = = y 3 3x= + ( ,3 3)M x x + 2( 3) (3 3) 18x x∴ − + + = 1 2 6 , 05x x= − = ∴ 6 3, )5 5 −（- cbxxy ++−= 2 )0,3(B )3,0(C D C cbxxy ++−= 2 E BC BE CBE∠ M DMB BCE M 【答案】（1） ； （2） （3） 或 【解析】（1）∵抛物线 经过点 , ∴ 可解得 ∴ 顶点坐标 （2）过点 作 垂直于 交于点 ∵点 与点 关于对称轴 对称 ∴ , , 平行于 轴 ∵ ∴ , 在等腰直角三角形 中, ∴ 在 直 角 三 角 形 中 , , ∴ ∴ 的正切值为 （3）设抛物线对称轴 交 轴与点 ∵在直角三角形 中， , ∴ , ∴点 在点 的下方 322 ++−= xxy )4,1(D 2 1 ( )2,1 −M      3 2,1M cbxxy ++−= 2 )0,3(B )3,0(C    = =++− 3 039 c cb    = = 3 2 c b 322 ++−= xxy )4,1(D E EH BC H C E 1=x )3,2(E 2=CE CE x 3== OBOC °=∠=∠ 45ECBOBC 23=BC ECH 2=CE 2== EHCH EHB 22=−= CHBCBH 2=EH 2 1 22 2tan ===∠ BH EHCBE CBE∠ 2 1 1=x x F DFB 4=DF 2=BF 2 1tan ==∠ DF BFBDF CBEBDF ∠=∠ M D ∴当 与 相似时，有下列两种情况： 当 时，即 可解得 ∴ 当 时，即 可解得 ∴ 综上所述： 或 2）动点在平移后的对称轴上 在平面直角坐标系中，点 是抛物线 上的一点，将此抛物线向下平移 个单位以后经过点 ，平移后的新抛物线的顶点记为 ，新抛物线的对称轴和线段 的交点记为 。 （1）求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点 C 的坐标； （2）求 的正切值； （3）如果点 是新抛物线对称轴上的一点，且 和 相似，试求点 的坐标。 【答案】（1） ； （2） （3） 或 【解析】 （1）∵点 是抛物线 上的一点，代入得： ① 又 ∵ 抛 物 线 向 下 平 移 个 单 位 以 后 经 过 点 ， 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 ： 。 DMB∆ BCE∆ BE BC DB DM = 10 23 52 =DM 6=DM ( )2,1 −M BC BE DB DM = 23 10 52 =DM 3 10=DM      3 2,1M ( )2,1 −M      3 2,1M )0,4(A cxaxy ++= 22 6 )2,0(B C AB P CAB∠ Q BCQ△ ACP△ Q 222 ++−= xxy )3,1(C 1tan 3CAB∠ = )2 5,1(1Q )1,1(2 −Q )0,4(A cxaxy ++= 22 0816 =++ ca 6 )2,0(B 622 −++= cxaxy 代入得： ②，由①②得： 平移后得到的新抛物线的表达式： ，顶点 （2）∵ 、 、 ，易得 由勾股定理逆定理得 是直角三角形， （3）设抛物线对称轴与 轴相交于点 ， ， 易得 ， ∴点 只能在对称轴点 的下方， 和 相似，有以下两种情况： ① ， ， ， ② ， ， ， 综上， 或 题型四：动点在某直线上 　如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ， 轴． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求 的值； （3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点， 当 与 相似时，求点 E 的坐标． 【参考答案】24．解：（1）∵抛物线 经过点 和点 ∴ ……………………………………………………1 分 8,26 ==− cc 8,1 =−= ca 222 ++−= xxy )3,1(C )0,4(A )2,0(B )3,1(C 52,23,2 === BACACB ABC△ 3 1tan ==∠ CA CBCAB x H ABOAPH ∽△△ 2 3 2 1 == AHPH 2 3=CP 45=∠=∠ ACPBCP 2 3,23,2 === CPCACB Q C BCQ△ ACP△ CA CP CB CQ = 23 2 3 2 =CQ 2 1=CQ )2 5,1(1Q CP CA CB CQ = 2 3 23 2 =CQ 4=CQ )1,1(2 −Q )2 5,1(1Q )1,1(2 −Q 2 2y ax x c= − + ABC∆ (0,1)A (9,10)B AC x∥ tan ABC∠ CDE∆ ABC∆ 2 2y ax x c= − + (0,1)A (9,10)B 1 81 18 10 c a c =  − + = y A O C B x （第 24 题图） 解得 ………………………………………………………………2 分 ∴这条抛物线的解析式为 ………………………………1 分 （2）过点 作 ，垂足为 ， ， 又 是等腰直角三角形 ………………………………………………………1 分 ， ，点 也在该抛物线上 过点 作 ，垂足为点 ……………………………………………1 分 又∵在 Rt△ 中， ∴ …………………………………………………1 分 ∴在 Rt△ 中， ……………………………1 分 （3）过点 D 作 ，垂足为 ∵点 是抛物线 的顶点∴ ………………1 分 ∴ ∴ 又∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ ………………………………………………………1 分 ∴当△CDE 与△ABC 相似时，存在以下两种情况： ……………1 分 …………1 分 题型五：动点在 轴上 1 3 1 a c  =  = 21 2 13y x x= − + B BH AC⊥ H AC x ∥ 轴 (0,1)A (9,10)B 9,1H∴ （ ） 9BH AH= =∴ 90BHA∠ = ° HAB∴△ 45HAB∠ = °∴ AC x ∥ 轴 (0,1)A C 6,1C∴ （ ） C CG AB⊥ G sin 45 3 2CG AC= ° =∴ cos45 3 2AG AC= ° = ABH 9 2sin 45 BHAB = =° 9 2 3 2 6 2BG = − = BCG 1tan 2 CGABC BG ∠ = = DK AC⊥ K D 21 2 13y x x= − + (3, 2)D − (3,1)K 3CK DK= = 90CKD∠ = ° △CDK 45DCK∠ = ° 45BAC∠ = ° DCK BAC∠ = ∠ 1° AC EC AB CD = 6 = 9 2 3 2 EC∴ ∴EC=2 (4,1)E∴ 2° AC DC AB EC = 6 3 2= 9 2 EC ∴ ∴EC=9 ( 3,1)E −∴ x 如图 9，在平面直角坐标系 中，顶点为 的抛物线 经过点 和 轴正半轴上的点 ， = 2， ． