全国各地中考数学压轴题专集共684题 已分类 216页

‎2011年全国各地中考数学压轴题专集 目 录 一、图象信息 二、一元二次方程 三、反比例函数 四、二次函数 五、概率 六、三角形 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 八、圆 九、综合型问题 十、动态综合型问题 一、图象信息 ‎1．甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：‎ ‎（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（ ）内填上正确的数；‎ ‎（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少？‎ O y(千米)‎ x(小时)‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎( )‎ ‎200‎ ‎600‎ ‎2．有一批物资，先用火车从M地运往距M地180千米的火车站，再由汽车运往N地．甲车在驶往N地的途中发生故障，司机马上通知N地，并立即检查和维修．N地在接到通知后第12分钟时，立即派乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到N地，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达N地．下图是甲、乙两车离N地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：‎ ‎（1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据；‎ ‎（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围；‎ 甲车 乙车 x（小时）‎ A B C D E y（千米）‎ ‎180‎ ‎1‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎3‎ O F ‎（3）求乙车的行驶速度．‎ ‎3．图1‎ 图2‎ ‎12‎ ‎10‎ t/s h/cm ‎18‎ O A B C 如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的 （容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．‎ ‎（1）求A的高度hA及注水的速度v；‎ ‎（2）求注满容器所需时间及容器的高度．‎ ‎4．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）图2中折线ABC表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是__________________________；‎ ‎（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？‎ ‎（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；‎ ‎（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．‎ 甲槽 乙槽 图1‎ 图2‎ y（厘米）‎ ‎19‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎2‎ O A D B C E x（分钟）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎5．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象。‎ ‎（1）求s2与t之间的函数关系式；‎ ‎（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？‎ O A B C E D F t(min)‎ ‎2400‎ ‎10‎ ‎12‎ s(m)‎ ‎6．因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．‎ O A B C D Q(万m3)‎ ‎600‎ ‎20‎ ‎40‎ t(h)‎ ‎500‎ a ‎80‎ ‎400‎ 求：（1）线段BC的函数表达式；‎ ‎（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；‎ ‎（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又 降到了正常水位的最低值？‎ ‎7．小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针毎小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2 : 00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP（图2）的夹角记为y1，时针与OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟．观察结束后，利用获得的数据绘制成图象（图3），并求出y1与t的函数关系式：‎ y1＝ 请你完成：‎ ‎（1）求出图3中y2与t的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；‎ ‎（3）若小华继续观察一个小时，请你在图3中补全图象．‎ 图3‎ ‎30‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎105‎ ‎1205‎ ‎15‎ ‎1505‎ ‎1205‎ ‎1805‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ O t(分钟)‎ y(度)‎ A B ‎12‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎6‎ 图2‎ P ‎12‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎6‎ 图1‎ ‎8．周六上午8∶00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/小时的平均速度步行返回，同时他的爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇，接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y （干米）与x （小时）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）小明去基地乘车的平均速度是______千米/小时，爸爸开车的平均速度是______千米/小时；‎ ‎（2）求线段CD所表示的函数关系式；‎ ‎（3）小明能否在12∶00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出12∶00时他离家的路程．‎ A D B x(小时)‎ C O y(千米)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎9．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每部降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．‎ ‎（1）今年甲型号手机每部售价为多少元？‎ ‎（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20部，请问有几种进货方案？‎ ‎（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一部乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？‎ ‎10．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成 ．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．‎ ‎（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；‎ ‎（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；‎ ‎（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．‎ 墙 ‎18米 苗圃园 ‎11．为了保护水资源，某市制定了一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：‎ 月用水量（吨）‎ 单价（元／吨）‎ 不大于10吨部分 ‎1.5‎ 大于10吨不大于m吨部分（20≤m≤50）‎ ‎2‎ 大于m吨部分 ‎3‎ ‎（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；‎ ‎（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y与x的函数式；‎ ‎（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．‎ ‎（1）实验操作：‎ 在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：‎ P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标 ‎1次 ‎（0，2），（1，0）‎ ‎2次 ‎3次 ‎1‎ y x ‎1‎ O ‎（2）观察发现：‎ 任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数________________的图象上；平移2次后在函数________________的图象上……由此我们知道，平移次后在函数________________的图象上．（请填写相应的解析式）‎ ‎（3）探索运用：‎ 点P从点O出发经过次平移后，到达直线y＝x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．‎ ‎13．某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．‎ ‎（1）求S与x之间的函数关系式，当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；‎ ‎（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆．其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．‎ 围墙 A D B C O1‎ O2‎ ‎14．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．‎ ‎（1）请用a表示第三条边长；‎ ‎（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；‎ ‎（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．‎ B A 北 D 东 C ‎15．李明在小岛上的A处，上午8时测得在A的北偏东60º的D处有一艘轮船，9时20分测得该船航行到北偏西60º的C处，9时40分测得该船到达位于A正西方5千米的港口B处，如果该船始终保持匀速直线运动，求：‎ ‎（1）A、C之间的距离；‎ ‎（2）轮船的航行速度．‎ ‎16．长江沿岸的甲乙两港相距300千米，甲港在乙港的上游，满载货物的货轮从乙港出发，到达甲港卸货后，再空载返回乙港，货轮离开乙港的路程s（千米）随时间t（小时）的变化关系如图所示．已知货轮空载时在静水中的速度比满载时在静水中的速度快5千米/小时．‎ ‎（1）求长江水流速度及货轮空载时在静水中的速度；‎ ‎（2）若货轮在距甲港90千米时接到警报，将有台风影响航道安全，预报再过4小时此段航道将有暴风雨，为了安全，货船必须在4小时之内进入甲港避风．现决定从甲港派出一艘大马力的动力拖轮，遇到货轮后，将其快速拖到甲港．动力拖轮拖着货轮在静水中的速度，是它们分别在静水中速度的平均值．动力拖轮在静水中速度是40千米/小时．问：能否在规定时间内将货轮拖到甲港？请说明理由．‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎300‎ s(千米)‎ t(小时)‎ ‎17．在海岸上A处，发现北偏东45°方向、距离为 －1海里的B处有一走私船．在A处北偏西75°方向、距离为 2海里的C处的我方缉私艇奉命以每小时10 海里的速度向走私船追去，这时走私船正以每小时10海里的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间．（结果保留根号）‎ A B C D ‎45°‎ ‎75°‎ 北 ‎30°‎ ‎18．李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O点向篮圈中心A点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米．以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OB的夹角为30°，A、B两点相距1.5米．‎ ‎（1）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；‎ O x y A B ‎（2）判断李明这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么李明应向前或向后移动多少米，才能投入篮圈A点？（结果保留根号）‎ 二、一元二次方程 ‎1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．‎ ‎（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；‎ ‎（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．‎ ‎2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．‎ ‎3．已知关于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．‎ ‎（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；‎ ‎（2）求证：α≤1≤β；‎ ‎（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．请阅读下列材料：‎ 问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．‎ 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ．‎ 把x＝ 代入已知方程，得()2＋ －1＝0．‎ 化简，得y 2＋2y－4＝0．‎ 故所求方程为y 2＋2y－4＝0．‎ 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．‎ 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；‎ ‎（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；‎ ‎（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．‎ ‎5．已知关于x的一元二次方程x 2－2x－a 2－a＝0（a＞0）．‎ ‎（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；‎ ‎（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ 的值．‎ ‎6．已知关于x的一元二次方程x 2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．‎ ‎（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；‎ ‎（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；‎ ‎（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．‎ ‎7．已知方程x 2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x 2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．‎ ‎8．已知关于x的方程x 2－4|x|＋3＝k．‎ ‎（1）当k为何值时，方程有4个互不相等的实数根？‎ ‎（2）当k为何值时，方程有3个互不相等的实数根？‎ ‎（3）当k为何值时，方程有2个互不相等的实数根？‎ ‎（4）是否存在实数k，使得方程只有1个实数根？若存在，求k的值和方程的根；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x 2＋4(m－1)x＋m 2＝0的两个非零实数根，则x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．‎ ‎10．已知α、β为关于x的方程x 2－2mx＋3m＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x的另一个方程x 2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m的值．‎ ‎11．已知a为实数，且关于x的二次方程ax 2＋(a 2＋1)x－a＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．‎ ‎12．求实数a的取值范围，使关于x的方程x 2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0‎ ‎（1）有两个实根x1、x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4；‎ ‎（2）至少有一个正根．‎ ‎13．已知x1、x2是方程x 2－mx－1＝0的两个实数根，满足x1＜x2，且x2≥2．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若 ＋ ＝2，求m的值．‎ ‎14．已知关于x的方程x 2－(m－2)x－ ＝0（m≠0）‎ ‎（1）求证：这个方程总有两个异号实根；‎ ‎（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足| x2|＝| x1|＋2，求m的值及相应的x1、x2．‎ ‎15．已知△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2－12x＋m＝0的两个根，求m的取值范围．‎ ‎16．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x－1＝0的两个实数根，设s1＝α＋β，s2＝α 2＋β 2，…，‎ sn＝α n＋β n．根据根的定义，有α 2－α－1＝0，β 2－β－1＝0，将两式相加，得(α 2＋β 2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；‎ ‎（2）猜想：当n≥3时，sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；‎ ‎（3）根据（2）中的猜想，求( )8＋( )8的值．‎ ‎17．已知方程(x－1)(x 2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．‎ 三、反比例函数 ‎1．如图，点A、B在反比例函数y＝－ 的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＜0）．‎ O A B x y ‎（1）求△AOB的面积；‎ ‎（2）若点C在x轴上，点D在y轴上，且四边形ABCD为正方形，求a的值．‎ ‎2．如图，点P是反比例函数y＝－ （x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．‎ O A B x y N F P E M ‎（1）当动点P的纵坐标为 时，连接OE、OF，求△EOF的面积；‎ ‎（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜a＜0，0＜b＜2且| a |≠| b |），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．‎ ‎3．如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－3，3），点B在x轴负半轴上．‎ ‎（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求a的值；‎ ‎（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．‎ O A B x y ‎①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求k的值；‎ ‎②点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，求α角的大小；若不能，请说明理由．‎ ‎4．如图，△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y＝3x－4的图象经过点A，交y轴于点C，反比例函数y＝ （x＞0）的图象也经过点A．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ O A B x y 备用图 O A B x y C ‎（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD 2－AD 2的值；‎ ‎（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ为等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎5．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝ （x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．‎ ‎（1）求的m的取值范围；‎ ‎（2）若点A的坐标是（2，－4），且 ＝ ，求m的值和一次函数的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设点P是一次函数图象上的第一、四象限内的动点，点Q是反比例函数图象上的动点，过点P作PP1⊥x轴于P1，PP2⊥y轴于P2；过点Q作QQ1⊥x轴于Q1，QQ2⊥y轴于Q2．设点P的横坐标为x，请直接写出使四边形PP1OP2的面积小于四边形QQ1OQ2的面积的x的取值范围．‎ A O x y B C ‎6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数y＝ （k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．‎ ‎（1）若点E与点P重合，求k的值；‎ ‎（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求点E的坐标；‎ ‎（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由．‎ E l1‎ O x y B P ‎1‎ l2‎ F A ‎1‎ l1‎ O x y B P ‎1‎ l2‎ A ‎1‎ ‎（备用图2）‎ l1‎ O x y B P ‎1‎ l2‎ A ‎1‎ ‎（备用图1）‎ ‎7．如图，已知直线l经过点A（1，0），且与曲线y＝ （x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）于M、N两点．‎ ‎（1）求m的值及直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ O A B x y l ‎（3）是否存在实数p，使得S△AMN ＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．‎ ‎（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎_‎ y O A B x y Q P ‎（3）Q是反比例函数y＝ （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．‎ ‎9．如图，将—矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的—个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边BC交于点F．‎ A E B x F C O y ‎（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2，且S1＋S2＝2，求k的值；‎ ‎（2）若OA＝2，OC＝4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？‎ ‎10．如图，已知抛物线y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2的顶点A在双曲线y＝ 上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE的值；‎ ‎（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．‎ A B x C O y ‎11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝ 交于A、B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N，若∠BAC＝60°，AB＝4．‎ ‎（1）求m、k的值；‎ ‎（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；‎ ‎（3）当△PQC的面积为 时，求点P的坐标．‎ A B x C O y Q N M P A B x C O y ‎12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝ 在第三象限的交点为C（－2 ，m），且△AOB的面积为 ．‎ ‎（1）求a、m、k的值；‎ ‎（2）以BC为一边作等边三角形BCD，求D点的坐标．‎ ‎13．已知一次函数y＝2 x＋8 与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，且x1－x2＝2．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ O A B x y ‎（3）若一条开口向下的抛物线经过A、B两点，并在过点A且与OB平行的直线上截得的线段长为 ，求抛物线的解析式．‎ ‎14．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2 ），B（2，0）直线AB与反比例函数y＝ 的图象交与点C和点D（－1，a）．‎ ‎（1）求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求∠ACO的度数；‎ O A B x y D C ‎（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′ 的长．‎ ‎15．在矩形AOBC中，OA＝4，OB＝6．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ （k＞0）的图象与AC边交于点E．‎ A B x C O y F E ‎（1）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是（1）中所求抛物线上一点，且△PEF的面积等于△OEF的面积，求点P的坐标；‎ ‎（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时OF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．‎ ‎（1）求顶点D的坐标；‎ G x C O y F E B ‎(A)‎ D M N ‎（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N，求△AMN的面积；‎ ‎（3）求证：△AMN是直角三角形．‎ ‎17．如图，已知反比例函数y＝ （m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．‎ ‎（1）求一次函数的关系式；‎ ‎（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝ （O为坐标原点），求反比例函数的关系式；‎ ‎（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．‎ O x y A P B ‎18．如图，已知反比例函数y＝ （m＞0）的图象与一次函数y＝－x＋b的图象分别交于A（1，3）、B两点．‎ ‎（1）求m、b的值；‎ O x y C D N B E M A（1，3）‎ ‎（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E．设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2－S1，求S的最大值．‎ ‎19．如图，已知函数y＝ （x＞0）的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ O x A B y ‎（2）将一次函数y＝kx＋b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数y＝ （x＞0）的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．‎ ‎20．如图，一次函数的图象与反比例函数y1＝－ （x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ O x A B C Q P y y2‎ y1‎ ‎（2）设函数y2＝ （x＞0）的图象与y1＝－ （x＜0）的图象关于y轴对称，在y2＝ （x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．‎ ‎21．如图，已知二次函数y＝ax 2＋2x＋c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y＝ 的图象上，且与x轴相交于A、B两点．‎ ‎（1）若二次函数图象的对称轴为x＝－ ，试求a、c的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；‎ ‎（3）若二次函数图象的对称轴与x轴的交点为N，当NO＋MN取最小值时，试求二次函数的解析式．‎ O x y B A N M ‎22．如图，一次函数y＝k x＋4的图象与反比例函数y＝ （x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．‎ ‎（1）求证：AC＝BD；‎ ‎（2）若△COD的面积是△AOB的面积的 倍，求k与m之间的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在实数k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．‎ A B x C O y D P ‎23．已知一次函数y＝－ x＋b的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．‎ ‎（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝ （x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；‎ A B x C O y D E 图2‎ G F A B x C O y D 图1‎ P Q R ‎（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交y轴于点E；过点B作直线BF∥y轴交x轴于点F，交直线AE于点G．当四边形OAGB的面积为8时，请判断线段AE与AG的大小关系，并说明理由．‎ ‎24．如图，已知反比例函数y＝ 的图象经过A（－1，a）、B（2，a＋3）两点，点C的坐标为（－1，0）．‎ y x O C B A ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）在反比例函数y＝ 的图象上求点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ 过点A（－4，1），点P是双曲线上一动点（不与A重合），过点A和P分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B、C和D、E．‎ ‎（1）求k、S△ADC及S△PDC的值；‎ ‎（2）判断AP和DC的位置关系，并说明理由；‎ O C B D P E x A y ‎（3）若点P在双曲线上运动时，探索以A、P、C、D四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？若能，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎26．已知关于x的一元二次方程( a－1 )x 2＋( 2－3a )x＋3＝0．‎ ‎（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，且 ＋ ＝ ，直线l：y＝mx＋n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点O′ 在反比例函数y＝ 的图象上，求反比例函数的解析式；‎ O x y ‎（3）在（2）的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转θ角（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′ 交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与（2）中的反比例函数图象交于点Q，当四边形APQO′ 的面积为9－ 时，求θ角的大小．‎ ‎27．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－ x＋5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x－1于点C，过点A作y轴的平行线交直线y＝x－1于点D，点E为线段AD上一点，且tan∠DCE＝ ．动点P从原点O出发沿OA边向点A匀速运动，同时，动点Q从B点出发沿BO边向原点O匀速运动，点P与点Q同时到达A点和O点，设BQ＝m．‎ ‎（1）求点E的坐标；‎ ‎（2）在整个运动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形．若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）反比例函数y＝ 的图象经过点C，R为y＝ 图象上一点，在整个运动过程中，若以P、Q、E、R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．‎ O A x y C D B E O A x y C D B 备用图2‎ O A x y C D B 备用图1‎ 四、二次函数 ‎1．设函数y＝kx 2＋(2k＋1)x＋1（k为实数）．‎ ‎（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；‎ ‎（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；‎ ‎（3）对任意负实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．‎ O x y ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-1‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；‎ ‎（3）已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0）是x轴上的一个动点．在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m＞0）的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．‎ O x y ‎-1‎ ‎-1‎ ‎3．已知平面直角坐标系xOy，一次函数y＝ x＋3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y＝ x的图象上，且MO＝MA，二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）若点B在y轴上，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝ x＋3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．‎ ‎4．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c和一次函数y＝－bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a＋b＋c＝0．‎ ‎（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；‎ ‎（2）设这两个函数的图象交于A、B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1长的取值范围．‎ ‎5．已知二次函数y＝ax 2－4bx＋4c（a＞0）有两个实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤3．‎ ‎（1）求证：存在以a，b，c为边长的三角形；‎ ‎（2）求证： ＜ ＋ ．‎ ‎6．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c（c＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，△ABC的外接圆的圆心为点P．‎ ‎（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；‎ ‎（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC ＝2，求b和c的值．‎ ‎7．已知关于x的二次函数y1＝( m＋2)x 2－2x－1和y2＝( m＋2)x 2＋mx＋m＋1的图象都经过x轴上的点（n，0）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）将二次函数y1＝( m＋2)x 2－2x－1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象．‎ ‎①求y3的解析式；‎ ‎②在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象，并结合函数的图象回答：当x取何值时，y3＞y2？‎ ‎1‎ x y O ‎-1‎ ‎8．已知关于x的方程： －a－1＝0有一个增根为b，另一根为c．‎ ‎（1）求a、c的值；‎ ‎（2）若二次函数y＝ax 2＋bx＋c＋7（－ ≤x ≤ ）图象与x轴交于E、F两点，在此二次函数的图象上求一点P，使△PEF的面积最大，求点P的坐标．‎ ‎9．已知：二次函数y＝x 2＋bx－3的图象经过点P（－2，5）．‎ ‎（1）求b的值，并写出当1＜x ≤3时y的取值范围；‎ ‎（2）设P1（m，y1）、P2（m＋1，y2）、P3（m＋2，y3）在这个二次函数的图象上．‎ ‎①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；‎ ‎②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．‎ ‎10．已知A（1，0），B（0，－1），C（－1，2），D（2，－1），E（4，2）五个点，抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）经过其中的三个点．‎ ‎（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）；‎ ‎（2）点A在抛物线y＝a( x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？‎ ‎（3）求a与k的值．‎ ‎11．已知二次函数y＝x 2－(2m－1)x＋4m－6．‎ ‎（1）试说明不论m取任何实数，函数图象都经过x轴上的一个定点A；‎ ‎（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点B在点A的右侧，点D的坐标为（0，3），点E是函数图象上一点．问：在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎12．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c，其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎－8‎ ‎－9‎ ‎－8‎ ‎…‎ ‎（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；‎ ‎（2）若A（m，y1），B（m＋4，y2）两点都在该函数的图象上．‎ ‎①试比较y1与y2的大小；‎ ‎②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求实数m的取值范围；‎ ‎-2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎-4‎ ‎-10‎ ‎-8‎ yM OM xM ‎-6‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎13．已知二次函数y＝x 2－( 2a＋1 )x＋2a．‎ ‎（1）若函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两侧，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若函数图象不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，求实数a的取值范围．‎ ‎14．已知关于x的一元二次方程x 2－4x＋c＝0有实数根，且c为正整数．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x 2－4x＋c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；‎ ‎（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．‎ ‎15．已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝mx 2－3( m－1)x＋2m－1的图象关于y轴对称，y2 的顶点为A．‎ ‎（1）求二次函数y2的解析式；‎ ‎（2）将y2左右平移得到y3，y3交y2于点P，过P点作直线l∥x轴交y3于点Q，若△PAQ为等腰三角形，求P点坐标和函数y3的解析式；‎ ‎（3）是否存在二次函数y4＝ax 2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且对于任意一个实数x，y1≤y4≤y2均成立，若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标为（1，0）．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）求a的取值范围；‎ ‎（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1 － S2为常数，并求出该常数．‎ ‎17．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象的顶点坐标为（2，4）．‎ ‎（1）试用含a的代数式分别表示b，c；‎ ‎（2）若一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象与y轴及二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象的交点依次为D、E、F，且 ＝ ，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若线段EF的长m满足3 ≤m≤3 ，试确定a的取值范围．‎ ‎18．已知二次函数y＝－x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（A在B的左侧），且x1＋x2＝4．‎ ‎（1）求b的值及c的取值范围；‎ ‎（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；‎ ‎（3）设该二次函数的图象与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．问是否存在这样的二次函数，使△AOC≌△BED？若存在，求二次函数的表达式；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．已知二次函数y＝x 2＋mx－ m 2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：该函数图象的对称轴在y轴的左侧；‎ ‎（2）若 － ＝ （O为坐标原点），求二次函数的表达式；‎ ‎（3）设函数图象与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．‎ ‎20．已知二次函数y＝－ x 2＋ x的图象如图所示．‎ ‎（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；‎ ‎（2）将该函数图象沿它的对称轴向上平移，设平移后的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时函数的解析式；‎ ‎（3）设（2）中平移后的函数图象的顶点为M，以D为圆心，AB为直径作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.‎ O C A D M y x B 备用图 O C A D M y x B ‎21．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．‎ ‎（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；‎ ‎（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2 ，求m的值．‎ ‎22．已知二次函数y＝3ax 2＋2bx＋c．‎ ‎（1）若a＝b＝1，c＝－1，求函数图象与x轴交点的坐标；‎ ‎（2）若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；‎ ‎（3）若a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，对应的函数值y均大于0．试判断当0＜x＜1时，函数图象与x轴是否有交点？请说明理由．‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作一直线与二次函数y＝ax 2（a＞0）图象交于A、B两点，且使∠AOB＝90°．‎ ‎（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；‎ ‎（2）求a的值；‎ ‎（3）当△AOB的面积为4 时，求直线AB的解析式．‎ ‎24．已知二次函数y＝x 2＋4x＋m（m为常数）的图象经过点（0，4），将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，已知平移后的函数图象满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的函数图象的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．‎ ‎（1）求平移后的二次函数的表达式；‎ ‎（2）试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，则1就是函数y＝x－1的零点．‎ 己知函数y＝x 2－2mx－2( m＋3)（m为常数）．‎ ‎（1）当m＝0时，求该函数的零点；‎ ‎（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且 ＋ ＝－ ，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．‎ ‎26．已知二次函数y＝x 2－2mx＋m 2－4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D．‎ ‎（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）当m＝－1时，将函数y＝x 2－2mx＋m 2－4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当直线y＝ x＋b与这个新的图象有两个公共点时，求实数b的取值范围．‎ O y x ‎27．已知二次函数y＝x 2－2mx＋4m－8．‎ ‎（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；‎ ‎（2）以抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）若抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值．‎ A O x y ‎28．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c图象与一次函数y＝mx＋n图象相交于（0，－ ）和（m－b，m 2－mb＋n）两点（a，b，c，m，n均为实数，且a，m不为0）．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）设二次函数图象与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；‎ ‎（3）当－1≤x≤1时，设二次函数图象上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求此时| y0|的最小值．‎ O x y ‎－1‎ ‎1‎ ‎29．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（0，），且ac＝ ．‎ ‎（1）若该函数的图象过点（－1，－1）．