四川省南充市中考数学试题解析 30页

2017 年四川省南充市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）如果 a+3=0，那么 a 的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 2．（3 分）如图由 7 个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）据统计，参加南充市 2016 年高中阶段学校招生考试的人数为 55354 人，这个数用科学记数法表示为（　　） A．0.55354×105 人 B．5.5354×105 人 C．5.5354×104 人 D．55.354×103 人 4．（3 分）如图，直线 a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠ 1=58°，则∠2 的度数为（　　） A．30° B．32° C．42° D．58° 5．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a4=a2 B．（2a2）3=6a6 C．3a3﹣2a2=a D．3a（1﹣a）=3a﹣3a2 6．（3 分）某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校 10 名同学 参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示： 成绩/分 36 37 38 39 40 人数/人 1 2 1 4 2 下列说法正确的是（　　） A．这 10 名同学体育成绩的中位数为 38 分 B．这 10 名同学体育成绩的平均数为 38 分 C．这 10 名同学体育成绩的众数为 39 分 D．这 10 名同学体育成绩的方差为 2 7．（3 分）如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（　　） A．（1，1） B．（ ，1） C．（ ， ） D．（1， ） 8．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把 Rt△ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（　　） A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2D．130πcm2 9．（3 分）已知菱形的周长为 4 ，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为（　　） A．2 B． C．3 D．4 10．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a≠0）的图象如图所示， 下列结论错误的是（　　） A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b 　 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）如果 =1，那么 m=　 　． 12．（3 分）计算：|1﹣ |+（π﹣ ）0=　 　． 13．（3 分）经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三 种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是　 　． 14．（3 分）如图，在▱ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC，GH∥AB，且 CG=2BG，S△BPG=1，则 S▱AEPH=　 　． 15．（3 分）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离 y 与离家的时间 x 之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报 30 分钟，那么他离家 50 分钟 时离家的距离为　 　km． 16．（3 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG2=2a2+2b2，其中 正确结论是　 　（填序号） 　 三、解答题（共 9 个小题，满分 72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程 或验算步骤 17．（6 分）化简（1﹣ ）÷ ，再任取一个你喜欢的数代入求值． 18．（6 分）在“宏扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动： “A﹣国学诵读”、“B﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”，要求每位同学必须且只 能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生，结果统 计如下： （1）如图，希望参加活动 C 占 20%，希望参加活动 B 占 15%，则被调查的总人 数为　 　人，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为　 　度，根 据题中信息补全条形统计图． （2）学校现有 800 名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 A 有 多少人？ 19．（8 分）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点 E、F，DE=CF，AE=BF，求证： AC∥BD． 20．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣3）x﹣m=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 x1、x2，且 x12+x22﹣x1x2=7，求 m 的值． 21．（8 分）如图，直线 y=kx（k 为常数，k≠0）与双曲线 y= （m 为常数，m＞ 0）的交点为 A、B，AC⊥x 轴于点 C，∠AOC=30°，OA=2 （1）求 m 的值； （2）点 P 在 y 轴上，如果 S△ABP=3k，求 P 点的坐标． 22．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 CF=2，DF=4，求⊙O 直径的长． 23．（8 分）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载 客量 45 人，乙种客车每辆载客量 30 人，已知 1 辆甲种客车和 3 辆乙种客车共需 租金 1240 元，3 辆甲种客车和 2 辆乙种客车共需租金 1760 元． （1）求 1 辆甲种客车和 1 辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用甲、乙两种客车共 8 辆，送 330 名师生集体外出活动，最节 省的租车费用是多少？ 24．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF= AB． （1）求证：EF⊥AG； （2）若点 F、G 分别在射线 AB、BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍，EF⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形 ABCD 的边长为 4，P 是正方形 ABCD 内一点，当 S△PAB=S△OAB，求△ PAB 周长的最小值． 25．（10 分）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的图象 过点 O（0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣ ，直线 l 的 解析式为 y=x． （1）求二次函数的解析式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的 抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△BCE 沿直线 l′折叠，当点 E 恰 好落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与 y 轴交于点 N，把△BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得 到△B′ON′，P 为 l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐 标． 　 