南京市玄武区中考二模数学试题含答案评分细则 10页

江苏省南京市玄武区 2017 年中考二模试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再 将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定 位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2 的相反数是 A．2 B．1 2 C．－2 D．－1 2 2．氢原子的半径大约是 0.000 007 7 m，将数据 0.000 007 7 用科学记数法表示为 A．0.77×10－5 B．0.77×10－6 C．7.7×10－5 D．7.7×10－6 3．－ 7介于 A．－4 与－3 之间 B．－3 与－2 之间 C．－2 与－1 之间 D．－1 与 0 之间 4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A．等腰三角形 B．正五边形 C．平行四边形 D．矩形 5．右面是一个几何体的三视图，这个几何体是 A．四棱柱 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 6．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6 cm，P 是对角线 BE 上一动 点，过点 P 作直线 l 与 BE 垂直，动点 P 从 B 点出发且以 1 cm/s 的速度匀速平移至 E 点．设直线 l 扫过正六边形 ABCDEF 区域 的面积为 S（cm2），点 P 的运动时间为 t（s），下列能反映 S 与 t 之间函数关系的大致图像是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．8 的算术平方根是 ；8 的立方根是 ． 8．若式子 1＋ x－2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 主视图 俯视图 左视图 E A F DC B l P （第 6 题） O S t 0 O S t O S t O S t 9．计算 3× 8 6 ＝ ． 10．已知反比例函数 y＝k x 的图像经过点 A（－2，3），则当 x＝－1 时，y＝ ． 11．某班的中考英语口语考试成绩如下表： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 3 15 13 6 3 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 分． 12．若方程 x2－12x＋5＝0 的两根分别为 a，b，则 a2b＋ab2 的值为 ． 13．若圆锥的高为 8 cm，母线长为 10 cm，则它的侧面积为 cm2． 14．若正多边形有一个外角是 30°，则这个正多边形的边数为 ． 15．如图，在⊙O 的内接六边形 ABCDEF 中，∠A＋∠C＝220°，则∠E＝ °． 16．如图，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P 是 BC 边上的动点（不与 B， C 重合），点 P 关于直线 AB，AC 的对称点分别为 M，N，则线段 MN 长的取值范围是 ． （第 15 题） （第 16 题） 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）（1）解不等式组 x－3(x－2)≥4， 2x－1 3 ＞x－1 2 ， 并把它的解集在数轴上表示出来. （2）解方程 3x x－3 ＝1－ 1 3－x ． 18．（6 分）先化简代数式 1－x－1 x ÷ x2－1 x2＋2x ，并从－1，0，1，3 中选取一个合适的数代入求 值. A B C M P N DA B C F E O －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 19．（8 分）某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取 部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图. （第 19 题） （1）频数分布表中 a，b 的值：a＝ ；b＝ ； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校有 1000 名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？ 20．（6 分）从 2 名男生和 3 名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率： （1）抽取 1 名，恰好是女生的概率为 ； （2）抽取 2 名，恰好是 1 名男生和 1 名女生． 21．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，BE＝DF， AE＝CF． （1）求证：△AFD≌△CEB； （2）若∠CBE＝∠BAC，四边形 ABCD 是怎样的四边形？证明你的结论. 查找方式 频数 频率 搜索引擎 16 32% 专题网站 15 a 在线网校 4 8% 试题题库 10 20% 其他 b 10% 上网查找学习资源方式 频数分布表 查找方式 12 4 8 20 上网查找学习资源方式 频数分布直方图 0 数量（名） 其他搜索引擎 专题网站 在线网校 试题题库 16 10 15 4 16 A D F C B E （第 21 题） 22．（6 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售， 增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可 多售出 2 件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250 元，那么衬衫的单价降了多少元？ 23．（8 分）如图，小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 60°和 35°，已知大桥 BC 的长度为 100 m，且与地面在同一水平 面 上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈ 7 12 ，cos35°≈5 6 ， tan35°≈ 7 10 ， 3≈1.7） 24．（8 分）已知二次函数 y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中 a 是常数． （1）求证：不论 a 为何值，该二次函数的图像与 x 轴一定有公共点； （2）当 a＝4 时，该二次函数的图像顶点为 A，与 x 轴交于 B，D 两点，与 y 轴交于 C 点，求四边形 ABCD 的面积． AO B D C y x （第 24 题） （第 23 题） B C A 35° 60° 25．