‎ ‎①求使y＜0成立的x的取值范围；‎ ‎②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．‎ ‎（2）过点A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1．设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3 ，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22＝mS1S3 成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎30．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y＝2x上，且∠PAO＝45°．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）若二次函数的图象经过P、O、A三点，求该二次函数的解析式；‎ ‎（3）设（2）中的二次函数图象的顶点为M，将该二次函数图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y＝2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．‎ ‎1‎ O x y ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎31．已知二次函数y＝－ x 2－2 (－a－1)x－ (－a 2－2a )的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜1＜x2．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；‎ ‎（2）设二次函数图象的顶点为C，求△ABC的面积；‎ ‎（3）若a是整数，P是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围．‎ ‎32．已知二次函数y＝a( a＋1)x 2－( 2a＋1)x＋1（a是正整数）．‎ ‎（1）求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长；‎ ‎（2）当a依次取1，2，3，…，n时，该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别为L1，L2，L3，…，Ln，求L1＋L2＋L3＋ … ＋Ln的值．‎ ‎33．已知a＞b＞c，且2a＋3b＋4c＝0．‎ ‎（1）求证：a＋b＋c＞0；‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c在x轴上截得的线段长为 ，求该抛物线的对称轴．‎ ‎34．已知关于x的方程( a＋2)x 2－2ax＋a＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且抛物线y＝x 2－(2a＋1)x＋2a－5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两侧．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当|x1|＋|x2|＝2时，求a的值．‎ ‎35．已知二次函数y1＝ax 2－x＋c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0），与y轴的交点C在y轴的负半轴上，且tan∠ACO＝ ，S△ABC ＝3 ．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）若该二次函数的图象与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象在第二象限内的交点的横坐标x0满足－3＜x0＜－2，求k的取值范围．‎ ‎36．已知方程ax 2＋bx＋1＝x（a＞0）的两个实数根为x1，x2．‎ ‎（1）若x1＜2＜x2＜4，二次函数y＝ax 2＋bx＋1图象的对称轴为x＝x0，求证：x0＞－1；‎ ‎（2）若| x1|＜2，| x2－x1|＝2，求b的取值范围．‎ ‎37．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0），且方程ax 2＋bx＋c＝x的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜ ．‎ ‎（1）求证：当0＜x＜x1时，x＜ax 2＋bx＋c＜x1；‎ ‎（2）若二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象关于直线x＝x0对称，求证：x0＜ ．‎ ‎38．已知关于x的二次方程x 2＋ax＋b＝0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）若|x1|＜2，|x2|＜2，求证：2|a|＜4＋b且|b|＜4；‎ ‎（2）若2|a|＜4＋b且|b|＜4，求证：|x1|＜2，|x2|＜2．‎ ‎39．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 ，图象的对称轴为x＝1．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．‎ ‎40．已知二次函数y＝ax 2－4ax＋b（b＜0）的图象开口向上，与x轴的两个交点分别为A、B，且 ＝ （O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且|k－ |≤ ．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求t的取值范围；‎ ‎（3）当t取最小值时，求该二次函数的表达式．‎ ‎41．已知a，b为常数，当k取任意实数时，函数y＝(k 2＋k＋1)x 2－2(a＋k)2x＋(k 2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A（1，0）．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若函数图象与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的取值范围．‎ ‎42．已知二次函数y＝－x 2＋mx－m＋2．‎ ‎（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，求m的值；‎ ‎（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．‎ ‎43．已知两个二次函数y1，y2，当x＝m（m＞0）时，y1取最小值6且y2＝5，又y2最小值为 ，y1＋y2＝2x 2－3x＋9．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求二次函数y1、y2的表达式．‎ ‎44．已知ab≠0，且函数y1＝x 2＋2ax＋4b与y2＝x 2＋4ax＋2b有相同的最小值m，函数y3＝－x 2＋2bx＋4a与y4＝－x 2＋4bx＋2a有相同的最大值n，求证：m＋n＝0．‎ ‎45．对于x的二次三项式ax 2＋bx＋c（a＞0）．‎ ‎（1）当c＜0时，求函数y＝－2|ax 2＋bx＋c|－1的最大值；‎ ‎（2）若不论k为任何实数，直线y＝k(x－1)－ 与抛物线y＝ax 2＋bx＋c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．‎ ‎46．已知二次函数y＝3ax 2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，函数值y均大于0．‎ ‎（1）求证：a＞0且－2＜ ＜－1；‎ ‎（2）求证：方程3ax 2＋2bx＋c＝0有两个实数根且都大于0小于1．‎ ‎47．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象经过点（0，3），顶点在直线y＝－x＋1上且在第四象限，顶点与原点的距离为．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ y x O y＝－x＋1‎ ‎（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，直线y＝－x＋1交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使得以P、O、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标．若不存在，请说明理由．‎ ‎48．已知y＝ax 2＋x－a（－1≤x≤1）．‎ ‎（1）若|a|≤1，求证：|y|≤ ；‎ ‎（2）若y的最大值为 ，求a的值．‎ ‎49．已知抛物线y＝x 2＋mx＋n上有一点P（x0，y0）位于x轴下方．‎ ‎（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；‎ ‎（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，求证：x1＜x0＜x2；‎ ‎（3）当点P坐标为（1，－2011）时，求整数x1，x2的值．‎ ‎50．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且cotB＝AB·cosA．‎ ‎（1）求证：a＝b 2；‎ ‎（2）若b＝2，抛物线y＝m(x－b)2＋a与直线y＝x＋4交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，且△MON的面积为6，求m的值；‎ ‎（3）若a＝ b 2n 2，p－q＝3，抛物线y＝n(x 2＋px＋3q)与x轴交于不同的两点，其中一个交点在原点右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．‎ ‎51．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（－1，0）、B（0，－l）两点，它的顶点在第一象限，它的一部分图象如图所示．‎ ‎（1）试确定b的符号；‎ ‎（2）当b变化时，求a＋b＋c的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数a，使得∠ABC＝120°？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．‎ y O A B x ‎52．如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上（点A在点B的左侧），直角顶点C在x轴的上方，且A（tanA，0）、B（tanB，0），二次函数y＝－x 2－ mx＋(2＋2m－m 2)（x为自变量）的图象经过A、B两点．‎ O x y A B C ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）判断直角顶点C是否在该二次函数的图象上，请说明理由．‎ ‎53．已知抛物线F1：y＝ax 2－2amx＋am 2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线F2的顶点B在y轴上，且抛物线F1和F2关于点M（1，3）成中心对称．‎ ‎（1）求m的值和抛物线F2的解析式；‎ ‎（2）设抛物线F2与x轴正半轴的交点为C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．‎ y x O ‎54．已知二次函数y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)．‎ ‎（1）求证：无论m为任何实数，函数图象与x轴总有交点；‎ ‎（2）设函数图象与y轴交于点C，当函数图象与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧），且△ABC为钝角三角形时，求m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，P是函数图象的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求二次函数的解析式．‎ ‎55．已知关于x的一元二次方程x 2－2(k＋1)x＋k 2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x 2－2(k＋1)x＋k 2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；‎ ‎（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．‎ ‎56．如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a＞0）与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，且点A 的坐标为（1，4），点B在第三象限，△AOB的面积为3．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ C A O B xM yM ‎（2）过点A作x轴的平行线，交二次函数y＝ax 2＋bx的图象于另一点C，连接CO，在坐标平面内求点P，使△POC∽△AOB（点P与点A对应）．‎ ‎57．已知直线y＝ x和y＝－x＋m，二次函数y＝x 2＋bx＋c图象的顶点为M．‎ ‎（1）若M恰好是直线y＝ x与y＝－x＋m的交点，试证明：无论m取何实数值，二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与直线y＝－x＋m总有两个不同的交点；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若直线y＝－x＋m过点D（0，－3），求二次函数y＝x 2＋bx＋c的表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与y轴的交点为C，与x轴的左交点为A．‎ ‎①在直线y＝ x上求异于M的点P，使点P在△ACM的外接圆上；‎ ‎②在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎58．已知二次函数y＝x 2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．‎ ‎（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直线的表达式．‎ 五、概率 ‎1．小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）．‎ ‎（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）‎ 展览大厅 出口C 出口D 验票口A 验票口B ‎（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？‎ ‎2．如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．‎ ‎（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m＋n|＞1的概率；‎ ‎（2）直接写出点（m，n）落在函数y＝－ 图象上的概率．‎ 甲 ‎1‎ ‎－1‎ ‎－ ‎1‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎2‎ 乙 ‎3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．‎ ‎（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；‎ ‎（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．‎ ‎4．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．‎ ‎（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求| s－t |≥1的概率．‎ ‎（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．‎ 请问甲选择哪种方案胜率更高？‎ ‎5．小国同学的父亲参加旅游团到某地旅游，准备买某种礼物送给小国．据了解，沿旅游线路依次有A、B、C三个地点可以买到此种礼物，其质量相当，价格各不相同，但不知哪家更便宜．由于时间关系，随团旅游车不会掉头行驶．‎ ‎（1）若到A处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；‎ ‎（2）小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物．这个想法是否正确？试通过树状图分析说明．‎ ‎6．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7‎ ‎，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．‎ ‎（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？‎ ‎（2）以取出的三个小球上的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．‎ ‎7．6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．‎ ‎（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？‎ ‎（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？‎ 正三角形 正方形 B D 正六边形 正五边形 C E 正八边形 F 正十边形 A ‎8．在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°．有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小明将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题．‎ ‎（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①、②、③、④、⑤表示）；‎ ‎（2）用两次摸牌的结果和∠C＝∠F＝90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率．‎ A B C D E F ‎①‎ AB＝DE ‎②‎ ‎∠A＝∠D ‎③‎ BC＝EF ‎④‎ ‎∠B＝∠E ‎⑤‎ AC＝DF ‎9．如图，A信封中装有两张卡片，卡片上分别写着7cm、3cm；B信封中装有三张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm；信封外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从两个信封中各取出一张卡片，与信封外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作三条线段的长度．‎ B ‎5cm A ‎（1）求这三条线段能组成三角形的概率（画出树状图）；‎ ‎（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．‎ ‎10．我国不少地方农历正月十五元宵节有吃汤圆的习俗．为了增加节日的喜庆气氛，小华的妈妈在自己动手包的48个汤圆中，有两个汤圆用红枣做馅，与其它汤圆不同馅．若吃到包有红枣的汤圆，被认为这一年心情总是甜美的．‎ ‎（1）若只吃一个汤圆，求吃到包有红枣汤圆的概率；‎ ‎（2）若每碗盛8个汤圆，小华吃2碗，盛汤圆时，两个红枣汤圆被盛到不同的碗里，求小华吃到包有红枣汤圆的概率，并说明理由；‎ ‎（3）若每碗盛8个汤圆，小华吃2碗，盛汤圆时，两个红枣汤圆正好被盛到同一碗里，求小华吃到包有红枣汤圆的概率，并说明理由．‎ ‎11．已知关于的方程ax 2＋bx＋c＝0，甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a，b，c（如甲令b＝1，乙令a＝－2，甲再令c＝10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x0，满足－1≤x0≤1，那么乙胜；反之，则甲胜．‎ ‎（1）若a，b，c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？请说明理由；‎ ‎（2）若a，b，c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？请说明理由．‎ ‎12．如图1，一小球从三角仪器的入口处落下，当它碰到每层菱形挡板时，向左或向右落下的可能性相同．‎ ‎（1）求小球通过第二层A位置的概率是多少？‎ ‎（2）求小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？‎ ‎（3）如图2，在第二层与第三层之间加一左侧隔板，求小球落到B、C位置处的概率各是多少？‎ A B C 图1‎ A B C 图2‎ ‎13．将一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b．‎ ‎（1）求点（a，b）落在直线y＝2x－1上的概率；‎ ‎（2）求以点O（0，0），A（4，－3），B（a，b）为顶点能构成等腰三角形的概率；‎ ‎（3）求关于x，y的方程组 ‎①只有一组解的概率；‎ ‎②只有正数解的概率．‎ ‎14．某俱乐部举行抽奖活动，活动规则是：每位会员交30元，可参加一次抽奖活动．从一个装有数字分别为1，2，3，4，5，6的六个相同小球的抽奖箱中，任意摸出一个球，然后放回箱中，摇匀，再摸出第二个球．若两次摸出的球的数字之和为12，则获得价值为a元的礼品；若两次摸出的球的数字之和为11或10，则获得价值100元的奖品；若两次摸出的球的数字之和小于10，则不获奖．‎ ‎（1）求每位会员获奖的概率；‎ ‎（2）如果俱乐部打算这次活动既不赚钱也不赔钱，求a的值．‎ ‎15．已知一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0．‎ ‎（1）若a＝1，b，c是一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；‎ ‎（2）若b＝－a，c＝a－3，且方程有实数根，求方程至少有一个非负实数根的概率．‎ ‎16．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的小球（除颜色不同外其余都相同），其中红球2个，黄球1个，其余为绿球，从中任意摸出1球是绿球的概率为 ．‎ ‎（1）试求口袋中绿球的个数；‎ ‎（2）第一次从口袋中任意摸出1球，然后放回袋中摇匀，第二次再摸出1球，请用列表法求两次摸到都是红球的概率；‎ ‎（3）小明和小华玩摸球游戏，游戏规则是：先由小明从口袋中任意摸出1球（不放回），再由小华任意摸出1球．若摸出“一绿一黄”，则小明获胜；若摸出“一红一黄”，则小华获胜．‎ 你认为这个游戏规则公平吗？请用画树状图的方法说明理由；若你认为不公平，请修改游戏规则，使游戏变得公平．‎ ‎17．有两个不同形状的计算器（分别记为A，B）和与之匹配的保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．‎ ‎（1）若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．‎ ‎（2）若从计算器和保护盖中随机取两个，用树状图法或列表法，求恰好匹配的概率．‎ A B a b ‎18．同时投掷六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的红、黄两枚正方体骰子一次，记红色和黄色骰子正面朝上的点数分别为m和n．‎ ‎（1）求二次函数y＝x 2＋2mx＋n图象的顶点落在x轴上的概率；‎ ‎（2）求一元一次方程mx＋n＝0有整数解的概率．‎ ‎19．在一个箱子中有三个分别标有数字1，2，3的材质、大小都相同的小球，从中任意摸出一个小球，记下小球的数字x后，放回箱中并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点P的坐标．‎ ‎（1）求点P的横坐标与纵坐标的和为4的概率；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，求点P落在以坐标原点为圆心、 为半径的圆的内部的概率．‎ ‎20．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有四个标号分别为0，1，2，3的材质、大小都相同的小球，乙盒中有三个标号分别为0，1，2的材质、大小都相同的小球，从甲盒中随机取出一小球，用m表示该球的标号，再从乙盒中随机取出一小球，用n表示该球的标号．‎ ‎（1）用树状图的方式表示（m、n）的所有可能结果；‎ ‎（2）分别求出关于x的方程x 2－mx＋ n＝0有两个相等的实数根的概率P1和该方程有两个不相等的实数根的概率P2．‎ 六、三角形 ‎1．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2．‎ ‎（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．‎ ‎（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，S10＝_______．‎ ‎（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．‎ A B C E D F A B C 图1‎ 甲 乙 P N M Q A B C 图3‎ A B C E D F 图2‎ ‎2．‎ 问题探究 ‎（1）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．‎ ‎①求证：BE＋CF＞EF；‎ ‎②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．‎ BM AM CM DM EM FM 问题解决 ‎（2）如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．‎ BM AM CM DM EM FM ‎3．阅读下面的情景对话，然后解答问题：‎ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？‎ 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．‎ 小华：等边三角形一定是奇异三角形！‎ A B O C D E ‎（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，‎ 若Rt△ABC是奇异三角形，求a : b : c；‎ ‎（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），‎ D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在 点E，使AE＝AD，CB＝CE．‎ ‎① 求证：△ACE是奇异三角形；‎ ‎② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．‎ ‎4．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．‎ ‎（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在相似关系，请说明理由；‎ ‎（2）如图2，设∠ABP＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；‎ 图1‎ A B C F D P E A1‎ B1‎ ‎（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．‎ 图2‎ A B C F D P E A1‎ B1‎ 图3‎ A B C D P A1‎ B1‎ ‎5．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．‎ 在等边三角形ABC中，点E在AB上，‎ 点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图．‎ 试确定线段AE与DB的大小关系，并说明 理由．‎ A B C E D 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎（1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：‎ AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．‎ A B C E D 图1‎ ‎ ‎A B C E D 图2‎ F ‎（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．‎ 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．‎ ‎（请你完成以下解答过程）‎ ‎（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．‎ ‎6．如图，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．‎ ‎（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；‎ ‎（2）若△ABC的面积为1，试求以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积．‎ A E B C F D ‎7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α，∠ABO为β．‎ ‎（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；‎ ‎（2）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；‎ ‎（3）当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．‎ 图②‎ A O x y B D C 图①‎ A B C O y D x ‎8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝ ．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．‎ A B P C M N 图2‎ E ‎(E)‎ A B P C M N 图1‎ A B C 备用图 ‎9．已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．‎ ‎（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：PA＝PB；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC＝ PB，求△POB与△PBC的面积之比；‎ ‎（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．‎ B C M A O N P T M O N T 备用图 M O N T 备用图 ‎10．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．‎ ‎（1）如图1，当AB∥CB′ 时，设A′B′ 与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；‎ ‎（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′ ．‎ 求证：S△ACA′ : S△BCB′ ＝1 : 3；‎ ‎（3）如图3，设AC中点为E，A′B′ 中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝__________°时，EP长度最大，最大值为__________．‎ A B C A′‎ B′‎ θ 图3‎ E P A B C D A′‎ B′‎ θ 图1‎ A B C A′‎ B′‎ θ 图2‎ 第22题图(3)‎ ‎11．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点F在边BC上，CF＝1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG、FG分别交直线AC于点M、N．‎ ‎（1）设BE＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若AE＝1，求△GMN的面积．‎ A B C F E G M N A B C 备用图 A B C 备用图 ‎12．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．‎ ‎（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（3）点P从点O运动到点A时，点C运动路线的长是多少？‎ A C B OA P x y A B OA x y 备用图 ‎13．如图，直线y＝－ x＋2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．‎ ‎（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；‎ ‎（2）求△BCD周长的最小值；‎ ‎（3）当△BCD的周长取得最小值，且BD＝ 时，求△BCD的面积．‎ A x y ‎1‎ O ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ C 备用图 A x y ‎1‎ O ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ C 备用图 A x y ‎1‎ O D ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B ‎3‎ ‎4‎ C ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC : BC＝4 : 3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．‎ ‎（1）设点P的运动时间为x（s），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ B C Q P A ‎（3）当x＝5s时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ A B C D E ‎15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ ，D为射线BA上的动点（点D不与点B重合），DE∥BC交射线CA于点E．‎ ‎（1）设CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若以线段BD、CE为直径的两圆相切，求DE的长度；‎ ‎（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．‎ ‎（1）如图l，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为____________________；‎ ‎（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．‎ C A B D E 图1‎ C A B D E 图3‎ K H G F C A B D E 图2‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x ‎＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．‎ A B O C x y ‎（1）点B关于直线x＝t的对称点B′ 的坐标为___________；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式．‎ ‎18．在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB ＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．‎ ‎（1）当AB＝AC时，（如图1）‎ ‎①∠EBF＝_________°；‎ ‎②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）当AB＝kAC时（如图2），求 的值（用含k的式子表示）．‎ 图1‎ A B C F E D 图2‎ A B C F E D ‎19．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．‎ ‎（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；‎ A B C D 图2‎ ‎（3）如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．‎ A B C F E D 图1‎ A B C D 备用图 ‎20．如图11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BD是AC边上的中线，CE⊥BD，垂足为E．‎ A B C D E ‎（1）求sin∠DCE的值；‎ ‎（2）求证：∠ABD＝∠CAE；‎ ‎（3）若点F在边AB上，且△AEF为等腰三角形，求AF的长．‎ ‎21．B A C P E D M N 如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．‎ ‎（1）求证：△ACE≌△DCB；‎ ‎（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；‎ ‎（3）求证：∠APC＝∠BPC．‎ ‎22．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ ‎（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；‎ ‎（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．‎ A B C A A C C B B ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ D E P ‎23．如图①，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a cm，∠B＝30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B－A－C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；‎ ‎（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？‎ 图①‎ 图②‎ A B C P D E O x y ‎1‎ ‎1‎ ‎24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．‎ ‎（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；‎ ‎（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ A C B D E F ‎（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．‎ ‎25．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：‎ ‎（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；‎ ‎（2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；‎ ‎…‎ 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）‎ 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知S四边形P1R1R2P2 ＝ S△ABC ，请证明．‎ 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究S四边形P1Q1Q2P2 与S四边形ABCD之间的数量关系．‎ 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD ＝1，求 S四边形P2Q2Q3P3 ．‎ 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ A C B P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ R1‎ R2‎ P1‎ P2‎ Q1‎ Q2‎ A C B D Q1‎ Q2‎ C D P1‎ P2‎ A B P3‎ P4‎ Q3‎ Q4‎ Q1‎ Q2‎ C D P1‎ P2‎ A B P3‎ Q3‎ ‎26．在平面直角坐标系中，直线y＝ kx＋m（－ ≤k ≤）经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0，7）．记△ABC的面积为S．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）求S关于m的函数关系式；‎ ‎（3）当S取得最大值时，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，求点B′ 的坐标．‎ ‎27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．‎ ‎（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；‎ ‎（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值．‎ A C B P Q ‎28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝72°，将△ABC绕点A顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于点G、F．‎ ‎（1）求证：△ABG∽△FCG；‎ ‎（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG与△FCG全等？若存在，求出此时旋转角α的大小；若不存在，说明理由．‎ A C B D E F G ‎29．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝ ．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．‎ ‎（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：PC平分∠EPA；‎ ‎（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：PE＋PB＝6；‎ ‎（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为 时，求∠BPE的度数及PB的长．‎ A C B 备用图 A C B D E F P 图2‎ A C B D E F P 图1‎ ‎30．已知△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB．将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′ 与AC、AD′ 分别交于点O、F．‎ ‎（1）如图1，若△ABC为等边三角形，则 的值为________，∠AFB的度数为________；‎ ‎（2）如图2，若△ABC满足∠ACB＝60°，AC＝，BC＝．‎ ‎①求 的值和∠AFB的度数；‎ D A F C B O D′‎ E E′‎ 图2‎ ‎②若E是BC的中点，求△OBC面积的最大值．‎ D A F C B O D′‎ E E′‎ 图1‎ ‎31．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90º．固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图2．‎ ‎（1）始终与△AGC相似的三角形有___________和___________；‎ ‎（2）在图2中，设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）当x为何值时，△AGH是等腰三角形？‎ A B C F ‎(D)‎ 图2‎ H E G A B C F ‎(D)‎ ‎(E)‎ 图1‎ ‎32．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．‎ ‎（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝_________；（直接写出结果）‎ ‎（2）连结AD、BC相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否随点P的移动而变化？请说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）‎ A C B P D Q 图2‎ A C B P D Q 图1‎ ‎33．已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y＝x交于点C．‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y＝x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；‎ A C B P D O x l y ‎（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎34．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．‎ ‎（1）求证：△PQE∽△PMF；‎ ‎（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；‎ M F B P E Q A C ‎30°‎ ‎（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．‎ ‎35．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．‎ ‎（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DE＝DF；‎ ‎（2）若AD : DB＝m，求DE : DF的值；‎ ‎（3）若AC＝BC＝6，AD : DB＝1 : 2，设AE＝x，BF＝y．‎ ‎①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．‎ B D A C 图2‎ E F B D A C 图1‎ E F B D A C 备用图 B D A C 备用图 ‎36．（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证： ＝ ．‎ ‎（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点．‎ ‎①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；‎ ‎②如图3，求证：MN 2＝DM·EN．‎ B G A C D E 图3‎ F M N B G A C D E M 图2‎ F N B Q A C D E P 图1‎ B F A C D O E ‎37．如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．‎ ‎（1）证明：AB＝AC；‎ ‎（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；‎ ‎（3）当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．‎ ‎38．两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．‎ ‎（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；‎ ‎（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I＝CI．‎ 图①‎ B A C D E 图③‎ B F A C D E H G F1‎ G1‎ D1‎ H1‎ I E1‎ 图②‎ B F A C D E H G ‎39．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．‎ ‎（1）若BD是AC的中线，如图2，求 的值；‎ ‎（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求 的值；‎ ‎（3）结合（1）、（2），请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．‎ ‎（图3）‎ B A C D E ‎（图2）‎ B A C D E ‎（图1）‎ B A C D E ‎40．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接AP、CP，CP交AB于点N（如图1）．‎ ‎（1）若AC＝BC，求证：△NPB∽△PAB；‎ ‎（2）若BC＝2，当AC的长为多少时，△ACB∽△ABP？‎ ‎（3）图1中，当点A沿直线AC向下运动（其余条件不变）时，Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化（如图2），若点A一直运动到BC下方，请在图3中画出相应的图形．若BC＝2，设AC＝x，△BCP的面积为S1，△PAB的面积为S2，试问S1、S2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．‎ 图1‎ C A B N M P M B C A 图3‎ 图2‎ C A B M P ‎41．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）．‎ 试探究线段EF与EG的数量关系． （1）如图（2），当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是____________；‎ 证明：‎ ‎（2）如图（3），当m＝1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________；‎ 证明：‎ ‎（3）如图（1），当m，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________．（写出关系式，不必证明）‎ 图（2）‎ C A B F D G E 图（3）‎ C A B F D G E 图（1）‎ C A B F D G E ‎42．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以点B为圆心，BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC＝∠BAC．