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 ，求 的大小； （3）如果点 在 轴上，且△ 与△ 相似，求点 的坐标． xoy M 2 ( 0y ax bx a= + > ） A x B AO OB= 0120AOB∠ = OM AOM∠ C x ABC AOM C M A BO x y 图 9 2017 年青浦一模 24】已知，如图 8，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴 正半轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且 ，点 是第一象限内的点，联结 ，△ 是以 为斜边的等腰直角三角形. （1）求这个抛物线的表达式； （2）求点 的坐标； （3）点 在 轴上，若以 为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形相 似，求点 的坐标. 142 +−= axaxy x A B y C OCOB 3= P BC PBC BC P Q x POQ 、、 BAC 、、 Q 【答案】（1） （2） （3）点 坐标为 或 【解析】（1）由题意可得 代入 得 （2）过点 作 为等腰直角三角形 可证四边形 为正方形 ,解得 在第一象限内 （3） ，可得 为等腰直角三角形 ，则点 在 轴左侧 i. ， 13 4 3 1 2 +−=∴ xxy )2,2(P∴ Q )0,2(− )0,4(− )1,0(C 33 ==∴ OCOB )0,3(B∴ 142 +−= axaxy 3 1=a 13 4 3 1 2 +−=∴ xxy P 轴轴 xPFyPE ⊥⊥ , PBC∆ PBPC =∴ °=∠+∠=∠+∠ 90CPFFPBCPFEPC FPBEPC ∠=∠∴ )(AASPFBRtPCERt ∆∆∴ ≌ BFEC =∴ PEOF BFOBOCEC −=+∴ 3,1 == OBOC BFEC −=+∴ 31 1== BFEC 2==∴ OFOE P )2,2(P∴ 2,2 == ABAC )0,1(),1,0( AC OAOC =∴ AOC∆ °=∠∴ 45OAC °=∠∴ 135CAB Q y CABOPQ ∆∆ ∽1 AB CA OP OQ =1 2222 2 1 =×=⋅= AB CAOPOQ )0,2(1 −∴Q ii. 若点 在 轴右侧，不存在 综上所述：点 坐标为 或 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交点 和点 ,与 轴相 交于点 ,抛物线的顶点为点 ，联结 , , 。 （1） 求这条抛物线的表达式及顶点 的坐标； （2） 求证： （3） 如果点 在 轴上，且在点 的右侧， ,求点 的坐标。 【答案】（1） ； （2）略（3） 【解析】(1)∵抛物线过点 A( )和点 , ∴将两点坐标代入解析式可得: 可解得 ∴ 根据顶点公式可得 （2）代入 到 求得 ， ，所以有 CABPOQ ∆∆ ∽2 AB CA OQ OP = 2 42222 =×=⋅= AC ABOPOQ )0,4(2 −∴Q Q y Q )0,2(− )0,4(− xOy 2 +cy x bx= − + x ( 1,0)A − B y (0,3)C D AC BC DB DC D ACO DBC∽∆ E x B BCE ACO∠ = ∠ E (6,0)E 0y = ( ) 21 4y x= - - + 1 1x = - 2 3x = ( )3,0B 可以求得： , , , 在 和 中，有 , （3）在 OC 上取一点 F 使得 OF=OA， 由（2）得 B(3,0)，C(0,3)， OB=OC， ∠OBC=45°， ∠CBE=135° OA=OF， ∠AFO=45°， ∠AFC=135°， ∠AFC=∠CBE，又 ∠BCE=∠ACO， △AFC∽△BCE , , 题型六：动点在抛物线上 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m＞0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交 于点 E，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； 1OA = 3OC = 2 21 3 10AC = + = ( ) ( )2 24 3 1 0 2CD = - + - = 2 23 3 3 2BC = + = ( ) ( )2 24 0 2 4 20BD = - + - = ACO DBC = = 2CD BC BD AO OC AC = ACO DBC∽∆ ∴ ∴ ∴  ∴ ∴ ∴  ∴ BE AF CB CF =∴ 3=∴BE 60 =+=∴ BEBOE )0,6(E∴ 1 ( 2)( )y x x mm = − + − （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 【解析】（1）将 M(2, 2)代入 ，得 ．解得 m＝ 4． （4）①如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′． 由于∠BCE＝∠FBC，所以当 ，即 时，△BCE∽△FBC． 设点 F 的坐标为 ，由 ，得 ． 解 得 x ＝ m ＋ 2 ． 所 以 F′(m ＋ 2, 0) ． 由 ， 得 ． 所 以 ． 由 ，得 ．整理，得 0＝16．此方程无 解． 图 2 图 3 图 4 ②如图 4，作∠CBF＝45°交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以 ，即 时，△BCE∽△BFC． 