（9 分）如图①，在一条笔直的公路上有 M、P、N 三个地点，M、P 两地相距 20 km， 甲开汽车，乙骑自行车分别从 M、P 两地同时出发，匀速前往 N 地，到达 N 地后停止 运动.已知乙骑自行车的速度为 20 km/h，甲，乙两人之间的距离 y（km）与乙行驶的时 间 t（h）之间的关系如图②所示． （1）M、N 两地之间的距离为 km； （2）求线段 BC 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式； （3）若乙到达 N 地后，甲，乙立即以各自原速度返回 M 地，请在图②所给的直角坐标 系中补全函数图象． 26．（9 分）如图，点 A 在⊙O 上，点 P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，连接 OP 交⊙O 于点 D，作 AB⊥OP 于点 C，交⊙O 于点 B，连接 PB. （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若 PC＝9，AB＝6 3， ①求图中阴影部分的面积； ②若点 E 是⊙O 上一点，连接 AE，BE， 当 AE＝6 2时，BE＝ . M P N 20 km ② DB C y（km） t（h）1 3 1 3O ① （第 25 题） A P O A C B （第 26 题） D 27．（10 分）（1）问题背景 如图①，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，AB＝AC，P 为 ⌒ BmC上一动点（不与 B，C 重合），求证： 2PA＝PB＋PC． 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程． （2）类比迁移 如图②，⊙O 的半径为 3，点 A，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB＝AC，AB⊥AC， 垂足为 A，求 OC 的最小值． （3）拓展延伸 如图③，⊙O 的半径为 3，点 A，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB＝4 3AC，AB⊥AC， 垂足为 A，则 OC 的最小值为 ． 小明同学观察到图中自点 A 出发有三条线段 AB， AP，AC，且 AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于是， 小明同学有如下思考过程： 第一步：将△PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90°至 △QAB（如图①）； 第二步：证明 Q，B，P 三点共线，进而原题得证. m A O B P C ① Q ② O A B C A B C O ③   江苏省南京市玄武区 2017 年中考二模试题 数 学 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照 本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B D B C 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7． 2 2；2 8．x≥2 9．2 10．6 11． 1 12．60 13．60π 14．12 15．140 16．2 6≤MN＜4 2 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（本题 10 分） （1）解： x－3(x－2)≥4， 2x－1 3 ＞x－1 2 , 解不等式，得 x≤1……………………………………………………………………1 分 解不等式，得 x＞－1…………………………………………………………………2 分 ………………………………………………………3 分 所以，不等式组的解集是－1＜x≤1……………………………………………………5 分 （2）方程两边同乘 x－3 得：3x＝(x－3)＋1 解得 x＝－1………………………………………………………………………………3 分 检验：当 x＝－1 时，x－3≠0…………………………………………………………4 分 所以 x＝－1 是原方程的解……………………………………………………5 分 18．（本题 6 分） 解：1－x－1 x ÷ x2－1 x2＋2x ＝1－x－1 x ·x2＋2x x2－1 ………………………………………………………………………1 分 ＝1－x-1 x · x（x＋2） （x＋1）（x－1） …………………………………………………………2 分 ＝1－x＋2 x＋1 ………………………………………………………………………………3 分 ＝－ 1 x＋1 ．………………………………………………………………………………4 分 把 x＝3 代入，原式＝－1 4 ………………………………………………………………6 分 19．（本题 8 分） （1）30%；5………………………………………………………………………………4 分 （2）图略…………………………………………………………………………………6 分 （3）1000×32%＝320（名）……………………………………………………………7 分 答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有 320 名………………………………8 分 20．（本题 6 分） －4－3－2－1 0 1 2 3 4 （1）3 5 ………………………………………………………………………………………2 分 （2）解：从中任意抽取两人，所有可能出现的结果有：(男 1，男 2)、(男 1，女 1)、(男 1，女 2)、（男 1，女 3)、(男 2，女 1)、(男 2，女 2)、（男 2，女 3)、(女 1，女 2)、 (女 1，女 3)、（女 2，女 3)，共有 10 种，它们出现的可能性相同．……………4 分 所有的结果中，满足“恰好 1 男 1 女”（记为事件 B）的结果有 6 种， 所以 P(B)＝ 3 5 ………………………………………………………………………6 分 21．（本题 8 分） 证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AFD＝∠CEB＝90°． ∵AE＝FC， ∴AE＋EF＝FC＋EF， ∴AF＝CE， 又∵BE＝DF， ∴△AFD≌△CEB．…………………………………………………………3 分 （2）四边形 ABCD 为矩形………………………………………………………4 分 ∵△AFD≌△CEB， ∴AD＝BC，∠BCE＝∠DAF． ∴AD∥BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形，……………………………………………6 分 ∵∠CBE＝∠BAC， 又∵∠CBE＋∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形 ABCD 为矩形………………………………………………………8 分 22．