P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交BD的延长线于点Q．设CP＝x，DQ＝y．‎ A B C D Q P ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）若∠DAQ＝2∠BAC，求CP的长．‎ ‎43．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长是12，点A在第一象限，OB边在x轴的正半轴上．将△OAB沿直线CD：y＝kx＋b折叠，使点A落在x轴上的点E处．‎ ‎（1）若点A恰好落在线段OB上（不包括O、B），△OCE与△BED相似吗？为什么？若OE : EB＝2 : 3，求CE : DE的值；‎ ‎（2）①若点C是OA的中点，AD＝2DB，试判断以CD为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；‎ O E D A B C x y ‎②若点C、D分别在线段OA、AB上，试求b的取值范围；‎ ‎（3）当点E从点O移动到点B时，点D运动的总路线长为多少？‎ ‎44．Rt△ABC的直角顶点B在Rt△DEF的斜边DF上，已知AB＝DF，DE＝EF，∠A＝30°．固定△DEF不动，将△ABC绕点B旋转，并使边AB与边DE交于点P，边BC与边EF于点Q．‎ ‎（1）如图1，若 ＝m，求 的值，并确定m的取值范围；‎ ‎（2）若DF＝30， ＝2，连接PQ，设△BPQ的面积为S，在旋转过程中：‎ ‎①如图2，当点E恰好落在边AC上时，求AE的长；‎ ‎②S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由；‎ ‎③随着S取不同的值，对应△BPQ的个数有哪些变化？求相应S值的取值范围．‎ QM EM DM FM BM AM PM CM 图2‎ HM QM EM DM FM BM AM PM CM 图1‎ ‎45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB延长线上的点，AE与BD相交于点F．‎ ‎（1）若BE＝AC，AD＝CE，求∠AFD的度数；‎ A C B ‎（2）若BE＝ AC，AD＝ CE，求∠AFD的度数．‎ ‎46．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点M是CE的中点，连接BM．‎ ‎（1）如图①，点D在AB上，连接DM，猜想BD与BM的数量关系，并说明理由；‎ A B C DM EM 图①‎ MM A B C DM EM MM 图②‎ ‎（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出此时BD与BM的数量关系．‎ ‎47．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠DBC＝30°，E在BC上，AE⊥BC，且∠ADE＝60°．‎ A B C DM EM ‎（1）求证：CD＝EC；‎ ‎（2）若BE＝1，求AD、BC、CD的长．‎ ‎48．如图，△ABC与△BCD均为等边三角形，过D点的直线与AB交于点M，与CA的延长线交于点N，CM与BN交于点E，求∠BEC的度数．‎ A C E B D M N ‎49．已知△ABC是锐角三角形．‎ ‎（1）求证：2sinA＞cosB+cosC；‎ ‎（2）若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？‎ ‎50．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F．‎ A C B E D F ‎（1）求证：DF 2＝BF·CF；‎ ‎（2）若 ＝ ，求 的值．‎ ‎51．在△ABC中，点M为BC的中点．‎ ‎（1）如图1，求证：AM＜ (AB＋AC)；‎ ‎（2）延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．‎ A C B M D E 图2‎ A C B M D E 图3‎ A C B M 图1‎ ‎①如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AM之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；‎ ‎②请在图3中证明：BC ≥ DE．‎ ‎52．如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝2．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点D′、E′分别与点D、E对应），点E′ 在AB上，D′E′ 与AC相交于点F．‎ ‎（1）求∠ACE′ 的度数；‎ 图①‎ A B C E D 图②‎ A B C E′‎ D′‎ F ‎（2）求证：四边形ABCD′ 是梯形；‎ ‎（3）求△AD′F的面积．‎ ‎53．A B C D C′‎ 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点在边上，且∠ADC＝60°，BD ＝ CD．将△ACD沿AD折叠，得到△AC′D，连接BC′．‎ ‎（1）求证：BC′⊥BC；‎ ‎（2）求∠C的大小．‎ ‎54．已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，P为直线BC上的动点，以DP为一边在DP的右侧作等边三角形DPQ．‎ ‎（1）如图，当点P在BC边上时，请你判断PF与QE有怎样的数量关系？点F是否在直线QE上？说明理由；‎ ‎（2）当点P在CB的延长线或BC的延长线上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？说明理由．‎ B C D E A F P Q B C D E A 备用图 F B C D E A 备用图 F ‎55．如图，直角三角板ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C．‎ ‎（1）当A′B′边经过点B时，求旋转角α的大小；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与直线AB交于点D，过点D作DE∥A′B′ 交CB′ 边于点E，连接 BE．‎ ‎①当0°＜α＜90°时，设AD＝x，BE＝y，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当S△BDE ＝ S△ABC 时，求AD的长．‎ A C B A′‎ B′‎ α A C B 备用图 A C B 备用图 ‎56．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋b与x轴、y轴分别交于A、B两点，且B点的坐标为（0，8），直线AC交线段OB于点C（0，n）．‎ ‎（1）过C点作CD⊥AB于D点，CD＝m，求m与n的函数关系式；‎ ‎（2）将△AOC沿着AC翻折，使点O落在AB上．‎ ‎①求点C的坐标；‎ O x y A B ‎②P是直线AC上的点，在x轴上方的平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎57．如图1所示，直线y＝－x＋9与x轴、y轴交于B、A两点，直线y＝－ x－4与x轴、y轴交于C、D两点，E（4，0），直线l过B点且垂直于x轴，P是直线上一点（与B点不重合），连结AP．‎ ‎（1）求A、C两点的坐标；‎ ‎（2）设M是AP的中点，若ME＝5，猜想∠CME的度数，并说明理由；‎ 图2‎ O A B x y C D P E l 图1‎ O A B x y C D P E l M ‎（3）如图2所示，连结PE，求△PCE外接圆面积的最小值，并求△PCE外接圆面积最小时，圆心G的坐标．‎ ‎58．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．‎ ‎（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．‎ E D C B A 图2‎ E D C B A 图1‎ ‎59．已知：在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（10，0）．‎ ‎（1）如图①，若k＝－1，在直线y＝kx＋4上求点P，使∠OPC＝90°；‎ ‎（2）若在直线y＝kx＋4上只存在一个点P，使∠OPC＝90°，求k的值．‎ C A O B xM yM 图①‎ C O xM yM 备用图 ‎60．如图1，△ABC和△DEF均为等边三角形，BC和EF的中点均为O．‎ ‎（1）将△DEF绕点O旋转到图2的位置时，试判断AD与CF的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）将△DEF绕点O旋转一周，若顶点D与AC只有一个交点，且AB＝4，求△COF的面积．‎ C A B EM DM OM FM 图2‎ C A B EM DM OM FM 图1‎ C A B EM DM OM FM 图3‎ ‎61．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连结PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；‎ ‎（2）连结PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；‎ ‎（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？‎ A B D C F 图（2）‎ Q P E ‎(E)‎ A B D C F 图（1）‎ ‎62．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，将△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABC．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）当点P运动到点（，0）时，求此时CP的长及点C的坐标；‎ O x B y A 备用图 O P x B y C A ‎（3）是否存在点P，使△COP的面积等于 ？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎63．已知△ABC为等边三角形，AB＝6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．‎ ‎（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当BP＝2时，求CF的长；‎ ‎（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．‎ E P D B C A F G ‎64．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝2x，点M的坐标为（6，2），MN⊥x轴，垂足为N，点P是x轴上位于点N右侧的一动点，连结PM并延长交直线l于点Q．‎ ‎（1）当点M平分线段PQ时，试判断△POQ的形状，并说明理由；‎ ‎（2）当△POQ是等腰三角形时，求点P的坐标；‎ M l O N x y ‎（备用图）‎ M l O N P x Q y ‎（3）设 ＝k，是否存在适当的k值，使得 ＝k？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎65．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的一动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，交边AC于点E．‎ ‎（1）如图1，当AD＝2BD时，求△ADE的面积；‎ ‎（2）当△ADE的周长与四边形BDEC的周长相等时，求AD的长；‎ ‎（3）如图2，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形DEFG，设AD的长为x，四边形DEFG与△ADE公共部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时y最大，最大值是多少？‎ E D A B C 图2‎ F G E D A B C 图1‎ 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 C A D B G P E M N F Q H O ‎1．图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．‎ ‎（1）求蝶形面积S的最大值；‎ ‎（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．‎ ‎2．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；‎ ‎（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）‎ 图2‎ A B M O C D P x y E H 图1‎ A B M O C D P x y ‎3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝a（0°＜a ＜90°）．‎ ‎（1）求∠HAE的大小（用含 a 的代数式表示）；‎ ‎（2）求证：HE＝HG；‎ ‎（3）判断四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．‎ ‎4．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．‎ ‎（1）在图1中证明CE＝CF；‎ ‎（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数 ‎（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．‎ 图3‎ A D B C E F G 图2‎ A B C F D E G 图1‎ A B C F D E ‎5．如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．‎ ‎（1）该正方形的边长为____________；‎ A B C D ‎（2）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．‎ ‎6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．‎ ‎（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；‎ ‎（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．‎ B C D A O M 备用图 B C D A O E M F A B C D G E F ‎7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．‎ ‎（1）求EG的长；‎ ‎（2）求证：CF＝AB＋AF．‎ ‎8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．‎ ‎（1）求证：h1＝h3；‎ ‎（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝( h1＋h2)2＋h12；‎ ‎（3）若 h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．‎ C A D B h1‎ h2‎ h3‎ l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ ‎9．如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC 的中点，求证：MN⊥BC且MN＝ BC．‎ C A F B D E G M N ‎10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．‎ ‎（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；‎ ‎（2）如图2，DP＝ AD，CQ＝ BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；‎ ‎（3）如图3，DP＝ AD，CQ＝ BC，点D的对应点F在PQ上．‎ ‎①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；‎ ‎②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．‎ 图2‎ C A F B D E P Q 图1‎ C A F B D E P Q 图3‎ C A F B D E P Q ‎11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；‎ ‎（3）探究：探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．‎ C A B D P Q ‎12．如图①，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．‎ ‎（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；‎ ‎（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；‎ ‎（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？‎ C A E D F O ‎(B)‎ x y 图①‎ C A D O ‎(B)‎ x y 图③‎ C A E D O ‎(B)‎ x y 图②‎ ‎13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，BE⊥BC交直线AD于点E．‎ ‎（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；‎ ‎（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD＝x，ED＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；‎ ‎（3）是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由．‎ D A B C E ‎14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G．‎ D A B C E M F G O ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．‎ ‎15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．‎ ‎（1）求CF和EF的长；‎ ‎（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t ＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？‎ ‎（图3）‎ D N B C E M F A P x y ‎（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．‎ ‎（图2）‎ D N B C E M F A P ‎（图1）‎ D B C E F A ‎16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－ x＋m交折线OAB于点N．‎ ‎（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；‎ ‎（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1．‎ ‎①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；‎ ‎②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．‎ A y B C O x 备用图 A M y B C O N x A y B C O x 备用图 ‎17．如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，设PQ＝x．‎ ‎（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由；‎ ‎（2）求△CPQ周长的最小值；‎ ‎（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时，求x的取值范围．‎ A B C D 备用图 A P B C D Q A B C D 备用图 ‎18．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝ ，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）当t＝5秒时，求PQ的长；‎ ‎（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比；‎ A D C B E 备用图 F A D C B E F Q P ‎（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝10，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是（－6，0）．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）连接BD，点P是线段CD上一动点（点P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD于点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，S△BQE ＋ S△AQE ＝ S△DEP ？并判断此时以点P为圆心，以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由．‎ C A B y D O 备用图 x C A B y D O x ‎20．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．‎ ‎（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；‎ ‎（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；‎ ‎（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．‎ C A B D E G F 图2‎ C A B D E G F 图4‎ C A B D E G F 图3‎ C A B D E F 图1‎ ‎21．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD＝ ．若线段OA的长是一元二次方程x 2－7x－8＝0的一个根，又2AB＝3OA．请解答下列问题：‎ ‎（1）求点B、F的坐标；‎ ‎（2）求直线ED的解析式；‎ ‎（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B F D y A O x C E ‎22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）．‎ ‎①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的 ？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．‎ B A y C O x B A y C O x 备用图 B A y C O x 备用图 E B C A O D y x ‎23．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝ ，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．‎ ‎（1）求点E的坐标；‎ ‎（2）求直线CD的解析式；‎ ‎（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′ 与BD′ 相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′ 与BD′ 的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′ 与BD′ 的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′ 与BD′ 的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图2‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图3‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图1‎ ‎25．如图l，己知正方形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．‎ ‎（1）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，判断线段BE、DF的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（2）如图3，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当α＝90°时，连接BE、DF，当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE？请说明理由；‎ ‎（3）如图4，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．‎ B D A C E F 图3‎ B D A C E F 图2‎ B D A C E F 图1‎ B D A C E F 图4‎ ‎26．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．‎ B D A M N C K ‎1‎ B D A C ‎（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；‎ ‎（2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；‎ ‎（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．‎ B D A C B D A C ‎27．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．‎ ‎（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；‎ B D A N ‎(M)‎ Q C P ‎（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．‎ ‎28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．‎ ‎（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60° ；‎ 当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；‎ A P B C D ‎（图②）‎ ‎(O)‎ x y S1‎ S3‎ S2‎ ‎（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a、b的值．‎ A P B C D ‎（图①）‎ ‎29．如图，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合．将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转．请解答下列问题：‎ ‎（1）求正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程以及顶点O在此过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积；‎ ‎（2）求正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程；‎ ‎（3）正方形纸片OABC经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 π？‎ A B C O ‎(O1)‎ B1‎ l C1‎ ‎30．如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′ 处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′ 处（如图④）；沿GC′ 折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．‎ ‎（1）求图②中∠BCB′ 的大小；‎ ‎（2）图⑥中的△GCC′ 是正三角形吗？请说明理由．‎ A D C B 图③‎ G A D C B 图④‎ C′‎ G H A D C B 图⑤‎ C′‎ G H A′‎ A E D C B F 图⑥‎ G C′‎ H A E D C B F 图①‎ A E D C B F 图②‎ B′‎ G ‎31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．‎ ‎（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；‎ A D C E P B F M N Q ‎（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．‎ ‎32．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．‎ ‎（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；‎ ‎（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，‎ ‎①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．‎ ‎②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．‎ A D C E P B F 图2‎ Q A D C E P B F 备用图 Q A D C E O B F 图1‎ ‎33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．‎ ‎（1）直接写出点H到AD的距离；‎ ‎（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；‎ ‎（3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．‎ A D C G B F E H ‎34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．‎ ‎（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；‎ ‎（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．‎ A D C B F E 图1‎ A D C B F E 图2‎ ‎35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．‎ ‎（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．‎ D C B F E A G C B A 备用图 ‎36．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N．‎ ‎（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：BE＝PD＋ MN；‎ ‎（2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长．‎ A E M B D N C 图1‎ A E M B D N C 图2‎ G F A E B D C 备用图 ‎37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．‎ ‎（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；‎ A E B D F C P 图1‎ A B D C P 图2‎ ‎(F)‎ ‎(E)‎ ‎（2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：‎ ‎①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；‎ ‎②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．‎ ‎38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．‎ ‎（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；‎ ‎（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P．‎ ‎①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；‎ ‎②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断 ＋ 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 图3‎ A E B D F C P N M 图2‎ A E B D F C P 图1‎ A E B D F C O ‎39．如图，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°，∠B＝60°，AB＝6，AD＝9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE＝x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．‎ ‎（1）求CD的长及∠1的度数；‎ ‎（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；‎ ‎（3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ A B C E D F G ‎1‎ ‎40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′ 与C′E重合，且C′A过点E．‎ ‎（1）试证明C′G∥EF；‎ ‎（2）若点A′ 与点E重合，求此时图形重叠部分的面积．‎ G A B C D E F A′‎ B′‎ C′‎ A B C D 备用图 ‎41．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N，交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．‎ ‎（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；‎ ‎（2）记∠EPM＝α，△AOM、△AMN的面积分别为S1 、S2 ．‎ ‎①求证： ＝ PA 2 ；‎ O A B C D P E F M N ‎②设AN＝x，y＝ ，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．‎ ‎42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求证：AF＝AQ；‎ ‎（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？‎ ‎（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？‎ A B C E D F G Q P 图1‎ A B C E D F G Q P 图2‎ ‎43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G．‎ ‎（1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；‎ ‎（2）如图2，将（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′ 交BC边于F′ 点，且F′ 点与C点不重合，射线ED′ 交AD边于点M，作F′N∥ED′ 交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．‎ A B C E D F′‎ N 图2‎ M D′‎ A B C E D F G 图1‎ ‎44．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝| S1－S2|．‎ ‎（1）求∠OAB的大小；‎ ‎（2）当M、N重合时，求l的解析式；‎ ‎（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）求S与b的函数关系式。‎ A B C O N x M D y ‎2‎ ‎－2‎ ‎4‎ ‎5‎ l ‎45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点．‎ ‎（1）求证：点D在y轴上；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；‎ ‎（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′ 与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．‎ A C D B x E F G y A C D B F E G H ‎46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF．‎ ‎（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；‎ ‎（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；‎ ‎（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．‎ ‎47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；‎ ‎（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A Q y B x P O ‎48．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一（不与点A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．‎ ‎（1）当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；‎ ‎（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）‎ ‎（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ A B Q P D C ‎49．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．‎ ‎（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；‎ ‎（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）‎ A B P D C E 图2‎ A B P D C 图3‎ A B P D C E 图1‎ ‎50．已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．‎ ‎（1）如图1，求证：△AGD≌△AEB；‎ ‎（2）当α＝60°时，在图2中画出图形并求出线段CF的长；‎ ‎（3）若∠CEF＝90°，在图3中画出图形并求出△CEF的面积．‎ A B F D C E 图1‎ A B D C 图2‎ A B D C 图3‎ A B D C P Q ‎51．如图：菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是△ABD内任一点，将△BPD绕点B旋转到△BQC的位置．则：‎ ‎（1）当四边形BPDQ是平行四边形时，求∠BPD；‎ ‎（2）当△PQD是等腰直角三角形时，求∠BPD；‎ ‎（3）若∠APB＝100°，且△PQD是等腰三角形时，求∠BPD．‎ ‎52．探究问题：‎ ‎（1）方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF=EF．‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°‎ ‎∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上 ‎∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°‎ ‎∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°‎ 即∠GAF＝∠_________．‎ 又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌_________．‎ ‎∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．‎ ‎（2）方法迁移：‎ 如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝ ∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎（3）问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝ ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ C F B A D E 图②‎ C F B A D E 图③‎ C F B G A D E ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 图①‎ ‎53．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．‎ ‎（1）求 的值．‎ ‎（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．‎ A B Q C G F E P D ‎（3）当△PQG是等腰三角形时，求x的值．‎ ‎54．已知P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BE⊥AP于点E，在AP的延长线上取点F，使EF＝AE，连接BF、CF．‎ ‎（1）如图1，求证：BF＝BC；‎ ‎（2）如图2，∠CBF的平分线交AF于点G，连接DG，求证：BG＋DG＝ AG；‎ ‎（3）若正方形ABCD的边长为2，当P点为BC的中点时，求CF的长．‎ C F B A D E P 图1‎ C F B A D E P 图2‎ G ‎55．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；‎ ‎（2）如图②，在Rt△ABD中，∠EAF＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3 ，求AG，MN的长．‎ C F B A D E G 图①‎ H B A D M N 图②‎ C F B A D E P ‎56．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE，DF．‎ ‎（1）求证：∠ADP＝∠EPB；‎ ‎（2）求∠CBE的度数；‎ ‎（3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ ‎57．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8，CD＝6，P是AB边上一动点，连接DP，作PQ⊥DP，交射线BC于点E，设AP＝x，BE＝y．‎ ‎（1）当BC＝4时，‎ ‎①试写出y关于x的函数关系式；‎ ‎②若△APD是等腰三角形，求BE的长；‎ ‎③点E能否与C点重合，若能，求出相应的AP的长；若不能，请说明理由；‎ ‎（2）当BC在什么范围内时，存在点P，使得PQ经过C（直接写出结果）．‎ C D B A 备用图 C D B A 备用图 C D B A E P Q ‎58．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B，经过原点的直线l2与AB交于点C（3，），与过点A且平行于y轴的直线交于点D．E是直线AB上的动点，过点E作y轴的平行线，与直线CD交于点F，以EF为边向右侧作正方形EFGH．设E点的横坐标为t．‎ ‎（1）点求直线l1的解析式；‎ ‎（2）当点E在线段AC上时，求正方形EFGH与△ACD重叠部分的面积的最大值；‎ C D B O A x y E F G H l1‎ l2‎ ‎（3）设点M坐标为（4，），在点E的运动过程中，点M能否在正方形EFGH内部？若能，求t的取值范围；若不能，请说明理由．‎ ‎59．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．‎ ‎（1）若点F与B重合，求CE的长；‎ ‎（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；‎ ‎（3）设CE＝x，BF＝y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果即可）．‎ C D B A E F C D B A 备用图 ‎60．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．‎ ‎（1）求证：△MDC是等边三角形；‎ E A B C D M F C′‎ D′‎ ‎（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于点F时，点E、F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．‎ ‎61．如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在边AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．‎ ‎（1）求证：△EFG是等腰三角形；‎ ‎（2）设AE＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ B G A C D E F M ‎（3）在点E运动过程中，△EFG是否可以成为等边三角形？请说明理由．‎ ‎62．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD延长线上一点，且DE＝9，BE交AC于点P．‎ ‎（1）求AP的长；‎ ‎（2）试判断以点A为圆心、AP为半径的⊙A与线段BE的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．‎ ‎①求动⊙A的半径r1的取值范围；‎ ‎②当以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切时，求r2的取值范围．‎ A E P D C B A C B D F E G H ‎63．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．‎ ‎（1）求证：DH=HG=BG；‎ ‎（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．‎ ‎64．如图，点F是正方形ABCD的边CD上的动点（可与C、D重合），AE平分∠BAF交BC边于点E．‎ 点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．‎ ‎（1）求证：AF＝BE＋DF；‎ A C B D E F ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，△ABE与△ADF的面积之和为S．问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时DF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎65．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°．‎ A D B E F C ‎（1）求证：BE＋DF＝EF；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．‎ ‎66．如图，直线y＝3x＋6交x轴、y轴于B、A两点，点C在x轴上，点D的坐标为（6，6），四边形ABCD是等腰梯形．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）点P是坐标平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，求点P的坐标．‎ y x O C A B D y＝3x＋6‎ ‎67．如图，已知正方形ABCD的边长为12，对角线AC、BD相交于点O，正方形A1B1C1D1的顶点A1与点O重合，A1B1交BC于点E，A1D1交CD于点F，A1C1交BC于点G，连接EF、GF．‎ C A B EM DM GM OM B1M A1M C1M D1M FM ‎（1）求证：△A1EG≌△A1FG；‎ ‎（2）①若FG＝5，求FC的长；‎ ‎②若A1E＝2 ，求FC的长；‎ ‎（3）设FC＝x，△A1EF的面积为S，求S关于x的函数关系式；S是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎68．已知：如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△ECF；‎ C B DM EM AM FM ‎（2）设 ＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BCF？若存在，请证明并求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎69．如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．‎ A C D E F B ‎（1）求∠EBC的度数；‎ ‎（2）求CE的长．‎ ‎70．已知直线l过点A（3，7），交x轴的正半轴于点N，交y轴的正半轴于点M．‎ ‎（1）如图1，求△MON面积的最小值；‎ O N x y C D M 图2‎ A B l O N x y M 图1‎ A l ‎（2）如图2，正方形ABCD内接于△MON，边AD在直线l上，顶点B、C分别在线段OM、ON上，求此时直线l的解析式．‎ ‎71．如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点N．