2017 年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2017•南充）如果 a+3=0，那么 a 的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【分析】直接移项可求出 a 的值． 【解答】解：移项可得：a=﹣3． 故选 B． 【点评】本题考查解一元一次方程的解法．解一元一次方程常见的思路有通分， 移项，左右同乘除等． 　 2．（3 分）（2017•南充）如图由 7 个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是 （　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是 A 中的图形， 故选：A． 【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是 分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 　 3．（3 分）（2017•南充）据统计，参加南充市 2016 年高中阶段学校招生考试的 人数为 55354 人，这个数用科学记数法表示为（　　） A．0.55354×105 人 B．5.5354×105 人 C．5.5354×104 人 D．55.354×103 人 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与 小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：55354=5.5354×104， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值． 　 4．（3 分）（2017•南充）如图，直线 a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置 摆放，若∠1=58°，则∠2 的度数为（　　） A．30° B．32° C．42° D．58° 【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利 用平行线的性质即可； 【解答】解：如图， 过点 A 作 AB∥b， ∴∠3=∠1=58°， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠4=90°﹣∠3=32°， ∵a∥b，AB∥B， ∴AB∥b， ∴∠2=∠4=32°， 故选 B． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的 关键是作出辅助线，是一道基础题目． 　 5．（3 分）（2017•南充）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a4=a2 B．（2a2）3=6a6 C．3a3﹣2a2=a D．3a（1﹣a）=3a﹣3a2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a4，不符合题意； B、原式=8a4，不符合题意； C、原式不能合并，不符合题意； D、原式=3a﹣3a2，符合题意， 故选 D 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 6．（3 分）（2017•南充）某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该 校 10 名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示： 成绩/分 36 37 38 39 40 人数/人 1 2 1 4 2 下列说法正确的是（　　） A．这 10 名同学体育成绩的中位数为 38 分 B．这 10 名同学体育成绩的平均数为 38 分 C．这 10 名同学体育成绩的众数为 39 分 D．这 10 名同学体育成绩的方差为 2 【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解即可 【解答】解：10 名学生的体育成绩中 39 分出现的次数最多，众数为 39； 第 5 和第 6 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =39； 平均数= =38.4 方差= [（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2× （40﹣38.4）2]=1.64； ∴选项 A，B、D 错误； 故选 C． 【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答 本题的关键． 　 7．（3 分）（2017•南充）如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（　　） A．（1，1） B．（ ，1） C．（ ， ） D．（1， ） 【分析】先过 B 作 BC⊥AO 于 C，则根据等边三角形的性质，即可得到 OC 以及 BC 的长，进而得出点 B 的坐标． 【解答】解：如图所示，过 B 作 BC⊥AO 于 C，则 ∵△AOB 是等边三角形， ∴OC= AO=1， ∴Rt△BOC 中，BC= = ， ∴B（1， ）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是 作辅助线构造直角三角形． 　 8．（3 分）（2017•南充）如图，在 Rt△ABC 中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°， 把 Rt△ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为 （　　） A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2D．130πcm2 【分析】易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°， ∴由勾股定理得 AB=13， ∴圆锥的底面周长=10π， ∴旋转体的侧面积= ×10π×13=65π， 故选 B． 【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 　 9．（3 分）（2017•南充）已知菱形的周长为 4 ，两条对角线的和为 6，则菱形 的面积为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【分析】由菱形的性质和勾股定理得出 AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 求出 2AO•BO=4，即可得出答案． 【解答】解：如图四边形 ABCD 是菱形，AC+BD=6， ∴AB= ，AC⊥BD，AO= AC，BO= BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即 AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积= AC•BD=2AO•BO=4； 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式， 记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型． 　 10．