（本题 6 分） 解：设衬衫的单价降了 x 元………………………………………………………1 分 （20＋2x）（40－x）＝ 1250……………………………………………………………3 分 x1＝x2＝15………………………………………………………………………………5 分 答：衬衫的单价降了 15 元………………………………………………………………6 分 23．（本题 8 分） 解：作 AD⊥CB 交 CB 所在直线于点 D， 由题知，∠ACD=35°，∠ABD＝60°， 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝35°，tan35°＝AD CD ≈ 7 10 ， 所以 CD＝10 7 AD……………………………………………………………………………2 分 在 Rt△ABD 中，∠ABD=60°，tan60°＝AD BD ＝ 3≈1.7， 所以 BD＝10 17AD……………………………………………………………………………4 分 所以 BC＝CD－BD＝10 7 AD－10 17AD………………………………………………………6 分 所以 10 7 AD－10 17AD＝100，解得 AD＝119m. 答：热气球离地面的高 119m……………………………………………………………8 分 24．（本题 8 分） （1）证明：y＝x2－(a－1)x＋a－2． 因为[－(a－1)]2－4(a－2)＝（a－3）2≥0． 所以，方程 x2－(a－1)x＋a－2＝0 有实数根．……………………………………2 分 所以，不论 a 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点．………………………3 分 （2）由题可知：当 a=4 时，y＝x2－3x＋2， 因为 y＝x2－3x＋2＝（x－3 2 ）2－1 4 ，所以 A（3 2 ，－1 4 ），………………………5 分 当 y＝0 时，x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，所以 B（1，0），D（2，0），…6 分 当 x＝0 时，y＝2，所以 C（0，2），………………………………………………7 分 所以 S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝1 8 ＋1＝9 8 …………………………………………8 分 25．（本题 9 分） （1）80………………………………………………………………………………………2 分 （2）由题可知 B(1 3 ,0)， C(1,40) ………………………………………………………3 分 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝kx＋b． 根据题意，当 x＝1 3 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝40． 所以 1 3k＋b＝2， k+b＝40． ，解得 k＝60， b＝－20．………………………………………………5 分 所以，y 与 x 之间的函数表达式为 y＝60x－20………………………………………6 分 （3）图略……………………………………………………………………………………9 分 26．（本题 9 分） （1）证明：连接 OB ∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O ∴AC＝BC ∴OP 垂直平分 AB ∴AP＝BP ∵OA＝OB,OP＝OP ∴△APO≌△BPO …………………………………………………………2 分 ∵PA 切⊙O 于点 A ∴AP⊥OA ∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝∠PAO＝90° ∴OB⊥BP …………………………………………………………3 分 又∵点 B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点 B…………………………………………………………………4 分 （2）①解：∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O ∴BC＝1 2AB=3 3 ∵∠PBO＝∠BCO=90° ∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90° ∴∠PBC=∠BOC ∴ △ PBC∽ △ BOC ∴OC=BC×BC PC =3 3×3 3 9 =3 ∴在 Rt △ OCB 中，OB＝ OC2+BC2＝6，tan∠COB=BC OC= 3 ∴∠COB＝60° ∴S △ OPB＝18 3，S 扇 DOB＝6π ………………………………………………6 分 ∴S 阴影＝S △ OPB－S 扇 DOB＝18 3－6π………………………………………………7 分 （3）3 6－3 2 或 3 6＋3 2…………………………………………………………9 分 27．（本题 10 分） （1）证明：∵BC 是直径 ∴∠BAC＝90° ∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC=45° 由旋转可得∠QBA＝∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB ∵∠PCA+∠PBA＝180° ∴∠QBA+∠PBA＝180° ∴Q，B，P 三点共线………………………………………………………………2 分 ∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90° ∴QP2=AP2+AQ2=2AP2 ……………………………………………………………3 分 ∴QP= 2AP=QB+BP=PC+PB ∴ 2AP=PC+PB…………………………………………………………………4 分 （2）解：连接 OA，将 △ OAC 绕点 O 顺时针旋转 90 °至 △ QAB，连接 OB，OQ …5 分 ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90° 由旋转可得 QB=OC，AQ=OA，∠QAB＝∠OAC ∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90° ∴在 Rt △ OAQ 中，OQ=3 2，AO=3 ……………………………………………6 分 ∴在 △ OQB 中，BQ≥OQ－OB=3 2－3 …………………………………………7 分 即 OC 最小值是 3 2－3……………………………………………………………8 分 （3）3 2 …………………………………………………………………………………10 分