‎ A B E FC C D MC GC HC N K ‎（1）求证：①BG＝EF；②△DGM的周长为定值；‎ ‎（2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长．‎ ‎72．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E在边CD上（与点C、D不重合），AF⊥AE交边CB的延长线于点F，连结EF，交边AB于点G．‎ ‎（1）设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若AD＝BF，求证：△AEF∽△DEA；‎ A B EM F C DM G ‎（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？若能，求出DE的长；若不能，请说明理由．‎ A C OM B DM x y A1M C1M D1M ‎73．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D在第二象限，顶点B、C在x轴的负半轴上．将正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转，C、D、A的对应点分别为C1、D1、A1，且A1、D1、O三点在一条直线上．记点A1的坐标为（a，b）．‎ ‎（1）若∠ABA1＝30°，b＝ ‎①求正方形ABCD的边长；‎ ‎②求直线A1D1的解析式；‎ ‎（2）若∠ABA1＜90°，a、b满足a＋b＝－2，点D1与点O之间的距离为 ，求直线A1D1的解析式．‎ ‎74．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC⊥BD，垂足为O，BC＝13，设AB＝a，CD＝b，且a＋b＝34．‎ ‎（1）求：a、b的值；‎ ‎（2）设－6＜t＜6，是否存在实数m、n，使得方程组 关于x、y的解恰好为 ？若存在，请说明理由，并判断点（m，n）在第几象限？若不存在，请给予证明．‎ O D C A B ‎75．正方形ABCD中，点M、N分别在CB、DC的延长线上，且MN＝DN－BM，连接AM、AN．‎ ‎（1）如图1，求证：∠MAN＝45°；‎ ‎（2）如图2，过D作DP⊥AN交AM于点P，连接PC、求证：PA＋PC＝PD；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB＝1，C为DN的中点，如图3，求PC的长．‎ M A C B N D 图3‎ P M A C B N D 图1‎ M A C B N D 图2‎ P A C B E D P F G ‎76．正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE＝EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．‎ ‎（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；‎ ‎（2）求证：AG＋CG＝DG；‎ ‎（3）若AB＝2，P为AB的中点，求BF的长．‎ ‎77．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD．‎ ‎（1）如图1，若AB＝BC＝AC，求证：AE＝EF；‎ ‎（2）如图2，若AB＝BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；‎ E D C B A F 图3‎ ‎（3）如图3，若AB＝kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明．‎ E D C B A F 图1‎ E D C B A F 图2‎ ‎78．如图，正方形ABCD的边长为2，M是AB的中点，点P是射线DC上的动点，过P作PE⊥DM于E．‎ ‎（1）若以P、E、M为顶点的三角形与△ABM相似，求PD的长；‎ ‎（2）若以C为圆心，CP为半径的⊙C与线段DM只有一个公共点，求PD的长或PD的取值范围．‎ C B D A M P E C B D A M 备用图 ‎79．如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，∠ABE＝30°，BE＝DE，点P为线段DE上的任意一点，过点P作PQ∥BD，交BE于点Q．‎ ‎（1）若AB＝2 ，求边AD的长；‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为线段DE的中点，连接CQ，过点P作PF⊥QC于F，求线段PF的长；‎ ‎（3）试判断BE、PQ、PD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．‎ A B C D E P Q F 图2‎ A B C D E P Q 图1‎ ‎80．如图，已知点A（－2，0），B（2，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E是AD边的中点，F是x轴上一动点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC所在的直线于点G，连接FG．‎ ‎（1）当点F与点A重合时，易得 ＝ ；若点F与点A不重合时， 的值是否改变？请说明理由；‎ ‎（2）设点F的横坐标为x（－2＜x＜2），△BFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；‎ O A B x y C D E F G ‎（3）当点F在x轴上运动时，判断有几个位置能够使得以点E、F、G为顶点三角形和以点B、F、G为顶点的三角形全等？直接写出相应的点F的坐标．‎ A B O x y C M Q P H ‎81．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2 ），∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求OH的长；‎ ‎（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎（3）设PQ与OB交于点M．‎ ‎①当t为何值时，△OPM为等腰三角形？‎ ‎②求线段OM长度的最大值．‎ ‎82．如图，直角梯形OABC的直角顶点O在坐标原点，∠OAB＝60°，顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，2），点E在线段OA上（不与A重合），点F在射线AB上．将△AEF沿EF折叠，使点A落在射线AB上点A′ 处，设点E的横坐标为x，△A′ EF与梯形OABC重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）当重叠部分的图形为四边形时，求x的取值范围；‎ ‎（2）求S关于x的函数关系式；‎ ‎（3）S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，请说明理由．‎ O A x B y C ‎60°‎ 备用图 O A x E B y C F A′‎ ‎60°‎ ‎83．已知在矩形ABCD中，AB＝1，点P在对角线AC上，直线l过点P且与AC垂直，与AD相交于点E．‎ ‎（1）若AD＝a，直线l与边BC相交于点G（如图1），AP＝ AC，求AE的长（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）在（1）中，又直线l把矩形分成的两部分面积比为2 : 5，求a的值；‎ ‎（3）若AP＝ AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；‎ ‎（4）若直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AP＝ AC．设AD的长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．‎ l C B D E P 图2‎ l A C B D E P G 图1‎ ‎84．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝5，CD＝6，∠DCB＝60°，等边△PMN（N为固定点）的边长为x，边MN在直线BC上，NC＝8．将直角梯形ABCD绕点C按逆时针方向旋转到①的位置，再绕点D1按逆时针方向旋转到②的位置，如此旋转下去．‎ ‎（1）将直角梯形按此方法旋转四次，如果等边△PMN的边长为x≥5＋3 ，求梯形ABCD与等边△PMN 重叠部分的面积；‎ ‎（2）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形重叠部分的面积为 ，求等边△PMN的边长x的取值范围；‎ A D C BM PM lM ‎①‎ ‎②‎ MM NM ‎③‎ B1M D1M A1M ‎（3）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形重叠部分的面积是梯形面积的一半，求等边△PMN的边长x．‎ ‎85．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点M是AD的中点，点E是边AB上的一动点．连结EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连结EG，交边DC于点H．设AE的长为x，△MEG的面积为y．‎ ‎（1）求sin∠MEG的值；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设线段MG的中点为N，连结CN．是否存在x的值，使得以N、C、G为顶点的三角形与△EFH相似？若存在，求x和y的值；若不存在，请说明理由．‎ E F D C A B G M H D C A B M 备用图 ‎86．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋b（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0）、N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．‎ D A O CM B xM yM P MM NM ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）求S与b的函数关系式；‎ ‎（3）若在直线y＝－ x＋b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM＝90°，求b的取值范围；‎ ‎（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，求所有符合条件的b值．‎ 八、圆 C A D B P E O ‎1．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．‎ ‎2．已知△ABC内接于⊙O，BT与⊙O相切于点B，点P在直线AB上，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．‎ ‎（1）如图，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB＝PE·PF；‎ ‎（2）当点P在BA延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ C A B E P O F T ‎（3）若AB＝4 ，cos∠EBA＝ ，求⊙O的半径．‎ ‎3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．‎ ‎（1）求sinA和sinC的值；‎ ‎（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．‎ A B C D ‎4．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、F．AD与BE相交于点G，连接BD．‎ A B C O D E G F ‎（1）求BD的长；‎ ‎（3）求 的值．‎ A C B D G F E O H ‎5．梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O切CD于点E．‎ ‎（1）如图1，设AD＝x，BC＝y，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如图2，BE的延长线交AD的延长线于点F，求证：AD＝ AF；‎ A B C O D E F 图2‎ A B C O D E M P Q 图3‎ A B C O D E 图1‎ ‎（3）如图3，若AD＝2，BC＝8，动点P以每秒1个单位长的速度，从点B沿线段BC向点C运动；同时动点Q以相同的速度，从点D沿折线D－A－B向点B运动．当点P到达点C时，两点同时停止运动．过点P作直线PM⊥BC与折线B－D－C的交于点M．设点P运动的时间为t（秒）．点P在线段BC上运动时，是否可以使得以D、M、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求出t的值；若不可以，请说明理由．‎ ‎6．已知：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，⊙A与⊙B外切于点D，并分别与BC、AC边交于点E、F．‎ A B C D E F ‎（1）设EC＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若以E、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求 的值；‎ ‎（3）若⊙C与⊙A、⊙B都相切，求 的值．‎ ‎7．如图，已知∠ABC＝90º，AB＝BC，直线l与以BC为直径的⊙O相切于点C，点F是⊙O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．‎ A B C D E F O l ‎（1）如果BE＝15，CE＝9，求EF的长；‎ ‎（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD＝CE；‎ ‎（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC＝CD，请说明你的理由．‎ ‎8．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx＋3．‎ ‎（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；‎ ‎（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；‎ ‎（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．‎ C A B O x y M D l P N ‎9．已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、O、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．‎ ‎（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r 2；‎ C A B O F D P E G ‎（图1）‎ C A B O D E G ‎（图2）‎ ‎（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以图2点E的位置为例，（1）中的结论是否成立？请说明理由．‎ C A B O D E F ‎10．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．‎ ‎（1）求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．‎ C A B O D E F M P ‎11．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接DB，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求证：EM是⊙O的切线；‎ ‎（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45º时，求图中阴影部分的面积．‎ ‎12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．‎ ‎（1）求证：△ABC∽△OFB；‎ ‎（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；‎ ‎（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．‎ O A B C P Q F N M D E ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．‎ O A B C P Q ‎（1）当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．‎ ‎14．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30° ，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．‎ ‎（1）弦长AB等于___________（结果保留根号）；‎ ‎（2）当∠D＝20° 时，求∠BOD的度数；‎ A O B C D ‎（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．‎ A O B C D E F M ‎15．如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点M，分别交AB、AD于点F、E．‎ ‎（1）求证：DE＝AF；‎ ‎（2）若⊙O的半径为 ，AB＝＋1，求 的值．‎ ‎16．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．‎ ‎（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？‎ ‎（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB＝5cm，BC＝10cm，求小圆的半径．‎ A O B C D N M C P O D A B Q T ‎17．如图，AB是⊙O的直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，Q为线段CP的中点，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．‎ ‎（1）求证：BC∥OT；‎ ‎（2）若⊙O直径为10，CD＝8，求AT的长；‎ ‎（3）延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD＝8，求TR的长．‎ ‎18．A B C O D E F 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：AE＝CE；‎ ‎（2）若CF＝CD＝2，求⊙O的半径和sin∠CAB的值；‎ ‎（3）若CF＝k·CD（k＞0），直接写出sin∠CAB的值（用含k的代数式表示）．‎ ‎19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），PQ⊥AB，垂足为Q．设PC＝x，PQ＝y．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求△ABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与内切圆I相切？‎ ‎（3）若0＜x＜1，试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相内切，若能，求出相应的x的值，若不能，请说明理由．‎ A B C I P Q ‎20．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．‎ ‎（1）证明：B、C、E三点共线；‎ ‎（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝ OM；‎ ‎（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（如图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝ OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．‎ 图2‎ A B O C D1‎ E1‎ M1‎ N1‎ 图1‎ A B O C D E M N C A B DM O PM EM FM GM ‎21．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC＝2，P是线段OA上一动点，连结PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连结DF交AB于点G．‎ ‎（1）当P是OA的中点时，求PE的长；‎ ‎（2）若∠PDF＝∠E，求△PDF的面积．‎ ‎22．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥BC，交AB于点F，ED、CA的延长线相交于点G．‎ ‎（1）求证：∠OBF＝∠G；‎ ‎（2）若OF＝1，GF＝3，求⊙O的半径；‎ ‎（3）当是什么类型的弧时，△AFG的外心在△AFG的外部、内部、一边上？说明理由．‎ A B O C F E D G ‎23．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的直径；‎ ‎（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．‎ A B O C D E 图1‎ A B O C D E 图2‎ ‎24．已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△ADE；‎ ‎（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF 、S△BAE ，求证：S△DAF ＞S△BAE ．‎ A B D C E O F ‎25．A B D C O E F 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且AB＝3CD，且∠COD＝60°．‎ ‎（1）求大圆的半径；‎ ‎（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长．‎ A B D C O E F ‎26．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E， F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O经过点E．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC＝4，cosC＝ ，求⊙O的半径．‎ A B D C O E P ‎27．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC．‎ ‎（1）求证：BC 2＝BD·BA；‎ ‎（2）若AC＝6，DE＝4，求PC的长．‎ ‎28．如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．‎ ‎（1）若AC＝3，求点B的坐标；‎ ‎（2）若AC＝a，D是OB的中点．问：O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数y＝ 的图象经过点O1，求k的值（用含a的代数式表示）．‎ y O x C A P B D 备用图 y O x C A P B D A B C D E O F P ‎29．己知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．‎ ‎（1）求证：∠DAC＝∠DBA；‎ ‎（2）求证：P是线段AF的中点；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，AF＝ ，求tan∠ABF的值．‎ ‎30．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．‎ O C A D B E ‎（1）求证：直线AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．‎ ‎31．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．‎ O A B D C E F ‎（1）求证：D是的中点；‎ ‎（2）求证：∠DAO＝∠B＋∠BAD；‎ ‎（3）若 ＝ ，且AC＝4，求CF的长.‎ A B C E O D F ‎32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果∠A＝60º，则DE与DF有何数量关系？请说明理由；‎ ‎（3）如果AB＝5，BC＝6，求tan∠BAC的值．‎ ‎33．已知AB为⊙O直径，以OA为直径作⊙M，过点B作⊙M的切线BC，切点为C，交⊙O于E．‎ ‎（1）在图中1过点B作⊙M的另一条切线BD，切点为D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；‎ ‎（2）证明：∠EAC＝∠OCB；‎ ‎（3）若AB＝4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值．‎ O A B C E M 图2‎ P O A B C E M 图1‎ O A D C E F B G ‎34．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果⊙O的半径是6cm，EC＝8cm，求GF的长．‎ ‎35．如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．‎ ‎（1）求证：△AOB∽△BDC；‎ A O B C D E ‎（2）设大圆的半径为x，CD的长为y．‎ ‎①求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当BE与小圆相切时，求x的值．‎ ‎36．如图1，∠ABC＝90°，AB＝2，点D为BC边上的一个动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，过点E作EF⊥BC于F．‎ ‎（1）当BD＝ 时，判断直线EF与以AD为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；‎ A D B E F C G 图2‎ O ‎（2）如图2，点D在BC上向点B运动，直线EF与以AD为直径的⊙O交于E、G两点，连接AG，当∠EAG＝∠DAE时，求BD的长．‎ A D B E F C 图1‎ ‎37．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的⊙O交边CD于点E，连接OE，过点E作⊙O的切线交边BC于点F．‎ ‎（1）求证：△ODE∽△ECF；‎ ‎（2）设DE＝x，求OA的长（用含x的代数式表示）；‎ ‎（3）在点O运动的过程中，设△CEF的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？‎ A D B C E O F ‎38．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为___________；‎ 位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是___________；‎ ‎（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；‎ ‎（3）求半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；‎ ‎（4）求OA的长．‎ ‎[（2），（3），（4）中的结果保留π]‎ A P P Ⅴ O N P P N N Ⅳ N Ⅲ Ⅰ P Ⅱ M M M M ‎39．已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，点C是⊙O上的一点．‎ ‎（1）如图，如果AP＝2PB，PB＝BO，求证：△CAO∽△BCO；‎ ‎（2）如果AP＝m（m是常数且m＞1），BP＝1，且OP 2＝OA·OB．当点C在⊙O上运动时，求AC : BC的值（结果用含m的式子表示）；‎ P O A B C ‎（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的⊙B和以CA为半径的⊙C的位置关系，并写出相应的m取值范围．‎ ‎40．已知，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切线，切点为T．‎ ‎（1）如图1，当C点运动到O点时，求PT的长；‎ ‎（2）如图2，当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；‎ ‎（3）如图3，设PT 2＝y，AC＝x，求y与x的函数关系式及y的最小值．‎ O B A T P 图3‎ C O B A T P ‎(C)‎ 图1‎ O B A T P ‎(C)‎ 图2‎ ‎41．已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2，P是AB的中点．‎ ‎（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，在、上分别取点E、F，使∠AO1E＝∠BO2F，则有结论：①△PO1E≌△FO2P，②四边形PO1CO2是菱形．请给出结论②的证明；‎ ‎（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；‎ ‎（3）如图3，若PC是⊙O1的切线，求证：AB 2＝BC 2＋3AC 2．‎ O1‎ A B C P O2‎ 图3‎ O1‎ A B C P F E O2‎ 图2‎ O1‎ A B C P F E O2‎ 图1‎ ‎42．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2 ），B（－2，0）．‎ ‎（1）求C，D两点的坐标；‎ ‎（2）求证：EF为⊙O1的切线；‎ ‎（3）探究：如图2，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ A B C O D x y 图2‎ A B C E O F D O1‎ x y 图1‎ A B C E O P D ‎43．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．‎ ‎（1）求证：PB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tan∠ABE＝ ，求sinE的值．‎ A B C E F D M ‎44．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．‎ ‎（1）求证：△ABD为等腰三角形；‎ ‎（2）求证：AC·AF＝DF·FE．‎ ‎45．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．‎ ‎（1）如图1，若AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；‎ ‎（2）如图2，若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；‎ ‎（3）如图3，若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立．‎ A B C O1‎ D O2‎ 图3‎ A B C O1‎ D O2‎ 图2‎ A B C O1‎ D O2‎ 图1‎ ‎46．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．‎ ‎（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ A B C X Y 图2‎ A B C 图1‎ ‎（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．‎ ‎47．如图，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆O的直径，EF⊥BC于点F．‎ A B C E F D O ‎（1）求证：BF=CD；‎ ‎（2）若CD＝1，AD＝3，BD＝6，求⊙O的直径．‎ ‎48．A B C D E 如图，线段AD＝5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB＝x．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，则x＝____________；‎ ‎（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．‎ ‎49．已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ A B C E F D O K H G ‎（1）求证：AE＝CK；‎ ‎（2）如果AB＝a，AD＝ a（a为大于零的常数），求BK的长；‎ ‎（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．‎ ‎50．如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O′ 是以点O′（2，－2）为圆心，半径为2的圆，⊙O″ 是以点O″（0，4）为圆心，半径为2的圆．‎ ‎（1）将⊙O′ 竖直向上平移2个单位，得到⊙O1，将⊙O″ 水平向左平移1个单位，得到⊙O2（如图2），分别求出⊙O1和⊙O2的圆心坐标；‎ ‎（2）两圆平移后，⊙O2与y轴交于A、B两点，过点A、B分别作⊙O2的切线，交x轴与C、D两点，求△O2AC和△O2BD的面积．‎ y O x O′‎ O″‎ 图（1）‎ y O x O1‎ D C A B O2‎ 图（2）‎ ‎51．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．‎ ‎（1）求证：OB⊥OC；‎ ‎（2）若AD＝12，∠BCD＝60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．‎ O1‎ O A B D C M O B A D E F C ‎52．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F，交⊙O于E，连接DE、BE、BD、AE．‎ ‎（1）∠C＝∠BED；‎ ‎（2）如果AB＝10，tan∠BAD＝ ，求AC的长；‎ ‎（3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积．‎ A B C P M ‎53．如图，点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点．‎ ‎（1）求∠BPC的度数；‎ ‎（2）求证：PA＝PB＋PC；‎ ‎（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．‎ A B C D O E F ‎54．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动（点D不与B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒．‎ ‎（1）用含t的代数式表示△DEF的面积S；‎ ‎（2）当t为何值时，⊙O与直线BC相切？‎ O A B C G E H D ‎55．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．‎ ‎（1）求证：AC⊥BH；‎ ‎（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．‎ O A B C E F D ‎56．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F．‎ ‎（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；‎ ‎（2）求证： ＝ ；‎ ‎（3）若BC＝ AB，求tan∠CDF的值．‎ ‎57．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．‎ O A B C D E P O A B C E F D P y x ‎58．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC．‎ ‎（1）求证：∠ACF＝∠ADB；‎ ‎（2）若点A到BD的距离为m，BF＋CF＝n，求线段CD的长；‎ ‎（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．‎ ‎59．一量角器的直径与含30°的较长直角板的直角边重合，且直角板Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝6，量角器半⊙O从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，半⊙O分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，半⊙O停止运动，此时半⊙O恰好与AB相切，设半⊙O平移的时间为t．‎ ‎（1）求半⊙O的半径；‎ ‎（2）用含t的代数式表示MN的长；‎ O A B C F MM N E O A B C F ‎(E)‎ ‎（3）求BN的最大值．‎ ‎60．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝4，AD＝CD＝5．E为底边BC上的动点，以点E为圆心，BE为半径的⊙E交线段DE于点F．‎ ‎（1）当点F在线段DE上时，设BE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式；‎ A B C F E D ‎（2）当以CD直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；‎ ‎（3）连接AF、BF，当△ABF为等腰三角形时，求x的值．‎ ‎61．如图，四边形ABCD内接于圆，∠D＝90°，AB＝BC，CD＝4，AC＝8，O是AC的中点．‎ A B C DM OM ‎（1）设P是AB上的动点，求OP＋PC的最小值；‎ ‎（2）设Q、R分别是AB、AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．‎ ‎62．A B O DM C EM FM 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，AB＝CD，E是DA延长线上一点，AB 2＝AE·BC，BE和CA的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC＝18，CD＝12，AF＝16，求BE和AD的长．‎ ‎63．如图，△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上一点（不与点A、C重合），延长BD至E．‎ ‎（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；‎ ‎（2）若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋ ，求△ABC外接圆的半径．‎ A B C D E A B C E D H F G ‎64．如图，在△ABC中，高AE与CD相交于点H，以DE为直径的圆分别与AB、AC交于点F、G，连接BH．已知AC＝25，CD＝20，CE＝7．‎ ‎（1）求DE的长；‎ ‎（2）求证：BH⊥FG．‎ ‎65．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，且AC＝PC ‎，∠BOC＝2∠BCP．‎ C OM A B PM MM ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求∠P的度数；‎ ‎（3）设M是的中点，若⊙O的半径为2，求线段BM、CM及劣弧BC所围成的阴影部分的面积．‎ C D A B E F O ‎66．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在斜边BC上，BD＝4DC，⊙O过点C且与AB相切于AB的中点E，与AC相交于点F．‎ ‎（1）求证：AD⊥BF；‎ ‎（2）若AB＝4，AC＝2，求⊙O的半径．‎ ‎67．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交OF于点E．‎ C D F A B O E ‎（1）求证：OF⊥BD；‎ ‎（2）若AB＝ ，DF＝ ，求AD的长．‎ ‎68．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C是⊙O2上一点，CA的延长线交⊙O1于点D，CB交⊙O1于点E，DE的延长线交⊙O2于点F，BG∥DF交⊙O2于点G．‎ O1‎ C D E A B O2‎ F G ‎（1）求证：CB＝CG；‎ ‎（2）若CA＝4，AD＝2，求CF的长．‎ C D E A B F G O ‎69．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O与AB切于点D，与BC交于点E，且BD＝2，BE＝1．‎ ‎（1）求△ACD的面积；‎ ‎（2）若F是线段EC上一动点，过F作FG⊥AB于G，设AG＝x，OF＝y，求y与x之间的函数关系式．‎ C F O D A B E G ‎70．如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥AB交⊙O于点E，OC∥AE交⊙O的切线BC于点C，AC与DE相交于点F．‎ ‎（1）求证：DF＝EF；‎ ‎（2）延长CO交ED的延长线于点G，当点G在⊙O上时，求sin∠ACO的值．‎ ‎71．如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，点D在上运动（与点A、C不重合），AD的延长线与BC的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）设AD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ C D A B O E ‎（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDE成为以BE为底边的等腰三角形？若存在，求AD的长；若不存在，请说明理由．‎ A C B D F O G E ‎72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为三角形外的一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，与边BC交于点E，直径DF与边BC交于点G，连结AG．‎ ‎（1）求证：DE∥AG；‎ ‎（2）当AB＝10，AC＝6，AD＝ 时，求⊙O的半径．‎ ‎73．如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，AC与BD相交于点E，且AB＝5，sin∠CAB＝ ．‎ A C B D E O ‎（1）设CE＝m， ＝k，试用含m的代数式表示k；‎ ‎（2）当AD∥OC时，求CE的长．‎ ‎74．据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A东偏南θ（cosθ＝ ）方向300km的海面B处，正以20km/h的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？‎ 北 东 A θ ‎45°‎ B A F C B D E O ‎75．如图，点D为锐角三角形ABC外接圆的圆心，过A、B、D三点的⊙O交AC、BC于E、F，且EF＝CD．‎ ‎（1）求证：CD⊥EF；‎ ‎（2）求证：AB是⊙O的直径．‎ ‎76．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，直径AD交BC于点F，E是OF的中点，且BE∥DC．‎ A D F C B O E ‎（1）求证：AF＝5DF；‎ ‎（2）若BC＝2 ，求CD的长．‎ A C B E D F O G ‎77．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，E是OC的中点，AE的延长线交⊙O于点F，DF交BC于点G．求证：G是BC的中点．‎ A C B E D F G O ‎78．△ABC的内切圆⊙O分别切AB、BC、CA三边于D、E、F，G是DF上一点，且EG⊥DF，求证：EG平分∠BGC．‎ A E B O D C ‎79．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，且AC＝AB＝2，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．求AE的长．‎ A D B O M C ‎80．如图，已知⊙O的半径为3，点M为⊙O内的一个定点，OM＝，AB、CD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M．‎ ‎（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；‎ ‎（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．‎ A B C E F O D G M N ‎81．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点M、N．‎ ‎（1）求证：M是△ACN的外心；‎ ‎（2）若⊙O的半径为 ，CE＝16，求CN的长．‎ D A B C E F O ‎82．如图，AB是⊙O的直径，以点A为圆心作⊙A，交⊙O于C、D两点，△ACE内接于⊙O，AE交CD于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：AC 2＝AE·AF ‎（2）若AB＝15，AC＝3，CF : DF＝1 : 3，求AE和DE的长．‎ ‎83．如图，AB是⊙O的直径，点P是半径OA上的动点，MP⊥AB交⊙O于C，MD切⊙O于D，MP＝2．‎ ‎（1）当PC＝OA时，MD＝2，求⊙O的半径；‎ ‎（2）设MD 2＝y，AP＝x，求y与x之间的函数关系式；‎ O A B C D M P ‎（3）△MPD能否成为以MP为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△MPD的面积；若不能，请说明理由．‎ ‎84．在平面直角坐标系中，已知点A（－ ，0），B（，0），点P在直线y＝ (x＋4)＋1上运动，当∠APB最大时，求PA : PB的值．‎ ‎85．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12，E是边CD上一点，且CE : ED＝5 : 4．设过A、B、C、E四点的⊙O1的半径为R1，过A、C、C三点的⊙O2的半径为R2，且边BC与⊙O2相切．‎ A B C E O1‎ O2‎ D ‎（1）求边CD的长；‎ ‎（2）求R1 : R2的取值范围．‎ ‎86．如图，BC是半圆O的直径，点A、F在半圆O上，AD⊥BC于D，＝，BF交AD于点E．‎ B C O EM FM A DM ‎（1）求证：AE＝BE；‎ ‎（2）求证：AF 2＝BE·BF；‎ ‎（3）若AD＝2，BD＝1，求tan∠FBC的值．‎ A B O1‎ O2‎ O ‎87．如图，扇形AOB中，OA＝1，∠AOB＝90°，半圆⊙O1的圆心O1在OA上，并与 内切于点A，半圆⊙O2的圆心O2在OB上，并与内切于点B，半圆⊙O1与半圆⊙O2相切．设两圆半径之和为x，面积之和为y．‎ ‎（1）写出y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）求函数y的最小值．‎ ‎88．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．‎ A B C E O D F ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，sin∠F＝ ，求DE的长．‎ ‎89．如图，⊙O中弦AB⊥CD，垂足为E，过E作AC的垂线，垂足为F，交BD于G．‎ A B C E O D F G ‎（1）探究BD与EG之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）连接OG，若CE＝4，DE＝6，BD＝10，求OG的长．‎ O D E F C A B G H P Q ‎90．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，P为上一点，连接AP分别交OC、CD、BC于点F、G、H，连接DP交BC于点Q．‎ ‎（1）若P为 中点，求证：CG＝CH；‎ ‎（2）若F为OC中点，求证：BQ＝CQ．‎ O D G C A B F E ‎91．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，过D作DG⊥AC于G，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：FG是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DF＝5，DG＝3，求EC的长．‎ ‎92．如图，已知AB是半圆O的直径，C在半圆O上，CD⊥AB于D，E在CD上，⊙E与AB相切于点C，与半圆O相切于点F，若AB＝6，CD＝，求：（1）⊙E的半径；（2）阴影部分的面积．‎ D E F C A B O ‎93．如图，AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，OC∥AD，DE⊥AB于E，交AC于点F．‎ O D E F C A B ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AE＝2，BE＝4，求sin∠DAC和sin∠DCA的值．‎ O D E F B A C ‎94．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC上一点，若AE∥BC，AE＝EC，BE交AC于F．‎ ‎（1）求证：AB＝AD；‎ ‎（2）若AD＝6，AE＝7，求BE的长．‎ ‎95．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点E在CB的延长线上，且∠BAE＝∠ADB，DF⊥BC于点F，交⊙O于点G，DG＝8．‎ C A O B DM FM EM GM ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若上有一动点P，且AD＝ ，sin∠CPG＝ ，求tan∠ABD的值．‎ ‎96．C A O B DM EM FM 如图，在△BCD中，∠CBD＝90°，E是CD的中点，⊙O经过B、D、E三点，CB的延长线交⊙O于点A，过A作⊙O的切线，交DC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：AC＝AD；‎ ‎（2）若CE＝CF＝2，求⊙O的直径；‎ ‎（3）若 ＝n，求sin∠CDB的值．