（3 分）（2017•南充）二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a≠0）的图 象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：（A）由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故 A 正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与 y 轴的负半轴， ∴c＜0， ∵抛物线对称轴为 x=﹣ ＜0， ∴b＜0， ∴abc＜0，故 B 正确； ∵当 x=﹣1 时， y=a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b，∵b＞2a ∴a+b+c＞2b＞4a，b+c＞3a 故 C 正确； ∵当 x=﹣1 时 y=a﹣b+c＞0， ∴a﹣b+c＞c， ∴a﹣b＞0， ∴a＞b，故 D 错误； 故选（D） 【点评】本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质， 本题属于中等题型， 　 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）（2017•南充）如果 =1，那么 m=　2　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 m 的值，经 检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：1=m﹣1， 解得：m=2， 经检验 m=2 是分式方程的解， 故答案为：2 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检 验． 　 12．（3 分）（2017•南充）计算：|1﹣ |+（π﹣ ）0=　 　． 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案． 【解答】解：|1﹣ |+（π﹣ ）0 = ﹣1+1 = ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各式是解题关键． 　 13．（3 分）（2017•南充）经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右 转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是　 　． 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出两辆汽车经过该十字路 口都直行的结果数．然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为 1， 所以则两辆汽车都直行的概率为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事 件 A 或事件 B 的概率． 　 14．（3 分）（2017•南充）如图，在▱ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC， GH∥AB，且 CG=2BG，S△BPG=1，则 S▱AEPH=　4　． 【分析】由条件可证明四边形 HPFD、BEPG 为平行四边形，可证明 S 四边形 AEPH=S 四边形 PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形 AEPH 和四边形 PFCG 的面积相等， 由已知条件即可得出答案． 【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形 HPFD、BEPG、AEPH、CFPG 为平行四边形， ∴S△PEB=S△BGP， 同理可得 S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB， ∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP， 即 S 四边形 AEPH=S 四边形 PFCG． ∵CG=2BG，S△BPG=1， ∴S 四边形 AEPH=S 四边形 PFCG=4×1=4； 故答案为：4． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质 是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别 相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④ 两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四 边形． 　 15．（3 分）（2017•南充）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离 y 与 离家的时间 x 之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报 30 分钟，那么 他离家 50 分钟时离家的距离为　0.3　km． 【分析】根据题意和函数图象可以求得小明从图书馆回家的速度以及对应的时 间，从而可以求得他离家 50 分钟时离家的距离或者根据题意求出相应的函数解 析式，求出当 x=50 时，对应的 y 的值即可解答本题． 【解答】解：方法一：由题意可得， 小明从图书馆回家用的时间是：55﹣（10+30）=15 分钟， 则小明回家的速度为：0.9÷15=0.06km/min， 故他离家 50 分钟时离家的距离为：0.9﹣0.06×[50﹣（10+30）]=0.3km， 故答案为：0.3； 方法二：设小明从图书馆回家对应的函数解析式为 y=kx+b， 则该函数过点（40，0.9），（55，0）， ，解得， ， 即小明从图书馆回家对应的函数解析式为 y=﹣0.06x+3.3， 当 x=50 时，y=﹣0.06×50+3.3=0.3， 故答案为：0.3． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题 需要的条件，利用一次函数的性质解答． 　 16．（3 分）（2017•南充）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b， 正 方 形 CEFG 绕 点 C 旋 转 ， 给 出 下 列 结 论 ： ① BE=DG ； ② BE ⊥ DG ； ③ DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是　①②③　（填序号） 【分析】由四边形 ABCD 与四边形 EFGC 都为正方形，得到四条边相等，四个角 为直角，利用 SAS 得到三角形 BCE 与三角形 DCG 全等，利用全等三角形对应边 相等即可得到 BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余 角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即 可． 【解答】解：设 BE，DG 交于 O， ∵四边形 ABCD 和 EFGC 都为正方形， ∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG， 在△BCE 和△DCG 中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE=DG， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠BOC=90°， ∴BE⊥DG；故①②正确； 连接 BD，EG，如图所示， ∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2， 则 BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确． 故答案为：①②③． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练 掌握性质与定理是解本题的关键． 　 三、解答题（共 9 个小题，满分 72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程 或验算步骤 17．（6 分）（2017•南充）化简（1﹣ ）÷ ，再任取一个你喜欢的数代 入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 x 的值代入 进行计算即可． 【解答】解：（1﹣ ）÷ ， =（ ﹣ ） ， = ， = ， ∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0， ∴x≠±1，x≠0， 当 x=5 时，原式= = ． