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- 2021-05-11 发布
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2018年山西省中考真题数学
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.下面有理数比较大小,正确的是( )
A.0<-2
B.-5<3
C.-2<-3
D.1<-4
解析:A、0>-2,故此选项错误;
B、-5<3,正确;
C、-2>-3,故此选项错误;
D、1>-4,故此选项错误.
答案:B.
2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:A、《九章算术》是中国古代数学专著,作者已不可考,它是经历代各家的增补修订,而逐渐成为现今定本的;
B、《几何原本几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作;
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作,由刘徽于三国魏景元四年所撰;
D、《周髀算经》原名《周髀》,是算经的十书之一,中国最古老的天文学和数学著作.
答案:B.
3.下列运算正确的是( )
A.(-a3)2=-a6
B.2a2+3a2=6a2
C.2a2·a3=2a6
D.
解析:分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断.
答案:D.
4.下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.x2-2x=0
B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0
D.3x2=5x-2
解析:利用根的判别式△=b2-4ac分别进行判定即可.
答案:C.
5.近年来快递业发展迅速,下表是2018年1~3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位:万件):
1~3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是( )
A.319.79万件
B.332.68万件
C.338.87万件
D.416.01万件
解析:首先按从小到大排列数据:319.79,302.34,332.68,338.87,416.01,725.86,3303.78
由于这组数据有奇数个,中间的数据是338.87,
所以这组数据的中位数是338.87.
答案:C.
6.黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为( )
A.6.06×104立方米/时
B.3.136×106立方米/时
C.3.636×106立方米/时
D.36.36×105立方米/时
解析:1010×360×24=3.636×106立方米/时.
答案:C.
7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析:首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此题属于放回实验.
答案:A.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△AˊBˊCˊ,此时点Aˊ恰好在AB边上,则点Bˊ与点B之间的距离为( )
A.12
B.6
C.6
D.6
解析:连接BˊB,利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可.
答案:D.
9.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=(x-4)2+7
B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7
D.y=(x+4)2-25
解析:直接利用配方法进而将原式变形得出答案.
答案:B.
10.如图,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A.4π-4
B.4π-8
C.8π-4
D.8π-8
解析:利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积.
答案:A.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算:(3+1)(3-1)=_____.
解析:根据平方差公式计算即可.
答案:17.
12.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.
图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____度.
解析:由多边形的外角和等于360°可知,
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
答案:360°.
13. 2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高三者之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20cm,长与高的比为8:11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为_____cm.
解析:设长为8x,高为11x,
由题意,得:19x+20≤115,
解得:x≤5,
故行李箱的高的最大值为:11x=55,
答:行李箱的高的最大值为55厘米.
答案:55.
14.如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为_____.
解析:作高线BG,根据直角三角形30度角的性质得:BG=1,AG=,可得AF的长.
答案:2.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为_____.
解析:先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5,再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FG⊥BD,利用面积即可得出结论.
答案:.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.计算:
(1)(2)2-|-4|+3-1×6+20.
(2).
解析:(1)先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂,再计算乘法,最后计算加减运算可得;
(2)先将分子、分母因式分解,再计算乘法,最后计算减法即可得.
答案:(1)原式=8-4+×6+1
=8-4+2+1
=7.
(2)原式=
=
=.
17.如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比例函数y2= (k2≠0)的图象相交于点C(-4,-2),D(2,4).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)当x为何值时,y1>0;
(3)当x为何值时,y1<y2,请直接写出x的取值范围.
解析:(1)将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式,然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式;
(2)根据一元一次不等式的解法即可求出答案.
(3)根据图象即可求出答案该不等式的解集.
答案:(1)∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C(-4,-2),D(2,4),
∴,
解得.
∴一次函数的表达式为y1=x+2.
∵反比例函数y2=的图象经过点D(2,4),
∴4=.
∴k2=8.
∴反比例函数的表达式为y2=.
(2)由y1>0,得x+2>0.
∴x>-2.
∴当x>-2时,y1>0.
(3)x<-4或0<x<2.
18.在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动,拟开展活动项目为:剪纸,武术,书法,器乐,要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整).
请解答下列问题:
(1)请补全条形统计图和扇形统计图;
(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少?
(3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人?
(4)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加
“器乐”活动项目的女生的概率是多少?
解析:(1)先求出参加活动的女生人数,进而求出参加武术的女生人数,即可补全条形统计图,再分别求出参加武术的人数和参加器乐的人数,即可求出百分比;
(2)用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论;
(3)根据样本估计总体的方法计算即可;
(4)利用概率公式即可得出结论.
答案:(1)由条形图知,男生共有:10+20+13+9=52人,
∴女生人数为100-52=48人,
∴参加武术的女生为48-15-8-15=10人,
∴参加武术的人数为20+10=30人,
∴30÷100=30%,
参加器乐的人数为9+15=24人,
∴24÷100=24%,
补全条形统计图和扇形统计图如图所示:
(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是×100%=40%.
答:在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比为40%.
(3)500×21%=105(人).
答:估计其中参加“书法”项目活动的有105人.
(4).
答:正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为.
19.祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点C到AB的距离(参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28°≈0.5)
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).
解析:(1)过点C作CD⊥AB于点D.解直角三角形求出DC即可;
(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等
答案:(1)过点C作CD⊥AB于点D.
设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°.
∵tan38°=,∴AD=.
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°.
∵tan28°=,∴BD=.
∵AD+BD=AB=234,∴x+2x=234.
解得x=72.
答:斜拉索顶端点C到AB的距离为72米.
(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(答案不唯一)
20. 2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南-北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.
解析:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时,根据速度=路程÷时间结合“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
答案:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时,
根据题意得:,
解得:x=,
经检验,x=是原分式方程的解,
∴x+.