‎ C A O B EM DM FM ‎97．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接AE、OD、DE，AE与OD相交于点F．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB＝10，OF＝2，求AD的长；‎ ‎（3）当四边形AOED是平行四边形时，求sin∠CAE的值．‎ C A O B EM DM FM ‎98．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，点D在 上（不与A、C重合），CE⊥AD于E，CF⊥BD于F．‎ ‎（1）求证：四边形CEDF是正方形；‎ ‎（2）若AD＝－ ，BD＝＋ ，求阴影部分的面积．‎ C A B DM O EM FM ‎99．如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边BC为半径作，E为BC延长线的上一点，且CD、CE的长是方程x 2－2( ＋1)x＋4＝0的两根，其中CD＜CE．连结DE交⊙O于点F．‎ ‎（1）求EF的长；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ C A B DM O EM FM ‎100．如图，以正方形ABCD的边BC为直径，在正方形内作半圆O，过A作半圆O的切线AF，切点为E，AF交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求sin∠F的值；‎ ‎（2）若AB＝4，求EC的长．‎ C A B EM O DM FM ‎101．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AE＝4，cos∠ABF＝ ，求BC的长．‎ C A B EM O DM FM GM ‎102．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点G，∠C的平分线交⊙O于点D，点E在BC上，AE交BD于点F，∠CAD＝∠EAD．求证：DF＝DG．‎ C B DM EM O AM ‎103．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，点O在线段AD上，以O为圆心、OD为半径的⊙O与AB相切于点E，且ED∥AC．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△ACD；‎ ‎（2）若ED＝1，tan∠ADE＝ ，求AC、BD的长．‎ O2‎ C D E A B O1‎ F G H ‎104．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O1过A、B两点，交AC、BC于D、E，⊙O2过C、D、E三点，EF⊥AC于F，FE的延长线交⊙O1于G，AG交BC于H．‎ ‎（1）求证：EF过⊙O2的圆心O2；‎ ‎（2）若BH＝6，CD＝ ，EC＝4，求AG的长．‎ ‎105．如图，以矩形ABCD的边AB为直径的半圆交CD于E、F两点，CP切半圆于P，PQ⊥AB于Q．设AQ＝m，BQ＝n．‎ ‎（1）用含m、n的代数式表示PC的长；‎ ‎（2）求证：直线AC平分线段PQ；‎ ‎（3）求证：tg∠EBC和tg∠FBC是方程 x 2－2 x＋＝0的两个根．‎ B C D A F P Q E ‎106．如图，已知∠AOB＝30°，C为OB上一点，OC＝ ，DC⊥OB于C，交OA于D，以D为圆心，DC为半径作⊙D交OA于E、F两点，M为线段OF上一点（不与点O、E重合），过M作MN⊥OA于M，交OB于N，设OM＝x，四边形CEMN的面积为S．‎ ‎（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若四边形CEMN的面积是△EOC面积的5倍，判断此时△CMN的形状，并说明理由．‎ C D A B O E F M N ‎107．如图，点A、B在半径为5的⊙O上，∠AOB＝90º，点C是上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC＝x，BD＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD＝ OB时，求⊙O1的半径；‎ ‎（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．‎ A B D C O O A B x y C M D ‎108．如图，点M在y轴上，半径为 的⊙M交x轴于A、B两点，且AB＝4．连结BM并延长交⊙M于点C，过点C的直线y＝2x＋b交x轴于点D．‎ ‎（1）求点B、M、C的坐标；‎ ‎（2）求证：CD是⊙M的切线；‎ ‎（3）若二次函数y＝－x 2＋(a＋1)x＋6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数小于值一次函数y＝2x＋b值的x取值范围．‎ ‎109．如图1，⊙M的直径AB在y轴的正半轴上，且点A与原点O重合，点C是y轴右侧半圆上的一点，AC＝1，BC＝2．点A由O点开始沿x轴的正半轴滑动，点B随之沿着y轴向原点O滑动（如图2），当点B滑动至与原点O重合时运动结束．‎ ‎（1）在运动过程中，⊙M始终经过原点O，请说明理由；‎ ‎（2）设点C的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）求点C在整个运动过程中所经过的路径的长．‎ C M O B x y ‎(A)‎ 图1‎ C M O B x y A 图2‎ ‎110．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O2的切线交⊙O1于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点F．‎ ‎（1）求证： ＝ ‎（2）当AE与⊙O1相切，且AF＝6，CF＝2，DF＝3时，求AE的长；‎ ‎（3）当⊙O1与⊙O2为等圆，且CF : CD : DF＝3 : 4 : 5时，求S△AEF : S△CDF ．‎ O1‎ C D E A B O2‎ F ‎111．如图，P是射线y＝ x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴相切于C点．‎ ‎（1）若⊙P的半径为5，求点P、A的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求以点P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式；并判定该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，说明理由；‎ ‎（3）是否存在直线l，当点P在射线y＝ x（x＞0）上运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．‎ A B O PM x y y＝ x（x＞0）‎ CM ‎112．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴正半轴交于点A，P是x轴上位于点A右侧的一动点，PB切⊙O于点B．‎ ‎（1）当PB＝4时，求PA的长；‎ ‎（2）若点C在⊙O上，且△PBC为等边三角形，求点C的坐标；‎ ‎（3）⊙O上是否存在点Q，使得△PBQ是以PB为底的等腰三角形，且PB最长？若存在，求点Q的坐标，并求出此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A O x y 备用图 A B O PM x y A O x y 备用图 ‎113．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝BC＝4．P为BC上一动点，过P作PD⊥BC分别交AB、OC于D、E．‎ ‎（1）若PC＝1，求△ODE的面积；‎ ‎（2）若PC＝a（0＜a＜2），△PCE、△ODE的面积分别为S1、S2．‎ ‎①若S1＝S2，求a的值；‎ A B O PM D CM E ‎②若S＝S1＋S2，是否存在这样的实数a，使得S ＜ ？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎114．如图1，直线l与⊙O交于E、F两点，AB是⊙O的直径，且直线l与直径AB不相交．过点A、B分别作直线l的垂线，垂足为C、D，易证CE＝DF．‎ ‎（1）若直线l与直径AB相交（如图2），CE＝DF是否仍然成立？请给出证明；‎ ‎（2）若CD＝7，CE＝BD－AC＝1‎ ‎①求AC、BD的长；‎ ‎②除E、F两点外，在线段CD上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与以P，B，D为顶点的三角形相似？若存在，请求出CP的长；若不存在，请说明理由．‎ C A O B DM FM EM lM 图2‎ C A O B DM FM EM lM 图1‎ ‎115．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AB＝5，AC＝12，∠BAC＝90°，P是⊙O上的动点，且P、C两点在BC的两侧，AP与BC相交于点D，QA⊥AP交PC的延长线于点Q．‎ ‎（1）当点P与点A关于BC对称时，求PQ的长；‎ ‎（2）当点P是 的三等分点时，求PQ的长；‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，AQ最大，并求此时PQ的长．‎ A C OM B 备用图 A P QM C OM B DM ‎116．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙P经过原点O，交x的正半轴于点M（2m，0），交y轴的负半轴于点D，过点P作x轴的垂线，交⊙P于点A、C，将劣弧OAM沿x轴翻折，得弧OBM．‎ ‎（1）当m＝4时 ‎①填空：点B的坐标为_________，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________；‎ ‎②若以B为顶点且过D点的抛物线交⊙P于另一点E，求此抛物线的函数关系式并写出点E的坐标；‎ ‎③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点？说明理由．‎ O A B x y C D P M ‎（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎117．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ACB＝90°，AC＝2，D为BC上一点，以CD为直径的半圆O交AB于E、F两点，且F为AB的中点．‎ O A B C E D F ‎（1）求CE、AE的长；‎ ‎（2）求证：BD的长是方程x 2＋4x－(10＋8)＝0的一个根．‎ M C FM B OM A DM E ‎118．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连结BC，M是CE的中点，连结BM并延长交过A点的切线于点F，连结OF并延长交直线CD于点G．‎ ‎（1）求证：FG∥BC；‎ ‎（2）若AB＝10，CD＝8，求AF、FG的长．‎ O A C B D ‎119．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．‎ ‎（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB＝8，BC＝10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．‎ ‎120．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，正方形DEFG的一边EF在AB上，另一边FG过△ABC的内切圆圆心O1，且点G在半圆弧上．设正方形DEFG的边长、半圆O的半径、⊙O1的半径分别为a、R、r．‎ G O D E F C A B O1‎ ‎（1）若正方形DEFG的顶点D在半圆上，求a : R : r；‎ ‎（2）若a＝10，r＝4，求R的值．‎ G D E F C A B O O1‎ ‎121．如图，AB是⊙O的直径，⊙O1与⊙O内切于点C，且与AB相切于点D，AC交⊙O1于点E，EF⊥AB于F，交⊙O于点G．‎ ‎（1）求证：GF是⊙O1的切线；‎ ‎（2）求证：AD＝AG；‎ ‎（3）若AB＝10，AG＝8，求⊙O1的半径和AC的长．‎ ‎122．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角边OA、OB分别在x轴、y轴上，点M（，）在斜边AB上，且MA＝MB．‎ ‎（1）求△AOB的内切圆⊙O1的半径r1；‎ M（，）‎ y x A O O1‎ O2‎ B ‎（2）若⊙O2与⊙O1、AB边、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、AB边、y轴分别相切，…，求圆心O2011的坐标．‎ ‎123．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于点E，使∠BDE＝∠A．以D为圆心，DC长为半径作⊙D．‎ ‎（1）设点BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；‎ D E C A B ‎（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长；‎ ‎（3）以E为圆心，AE长为半径作⊙E，若⊙D与⊙E相切，求BD的长．‎ ‎124．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，O是BC边上的点，且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．点F为上的一个动点（不与点D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH F A B C O E D G H ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求∠GOH的度数；‎ ‎（3）设BG＝x，阴影部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？‎ ‎125．如图，⊙P与⊙Q外切于点N，经过点N的直线AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以经过⊙P的直径AC所在直线为y轴，经过点B的直线为x轴，建立直角坐标系．‎ ‎（1）求证：OB是⊙Q的切线；‎ ‎（2）如果OC＝CP＝PA＝2，⊙Q在始终保持与⊙P外切、与x轴相切的情况下运动，设点Q的坐标为（x，y），试求y与x之间的函数关系式；‎ A B C y O P x Q N ‎（3）在（2）的条件下，设M是所求函数图象上的任意一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，连结PE、PM．问是否存在△PEO与△PMF相似？若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎126．如图，直线AB经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，AB＝4，半径OC的延长线与过点B的直线交于点D，OC＝CD，BC＝ OD，点Q为⊙O上一动点．‎ ‎（1）若∠BCQ＝45°，求弦CQ的长．‎ ‎（2）在点Q运动的过程中，CQ与直线AB相交于点P，当PO为何值时，△BCQ是等腰三角形？‎ A B C O D P Q ‎（3）当Q点运动时，是否存在点P，使得QP＝QO？若存在，满足条件的点P有几个？并求出相应的∠BCP的大小；若不存在，请说明理由．‎ ‎127．半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于A、B两点，且∠O1AO2＝120°，点C为⊙O1上异于点A、B的动点，直线AC与⊙O2交于点D，直线O1C与直线O2D交于点E．‎ ‎（1）如图1，求∠CED的大小；‎ ‎（2）当点C在⊙O1上运动时，是否存在∠CED的大小不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠CED的大小；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠CED的大小同于（1）中结论；‎ ‎（3）当点C在⊙O1上运动时，若△CAO1与△DAO2相似，求线段CD的长．‎ O1‎ A B O2‎ 备用图 O1‎ C D E A B O2‎ 图1‎ O1‎ A B O2‎ 图2‎ ‎128．如图1，在边长为1的正方形ABCD内，两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切，设⊙O1与⊙O2的半径分别为r1、r2．‎ ‎（1）求r1与r2的关系式；‎ ‎（2）求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．‎ ‎（3）如图2，若将正方形ABCD改为一个长为 ，宽为1的矩形，其它条件不变，则⊙O1与⊙O2面积之和是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ O1‎ A B C D O2‎ 图1‎ O1‎ A B C D O2‎ 图2‎ O A x B y C D ‎129．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB为等边三角形，点A坐标为（2，0），点B在第一象限，△AOB的外接圆交y轴于另一点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．‎ ‎（1）求B，C两点的坐标；‎ ‎（2）求直线CD的解析式；‎ ‎（3）设E、F别是线段AB、AD上的两个动点 ‎①当EF平分四边形ABCD的周长时，求△AEF的最大面积；‎ ‎②当EF平分四边形ABCD的面积时，求△AEF的最小周长．‎ ‎130．如图，点P是半圆O的直径BA延长线上的动点（不与点A重合），以PO为直径的半圆C与半圆O交于点D，∠DPB的平分线与半圆C交于点E，过E作EF⊥AB于点F，EG∥PB交PD于点G，连接GA．‎ ‎（1）求证：PD是半圆O的切线；‎ O B A F E G D C P ‎（2）求证：EF＝ AB；‎ ‎（3）当GA与半圆O相切时，求tan∠POE的值．‎ ‎131．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．‎ ‎（1）连结PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（2）当点P在BC上运动时，是否存在t的值，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以点P为圆心作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切，是否存在这样的t值，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．‎ C A B P D Q C A B D 备用图 C A B D 备用图 ‎132．如图，在直角坐标系中，矩形OABC内接于⊙M，AB＝3，BC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，过点A作⊙M的切线交x轴于点D．‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）点E为线段CD上的一点，连接AE，若AE平分四边形ABCD的面积，求点E的坐标；‎ ‎（3）若点P为线段AD上的一个动点（不与点A、D重合），且直线PE平分四边形ABCD的周长．设点P纵坐标为t，△PDE的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；直线PE能否将四边形ABCD的周长和面积同时平分？若能，请求出直线PE的解析式；若不能，请说明理由．‎ O A x B y C D E M 九、综合型问题 ‎1．如图，已知两直线ll、l2分别经过点A（1，0），B（－3，0），并且当两直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有ll⊥l2，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线ll交于点K．‎ ‎（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴被直线ll、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；‎ A B C O K x y D E F ll l2‎ ‎（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．‎ O x y A B D C P P′‎ ‎2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′ 不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．‎ ‎（1）当b＝3时，‎ ‎①求直线AB的解析式；‎ ‎②若点P′ 的坐标为（－1，m），求m的值；‎ ‎（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．‎ 当P′D : DC＝1 : 3时，求a的值；‎ ‎（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎3．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．‎ ‎（1）求点E的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；‎ O x y A B N M E F ‎（4）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，如图1，将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）过矩形顶点B、C．‎ ‎（1）当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值；‎ ‎（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；‎ ‎（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．‎ ‎①试求当n＝3时a的值；‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ x yM OM A B C x yM OM A C B M N E F x yM OM A C B ‎②直接写出a关于n的关系式．‎ x yM OM CM EM AM FM BM DM ‎5．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．‎ ‎（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；‎ ‎（2）当DE＝8时，求线段EF的长；‎ ‎（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6．已知抛物线y＝a( x＋6 )2－3与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴相交于点C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE 2＝3DE．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边作直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；‎ ‎（3）Q为第二象限抛物线上的一动点，过点Q作直线QR⊥DQ，交直线DE于点R．是否存在点Q，使点E三等分线段DR？若存在，请求出所有符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．‎ A B C O x y D E ‎7．在平面直角坐标系中，A（－4，0），B（0，2），直线x＝2与直线AB交于点C，与x轴交于点D，抛物线经过点A，且以C为顶点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P为抛物线上位于A、C两点间的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值；‎ A B C O x y D x＝2‎ ‎（3）点Q为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接QA、QC，设△QAC的面积为S，当S＝2时，相应的Q点有几个？当S取何值时，相应的Q点有且只有1个？‎ ‎8．已知抛物线y＝a( x－m )2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B．点A、B关于原点O的对称点分别是点C，D．若点A，B，C，D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．‎ ‎（1）如图1，求抛物线y＝( x－2 )2＋1的伴随直线的解析式；‎ ‎（2）如图2，若抛物线y＝a( x－m )2＋n（m＞0）的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）如图3，若抛物线y＝a( x－m )2＋n的伴随直线是y＝－2x＋b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．‎ ‎①用含b的代数式表示m，n的值；‎ ‎②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．‎ A B C O x y D 图1‎ O x y 图3‎ O x y 图2‎ ‎9．抛物线y＝－ ( x－1)2＋3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．‎ ‎（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；‎ ‎（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连结BQ．‎ ‎①若含45°角的直角三角板如图2所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；‎ ‎②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ 上，求点P的坐标．‎ 图1‎ A B O C x y 图2‎ A B O C x y D E P Q ‎10．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（－1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．‎ ‎（1）求两条射线AE、BF所在直线的距离；‎ ‎（2）当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；‎ 当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ ‎（3）已知□AMPQ（四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．‎ A B O E D x y F 备用图 A B O E D x y F ‎11．已知抛物线C1：y1＝ x 2－x＋1，点F（1，1）．‎ ‎（1）抛物线C1的顶点坐标为___________；‎ ‎（2）①若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证： ＋ ＝2；‎ ‎②取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断 ＋ ＝2是否成立？请说明理由；‎ ‎（3）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：y2＝ ( x－h )2，若2＜x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值．‎ A B C M x D O y E ‎12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（9，0），以AB为直径作⊙M，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，抛物线经过A、B、C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙M于点D，连接BD，求直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x 2＋bx＋c经过A、B两点，顶点为D．‎ ‎（1）求b、c的值；‎ ‎（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：‎ ‎①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；‎ O A B C D y x O A B C D y x 备用图 ‎②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎14．如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ O xM A B D yM E F ‎（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE．‎ ‎①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S关于m的函数关系式；‎ ‎②当△BEF为等腰三角形时，求点E的坐标．‎ ‎15．平面直角坐标系中，□ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到□A′B′OC′．‎ ‎（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）求□ABOC和□A′B′OC′ 重叠部分△OC′D的周长；‎ C A D B O C′‎ A′‎ x y B′‎ ‎（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′ 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．‎ ‎16．如图，⊙M过点B（－2，0）、C（－4，0），且与直线x＝－1相切于点A（A在第二象限），点A关于x轴的对称点为A1，直线AA1与x轴相交点P．‎ ‎（1）求证：点A1在直线MB上；‎ ‎（2）求以M为顶点且过A1的抛物线的解析式；‎ C A B O A1‎ x y x＝－1‎ M P ‎（3）设过点A1且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为D，当⊙D与⊙M相切时，求⊙D的半径和切点坐标．‎ ‎17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆M．设过A、B两点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点为N．‎ ‎（1）求过A、C两点直线的解析式；‎ ‎（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；‎ C A B O x y M D E F ‎（3）过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．‎ ‎18．如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，且CD＝4，抛物线经过A、B、C三点，顶点为N．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；‎ ‎（3）设点Q是抛物线对称轴上的一点，试问在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C A B O x y M D E N ‎19．如图，二次函数y＝ x 2－ x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（－1，m），B（n，n）．‎ ‎（1）求点A、B的坐标 ‎（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎①这样的点C有几个？‎ A B O x y ‎②能否将抛物线y＝ x 2－ x平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的抛物线的解析式；若不能，说明理由．‎ ‎20．如图，已知抛物线y＝－x 2＋bx＋9－b 2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．‎ ‎①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；‎ ‎②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；‎ ‎③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．‎ A B O x y D C E M ‎21．如图1，直线y＝－x＋1与x轴、y轴分别相交于点C、D，一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动，滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点，∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B．‎ ‎（1）试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形，若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（2）若将题中“y＝－x＋1”、“∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B”，分别改为“直线y＝－x＋t（t＞0）”、“∠A的另一边与x轴的负半轴相交于点B”（如图2），其他条件不变，试探索△AOB能否为等腰三角形（只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况），若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎（3）若将题中“直线y＝－x＋1”改为“直线y＝－ x＋1”、“含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动”改为“含30°角的直角三角板的30°角的顶点A在线段CD上滑动”（如图3），其他条件不变，试探索△AOB能否为等腰三角形，若能，请求出点B的坐标，若不能，请说明理由．‎ A B O x y C D 图1‎ A B O x y C D 图3‎ y O x A B C D 图2‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x－ 与抛物线y＝－ x 2＋b x＋c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．‎ ‎①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；‎ ‎②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．‎ A B O x y ‎（备用图）‎ A B O x y C D P F G E ‎23．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x 2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．‎ ‎（1）求c，b（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．‎ ‎①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；‎ ‎②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝ ；‎ ‎（3）A B O x y C D P N M ‎1‎ ‎－1‎ 在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．‎ ‎24．将抛物线c1：y＝－ x 2＋ 沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示．‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式；‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．‎ ‎①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．‎ O x y O x y c1‎ c2‎ ‎25．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．‎ 活动一：‎ 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．‎ 数学思考：‎ ‎（1）小棒能无限摆下去吗？答：___________（填“能”或“不能”）‎ ‎（2）设AA1＝A1A2＝A2A3＝1．‎ ‎①θ＝_________度；‎ ‎②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2＝a1，A3A4＝a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．‎ θ A1‎ A A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ B C 图甲 a1‎ a2‎ a3‎ 活动二：‎ 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．‎ 数学思考：‎ ‎（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝_________，θ2＝________，θ3＝________；（用含θ的式子表示）．‎ ‎（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．‎ θ A1‎ A A2‎ A3‎ A4‎ B C 图乙 θ1‎ θ2‎ θ3‎ ‎26．如图所示，抛物线m：y＝ax 2＋b（a＜0，b＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．‎ ‎（1）当a＝－1，b＝1时，求抛物线n的解析式；‎ ‎（2）求证：四边形AC1A1C是平行四边形；‎ ‎（3）若四边形AC1A1C可能是矩形吗？若能，请求出a，b应满足的关系式；若不能，请说明理由．‎ O x y C C1‎ A B A1‎ ‎27．已知：抛物线y＝a( x－2)2＋b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．‎ ‎（1）直接写出抛物线对称轴方程；‎ ‎（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；‎ ‎（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．‎ ‎28．如图，抛物线l1：y＝－x 2平移得到抛物线l2，且l2经过点O（0，0）和点A（4，0），l2的顶点为B，它的对称轴与l1相交于点C．设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S．解答下列问题：‎ C x y ll l2‎ A B O ‎（1）求l2表示的函数解析式；‎ ‎（2）求S的值；‎ ‎（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝ S ？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C x y A B O D G ‎29．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝2，直线y＝x－2 经过点C，交y轴于点G．‎ ‎（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；‎ ‎（2）求顶点在直线y＝x－2 上且经过点C、D的抛物线的解析式；‎ ‎（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝x－2 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎30．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．‎ C x y A B O 图1‎ D C x y A B O 图2‎ E F ‎31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．‎ N x y A M O D l ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若过点A（－1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；‎ ‎（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．‎ ‎32．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（－2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（－4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；‎ ‎（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．‎ x y O B C A ‎1‎ ‎1‎ P Q M ‎33．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），平移抛物线y＝x 2，使平移后的抛物线过A、B两点．‎ ‎（1）求平移后抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设（1）中抛物线的顶点为C，D为y轴上一点，且S△ABD ＝S△ABC ，求点D的坐标；‎ ‎（3）请在图2上用尺规作图的方式探究（1）中的抛物线上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ 图2‎ O A B x y ‎1‎ ‎1‎ ‎34．如图，抛物线y＝－ x 2＋4交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．‎ ‎（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）求证：BF⊥AB；‎ ‎（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S＝S1－S2，试探究S的最小值．‎ O A B D F C P E x y ‎35．已知抛物线y＝－x 2＋2mx－m 2－m＋3．‎ ‎（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？‎ ‎（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当|OM|·|ON|＝3，且|OM|≠|ON| 时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，点P为抛物线对称轴上一动点，PD⊥AC于D．是否存在点P，使S△PAD ＝ S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ yM OM xM y＝－1‎ FM AM BM CM ‎36．如图，已知点F的坐标为（0，1），过点F的直线与抛物线y＝ x 2交于A、B两点，直线y＝－1与y轴交于点C，连接AC、BC．‎ ‎（1）判断以线段AB为直径的圆与直线y＝－1的位置关系并说明理由；‎ ‎（2）若以AB为直径的圆与y轴交于C（，0）、D（，0）两点，求直线AB对应的函数解析式；‎ ‎（3）求证：∠ACF＝∠BCF；‎ ‎（4）△ABC的面积是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎37．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A（2，3）、B（6，1）、C（0，－2）．‎ yM OM xM HM AM BM CM ‎（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；‎ ‎（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；‎ ‎（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？‎ ‎38．已知抛物线y1＝x 2＋4 x＋1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．‎ ‎（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2＝a( x－h )2＋k的形式；‎ ‎（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象，请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在－3＜x ≤－ 时对应的函数值y的取值范围；‎ ‎（3）设一次函数y3＝nx＋3（n≠0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y＝y3时，对应的x的值为－1＜x ＜0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．‎ ‎-1‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ yM OM xM ‎39．如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．‎ ‎①当线段PQ＝ AB时，求tan∠CED的值；‎ ‎②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．‎ y OM x A B C D ‎1‎ ‎1‎ x＝1‎ 备用图 y OM x A B C D ‎1‎ ‎1‎ x＝1‎ ‎40．如图，已知抛物线y＝－x 2－x＋ ，正方形ABCD的边AB在x轴上，顶点C、D在x轴上方的抛物线上，将正方形ABCD绕点B顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），得到正方形A1BC1D1．‎ ‎（1）求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）当tanα＝ 时 ‎①求正方形A1BC1D1与正方形ABCD重叠部分的面积；‎ ‎②在抛物线的对称轴上存在点P，使△PC1D1为直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QC1D1为等腰直角三角形？若存在，求此时tanα的值；若不存在，请说明理由．‎ y x O C D A B 备用图 y x O C D A B 备用图 y x O C D A C1‎ D1‎ A1‎ B ‎41．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ y x O C A B M P ‎（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎42．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O、点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ＝2OP，当P、Q重合时同时停止运动．过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD＝MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标为（m，0），求S与m之间的函数关系式；‎ ‎（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG＝PN，以PG为对角线作正方形PFGH ‎（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．‎ ‎①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是____________；‎ ‎②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．‎ y x O A B 备用图 y x O C D A P B E Q M 图2‎ F ‎(N)‎ G H y x O C D A P B E Q M 图1‎ ‎43．己知：二次函数y＝ax 2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x 2－4x－12＝0的两个根．‎ ‎（1）请直接写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标；‎ ‎（3）如图l，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．‎ y x O C A B D Q 图2‎ y x O C A B 图1‎ ‎44．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标为（－1，0），点B在y轴的正半轴上，BC＝OB．‎ ‎（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）．‎ ‎①当点A1落在（1）中的抛物线上时，求S的值；‎ ‎②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．‎ y x O C A B D 备用图 y x O C A B D F E ‎45．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋8（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；‎ ‎（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ y x O C A B D ‎（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？‎ ‎46．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋3分别交x轴、y轴于A、B两点，C点坐标为（0，1），连接AC并延长到D，使∠ADB＝∠ABC．