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的 关键，注意代入的数值必须保证分式有意义． 　 18．（6 分）（2017•南充）在“宏扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划 开展四项活动：“A﹣国学诵读”、“B﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”，要求每 位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部 分学生，结果统计如下： （1）如图，希望参加活动 C 占 20%，希望参加活动 B 占 15%，则被调查的总人 数为　60　人，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为　72　度，根据 题中信息补全条形统计图． （2）学校现有 800 名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 A 有 多少人？ 【分析】（1）根据统计图中希望参加 C 的人数和所占的百分比可以求得被调查 的总人数，进而可以求得参加活动 B 和 D 的人数，计算出希望参加活动 D 所占 圆心角的度数，将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据可以估算全校学生希望参加活动 A 有多少人． 【解答】解：（1）由题意可得， 被调查的总人数是：12÷20%=60，希望参加活动 B 的人数为：60×15%=9，希望 参加活动 D 的人数为：60﹣27﹣9﹣12=12， 扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为：360°×（1﹣ ﹣15%﹣20%） =360°×20%=72°， 故答案为：60，72， 补全的条形统计图如右图所示； （2）由题意可得， 800× =360， 答：全校学生希望参加活动 A 有 360 人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键 是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 　 19．（8 分）（2017•南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点 E、F，DE=CF， AE=BF，求证：AC∥BD． 【分析】欲证明 AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA 即可． 【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠DEB=∠AFC=90°， ∵AE=BF， ∴AF=BE， 在△DEB 和△CFA 中， ， △DEB≌△CFA， ∴∠A=∠B， ∴AC∥DB． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题 的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 　 20．（8 分）（2017•南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣3）x﹣m=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 x1、x2，且 x12+x22﹣x1x2=7，求 m 的值． 【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程 的△的值大于 0 即可； （2）根据根与系数的关系可以得到关于 m 的方程，从而可以求得 m 的值． 【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0， ∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，方程的两实根为 x1、x2，且 x12+x22﹣x1x2=7， ∴ ， ∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7， 解得，m1=1，m2=2， 即 m 的值是 1 或 2． 【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答． 　 21．（8 分）（2017•南充）如图，直线 y=kx（k 为常数，k≠0）与双曲线 y= （m 为常数，m＞0）的交点为 A、B，AC⊥x 轴于点 C，∠AOC=30°，OA=2 （1）求 m 的值； （2）点 P 在 y 轴上，如果 S△ABP=3k，求 P 点的坐标． 【分析】（1）求出点 A 坐标利用待定系数法即可解决问题； （2）设 P（0，n），由 A（ ，1），B（﹣ ，﹣1），可得 •|n|• + •|n|• =3× ，解方程即可； 【解答】解：（1）在 Rt△AOC 中，∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，OA=2， ∴AC=1，OC= ， ∴A（ ，1）， ∵反比例函数 y= 经过点 A（ ，1）， ∴m= ， ∵y=kx 经过点 A（ ，1）， ∴k= ． （2）设 P（0，n）， ∵A（ ，1），B（﹣ ，﹣1）， ∴ •|n|• + •|n|• =3× ， ∴n=±1， ∴P（0，1）或（0，﹣1）． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法，三角形的面 积等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数的解析式，学会构建方程 解决问题，属于中考常考题型． 　 22．（8 分）（2017•南充）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 CF=2，DF=4，求⊙O 直径的长． 【分析】（1）连接 OD、CD，由 AC 为⊙O 的直径知△BCD 是直角三角形，结合 E 为 BC 的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD 且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O 的半径为 r，由 OD2+DF2=OF2，即 r2+42=（r+2）2 可得 r=3，即可得出 答案． 【解答】解：（1）如图，连接 OD、CD， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴△BCD 是直角三角形， ∵E 为 BC 的中点， ∴BE=CE=DE， ∴∠CDE=∠DCE， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD+∠DCE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°，即 OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为 r， ∵∠ODF=90°， ∴OD2+DF2=OF2，即 r2+42=（r+2）2， 解得：r=3， ∴⊙O 的直径为 6． 【点评】本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理， 熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键． 　 23．（8 分）（2017•南充）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲 种客车每辆载客量 45 人，乙种客车每辆载客量 30 人，已知 1 辆甲种客车和 3 辆 乙种客车共需租金 1240 元，3 辆甲种客车和 2 辆乙种客车共需租金 1760 元． （1）求 1 辆甲种客车和 1 辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用甲、乙两种客车共 8 辆，送 330 名师生集体外出活动，最节 省的租车费用是多少？ 