答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时.
21.请阅读下列材料,并完成相应的任务:
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.
著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y′,作Y′Z∥CA,交BD于点Z′,并在AB上取一点A′,使Z′A′=Y′Z′.第三步,过点A作AZ∥A′Z′,交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A′Z′,∴∠BA′Z′=∠BAZ,
又∵∠A′BZ′=∠ABZ.∴△BA′Z′~△BAZ.
∴.
同理可得.∴.
∵Z′A′=Y′Z′,∴ZA=YZ.
任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明;
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程;
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA′Z′Y′放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是_____.
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
解析:(1)四边形AXYZ是菱形.首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形AXYZ是平行四边形,再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论;
(2)利用菱形的四条边相等推知AX=XY=YZ.根据等量代换得到AX=BY=XY.
(3)根据位似变换的定义填空.
答案:(1)四边形AXYZ是菱形.
证明:∵ZY∥AC,YX∥ZA,
∴四边形AXYZ是平行四边形.
∵ZA=YZ,
∴平行四边形AXYZ是菱形.
(2)证明:∵CD=CB,
∴∠1=∠3.
∵ZY∥AC,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴YB=YZ.
∵四边形AXYZ是菱形,
∴AX=XY=YZ.
∴AX=BY=XY.
(3)通过作平行线把四边形BA′Z′Y′放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,此时四边形BA′Z′Y′∽四边形BAZY,所以该变换形式是位似变换.
22.综合与实践
问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.
探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:
证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴.(依据1)
∵BE=AB,∴ =1.∴EM=DM.
即AM是△ADE的DE边上的中线,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;
(2)
创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;
探索发现:
(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.
解析:(1)①直接得出结论;
②借助问题情景即可得出结论;
(2)先判断出∠BCE+∠BEC=90°,进而判断出∠BEC=∠BCG,得出△GHC≌△CBE,判断出AD=BC,进而判断出HC=BH,即可得出结论;
(3)先判断出四边形BENM为矩形,进而得出∠1+∠2=90°,再判断出∠1=∠3,得出△ENF≌△EBC,即可得出结论.
答案:(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).
依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).
②答:点A在线段GF的垂直平分线上.
理由:由问题情景知,AM⊥DE,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DE∥FG,
∴点A在线段GF的垂直平分线上.
(2)证明:过点G作GH⊥BC于点H,
∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°,
∴∠BCE+∠BEC=90°.
∵四边形CEFG为正方形,
∴CG=CE,∠GCE=90°,
∴∠BCE+∠BCG=90°.
∴∠2BEC=∠BCG.
∴△GHC≌△CBE.
∴HC=BE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∵AD=2AB,BE=AB,
∴BC=2BE=2HC,
∴HC=BH.
∴GH垂直平分BC.
∴点G在BC的垂直平分线上.
(3)答:点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).
证法一:过点F作FM⊥BC于点M,过点E作EN⊥FM于点N.
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.
∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,
∴∠CBE=∠ABC=90°,
∴四边形BENM为矩形.
∴BM=EN,∠BEN=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形CEFG为正方形,
∴EF=EC,∠CEF=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠3.
∵∠CBE=∠ENF=90°,
∴△ENF≌△EBC.
∴NE=BE.∴BM=BE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∵AD=2AB,AB=BE.
∴BC=2BM.
∴BM=MC.
∴FM垂直平分BC.
∴点F在BC边的垂直平分线上.
23.综合与探究
如图,抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.
解析:(1)解方程x2-x-4=0得A(-3,0),B(4,0),计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标;
(2)利用勾股定理计算出AC=5,利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4,则可设Q(m,m-4)(0<m<4),讨论:当CQ=CA时,则m2+(m-4+4)2=52,当AQ=AC时,(m+3)2+(m-4)2=52;当QA=QC时,(m+3)2+(m-4)2=52,然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标;
(3)过点F作FG⊥PQ于点G,如图,由△OBC为等腰直角三角形.可判断△
FQG为等腰直角三角形,则FG=QG=FQ,再证明△FGP~△AOC得到,则PG=FQ,所以PQ=FQ,于是得到FQ=PQ,设P(m,m2-m-4)(0<m<4),则Q(m,m-4),利用PQ=-m2+m得到FQ=(-m2+m),然后利用二次函数的性质解决问题.
答案:(1)当y=0,x2-x-4=0,解得x1=-3,x2=4,
∴A(-3,0),B(4,0),
当x=0,y=x2-x-4=-4,
∴C(0,-4);
(2)AC==5,
易得直线BC的解析式为y=x-4,
设Q(m,m-4)(0<m<4),
当CQ=CA时,m2+(m-4+4)2=52,解得m1=,m2=-(舍去),此时Q点坐标为(,-4);
当AQ=AC时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m1=1,m2=-0(舍去),此时Q点坐标为(1,-3);
当QA=QC时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m=(舍去),
综上所述,满足条件的Q点坐标为(,-4)或(1,-3);
(3)解:过点F作FG⊥PQ于点G,如图,
则FG∥x轴.由B(4,0),C(0,-4)得△OBC为等腰直角三角形.
∴∠OBC=∠QFG=45°.
∴△FQG为等腰直角三角形,
∴FG=QG=FQ,
∵PE∥AC,PG∥CO,
∴∠FPG=∠ACO,
∵∠FGP=∠AOC=90°,
∴△FGP~△AOC.
∴,即,
∴PG=,
∴PQ=PG+GQ=,
∴FQ=PQ,
设P(m,m2-m-4)(0<m<4),则Q(m,m-4),
∴PQ=m-4-(m2-m-4)=-m2+m,
∴FQ=(-m2+m)=-(m-2)2+
∵-<0,
∴QF有最大值.
∴当m=2时,QF有最大值.