‎ ‎（1）求D点坐标；‎ ‎（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若P是线段AD上一动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点H，当线段PH的长最大时，求P点坐标；‎ ‎（4）在（3）的条件下，将△ABD在坐标平面内平移 ‎①若平移后点H是AD边中点，求点A的坐标；‎ y x O C A B D ‎②若平移后点H在△ABD的内部（不包括三条边），设点A坐标为（m，n），求m、n的取值范围．‎ ‎47．在平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，－ ），Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（ ，0），且BC＝5，AC＝3（如图1）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时，Rt△ABC停止移动．D ‎（0，4）为y轴上一点．设点B的横坐标为m，△DAB的面积为S．‎ ‎①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，S与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图1、图2中画图探求）；‎ ‎②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ y x O C A B D 图1‎ y x O D 图2‎ ‎48．如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝－ x 2＋bx＋c经过A、C两点，与AB边交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．‎ ‎①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；‎ ‎②当S最大时，在抛物线y＝－ x 2＋bx＋c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x O C A B D 备用图 y x O C A B D P Q ‎49．如图，抛物线y＝ax 2＋bx（a＞0）与双曲线y＝ 相交于点A，B，已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．‎ C A O B xM yM ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；‎ ‎（2）计算△ABC的面积；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎50．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；‎ C A O B xM yM F l G K D H E C A O B xM yM F l G K D H E 备用图 ‎（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．‎ ‎51．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点C（0，－2），与直线y＝x交于点A（－2，－2），B（2，2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN＝，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．‎ A O B xM yM N M C ‎52．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），OB＝2，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A、O、B三点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ A O B xM yM ‎（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO＋MA的最小值；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点P、O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎53．在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．‎ ‎（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．‎ ‎（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：‎ ‎①求出点A，B，C的坐标．‎ A O P xM yM B y＝ 图2‎ C A O P xM yM K y＝ 图1‎ ‎②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的 ．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．‎ ‎54．如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；‎ ‎（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B O C x y ‎55．如图，y关于x的二次函数y＝－ ( x＋m )( x－3m )（m＞0）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（－3，0），连接ED．‎ ‎（1）写出A、B、D三点的坐标；‎ ‎（2）当m为何值时，M点在直线ED上？判断此时直线ED与⊙C的位置关系；‎ ‎（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．‎ O S m E O C x y B M D A ‎56．巳知二次函数y＝a( x 2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．‎ ‎（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′ '恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；‎ ‎（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；‎ ‎（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．‎ A B C O x y D ‎（图②）‎ E F G H A B C O x y D O′‎ ‎（图①）‎ O x y ‎1‎ ‎1‎ ‎57．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y＝－ x 2＋ ( m－2)x＋4m－7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；‎ ‎（2）若E、F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上方），且EF＝2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；‎ ‎（3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ ＝2S△AOQ ，M 是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎58．如图，在平面直角坐标系中，点A（m，6）（0＜m＜3），B（n，1）为两动点，且OA⊥OB．‎ ‎（1）求证：mn＝－6；‎ ‎（2）当S△AOB＝10时，抛物线经过A、B两点且对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P、Q两点．是否存在直线l，使S△POF : S△QOF＝1 : 3？若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由．‎ O B A x y ‎59．如图，已知二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，－2）．‎ ‎（1）求此函数的关系式；‎ ‎（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；‎ O B A x y C P ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎60．如图，抛物线y＝ x 2－x＋a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求A，B两点的坐标；‎ ‎（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是否在该抛物线上？请说明理由．‎ x B y O C A ‎61．已知，如图，二次函数y＝ax 2＋2ax－3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝ x＋ 对称．‎ ‎（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；‎ ‎（2）求二次函数解析式；‎ ‎（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN ＋ NM ＋ MK和的最小值．‎ A l x H O B K y A l x H O B K y 备用图 ‎62．如图1，抛物线y＝mx 2－11mx＋24m（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．‎ ‎（1）填空：OB＝_________，OC＝_________；‎ ‎（2）连结OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；‎ ‎（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．‎ A x O B D y C 图1‎ A l：x＝n x O B D y C N M 图2‎ ‎63．如图，已知以点A（2，－1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，过E作直线y＝－2的垂线，垂足为N．‎ ‎①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎②是否存在这样的点E，使△EDN为等边三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．‎ y＝－2‎ A O B D y x ‎（备用图）‎ y＝－2‎ A O B D y E N x ‎64．如图，已知二次函数y＝－ x 2＋ x＋2图像与y轴交于点A，与x轴正轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于C点．‎ ‎（1）求A、B两点坐标及直线AB的解析式；‎ ‎（2）连接AC，当△APC为直角三角形时，求点P的坐标；‎ A O B P y C x ‎（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎65．如图1，在平面直角坐标系中，点A（－2，6），B（1，3），过A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，AD与BC相交于点E．‎ ‎（1）求证：点E在y轴上；‎ ‎（2）将BD水平向右移动m个单位（m＞0），此时AD与BC相交于点E′（如图2），连接AB，求△AE′B的面积S关于m的函数关系式；‎ C A D O x y B E 图1‎ C A D O x y B E′‎ 图2‎ ‎（3）过A、E、E′ 三点的抛物线中，是否存在一条抛物线，它的顶点在x轴上？若存在，请求出m的值，若不存在，说明理由．‎ x B A O y D C E F ‎1‎ ‎1‎ x＝b ‎66．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）（b是大于零的常数）在直线x＝b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点．‎ ‎（1）判断四边形DEFB的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；‎ ‎（3）设直线x＝b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．‎ ‎67．如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点A、B在y轴上，顶点C在x轴上，AB∥CD，OA＝2CD，∠ABC＝45°，tan∠DAB＝2，已知梯形ABCD的面积等于5．直线l经过B、C两点，射线AM∥l，且与x轴交于点M．‎ ‎（1）求射线AM所在直线的解析式；‎ ‎（2）将∠BAM绕点A逆时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），这个角的边AM与x轴交于点P，另一条边AB与直线l交于点E．设点P的横坐标为x，△PEC的面积为S，求S与x的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当S＝ 时，射线AE与直线DC交于点F，连接PF．问：在x轴上是否存在点N，使得以P、E、N为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，求N点的坐标；若不存在，说明理由．‎ x B A O y D C l 备用图2‎ x B A O y D C l 备用图1‎ x B M A O y D C l ‎68．如图1，已知直线y＝ x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax 2＋4ax＋b经过A、C两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点Q在抛物线上，且S△AQC ＝S△BQC ，求点Q的坐标；‎ ‎（3）如图2，点P为△AOC外接圆上 的中点，直线PC交x轴于D，∠EDF＝∠ACO．当∠EDF绕点D旋转时，DE交AC于M，DF交y轴负半轴于N．问CN－CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．‎ y O x D y＝ x＋2‎ C A 图2‎ P M F N E y O x B y＝ x＋2‎ C A 图1‎ ‎69．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，顶点A的坐标为（4，0），腰BC所在直线的解析式为y＝－ x＋3．‎ ‎（1）求顶点B的坐标；‎ ‎（2）直线l经过点C，与直线AB交于点E，点O关于直线l的对称点为O′ ，连接CO′ 并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD＝5时，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设点P是直线l上的动点，点Q是直线OD上的动点，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，说明理由．‎ x B E A O y D C l 备用图1‎ x B E A O y D C l O′‎ x B E A O y D C l 备用图2‎ ‎70．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）（b是大于零的常数）在直线x＝b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点．‎ ‎（1）判断四边形DEFB的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；‎ ‎（3）设直线x＝b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．‎ 如图1，在第一象限内，直线y＝mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y＝mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．‎ ‎（1）当点A的坐标为（ ，p）时，‎ ‎①填空：p＝_________，m＝_________，∠AOE＝_________；‎ ‎②如图2，连结QT、QN、TM、ME、EN，当r＝2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；‎ ‎（2）在图1中，连结EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化，请说明理由．‎ x B A O y M E N l ‎1‎ ‎1‎ Q T 图1‎ y＝mx x B A O y M E N l ‎1‎ ‎1‎ Q T 图2‎ y＝mx ‎71．已知抛物线y＝－x 2＋2mx－m 2＋2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，C是线段AB上一点（不与端点A、B重合），过C作CD⊥x轴，垂足为D，并交抛物线于点P．‎ ‎（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；‎ ‎（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC＝CP，求△OPE的面积S的取值范围．‎ ‎72．如图，直线y＝－x＋1与直线y＝2x、y＝x分别交于E、F两点，点P为x轴上一动点，过点P的直线y＝－x＋b与直线y＝2x、y＝x分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD．‎ ‎（1）求正方形ABCD各顶点的坐标（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）若点P从原点O出发，沿x轴的正方向运动，设正方形ABCD与△OEF重叠部分的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出相应自变量b的取值范围．‎ x B A O y C D y＝2x y＝x y＝－x＋1‎ y＝－x＋b P E F ‎73．如图，抛物线y＝ax 2－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；‎ x B A O y l Q P ‎（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？根据不同的位置关系，求对应的m取值范围．‎ ‎74．已知抛物线y＝－ x 2＋ x＋m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°．‎ ‎（1）求m的值和A、B两点的坐标；‎ ‎（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，设P为弧CBD上的动点（P不与C、D重合），连接AP交y轴于点H．是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；‎ A B C D F E y G O N x M ‎（3）连接DM并延长交BC于点N，交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，试探究BC与FG的位置关系，并求直线FG的解析式．‎ ‎75．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x＝0和x＝4时，y的值相等．直线y＝4x－16与抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是抛物线的顶点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P为线段OD上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OD上运动（点P不与点O重合，但可以与点D重合），设OQ的长为m，四边形PQCO的面积为S，求S与m之间的函数关系式；‎ ‎（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果有，求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果没有，说明理由；‎ ‎（4）是否存在实数m，使得PO＝OC？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．‎ A B C D Q y O P x ‎76．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．‎ ‎①如图l，当△PBC面积与△ABC面积相等时，求点P的坐标；‎ ‎②如图2，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．‎ 图2‎ A B C O x y P 图1‎ A B C O x y P ‎77．定义：对于抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），若b 2＝ac，则称该抛物线为 黄金抛物线．例如y＝2x 2－2x＋2是黄金抛物线．‎ ‎（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式：_________________________；‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；‎ ‎（3）将黄金抛物线y＝2x 2－2x＋2沿对称轴向下平移3个单位．‎ ‎① 直接写出平移后的新抛物线的解析式；‎ ‎② 设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎78．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（5，0），将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点C、D分别与点A、B对应）．‎ ‎（1）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF ‎①当| PE－PF|取得最大值时，求点P的坐标；‎ O x y ‎3‎ ‎5‎ A B ‎②当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎79．如图，已知抛物线y＝－ x 2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，顶点为C，其对称轴为直线x＝2，且与x轴交于点D，AO＝1．‎ ‎（1）填空：b＝______，c＝______，点B的坐标为（______，______）；‎ ‎（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F，求FC的长；‎ O x y A B C E F D ‎（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎80．如图，抛物线y＝－ x 2＋ x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．‎ ‎（1）求直线AB的函数关系式；‎ ‎（2）动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．‎ O x y A B C P N M ‎81．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；‎ O x y A B C E F G E′‎ D P ‎（3）在（2）的条件下，设P（x，0）是线段ED上的动点，过P作PF∥BC，分别交BE、CE于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．记△E′FG与四边形BFGC重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．‎ ‎82．如图1，y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小．若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B O C D E P Q x F y 图2‎ A B O C D x y 图1‎ A B O C D x y 图3‎ ‎83．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以A为圆心，半径为2的⊙A交x轴于B、C两点，过点D（－1，0）作⊙A的切线，切点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为G，交⊙A于点F，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、D、F三点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点P是抛物线上位于D、F两点之间的一动点，设点P的横坐标为x，四边形DPFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，将弧EBF沿弦EF对折后得到弧EB′F，试判断直线EC与弧EB′F的位置关系，并说明理由．‎ O C D x F y 图2‎ E B G A B′‎ A B O C D E x F y 图1‎ G ‎84．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于点A（－2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，－4），直线y＝x＋m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当m＝2时，求∠DCF的大小；‎ O x y C B A ‎（3）若在直线y＝x＋m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P只有两个，求m的值．‎ ‎85．已知抛物线y＝ x 2－ mx＋n与直线l：y＝x＋m的左交点为A，抛物线与y轴相交于点C，直线l与抛物线的对称轴相交于点E．‎ ‎（1）直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m、n的代数式表示）；‎ ‎（2）当m＝2，n＝－4时，求∠ACE的大小；‎ ‎（3）是否存在正实数m＝n，使得在直线l下方的抛物线上有且仅有两个点P1和P2，且∠AP1E＝∠AP2E＝45°？若存在，求m的值和点P1、P2的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y O x C D 备用图 y O x A C E D l ‎86．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5），点C是y轴负半轴上一点，且tan∠OCB＝ ．点P是直线OB上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当直线BC平分△PQB的面积时，求点P的坐标；‎ y O x C A B Q P ‎（3）是否存在这样的点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎87．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODC＝30°，OE 为△COD的中线，过C、E两点的抛物线y＝ax 2＋ x＋c与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；‎ ‎（3）点P为△AOC内的一个动点，求PA＋PC＋PO的最小值，并求此时点P的坐标．‎ y O x A C E D B ‎88．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x 2＋4x＋5的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．点P是x轴正半轴上的一个动点，点Q是x轴负半轴上一点，QE⊥CP于E，交y轴于点F，且QF＝CP．设OP＝m．‎ ‎（1）求证：OF＝OP．‎ ‎（2）当m为何值时，以C、P、D为顶点的三角形是直角三角形？‎ y O x A C E D B P Q F ‎（3）是否存在实数m，使直线QE与以AB为直径的圆相切？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．‎ ‎89．如图，抛物线y＝－ x 2＋ x＋4交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，以OB、OC为边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．‎ ‎（1）求OB和OC的长；‎ ‎（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交x轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE＝m，PM＝h，求h与m的函数关系式，并求PM的最大值；‎ ‎（3）连接PC，在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△BEM相似？若存在，求出相应的m的值，并判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．‎ y O x A C E D B G F M P ‎90．如图，直线y＝－ x经过抛物线y＝ax 2＋8ax－3的顶点M，点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当PQ∥OM时，设点P的横坐标为x，线段PQ的长为d，求d关于x的函数关系式；‎ ‎（3）当以P、Q、O、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．‎ y O x Q M P ‎91．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ x 2＋16与x 轴正半轴交于点F、与y轴正半轴交于点E，边长为8的正方形ABCD的边CD在x 轴上，且顶点C与点F重合，抛物线与边AB交于点P．‎ ‎（1）求点F、点P的坐标；‎ ‎（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x 轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．当P、Q分别经过AB、CD的三等分点时，设点A的坐标为（m，n）（m＞0），求m的值；‎ ‎（3）当正方形ABCD左右平移时，抛物线始终与边AB交于点P，且同时与边CD交于点Q，设点A的坐标为（m，n）（m＞0），求m的取值范围．‎ 图1‎ O x B y A D F ‎(C)‎ P 图2‎ O x B y A C F D P Q ‎92．已知抛物线y＝－ ( x－2)2＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，DE⊥x轴于点E，DA交y轴于点F，sin∠DOE＝ ．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过E点的直线与y轴相交于点P，过O、D两点作直线PE的垂线，垂足分别为G、H，若 ＝ ，求点P的坐标；‎ ‎（3）点A关于y轴的对称点为A′，Q为抛物线上一动点，直线FQ交x轴于点K．是否存在这样的点Q，使△AFK与△AA′D相似？若存在，求出所有符合条件的直线QK的解析式；若不存在，请说明理由．‎ y x O A B F D E C y x O ‎93．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（－3，0），B（1，0），与y轴负半轴交于点C，sin∠OBC＝ ，点D的坐标为（0，－9）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点E在二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象上，四边形ABCE是以AB为一底边的梯形，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点E作直线EF⊥x轴于F，直线EF与线段AD相交于点G．问：在二次函数的图象上是否存在点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎94．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，点B坐标为（10，0），过原点O的抛物线，又过点A和G，点G坐标为（7，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）边OB上有一动点T（t，0）（T不与点O、B重合），过点T作OA、AB的垂线，垂足分别为C、D．设△TCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）已知M（2，0），过点M作MK⊥OA，垂足为K，作MN⊥OB，交OA于点N．在线段OA上是否存在一点Q，使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后，点M、K恰好落在（1）中所求抛物线上，若存在，请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x O A B D T C M K N G ‎95．如图，点M坐标为（－4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B两点，与y轴交于点C（0，2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D（m，）（m＜0）是抛物线y＝ x 2＋bx＋c上一点，点P是抛物线对称轴上的一个动点，求PB＋PD的最小值；‎ ‎（4）CE切⊙M于点E，且点E在第三象限．在抛物线上是否存在一点Q，使△QOC的面积等于△EOC的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ y O A B E C M x ‎96．抛物线y＝ax 2＋2x＋3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D，连接BD并以BD为直径作⊙M．‎ ‎（1）写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）当a＝－1时，判断⊙M是否经过点C，并说明理由；‎ y O x C A B D M ‎（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上任意一点，过P作对称轴的垂线，垂足为Q．那么是否存在这样的点P，使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y O A B C x ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎－1‎ ‎97．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（2）设点P为抛物线（x ＞5）上的一点，若以A、O、M、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请直接写出点P的坐标；‎ ‎（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎98．如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，－3），顶点为D（－1，－4），连接AC、CD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试在x轴上找一点E，使∠CED最大，求点E的坐标；‎ ‎（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x O A B D C ‎99．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x 2＋mx＋n经过A（3，0）、B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．‎ ‎（1）若点P在第四象限，连接AM、BM，当△ABM的面积最大时，求△ABM的AB边上的高；‎ ‎（2）若四边形PMBO为等腰梯形，求点P的坐标 ‎（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎－2‎ ‎－4‎ O ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ B A P x y M O B A x y C ‎100．如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ x 2＋b x＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；‎ ‎（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．‎ 问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎101．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；‎ O B A x y C D ‎（3）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），分别连结AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎102．如图，已知直线y＝－ x＋2与抛物线y＝a( x＋2)2相交于A、B两点，与x轴相交于C点，点B在y轴上，D为抛物线的顶点．P为线段AB上一个动点（点P不与A、B重合），过P点作x轴的垂线与抛物线交于Q点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设直线与抛物线的对称轴交于点E，如果以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；‎ O A B x y C D E O A B x y C D E 备用图 ‎（3）连接QD，探究四边形PQDE的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？如果能，求点P的坐标；如果不能，请说明理由．‎ O H D x y B A E C F N ‎103．已知抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求A、B的坐标；‎ ‎（2）过点D作DH⊥y轴于点H，若DH＝HC，求a 的值和直线CD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎104．如图，半径为1的⊙M经过直线坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA＝60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线经过点A、B、C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数关系式；‎ O x y B A C M ‎1‎ ‎－1‎ ‎（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎105．已知抛物线y＝ ( x－2)( x－2t－3)（t＞0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且△ABC的面积为 ．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设l为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与l交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若△OAD∽△OEB，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点Q为直线l上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使得以P、Q、A、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O y x ‎106．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）、B（5，0），与y轴交于点C，顶点的纵坐标为4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一交点为D，⊙M的弦DE∥x轴，求直线CE的解析式；‎ ‎（3）在x轴上是否存在点F，使以O、C、F为顶点的三角形与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙M的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．‎ ‎107．如图，抛物线y＝ax 2＋bx经过点A（－4，0）、B（－2，2），连接OB、AB．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；‎ ‎（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′ 中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.‎ ‎（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．‎ O x y B A ‎－5‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎－6‎ ‎2‎ ‎108．九（1）班数学课题学习小组为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：‎ ‎（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？‎ ‎（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：‎ Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．‎ Ⅱ．如图④，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图②‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎6.25‎ O x y 图①‎ 图④‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎6.25‎ O x y P Q N M 图③‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎6.25‎ O x y A B D C ‎109．已知抛物线y＝ x 2－mx＋2m－ ．‎ ‎（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C，直线y＝x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．‎ ‎①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ B A x O y D C ‎②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎110．如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（n，0）（n＞0），抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过原点O和点P，正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．‎ ‎（1）求c、b的值并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；‎ ‎（2）求证：抛物线的顶点在函数y＝x 2的图象上；‎ ‎（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；‎ ‎（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．‎ B A x O y D C N P ‎1‎ ‎1‎ O ‎111．如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为D，试在线段AC上找出这样的点P，使△PBD是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）经过点D的直线把平行四边形OACB的面积分为1 : 3两部分，求该直线的函数关系式．‎ B A x O y C D ‎112．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为 ，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（－1，0），C、D两点在抛物线y＝ x 2＋bx＋c上．‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒 个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B1点，试判断B1点是否在抛物线上，并说明理由；‎ D A O C B A1‎ B1‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ x y ‎（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A2B2C2D2，A2点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离．‎ ‎113．如图1，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．‎ ‎（图2、图3供画图探究）‎ A O C B x y P 图3‎ A O C B x y P 图2‎ A O C B x y P 图1‎ ‎114．如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴的另一交点为A，顶点为D，且对称轴是直线x＝1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若平行于x轴的直线y＝m与△BCD的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）点P是线段BC上的动点，过点P作x轴的垂线，交折线C－D－B于点E，将△BCD沿直线PE向右翻折．设点P的横坐标为x，翻折后的图形与△BCD重叠部分的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（4）在抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠CBD？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O A B x y C D x＝1‎ ‎115．如图，已知抛物线经过点A（4，0）、B（3，2）、C（0，4），BD⊥y轴，垂足为D．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）点P从点B出发，沿折线B→D→C以每秒1个单位的速度运动，过点P作PE⊥DB，交抛物线于E，点F是x轴上一点，且始终保持∠PFA＝45°．设点P的运动时间为t（秒），△PEF的面积为S（平方单位）．‎ ‎①求S关于t的函数关系式；‎ ‎②当t为何值时，S有最大值，并求这个最大值；‎ x B A y E D F O C P ‎③在S取得最大值时，判断以EF为对角线的平行四边形QEPF的顶点Q是否在（1）中的抛物线上，并说明理由．‎ ‎116．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限，且AB＝3 ，cos∠OAB＝ ，点B关于x轴的对称点为点C，一条抛物线经过O、C、A三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使以点P、O、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若将点O、A分别变换为点E（－4m，0）、F（6m，0）（m为常数且m＞0），设过E、F两点且以EF的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为G，其顶点为D，求S△EGD : S△EGF 的值．‎ O A B x y O A B x y P ‎1‎ ‎1‎ ‎117．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1－m）（m为常数）．‎ ‎（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变？请说明理由；‎ ‎（3）当P点移动到（，）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．‎ ‎118．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝ax 2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：‎ ‎（1）若测得OA＝OB＝2 （如图1），求a的值；‎ ‎（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过BF作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；‎ ‎（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．‎ O B x y A 图2‎ F O B x y A 图1‎ x O y B A D E C ‎119．如图，直线y＝3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点E的坐标为（1，－2），点M是抛物线上一点（D点除外），且△MOE的面积与△DOE的面积相等，求M点坐标；‎ ‎（3）若点P是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ‎，使以点P、Q、A、B为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎120．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．