在 Rt△BFF′中，由 FF′＝BF′，得 ． 解得 x＝2m．所以 F′ ．所以 BF′＝2m＋2， ． 1 ( 2)( )y x x mm = − + − 12 4(2 )mm = − × − CE BC CB BF = 1( , ( 2)( ))x x x mm − + − ' ' FF EO BF CO = 1 ( 2)( ) 2 2 x x mm x m + − =+ 'CO BF CE BF = 2 4 4 m m BFm += + 2( 4) 4m mBF m + += 2BC CE BF= ⋅ 2 2 2 ( 4) 4( 2) 4 m mm m m + ++ = + × BE BC BC BF = 2BC BE BF= ⋅ 1 ( 2)( ) 2x x m xm + − = + (2 ,0)m 2(2 2)BF m= + 2BC CE BF= ⋅ 由 ，得 ．解得 ． 综合①、②，符合题意的 m 为 ． 2）动点在直线下方的抛物线 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， 点的坐标为 ，与 轴交于点 ，点 是直线 下方抛物线上的任意 一点； （1）求这个二次函数 的解析式； （2）联结 、 ，并将△ 沿 轴对折，得到四边形 ，如果四边形 为菱形，求点 的坐标； （3）如果点 在运动过程中，能使得以 、 、 为顶点的 三角形与△ 相似，请求出此时点 的坐标； 【正确答案】 3）动点在直线上方的抛物线 如图 11 所示，已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标． 2BC BE BF= ⋅ 2( 2) 2 2 2(2 2)m m+ = × + 2 2 2m = ± 2 2 2+ 2y x bx c= + + x A B B (3,0) y (0, 3)C − P BC 2y x bx c= + + PO PC POC y POP C′ POP C′ P P P C B AOC P 2 1y x= − x y （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积． （3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG 轴 于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似． 若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由． 【解析:】（1）令 ，得 解得 令 ，得 ∴ A B C ∙∙∙∙∙∙（2 分） （2）∵OA=OB=OC= ∴ BAC= ACO= BCO= ∵AP∥CB， ∴ PAB= 过点 P 作 PE 轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形 令 OE= ，则 PE= ∴P ∵点 P 在抛物线 上 ∴ 解得 ， （不合题意，舍去） ∴PE= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分） ∴四边形 ACBP 的面积 = AB•OC+ AB•PE = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分） (3)． 假设存在 ∵ PAB= BAC = ∴PA AC ∵MG 轴于点 G， ∴ MGA= PAC = 在 Rt△AOC 中，OA=OC= ∴AC= 在 Rt△PAE 中，AE=PE= ∴AP= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分） 设 M 点的横坐标为 ，则 M ①点 M 在 轴左侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时，有 = ∵AG= ，MG= x ⊥ x ∆ 0y = 2 1 0x − = 1x = ± 0x = 1y = − ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− 1 ∠ ∠ ∠ 45 ∠ 45 ⊥ x ∆ a 1a + ( , 1)a a + 2 1y x= − 21 1a a+ = − 1 2a = 2 1a = − 3 S 1 2 1 2 1 12 1 2 3 42 2 × × + × × = ∠ ∠ 45 ⊥ ⊥ x ∠ ∠ 90 1 2 3 3 2 m 2( , 1)m m − y 1m < − ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m− − 2 1m − 图 11 C P B y A o x G M 第 28 题图 2 C B y P A o x 即 解得 （舍去） （舍去） (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10 分） ② 点 M 在 轴右侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时有 = ∵AG= ，MG= ∴ 解得 （舍去） ∴M (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 ， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13 分） 21 1 3 2 2 m m− − −= 1 1m = − 2 2 3m = ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m− − −= 1m = − 2 2m = − ( 2,3)− y 1m > ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m + 2 1m − 21 1 3 2 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4 3m = 4 7( , )3 9 ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4m = (4,15) ∆ ( 2,3)− 4 7( , )3 9 (4,15) G M 第 28 题图 3 C B y P A o x