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- 2021-05-11 发布
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石景山区2013年初三第二次统一练习
数 学 试 卷
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
1.3的相反数是( )
A.-3 B.3 C. D.
2.某市政府召开的全市经济形势分析会公布,全市去年地区生产总值(GDP)实现1091亿元,数字1091用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
第 3题图
3.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,
△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为( )
A.18 cm B. 22 cm
C.24 cm D. 26 cm
4.一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如下表所示:这次成绩的众数、平均数是( )
成绩(环)
6
7
8
9
10
次数
1
2
2
4
1
A.9, 8 B. 9, 8.2 C. 10, 8 D.10, 8.2
第6题图
5.甲盒装有3个红球和4个黑球,乙盒装有3个红球、4个黑球和5个白球.这些球除了颜色外没有其他区别.搅匀两盒中的球,从盒中分别任意摸出一个球.正确说法是( )
A.从甲盒摸到黑球的概率较大
B.从乙盒摸到黑球的概率较大
C.从甲、乙两盒摸到黑球的概率相等
D.无法比较从甲、乙两盒摸到黑球的概率
6.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,若AC=8,AB=10,OD⊥BC于点D,则BD的长为( )
A.6 B.5 C.3 D.1.5
7.若二次函数配方后为,则、的值分别为( )
A.2、6 B.2、8 C.-2、6 D.-2、8
8. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体,则下列说法正确的是( )
主视图方向
第 8题图
A.左视图面积最大
B.俯视图面积最小
C.左视图面积和主视图面积相等
D.俯视图面积和主视图面积相等
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.分解因式: = .
10.抛物线的图象和x轴有交点,则k的取值范围是 .
11.已知:平面直角坐标系xoy中,圆心在x轴上的⊙M与y轴交于点(0,4)、点,过作⊙的切线交轴于点,若点M(-3,0),则的值为 .
O
D
.
y
H
A
O
x
M
第 11题图 第 12题图
12.如图,,过上到点的距离分别为1,4,7,10,13,16,…的点作的垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为…,观察图中的规律,第4个黑色梯形的面积 ,第n(n为正整数)个黑色梯形的面积 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算:.
14.解分式方程:.
D
C
A
B
F
G
E
15.如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B、C不重合),AE^DG于E,CF∥AE交DG于F.请在图中找出一对全等三角形,并加以证明.
16. 先化简,再求值:,其中x满足.
17.已知:如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点,点坐标为,连接,过点作轴,垂足为点,且△的面积为.
(1)求的值;
(2)求这个一次函数的解析式.
18.甲、乙两位同学进行长跑训练,两人距出发点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答问题:
(1)他们在进行 米的长跑训练;
(2)在3<x<4的时段内,速度较快的人是 ;
(3)当x= 时,两人相距最远,此时两人距离是多少米(写出解答过程)?
甲
乙
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.如图,四边形ABFE中,延长FE至点P,∠AEP=74°,∠BEF=30°,∠EFB=120°, AF平分∠EFB,EF=2. 求AB长(结果精确到0.1).(参考数据:≈1.73, ≈1.41,sin74°≈0.6,cos74°≈0.28,
O
tan74°≈3.49, sin76°≈0.97,cos76°≈0.24)
20.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E
.
(1)求证:点E为BC中点;
(2)若tanEDC=,AD=,求DE的长.
21.为了解某区九年级学生学业考试体育成绩,现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段(A:40分; B:39-35分; C:34-30分; D:29-20分;
E:19-0分)统计如下:
学业考试体育成绩(分数段)统计表
学业考试体育成绩(分数段)统计图
0
分数段
人数(人)
频率
A
48
0.2
B
a
0.25
C
84
b
D
36
0.15
E
12
0.05
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)在统计表中,的值为_____,的值为______,并将统计图补充完整;
(2)甲同学说:“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问:甲同学的体育成绩应在什么分数段内?______(填相应分数段的字母)
(3)如果把成绩在30分以上(含30分)定为优秀,那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名?
22.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、N、分别在BC、AB上,将矩形ABCD沿MN折叠,设点B的对应点是点E.
(1)若点E在AD边上,BM=,求AE的长;
(2)若点E在对角线AC上,请直接写出AE
的取值范围: .
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.如图,抛物线过点A(-1,0),B(3,0),其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数(x>0,k是常数)的图象经过抛物线的顶点D.
(1)求抛物线和反比例函数的解析式.
y
x
O
(2)在线段DC上任取一点E,过点E作轴平行线,交y轴于点F、交双曲线于点G,联结DF、DG、FC、GC.
①若△DFG的面积为4,求点G的坐标;
②判断直线FC和DG的位置关系,请说明理由;
③当DF=GC时,求直线DG的函数解析式.
24.如图,四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中,正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动.
(1)如图1,当四点共线时,四边形的面积为 __;
(2)如图2,当三点共线时,请直接写出= _________;
(3)在正方形绕中心旋转的过程中,直线与直线的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想.
图1
图2
图3
25.(1)如图1,把抛物线平移后得到抛物线,抛物线经过点和原点,它的顶点为,它的对称轴与抛物线交于点,则抛物线的解析式为____________;图中阴影部分的面积为_____.
(2)若点为抛物线上的动点,我们把时的△称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线,抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点,以为直径的⊙与轴交于、两点,如图2.请问:当点在抛物线上运动时,线段的长度是否会发生变化?请写出并证明你的判断.