【分析】（1）可设 1 辆甲种客车的租金是 x 元，1 辆乙种客车的租金是 y 元，根 据等量关系：①1 辆甲种客车和 3 辆乙种客车共需租金 1240 元，②3 辆甲种客车 和 2 辆乙种客车共需租金 1760 元，列出方程组求解即可； （2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车 6 辆，租用乙客车 2 辆，进 而求解即可． 【解答】解：（1）设 1 辆甲种客车的租金是 x 元，1 辆乙种客车的租金是 y 元， 依题意有 ， 解得 ． 故 1 辆甲种客车的租金是 400 元，1 辆乙种客车的租金是 280 元； （2）方法 1：租用甲种客车 6 辆，租用乙客车 2 辆是最节省的租车费用， 400×6+280×2 =2400+560 =2960（元）． 方法 2：设租用甲种客车 x 辆，依题意有 45x+30（8﹣x）≥330， 解得 x≥6， 租用甲种客车 6 辆，租用乙客车 2 辆的租车费用为： 400×6+280×2 =2400+560 =2960（元）； 租用甲种客车 7 辆，租用乙客车 1 辆的租车费用为： 400×7+280 =2800+280 =3080（元）； 2960≤3080， 故最节省的租车费用是 2960 元． 【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是 读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 　 24．（10 分）（2017•南充）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF= AB． （1）求证：EF⊥AG； （2）若点 F、G 分别在射线 AB、BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍，EF⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形 ABCD 的边长为 4，P 是正方形 ABCD 内一点，当 S△PAB=S△OAB，求△ PAB 周长的最小值． 【分析】（1）由正方形的性质得出 AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出 ，得 出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和 三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可； （2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角 和定理即可得出结论； （3）过 O 作 MN∥AB，交 AD 于 M，BC 于 N，则 MN⊥AD，MN=AB=4，由三角 形面积关系得出点 P 在线段 MN 上，当 P 为 MN 的中点时，△PAB 的周长最小， 此时 PA=PB，PM= MN=2，连接 EG，则 EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△ GOE，得出 = ，证出 = ，得出 AM= AE= ，由勾股定理求出 PA，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°， ∵点 E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF= AB． ∴ = ， = ， ∴ ， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG； （2）解：成立；理由如下： 根据题意得： = ， ∵ = ， ∴ ， 又∵∠EAF=∠ABG， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG； （3）解：过 O 作 MN∥AB，交 AD 于 M，BC 于 N，如图所示： 则 MN⊥AD，MN=AB=4， ∵P 是正方形 ABCD 内一点，当 S△PAB=S△OAB， 作点 A 关于 MN 的对称点 A′，连接 BA′，与 MN 交于点 P，此时△PAB 的周长最 小， ∵PA=PA′，易证 PA=PB，PM=PN， 此时 PA=PB，PM= MN=2， 连接 EG、PA、PB，则 EG∥AB，EG=AB=4， ∴△AOF∽△GOE， ∴ = ， ∵MN∥AB， ∴ = ， ∴AM= AE= ×2= ， 由勾股定理得：PA= = ， ∴△PAB 周长的最小值=2PA+AB= +4． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性 质、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强， 有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键． 　 25．（10 分）（2017•南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点 O（0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣ ，直线 l 的解析式为 y=x． （1）求二次函数的解析式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的 抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△BCE 沿直线 l′折叠，当点 E 恰 好落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与 y 轴交于点 N，把△BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得 到△B′ON′，P 为 l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐 标． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣ ），设抛物线的解析式为 y=a （x﹣2）2﹣ ，把（0，0）代入得到 a= ，即可解决问题； （2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m，0）， 由 E、B 关于对称轴对称，可得 =2，由此即可解决问题； （3）分两种情形求解即可①当 P1 与 N 重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时 P1 （0，﹣3）．②当 N′=N′B′时，设 P（m，m﹣3），列出方程解方程即可； 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，﹣ ），设抛物线的解析式 为 y=a（x﹣2）2﹣ ， 把（0，0）代入得到 a= ， ∴抛物线的解析式为 y= （x﹣2）2﹣ ，即 y= x2﹣ x． （2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m，0）， ∵E′在抛物线上，易知四边形 EBE′C 是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对 称轴， ∴E、B 关于对称轴对称， ∴ =2， 解得 m=1 或 6（舍弃）， ∴B（3，0），C（1，﹣2）， ∴直线 l′的解析式为 y=x﹣3． （3）如图 2 中， ①当 P1 与 N 重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时 P1（0，﹣3）． ②当 N′=N′B′时，设 P（m，m﹣3）， 则有（m﹣ ）2+（m﹣3﹣ ）2=（3 ）2， 解得 m= 或 ， ∴P2（ ， ），P3（ ， ）． 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（0，﹣3）或（ ， ） 或（ ， ）． 【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两 点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据 方程，属于中考压轴题．