‎ ‎（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；‎ ‎（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．‎ ‎（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．‎ x O y B A D C E ‎－1‎ ‎1‎ ‎（4）G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．‎ ‎121．已知直线y＝－ x＋6与x轴、y轴分别相交于点A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点E落在直线AB上，折痕交x轴于点C．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形OPAD为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为F，Q为线段BF上一点，求|QA－QO|的取值范围．‎ x O y B A D C E F ‎122．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE＝∠AFE；‎ ‎（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．‎ A B C O x y D E F ‎123．如图1，抛物线y＝ax 2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；‎ A B C O x y D M 图1‎ ‎（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ Q E O x y F 图2‎ F O x y N M l N1‎ M1‎ F1‎ ‎124．如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线y＝ x 2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求x1·x2的值；‎ ‎（3）分别过M、N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1和N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论；‎ ‎（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．‎ ‎125．如图，已知抛物线l1：y＝x 2－4与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．‎ ‎（1）求证：点D一定在l2上；‎ ‎（2）试判断动点B运动到什么位置时平行四边形ABCD恰好是菱形，并求这个菱形的面积；‎ ‎（3）平行四边形ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．‎ C A O x y l2‎ l1：y＝x 2－4‎ ‎126．如图，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝ x 2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．‎ ‎（1）求B点坐标；‎ ‎（2）求证：ME是⊙P的切线；‎ ‎（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点．‎ ‎①求△ACQ周长的最小值；‎ ‎②若FQ＝t，S△ACQ＝S，直接写出S与t之间的函数关系式．‎ C A O x y P D E M G F B C A O x y D E G F B 备用图 ‎127．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），点C（0，2），点B是x轴上一点（位于点A 的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B、C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点P，使△ADP为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围；‎ ‎（3）Q是y轴上一点，M是抛物线的对称轴上一点，且四边形BCMQ为等腰梯形，直接写出M点坐标．‎ y x O A B C D 备用图 y x O A B C D y x O A B C D 备用图 ‎128．如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，－3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图（1），已知点H（0，－1）．问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC ＝S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（－2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF＝∠BDF，求线段PE的长．‎ C A O x y B F P 图（2）‎ E D C A O x y B H G 图（1）‎ ‎129．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10．以AB为直径的⊙O′ 与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC．CD是⊙O′ 的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝ ，抛物线y＝ax 2＋bx＋c过A、B、C三点．‎ ‎（1）求证：∠CAD＝∠CAB；‎ ‎（2）①求抛物线的解析式；‎ ‎②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；‎ y x O A B C D O′‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎130．如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B、C三点，顶点为N．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；‎ ‎（3）设点Q是抛物线对称轴上的一点，试问在抛物线上是否存在点P，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x D y M O C B A E N ‎131．如图，抛物线y＝x 2－4x＋c交x轴于点A、B（－1，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点E在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE面积最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使△PAB的内角中有一边与x轴所夹锐角的正切值为 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O B A D y C x E O B A y C x 备用图 O B A y C x 备用图 ‎132．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴相交于O、A两点，直线y＝－x＋3与y轴交于B点，与该抛物线交于A、D两点，已知点D的横坐标为－1．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O B A y D x 备用图 O B A y D x 备用图 O B A y D x ‎133．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．‎ 已知|OA|:|OB|＝1 : 5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S△ABC ＝15，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过A、B、C三点．‎ ‎（1）求此抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；‎ O A x y B C ‎（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎134．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋3与x轴的两个交点分别为A（－3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当以点P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．‎ O B A y H x C O B A y H x C 备用图 ‎135．如图，已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（－1，0）．‎ ‎（1）求二次函数的关系式；‎ ‎（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为－2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足－2＜xB＜ ，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；‎ x＝1‎ y O x B A ‎（－1，0）‎ ‎（3）抛物线上是否存在点C，使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等．若存在，求出点C的横坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎136．已知抛物线y＝x 2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；‎ ‎（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．‎ B A C O E F x y ‎137．已知二次函数y＝－ x 2＋2x＋ 图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为3，连接BD．点E是线段AB上一动点（不与点A重合），过E作EF⊥AB交射线AD于点F，以EF为一边在EF的右侧作正方形EFGH．设E点的坐标为（t，0）．‎ O x y A C E D B F G H ‎（1）求射线AD的解析式；‎ ‎（2）在线段AB上是否存在点E，使△OCG为等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的边长；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设正方形EFGH与△ABD重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．‎ ‎138．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．‎ ‎（1）当直线l：y＝x＋b与⊙O只有一个交点时，求b的值；‎ ‎（2）当反比例函数y＝ 的图象与⊙O有四个交点时，求k的取值范围；‎ ‎（3）试探究当m取不同的数值时，二次函数y＝x 2＋m的图象与⊙O交点个数情况．‎ O x y ‎139．如图，抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝2x＋1经过抛物线上一点B（m，－3），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E．‎ O x y A C E D B x＝2‎ ‎（1）求抛物线对应的函数解析式；‎ ‎（2）求证：CD⊥BE；‎ ‎（3）在对称轴x＝2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由．‎ ‎140．已知抛物线C：y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．‎ ‎（1）如图1，若∠AOB＝60°，求抛物线C的解析式；‎ ‎（2）如图2，若直线OA的解析式为y＝x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′ 的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设A′ 为抛物线C′ 的顶点，求抛物线C或C′ 上使得PB＝PA′ 的点P的坐标．‎ y B O A C x 图1‎ y B O A C x 图2‎ C′‎ A′‎ O x y A C D B Q P ‎141．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；‎ ‎（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP ＝2S△ACP ，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ O x y A C M B N ‎142．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，－4），其中x1，x2是方程x 2－4x－12＝0的两个根．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；‎ ‎（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎143．已知顶点为A（1，5）的抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点B（5，1）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图（1），设C、D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；‎ ‎（3）在（2）中，当四边形ABCD周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ．‎ ‎①当△PRQ与直线CD有公共点时，求x的取值范围；‎ ‎②在①的条件下，记△PRQ与△COD公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．‎ O C B A y x D 图（2）‎ R Q P O C B A y x D 图（1）‎ ‎144．如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，AB＝8，AD＝10．折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，设点B坐标为（m，0），其中m＞0．‎ ‎（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；‎ ‎（3）如图（2），设抛物线y＝a( x－m－6)2＋h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．‎ A y C O x B F D E 图（1）‎ A y C O x B D E 图（2）‎ M ‎145．如图．在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；‎ O A B x y C P ‎（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．‎ ‎146．已知抛物线y＝ax 2＋2x＋3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加 分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 分别作为点B的横、纵坐标，则A、B两点也在抛物线y＝ax 2＋2x＋3（a≠0）上．‎ ‎（1）求出当实数a变化时，抛物线y＝ax 2＋2x＋3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；‎ ‎（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；‎ ‎（3）你能根据特点（2）的启示，对一般二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．‎ ‎147．已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．‎ ‎（1）求含有常数a的抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD＝PH；‎ O B x y C A D ‎（3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA＝2DB，且S△ABD ＝4 ，求a 的值．‎ ‎148．如图：抛物线y＝ax 2－4ax＋m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴负半轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；‎ ‎（2）过点C作对称轴的垂线CP，垂足为P，连结BC交对称轴于点D，连结AC、BP，若∠BPD＝∠BCP，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连结AG．问：对称轴上是否存在点M，使△MCG的面积等于△ACG的面积，若存在，求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ O A B x y C P D G ‎149．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴的交点为A（m－4，0）和B（m，0），与直线y＝－x＋p相交于点A和点C（2m－4，m－6）．‎ A B C y x O D ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P、Q的坐标；‎ ‎（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．‎ ‎150．如图，抛物线y＝ x 2－m x＋n与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0．－1），且对称抽为x＝l．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；‎ ‎（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3，若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；‎ ‎（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．‎ O A B C x y 图2‎ x＝l O A B C x y 图1‎ x＝l ‎151．如图，抛物线y＝ax 2＋2ax＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（－4，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；‎ ‎（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（－2，0）．问是否有这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A O B x Q C D E y ‎152．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，A（－1，0），B（－1，2），D（3，0）．BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过D、M、N三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得PA＝PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ A O B x E M D N C y ‎（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时，|QE－QC|最大？并求出最大值．‎ ‎153．如图，抛物线y＝x 2－2mx＋n＋1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，C是抛物线上一点，且点C的横坐标为1，AC＝3．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若D是抛物线上一点，直线BD经过第一、二、四象限，且原点O到直线BD的距离为 ，求点D的坐标；‎ B O A x C y ‎（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎154．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x 2＋4x＋6与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．过C、D两点的直线与x轴交于点E，以OE为直径的⊙O1交直线CD于另一点F．‎ B O A x C y D E F O1‎ ‎（1）求点E的坐标；‎ ‎（2）连接FO1、FA，求证：△FO1A∽△BCD；‎ ‎（3）以点O2（0，m）为圆心的⊙O2经过点C且与⊙O1相切．‎ ‎①求实数m的值；‎ ‎②在坐标轴上是否存在点O3，使得以O3为圆心的⊙O3与⊙O1、⊙O2都相切？若存在，直接写出点O3的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎155．OM BM AM xM CM yM 如图，直线y＝2x＋6与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D是直线AC上一点，且S△ABD : S△BDC ＝1 : 3，求点D的坐标；‎ ‎（3）设直线y＝ x＋a与抛物线交于E、F两点，问：∠EOF能否为钝角？如果能，求a的取值范围；如果不能，请说明理由．‎ ‎156．如图，抛物线过A（0，m）、B（－3，0）、C（12，0）三点，过A点作x轴的平行线交抛物线于点D，P是线段OC上的动点，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）若在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都与点A重合，试求m的取值范围．‎ ‎（3）设抛物线的顶点为点M，当60°≤∠BMC≤90°时，求m的变化范围．‎ OM BM AM xM CM yM EM DM PM ‎157．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，－3）．点D是点A关于点B的对称点，点E是线段BD的中点，直线l过点E且与y轴平行，直线y＝－x＋m过点D，交y轴于点F．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点P是线段AB上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线DF于点G，交抛物线于点H，求线段GH长度的最大值；‎ OM BM AM xM CM yM DM EM lM FM PM GM HM ‎（3）点M在直线l上运动，在抛物线上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎158．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C、D在第一象限，AB＝‎ ‎3，AD＝2，直线y＝ x－1经过顶点C、D中的一个．‎ ‎（1）求矩形的顶点A、B、C、D的坐标；‎ ‎（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点为P．‎ B A C D y x O ‎①若点P在⊙M外部且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；‎ ‎②过点C作⊙M的切线交AD于点E，当PE∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是在直线y＝ x－1的上方还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．‎ ‎159．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点B在第一象限，E、F分别是OA、AB上的点，将△AEF沿EF翻折，使点A落在线段BC上的点D处．经过抛物线y＝ax 2－14ax＋49a＋4（a≠0）顶点M的每一条直线总平分矩形OABC的面积．‎ ‎（1）求点E、F的坐标；‎ O A x y C F B E D M ‎（2）若点M在线段DE上，AF的长为整数，且抛物线与线段EF有两个不同的交点，求实数a的取值范围．‎ ‎160．已知点P（m，n）在抛物线y＝x 2－1上，以P为圆心的⊙P与x轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x 2－2mx＋n＝0的两个根．‎ ‎（1）当P在抛物线上运动时，⊙P在x轴上截得的弦长是否变化？说明理由；‎ ‎（2）当⊙P与y轴相切时，求圆心P的坐标；‎ ‎（3）当⊙P与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形时，求圆心P的坐标．‎ O x y A B C P ‎161．已知二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A（－1，0），且顶点D在直线y＝－4x上．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）设该二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过B、C、D三点的⊙O′ 的半径；‎ O A B x y C D O′‎ E ‎（3）设⊙O′ 与y轴的另一个交点为E，经过P（－2，0）、E两点的直线为l，则圆心O′ 是否在直线l上？请说明理由．‎ y x O ‎162．已知顶点为C的抛物线y＝ax 2－4ax＋c经过点（－2，0），与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）求该抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；‎ ‎（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎163．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边BC在x轴上，点A坐标为（3，m）（m＞0），边AB与y轴相交于点D，以M（1，0）为顶点的抛物线经过点A、D．‎ y x O C A B M D ‎（1）用含m的代数式表示点B、D的坐标；‎ ‎（2）求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）点P为抛物线上点M至点A之间的一点，且点P到△ABC的边AC、BC的距离相等，连接AP、PM，‎ 求四边形ABMP的面积．‎ ‎164．如图，顶点为D的抛物线与y轴交于点A，直线y＝ax＋3与y轴也交于点A，矩形OCBA的面积为12，且顶点B在此抛物线上．‎ ‎（1）求该抛物线的对称轴；‎ ‎（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；‎ ‎（3）若线段DO与AB交于点E，以D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以D、O、A为顶点的三角形相似？如果有可能，请求出点D的坐标及抛物线的解析式；如果不可能，请说明理由．‎ C A O DM B xM yM A O B xM yM ‎165．如图，直线y＝－2x＋m（m＞0）与轴、y轴分别交于点A、B，S△AOB＝16，抛物线y＝ax 2＋bx（a≠0）经过点A，顶点M在直线y＝－2x＋m上．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，问：在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以O、P、N为顶点的三角形与△AMN相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎166．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴为x＝，且经过点C（0，－3）和点F（3，－2）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，设该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、B、C三点的⊙M交y轴于另一点D，连接AD、DB，设∠CDB＝α，∠ADC＝β，求cot(α－β)的值；‎ A B MM O x y D C 图1‎ A B MM O x y D C 图2‎ E ‎（3）如图2，作∠CDB的平分线DE交⊙M于点E，连接BE．在坐标轴上是否存在点P，使得以P、D、E为顶点的三角形与△DEB相似？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标（不包括点B）；若不存在，请说明理由．‎ ‎167．如图，已知抛物线y＝ax 2－2ax＋b（a＞0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，E为x轴上一点，且S△ACD ＝ S△EAC ，求E点的坐标；‎ A B O x y D C 图2‎ A B O x y D C 图1‎ ‎（3）如图2，P为抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以P、D、Q为顶点的三角形与△BOD相似（只考虑顶点D与顶点O对应的情况），若存在，求出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎168．已知抛物线y＝ax 2＋3ax＋b与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图（1），P为抛物线第三象限的点，若S△PAC ＝ S△PBC ，求P点坐标；‎ ‎（3）如图（2），D为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点Q，使△ADQ为锐角三角形？若存在，求出Q点横坐标的取值范围．‎ y x O A B C P 图1‎ y x O A B C P 图2‎ D ‎169．如图，已知直线y＝2x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax 2－2ax＋c过点C且与直线y＝2x＋2交于点A（5，12）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）D为x轴上方抛物线上一点，若△DCO与△DBO的面积相等，求D点的坐标；‎ ‎（3）在线段AB上是否存在点P，过P作x轴的垂线交抛物线于E点，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x O A B C B D A C E y x O ‎170．已知抛物线y＝ax 2－2x＋c与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝1，顶点为E，直线y＝－ x＋1交y轴于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：△BCE∽△BOD；‎ ‎（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？‎ ‎171．如图，抛物线y＝ax 2＋( a－3)x－3（a＞0）与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且sin∠ABD＝ ．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）⊙M过A、B、C三点，P是抛物线上一点，连接PA，当PA与⊙M相切时，求点P的坐标；‎ ‎（3）点R在y轴上，抛物线上是否存在点Q，使得四边形ACQR是以AC为底的等腰梯形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（用备用图作答）‎ D O M C A B x y y O x A B C 备用图 ‎172．如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝－ x－ 沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线y＝ x 2沿x轴平移，得到一条新抛物线与y轴交于点C，与直线AB交于点E、F．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若线段CF∥x轴，求平移后抛物线的解析式；‎ O x y ‎-1‎ ‎-1‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线y＝－ x－ 交于点H．是否存在不过△AFH顶点且同时平分△AFH的周长和面积的直线l？若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎173．已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C（0，1），过点C的直线与x轴交于点D，与抛物线交于另一点E，且△BCD是等腰直角三角形，S△ABE ＝ S△ABC ．‎ ‎（1）求点B、D的坐标；‎ ‎（2）求该二次函数的表达式；‎ ‎（3）设AE与BC交于点F，在坐标平面内是否存在点P，使得以A、C、F、P为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎174．如图，抛物线y＝ax 2＋bx－4a与x轴交于A（－1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D．‎ ‎（1）求点D关于直线AC对称的点的坐标；‎ ‎（2）点E为抛物线上一点，且∠DBE＝45°，求点E的坐标．‎ y C O A B x ‎（3）若点P为抛物线上BC段上的一动点（点P不与B，C重合），过点P作PG⊥x轴于G，交线段BC于点F．是否存在点P，使得四边形PCOF为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎175．如图，已知抛物线y＝ax 2＋(a－2)x－2（a＞0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB＝5，⊙M过A、B、C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点P，过P作PD⊥x轴，垂足为D，使得△PBD的面积被直线BC分成2 : 3的两部分？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y O x A B M C y O x A B C 备用图 ‎176．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为（4，0），（4，2），点D在第一象限，以D为圆心，半径为1的⊙D与y轴及矩形OABC的边BC都相切．‎ ‎（1）若⊙D与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线平分，求这条直线的解析式；‎ ‎（2）求经过O、D、A三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若点E在（2）中的抛物线上，那么，在x轴上是否存在点F，使得以F为圆心的⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE所在直线都相切？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A y O B x C D ‎177．如图，抛物线经过坐标原点，顶点D的坐标为（2，4），直线AD交y轴于点A（0，－2），点P是抛物线上点O至点D之间（不与O、D重合）的动点，连接PO，以P为顶点、PO为腰的等腰三角形POQ的另一顶点Q在x轴上，QR⊥x轴交直线AD于点R，连接PR．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P的横坐标为x，△PQR的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ O A Q x y R D P ‎（3）直线AD是否能将△PQR分成面积比为1 : 2的两部分？如果能，求此时点P的坐标；如果不能，请说明理由．‎ ‎178．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（－1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，tan∠ACB＝2．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上找一点D，使得△BCD是以点D为直角顶点的直角三角形，求点D的坐标；‎ ‎（3）以OB为直径作⊙E，在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，过点P作x轴的平行线与⊙E交于M、N两点，与抛物线交于另一点Q，使得PM＋QN＝MN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O A B x y C x＝1‎ ‎179．已知抛物线y＝ax 2＋x＋c与x轴交于A（－3，0）、B（m，0）两点，对称轴为直线x＝－1，顶点为C，且∠ACB＝90°．‎ ‎（1）求m的值和抛物线的解析式；‎ A B O DM x y C ‎（2）若过点B的直线y＝－x＋1交抛物线于另一点D，点P在x轴上，且以P、A、C为顶点的三角形与△ABD相似，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求△PAC的外接圆半径．‎ ‎180．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）与x轴交于A（－3，0）、B（2，0）两点，与y轴相交于点C，且∠ACB≥45°，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求a、b、c的取值范围；‎ ‎（2）求△BCD中CD边上的高h的最大值；‎ ‎（3）当a取得最大值时 ‎①求△BCD外接圆的半径；‎ A B O D C x y ‎②在x轴上是否存在点P，使得直线PD将△ABC的面积平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎181．已知抛物线y＝－x 2＋(1－2m)x－m 2＋4（x为自变量）．‎ ‎（1）求证：不论m取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上；‎ ‎（2）若抛物线经过坐标原点，顶点在第二象限，P是抛物线上位于x轴上方、对称轴左侧的一个动点，PQ∥x轴交抛物线于另一点Q，PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N．问：四边形PQNM的周长是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设（2）中的抛物线与x轴的另一交点为A，抛物线的顶点为D，O′ 为△AOD外接圆的圆心，O′′ 为矩形PQNM的中心，试探究△O′AO的周长与△O′′AO的周长之间的大小关系，并写出此时点P横坐标的取值范围．‎ x y O ‎182．如图，在平面直角坐标系中，已知A（－1，0）、B（0，2），点C在第二象限，CD⊥x轴，垂足为D，且△CDA≌△AOB．E为BC延长线上的动点，过A、B、E三点作⊙O′，连结AE，在⊙O′ 上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连接BF．‎ ‎（1）求证：AF·BG＝AG·BF；‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋ax－2经过点C，求抛物线的解析式；‎ y x O C B A D 备用图 ‎（3）在（2）的抛物线上是否存在P、Q两点，使得四边形ABPQ为正方形？若存在，求P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由（用备用图作答）．‎ y x O C B A D F E O′‎ G ‎183．如图，抛物线y＝－ x 2－( m＋3)x＋m 2－12与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜0，x2＞0），与y轴交于点C，且OB＝2OA．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过抛物线的顶点D；‎ ‎（3）过（2）中的点E的直线y＝ x＋b与抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为 M ′、N ′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．是否存在t值，使 ＝ ？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．‎ O A B x y C D M N M ′‎ N ′‎ Q E P ‎184．如图，已知点A（2，2），点B（4，0），将△OAB绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到△OCD（O、A、B的对应点分别为O、C、D），将△OAB沿x轴负方向平移m个单位得到△EFG（m＞0，O、A、B的对应点分别为E、F、G），α，m的值恰好使点C、D、F落在同一反比例函数y＝ (k≠0)的图象上．‎ ‎（1）∠AOB＝________°，a＝________°；‎ ‎（2）求经过点A、B、F三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P、M、F、A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标．‎ O A B x y 备用图 O A B x y ‎185．如图，已知直线y＝－2 x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、C，抛物线y＝－2x 2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为D，点E为抛物线上一点，且S△AEC ＝4S△ADC ，求点E的坐标；‎ ‎（3）点P是直线y＝－2 x＋4上的动点，过点P作PG⊥x轴于G，在y轴上（原点除外）是否存在点Q，使得△PQG为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y C O A B x D 十、动态综合型问题 ‎1．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．‎ ‎① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；‎ ‎② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．‎ ‎（2）当k＝－ 时，设以C为顶点的抛物线y＝( x＋m )2＋n与直线AB的另一交点为D（如图2）．‎ ‎① 求CD的长；‎ ‎② 设△COD的OC边上的高为，当t为何值时，h的值最大？‎ O x y A B ‎1‎ ‎1‎ C P Q 图1‎ O x y A B ‎1‎ ‎1‎ C P D 图2‎ ‎2．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，与x轴的另一交点为点B，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点D．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点E，使四边形ODBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，点P是线段OD上的一个动点（不与O、D重合），以每秒 个单位长度的速度由点D向点O运动，过点P作直线PQ∥x轴，交BD于点Q，将△DPQ沿直线PQ对折，得到△D1PQ．在点P运动的过程中，设△D1PQ与梯形OPQB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．‎ A B C O x y D P Q 图2‎ A B C O x y D 图1‎ ‎3．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，点E从点B出发，以某一速度沿折线BA－AD－DC向点C匀速运动；点F从点C出发，以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点E、F同时出发同时停止．设运动时间为t秒时，△BEF的面积为y，已知y与t的函数关系如图2所示．请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）点E运动到A、D两点时，y的值分别是_______和_______；‎ ‎（2）求BC和CD的长；‎ ‎（3）求点E的运动速度；‎ M O t(秒)‎ ‎4‎ ‎2.5‎ y N P 图2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（4）当t为何值时，△BEF与梯形ABCD的面积之比为1 : 3？‎ A B D C F E 图1‎ ‎4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ A B C D O F P E ‎5．如图所示，已知A、B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从点A开始，在线段AO上以每秒3个单位长的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始，以每秒1个单位长的速度向上平行移动（即EF∥x轴），且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接FP．设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积．当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；‎ A B E O y P x F ‎（3）设t的值分别取t1、t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论．‎ ‎6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发，沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动．过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．‎ A B P D E C F G Q K ‎（1）射线QK能否将四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；‎ ‎（2）当t为何值时，点P恰好落在射线QK上？‎ ‎（3）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．‎ ‎7．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．‎ ‎（1）点C的坐标为_____________，直线l的解析式为_____________；‎ ‎（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；‎ ‎（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．‎ A B P x C O Q M y l ‎8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒．‎ ‎（1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积；‎ ‎②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；‎ ‎（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值；‎ ‎（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．‎ A B P C Q ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．‎ ‎（1）求证：AE＝DF；‎ ‎（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．‎ A B D C F E ‎10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CE⊥AD于点E，AD＝8cm，BC＝4cm，AB＝5cm．从初始时刻开始，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为x s，△PAQ的面积为y cm2．（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：‎ ‎（1）当x＝2s时，y＝_________cm2；当x＝ s时，y＝_________cm2；‎ ‎（2）当5≤x ≤14时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当动点P在线段BC上运动时，求出使y＝ S梯形ABCD的x的值；‎ ‎（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．‎ C D A B E 备用图 C D A B E P Q ‎11．如图，∠C＝90°，点A、B在∠C的两边上，CA＝30，CB＝20，连结AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E．F为射线CB上一点，且∠CEF＝∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．‎ ‎（1）用含有x的代数式表示CE的长；‎ ‎（2）求点F与点B重合时x的值；‎ ‎（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y与x之间的函数关系式；‎ C D A B E F P ‎（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的x值．‎ ‎12．