图2
图1
石景山区2013初三第二次统一练习
数学参考答案
阅卷须知:
1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅.
2.为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分,解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
一、选择题(本题共8道小题,每小题4分,共32分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
A
B
B
B
A
C
C
D
二、填空题(本题共4道小题,每小题4分,共16分)
9.; 10.且; 11.; 12.;.
三、解答题(本题共6道小题,每小题5分,共30分)
13.解:原式= ……………………………………………………4分
= ………………………………………………………5分
14. 解: ………………………………………………………2分
∴ ……………………………………………………………4分
经检验: 是原方程的增根………………………………………………5分
∴是原方程的根.
15.证明:略(找出全等三角形1分;证明4分)
16.解:原式 …………………………………………………………2分
由,得 ……………………………………… 3分
由题意, ……………………………………………………… 4分
∴原式. ………………………………………………………5分
17. 解:(1)设点的坐标为,则有,即: …………1分
∵△的面积为,∴, …………………2分
∴=-3. …………………………………………………………3分
(2)∵,∴,当时,,
∴点坐标为,……………………………………………………………4分
把点坐标代入得,这个一次函数的解析式为. …5分
18.解:(1)1000米; ……..……..………..……..…..……………………..1分
(2)甲 ………………..……..……..……..……..…………..2分
(3)设l乙:,过(4,1000),故 ……………………..3分
在0<x3的时段内,设l甲:,过(3,600),故……..4分
当时,.
答:当时,两人相距最远,此时两人距离是150米 ………..……..……..5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19. 解:由∠EFB=120°,AF平分∠EFB,
∴∠EFO=60°,∠EOF=90°………………………………………………………..1分
∴FE=FB ………………………………………………………..2分
Rt△EOF中,
∴OE……………………………………………………………..3分
Rt△EOA中,
∴AE ……………………………………..4分
在△和△中
∴△≌△
∴AB=AE ……………………………………………..5分
20.解: (1)连结OD,
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,又∠ABC=90°,
∴BC是⊙O切线 ………………………………………………..1分
∵DE是⊙O切线
∴BE=DE,
∴∠EBD=∠EDB,
∵∠ADB=90°,∴∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠CDE=90°,∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE,
∴BE=CE. ………………………………………………..2分
(2) ∵∠ABC=90°,∠ADB=90°,
∴∠C=∠ABD=∠EDC,
Rt△ABD中,DB=, …………………………………..3分
Rt△BDC中,BC=,………………………………..4分
又点E为BC中点,∴=3 .……………………………………..5分
21.60
学业考试体育成绩(分数段)统计图
0
解:(1) 60 , 0.35 ,补充后如右图:………………………… 3分
(2) C ; ……………4分
(3)0.8×2400=1920(名)
答:该区九年级考生中体育成绩
为优秀的学生人数有1920名.
…………………………5分
22.解:(1)由题意,△BMN沿MN折叠得到△EMN
∴△BMN≌△EMN
∴EM=BM=.
过点M作MH⊥AD交AD于点H,则四边形ABMH为矩形
MH=AB=3, AH=BM=.
Rt△EHM中,
EH=
∴AE. ……………………………… 3分
(2) 1≤AE≤3. ……………………………… 5分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:
(1)抛物线过点A(-1,0),B(3,0)
解得:
∴抛物线的解析式为
顶点
函数,是常数)图象经过,
.…………………………………………………………………… 2分
(2)①设G点的坐标为,
据题意,可得E点的坐标为,F点的坐标为,
,,.
由的面积为4,即,得,点G的坐标为.
………………………………………………… 3分
②直线FC和DG平行.理由如下:
方法1:利用相似三角形的性质.
据题意,点的坐标为,,
,易得,,
,.
.
∴△∽△
………………………………………………… 5分
方法2:利用正切值.
据题意,点的坐标为,,
,易得,,
,.
.
③解:方法1:
,当时,有两种情况:
当时,四边形是平行四边形,
由上题得,,,得.
点G的坐标是(2,2).
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得
直线的函数解析式是.…………………………………… 6分
当FD与CG所在直线不平行时,四边形是等腰梯形,
则,,点G的坐标是(4,1).
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得
直线的函数解析式是.…………………………………… 7分
综上所述,所求直线的函数解析式是或.
方法2.
在Rt⊿DFE中,,
在Rt⊿GEC中,,,
解方程得:或
当时,点G的坐标是(2,2).
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得
直线的函数解析式是.
当时,点G的坐标是(4,1).
设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,
得解得
直线的函数解析式是.
综上所述,所求直线的函数解析式是或.
注:不同解法酌情给分
24. 解:(1)==6;…………………………1分
(2)=; ……………………2分
(3). ……………………3分
证明:连接,延长
交于点.如图所示:……4分
由正方形的性质可知:
,
即:
△≌△ ………………………………………5分
即:. ………………………………………7分
25.解:(1)抛物线的解析式为;
图中阴影部分的面积与△的面积相同,.
∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分
(2)由题意可知,抛物线只存在两个内接直角三角形.
当点在抛物线上运动时线段的长度不会发生变化.
证明: ∵为⊙的直径,
∴,
∵,
∴△∽△
∴,
连接,,在△和△中,
,
∴△∽△ …………………………………… 6分
∴
∴,
∴. …………………………………… 8分