如图，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上OA＝10cm，OC＝6cm．动点P、Q分别从O、A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动；点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s．‎ ‎（1）设点Q的运动速度为 cm/s，运动时间为t秒．‎ ‎①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；‎ ‎②当△COP与△PAQ相似时，求点Q的坐标．‎ ‎（2）设点Q的运动速度为a cm/s，是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ都相似？若存在，求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C y Q B A O P x ‎13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？‎ ‎（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．‎ C Q B A E P H F D ‎14．如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA＝3，OB＝4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．‎ ‎（1）求点E的坐标及AE的长；‎ ‎（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t ＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）当t（0＜t ＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．‎ A x y P ‎1‎ O D E ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ M N B ‎(C)‎ ‎15．如图所示，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A、B和D（4，－ ）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果点P由点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S＝PQ 2（cm2）．‎ ‎①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取 时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．‎ O A B x y C Q D P ‎16．在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC＝60°，∠OAB＝90°，OC＝2，BC＝4，以O点为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图1），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．‎ ‎（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ B C E F O A x y 图2‎ D B C E F O A ‎(D)‎ x y 图1‎ ‎17．已知直线y＝x＋4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC＝60°，BC与x轴交于点C．‎ ‎（1）试确定直线BC的解析式；‎ B C O A x y ‎（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且 BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形PQCM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM ＝ S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；‎ A B C D M P F Q ‎（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎19．如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，直线CB的表达式为y＝－ x＋ ，点A，D的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）．‎ ‎（1）求出点B，C的坐标；‎ ‎（2）求S随t变化的函数关系式（注明t的取值范围）；‎ ‎（3）当t为何值时S有最大值？并求出最大值．‎ B C O A x y D ‎（备用图2）‎ B C O A x y D ‎（备用图1）‎ B C O A x y D P Q ‎20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）当t＝1秒时，S的值是多少？‎ A D B C E F G ‎（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．‎ ‎21．如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O 点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．‎ ‎（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；‎ B O A x y ‎（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D．试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x＋3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2过点C（a，0）（a＞0）且与l1垂直．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．‎ ‎（1）写出A点的坐标和AB的长；‎ ‎（2）当点P、Q运动了t秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．‎ A Q l1‎ O x y B P ‎1‎ ‎1‎ ‎23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒 厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝4 厘米．‎ ‎①求动点Q的运动速度；‎ ‎②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．‎ A B M C P Q 图1‎ N A B M C 图2（备用图）‎ N ‎24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．‎ ‎（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；‎ ‎（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．‎ A O x y B P C D ‎25．如图，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝ x的图象交于点A，且与x轴交于点B．‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ A B O x y y＝－x＋7‎ y＝ x ‎（备用图）‎ A B O x y y＝－x＋7‎ y＝ x ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．‎ ‎（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是_________，‎ 当t＝3时，正方形EFGH的边长是_________；‎ ‎（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ A E P F B G H C ‎27．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC的底角为60°，下底OA在x轴的正半轴上，O为坐标原点，点A的坐标为（m，0），对角线AC平分∠OAB，动点P在AC上以每秒一个单位长度的速度由点A向点C运动（点P不与A、C重合）．过P作AC的垂线，交OA于点D，交折线A－B－C于点E．‎ ‎（1）线段OC的长为_________；（用含m的代数式表示）‎ ‎（2）当直线DE经过点B时，它的解析式为y＝x－2，求m的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设动点P运动了t秒时，△ODE的面积为S，求S关于t的函数关系式；当t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？‎ A D O x y B E C P ‎28．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋b与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点B．点P是y轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．‎ ‎（1）若PA＝PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当⊙P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离；‎ ‎（3）如果以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是等边三角形，求点P的坐标．‎ x B P A O l y x B A O l y ‎（备用图）‎ ‎29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕原点O顺时针旋转得到△A′OB′，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′ 相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）连接DE，当DE与线段OB′ 相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时（如图2），求此时线段DE所在直线的解析式；‎ ‎（3）若以动点为E圆心，以2 为半径作⊙E，连接A′E，当t为何值时，tan∠EA′B′＝ ？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．‎ 图2‎ x B G A O y D A′‎ B′‎ F E 备用图 x B G A O y D A′‎ B′‎ 图1‎ x B G A O y D A′‎ B′‎ ‎ ‎ ‎30．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90º，∠B＝∠D．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）若AB＝3厘米，BC＝5厘米，AE＝ AB，点P从B点出发，以1厘米/秒的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止．从运动开始，经过多少时间，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形？‎ A C B D E ‎31．如图，直线y＝x－6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与点B、O不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F点．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒．‎ ‎（1）①直线y＝x－6与坐标轴交点坐标是A（____，____），B（____，____）；‎ ‎②画出t＝2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；‎ ‎（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形；‎ ‎（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．‎ A O E B F x y ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-5‎ ‎-6‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A（－15，0），AB＝25，AC＝15，点C在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，将△AOP绕点A逆时针方向旋转，使边AO与AC重合，得到△ACD．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；‎ A B P C D O x y A B C O x y ‎（备用图）‎ A B C O x y ‎（备用图）‎ ‎（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎33．已知直线y＝x－6 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在射线BA上以每秒3个单位的速度运动，以C点为圆心，半径为1作⊙C．点P以每秒2个单位的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l⊥x轴．‎ ‎（1）填空：A点坐标为（____，____），B点坐标为（____，____）；‎ ‎（2）若点C与点P同时从点B、点O开始运动，求直线l与⊙C第二次相切时点P的坐标；‎ ‎（3）在整个运动过程中，直线l与⊙C有交点的时间共有多少秒？‎ C O P A B x l y ‎34．已知二次函数y＝ax 2＋bx－2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．‎ ‎（1）求实数a、b的值；‎ ‎（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒 个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．‎ ‎①当t为何值时，线段DF平分△ABC的面积？‎ ‎②是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎③设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，点P在二次函数图象上运动，点Q在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC能否成为以PQ为底的等腰梯形？如果能，直接写出P、Q两点的坐标；如果不能，请说明理由．‎ y O x A B C E F 图1‎ D y O x A B C 图2‎ ‎35．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，AD⊥BC于D．点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E以1cm/s的速度沿BC向终点C运动；点F以2cm/s的速度沿CA、AB向终点B运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，EF⊥AC？当t为何值时，EF⊥AB？‎ ‎（2）设△DEF的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）探索以EF为直径的圆与AC的位置关系，并写出相应位置关系的t的取值范围．‎ E D A B C F ‎36．如图，梯形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，A、B两点在第一象限，且AB∥OC，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．动点P从点（－2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，过点P作直线l，使l与x轴正方向的夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形OABC的面积为S．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）当t＝2秒时，求S的值；‎ ‎（3）求S与t的函数关系式，并求直线l扫过梯形OABC面积的 时点P的坐标．‎ y O x C A B 备用图 y O x C A l B P ‎30°‎ y O x C A B 备用图 y O x C A B 备用图 ‎37．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA、OB分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且OA＝4，OB＝3．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个单位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求△APQ的面积S与t之间的函数关系式；‎ ‎（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；‎ ‎（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在点D，使四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB－BO－OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O，若存在，求相应的t值；若不存在，请说明理由．‎ y O x Q A P B 图2‎ F E y O x A B 备用图 y O x Q A P B C 图1‎ y O x A B 备用图 y O x A B 备用图 y O x A B 备用图 ‎38．如图，直线y＝ x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心在坐标原点、半径为1的动圆以每秒0.4个单位的速度向x轴正方向运动，动点P从B点同时出发，以每秒0.5个单位的速度沿BA方向运动．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）直接写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）当t为何值时，动圆与直线AB相切？‎ ‎（3）问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？‎ y O x A B ‎39．已知直线l：y＝ x＋8与x轴、y轴分别交于点A、B，P是x轴上一点，以P为圆心的⊙P与直线l相切于B点．‎ ‎（1）求点P的坐标和⊙P的半径；‎ ‎（2）若⊙P以每秒 个单位向x轴负方向运动，同时⊙P的半径以每秒 个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有公共点，试求t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ y O x A B l P ‎（4）在（2）中，设⊙P与直线l的一个公共点为Q，若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似，请直接写出此时t的值．‎ ‎40．如图，直线y＝－ x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；‎ ‎（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒 个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．‎ ‎①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．‎ y O x C A B D y O x C A B D 备用图 ‎41．已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿AB方向向终点B运动；同时，动点Q也从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AC方向向终点C运动．连接PC、BQ相交于点D．设两点运动的时间为t秒（0＜t＜4）．‎ ‎（1）记△PQD的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（2）当t为何值时，PC⊥BQ？‎ ‎（3）把△PQB沿直线PQ折叠成△PQB′，设B′Q与AB交于点E．是否存在t的值，使△BEQ是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ C A B D P Q C A B 备用图 ‎42．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2cm，BC＝4cm，点P、Q分别从A、C两点出发，点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速运动．‎ ‎（1）求∠B的度数；‎ ‎（2）若P、Q同时出发，当AP的长为何值时，△PCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？‎ ‎（3）设PQ交直线CD于点E，作PF⊥CD于F，若Q点比P点先出发2秒，请问EF的长是否改变？证明你的结论．‎ A D C B E Q P ‎43．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点，连接AB，过点B作BC∥轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；‎ y O x C A B E F ‎（3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎44．如图，在平行四边形ABCD中，AB在x轴上，D点y轴上，∠C＝60°，BC＝6，B点坐标为（4，0）．点M是边AD上一点，且DM : AD＝1 : 3．点E、F分别从A、C同时出发，以1个单位/秒的速度分别沿AB、CB向点B运动，当点F运动到点B时，点E随之停止运动，EM、CD的延长线交于点P，FP 交AD于点Q．⊙E的半径为 ，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）当t为何值时，PF⊥AD？‎ y O x C A B E F D P M Q ‎（3）在（2）的条件下，⊙E与直线PF是否相切？如果相切，加以证明，并求出切点的坐标；如果不相切，说明理由．‎ ‎45．如图，在等腰梯形OABC中，BC∥OA，AB＝BC．将梯形ABCD沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上点D处，过C、D两点的直线与y轴交于点E．‎ ‎（1）试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；‎ ‎（2）若∠OAB＝60°，AB＝2，在y轴上是否存在一点P，使以P、D、E为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的P点坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将△ODE沿x轴正方向以每秒1个单位的速度平移，得到△O′DE，当点O′ 与点A重合时停止平移．设△O′DE在平移过程中与△OAC重合部分的面积为S，平移时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并求出何时S有最大值，最大值是多少？‎ y O x C A B D E y O x C A D E 备用图 ‎46．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；‎ ‎（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒 个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．‎ y O x C A B l M T P Q ‎47．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．‎ ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2 cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ D C A B P Q ‎（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为a cm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．‎ ‎48．如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线经过点A（－3，0）和点C（0，），与x轴的另一交点为B．点P、Q同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接PQ，将△BPQ沿PQ翻折，所得的△B′PQ与△ABC重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）若点D的坐标为（－4，），当点B′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M，使四边形MADB′ 的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ y O x C Q B D P A B′‎ x＝－1‎ ‎49．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B（0，6），点P以每秒3个单位长度的速度沿BO由B向O运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿AB由A向B运动．已知P、Q两点同时出发，且当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当四边形PQAO为梯形时，求t的值；‎ ‎（2）当△POQ为等腰三角形时，求t的值；‎ ‎（3）在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由；‎ y O x l Q B P A ‎（4）在整个运动过程中，若以点P为圆心、PB为直径的圆与以点Q为圆心、QA为直径的圆相切，请直接写出t的值．‎ ‎50．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋ （a≠0）经过A（－3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．‎ ‎①当t为何值时，线段MN最长；‎ y O x A B M N P C D ‎②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎51．如图，直线y＝kx＋b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ x A O P B y ‎（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）当S＝12时，在坐标轴上是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x A O C D y B F E G ‎52．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A 的坐标为（－6，0），顶点C的坐标为（8，8），边AB在x轴上，顶点D在y轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G．点P以每秒1个单位长度的速度，从点A开始沿折线A－B－C－F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．‎ ‎（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；‎ ‎（2）记△PEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在点P，使得△PFG为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x A O y B ‎53．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（5，0），点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿线段AO向点O运动，点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向点O运动，当其中一个点到达O点时，另一点也随即停止运动．设运动时间为t（秒）．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．‎ ‎（1）若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求点P的坐标；‎ ‎（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的取值范围；‎ ‎（3）在运动的过程中，是否存在⊙P和⊙Q相切？若存在，求出相应的t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎54．如图，直线y＝ x＋m（m≠0）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C．点E从原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动．直线l在平移过程中交射线AB于点F，交y轴于点G．设点E离开原点O的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；‎ ‎（3）直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．‎ x B A y O l F E ‎1‎ ‎1‎ G C 备用图 x B A y O l F E ‎1‎ ‎1‎ G C ‎55．如图，抛物线y＝－x 2－2x＋3与x轴相交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求线段AC所在直线的解析式；‎ ‎（2）点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAC ＝ S△MAB ，求点M的坐标；‎ ‎（3）点P以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA由B向A运动，同时，点Q以每秒 个单位长度的速度，从A开始沿射线AC运动，当P到达A时，整个运动随即结束．设运动的时间为t秒．‎ ‎①求△APQ的面积S与t的函数关系式，并求当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎②在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线BC相切？若能，请直接写出相应的t值；若不能，请说明理由；‎ ‎③直接写出线段PQ的中点在整个运动过程中所经过路径的长．‎ O A B x y C 备用图 O A B x y P Q C ‎55．如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．‎ ‎（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求点H的坐标，若不存在，请说明理由；‎ O A B x C y M N D Q P E F ‎（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．‎ ‎56．如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝ x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax 2＋bx＋c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0）（x0＞0），点P是抛物线的对称轴l上一动点．‎ ‎（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；‎ ‎（2）若△PAC周长的最小值为10＋2 ，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；‎ ‎（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H．设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t 的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；‎ ‎（4）在（3）的条件下，当S＝ 时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（用图3解答）‎ O A B x C y P l M 图2‎ y＝ x＋8‎ O A B x C y P l 图3‎ y＝ x＋8‎ O A B x C y P l 图1‎ y＝ x＋8‎ ‎57．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．‎ ‎（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；‎ ‎（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒 个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．‎ ‎①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；‎ ‎②点Q是点B关于点A的对称点，问BP＋PH＋HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．‎ O A B x C y P D M H O A B x C y D ‎（备用图2）‎ O A B x C y D ‎（备用图1）‎ ‎58．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B为x轴正半轴上一点，点D的坐标为（－ ，1），△AOD和△BDC（点B、D、C沿顺时针方向排列）都为等边三角形．‎ ‎（1）求证：△BOD≌CAD；‎ ‎（2）若△BDC的边长为7，求AC的长及点C的坐标；‎ ‎（3）设（2）中点B的位置为初始位置，点B在x轴上由初始位置以1个单位/秒的速度向左运动，等边△BCD的大小也随之变化，在运动过程中△AOC是否能成为等腰三角形？如果能，请直接写出运动时间t的值；如果不能，请说明理由．‎ O x A y B D C O x A y D 备用图 ‎59．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN＝30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上．如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F．在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S．‎ ‎（1）求等边△ABC的边长；‎ ‎（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形，若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．‎ N A y C O x M 图2‎ B E F P N A y C O x M ‎(B)‎ 图1‎ ‎60．如图（1），在平面直角坐标系中，O是坐标原点，Rt△AOB的直角顶点A在第一象限，斜边OB在x轴正半轴上，∠AOB＝60°，OB＝2 ，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC－CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO－Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．‎ ‎（1）求OC、BC的长；‎ ‎（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ A y C O x B 图（1）‎ P Q A y C O x B 图（2）‎ P Q M ‎（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M．当t为何值时，△OPM为等腰三角形？‎ ‎61．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4）．动点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从 A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？‎ ‎（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．‎ B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图 B y C O x A P Q ‎62．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（4 ，0），点B在第一象限，∠OAB的平分线AC与y轴交于点E．‎ ‎（1）动点P、Q同时从点C出发，其中点P以cm/s的速度沿折线C→O→A向终点A运动；点Q以1cm/s的速度沿射线CA方向运动，当点P达到点A时，P、Q两点停止运动．设运动时间为t秒．求△PQC的面积S与t的函数关系式；‎ ‎（2）点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．问：是否存在点M，使△OMD的面积等于3 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B y C O x A E A y C O x B Q D R P E ‎63．如图，直线AB与CD相交于点E，直线AB、CD的解析式分别是y＝－x＋6，y＝－ x＋4，点P在线段CD上由C向点D以每秒 个单位的速度运动（不运动到D点），过点P作PQ∥x轴，交AB于点Q，再过Q作QR⊥x轴于点R．‎ ‎（1）求点E的坐标；‎ ‎（2）设点P运动的时间为t秒，△PQR的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）在点P运动过程中，是否存在点P，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△OCD相似，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎64．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、‎ N．当点F运动到点C时，△DEF停止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为t秒．‎ ‎（1）求△DEF的边长；‎ ‎（2）求M点、N点在BA上的移动速度；‎ ‎（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．设△PMN的面积为S．‎ ‎①求S与t的函数关系式，当P点在何处时，△PMN的面积最大？‎ ‎②是否存在这样的t值，使得S＝ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ B A D C P E F N M 图2‎ B A D C F 图1‎ ‎(E)‎ ‎65．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC以相同的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设动点的运动时间为t（秒），△PBQ的面积为S．‎ ‎（1）求S关于t的函数关系式；‎ ‎（2）当△PBQ为等腰三角形时，求t的值；‎ A B PM Q C ‎（3）若动点R从点C同时出发，沿CA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点R到达终点时，P、Q两点随之停止运动．问：是否存在某一时刻t（t＝0除外），使得△PBQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎66．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位的速度向点B运动，动点N沿BC →CD边以每秒 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间为t（s）．‎ A C B DM MM NM ‎（1）当t为何值时，MN∥BC ？‎ ‎（2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证：点P的位置固定不变；‎ ‎（3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不存在，请说明理由．‎ ‎67．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，点P从点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C出发沿CA边以2cm/s的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC 于点E．P、Q两点同时出发，当点Q运动到点A时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t＝________秒时，DE经过点C；‎ ‎（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；‎ Q D E C A B P ‎（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎68．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ x＋与y轴、x轴交于点A、B，直线l2经过点A和点C（1，0），动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA运动，连结PC．‎ ‎（1）设△APC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ y x O C B A l1‎ l2‎ P ‎（2）是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎69．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（6，0），将△ABC沿AC翻折，使点B落到点B′ 处，B′ C交x轴于点D，且CD＝2DB′ ．动点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位的速度向点O运动；动点Q从点O出发，沿OA、AB以每秒3个单位的速度向点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求点B′ 的坐标；‎ ‎（2）若以P、Q、D、C为顶点的凸四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ O x y A B C P Q D B′ ‎ ‎（3）当t ＞ 时，设PQ与B′ C相交于点M，问：是否存在这样的t值，使得△PCM为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎70．如图，在平面直角坐标系中，动点P从点A（0，10）出发，以3个单位/秒的速度沿y轴向点O匀速运动，动点Q从点B（5，0）同时出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．设运动的时间为t（秒）．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．‎ O x y A B Q P ‎（1）若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求此时动点P的坐标；‎ ‎（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的取值范围；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎71．如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB＝60°，点E是边AD上一点，且DE＝2cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，PE、CD的延长线相交于点F，FQ交AD于点G．设运动时间为t（s），△CFQ的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）求S与t之间的函数关系式；‎ C P A B Q E D F G ‎（2）是否存在某一时刻，使得线段FQ将菱形ABCD分成上、下两部分的面积之比为1 : 5？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎72．如图，直线y＝－ x＋9与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y＝－ x 2＋b x＋c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（0＜t＜5）秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；‎ ‎（2）以OC为直径的⊙O′ 与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′ 相切？请说明理由；‎ ‎（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒 个单位长度的速度向点A运动，运动时间与点P相同．‎ ‎①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？‎ ‎②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．‎ O C B A x y O′‎ 备用图 M O M C B A x y P Q N O′‎ ‎73．如图，点M在第一象限，半径为6的⊙M交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且∠AMB＝60°，CD＝4 ．‎ ‎（1）求直线AM的解析式；‎ ‎（2）若⊙M以每秒1个单位长的速度沿直线AM向右上方匀速运动 ‎①当⊙M开始运动时，动点N同时从点A出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长的速度匀速运动．在整个运动过程中，点N在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？‎ ‎②在①中，若动点N的运动速度为每秒a个单位，当动点N离开⊙M时，⊙M恰好与x轴相切，求a的值；‎ ‎（3）设P为直线AM上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是一个有三边相等且有一个内角为60°的等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C A B MM D O x y ‎74．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝10，AD＝15，BC＝27．动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿折线段BA－AD－DC向点C匀速运动；动点Q从点C出发，以每秒3个单位长的速度沿线段CB向点B匀速运动，过点Q作QE⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E．设P、Q两点同时出发，运动时间为t秒，当点P与点C重合时整个运动随之结束．‎ ‎（1）当点P在AD上运动时，若PQ∥DC，求t的值；‎ ‎（2）设直线QE扫过梯形ABCD的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）△PQE能否成为直角三角形？若能，求t的取值范围；若不能，请说明理由．‎ B C A D P Q E ‎75．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A（0，－4），B（8，－4），将矩形OABC沿直线AC折叠，点B落在点D处，AD交OC于点E．‎ ‎（1）求OE的长；‎ y O x D C B A E ‎（2）求经过O、D、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）设M为（2）中抛物线的顶点，动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，是否存在时刻t，使得△MAC被直线PM分成面积比为1 : 3的两部分？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎76．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，顶点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点 P从点O出发，以每秒1个 单位长度的速度沿OA匀速向终点A运动．过点P作PM⊥OB，垂足为M．设点P运动的时间为t（s）．‎ ‎（1）设△OPM的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎（2）当点O关于直线CP的对称点O′ 恰好落在对角线OB上时，求直线CP的函数表达式；‎ O A B x y C P M ‎（3）在点P运动的过程中，是否存在时刻t，使得S△PCM ＝ S矩形OABC ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