2016中考数学八大题型集训专题复习七 几何图形综合题 题型1 与三角形四边形有关的几何综合题 16页

‎ ‎ 专题复习(七)　几何图形综合题 几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．‎ 题型1　与三角形、四边形有关的几何综合题 类型1　操作探究题　　　　　　　　　　‎ ‎　　(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.‎ ‎(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；‎ ‎(2)求∠BPQ的大小；‎ ‎(3)求CQ的长．‎ ‎【思路点拨】　(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．‎ ‎【解答】　(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD＝90°.‎ ‎∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.‎ ‎∴△APP′是等腰直角三角形．‎ ‎(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，‎ ‎∴PP′＝.‎ ‎∵P′B＝PD＝，PB＝2，‎ ‎∴P′B2＝PP′2＋PB2.‎ ‎∴∠P′PB＝90°.‎ ‎∵△APP′是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠APP′＝45°.‎ ‎∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°.‎ ‎(3)过点B作BM⊥AQ于M.‎ ‎∵∠BPQ＝45°，∴△PMB为等腰直角三角形．‎ 由已知，BP＝2，∴BM＝PM＝2.‎ ‎∴AM＝AP＋PM＝3.‎ 在Rt△ABM中，‎ AB＝＝＝.‎ ‎∵cos∠QAB＝＝，即＝，‎ ‎∴AQ＝.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在Rt△ABQ中，BQ＝＝.‎ ‎∴QC＝BC－BQ＝－＝.‎ ‎1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．‎ ‎2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2015·自贡)在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B‎1C.‎ ‎　　　 图1　　　　　　　　　　　图2‎ ‎(1)如图1，当点B1在线段BA延长线上时．‎ ‎①求证：BB1∥CA1；‎ ‎②求△AB‎1C的面积；‎ ‎(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．‎ ‎2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(1)将图1中的△A1B‎1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A‎1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；‎ ‎(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？‎ ‎(3)如图3，在B‎1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．‎ ‎3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎(3)已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 类型2　动态探究题　　　‎ ‎　(2015·乐山)如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝.‎ ‎(1)求CD边的长；‎ ‎(2)如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．‎ ‎【思路点拨】　(1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；‎ ‎(2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．‎ ‎【解答】　(1)分别延长AD、BC相交于E.‎ 在Rt△ABE中，∵tanA＝，AB＝3，∴BE＝4.‎ ‎∵BC＝2，∴EC＝2.‎ 在Rt△ABE中，AE＝＝＝5.‎ ‎∴sinE＝＝.∴CD＝.‎ ‎(2)∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E＝∠E，‎ ‎∴∠ECD＝∠A.‎ ‎∴tan∠ECD＝tanA＝.‎ ‎∴＝＝，解得ED＝.‎ 如图4，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，‎ ‎∴＝.∴＝，即PQ＝＋x.‎ ‎∵S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC，‎ ‎∴y＝PQ·EP－DC·ED ‎ ＝(＋x)(＋x)－×× ‎ ＝x2＋x.‎ 如图5，当Q点到达B点时，EC＝BC，DC∥PQ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH＝ED＝，‎ ‎∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤.‎ 动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2013·成都)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC的同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.‎ ‎(1)求证：AC＝AD＋CE；‎ ‎(2)若AD＝3，AB＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.‎ ‎①当点P与A，B两点不重合时，求的值；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)‎ ‎2．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．‎ ‎(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；‎ ‎(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；‎ ‎(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．(2015·绵阳)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.‎ ‎(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；‎ ‎(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；‎ ‎(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．‎ 类型3　类比探究题　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　(2015·成都)已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.‎ ‎(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.‎ ‎①求证：△CAE∽△CBF；‎ ‎②若BE＝1，AE＝2，求CE的长．‎ ‎(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且＝＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；‎ ‎(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)‎ ‎【思路点拨】　(1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF，进而求CE；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k的式子表示出CE，BF，并建立CE2，BF2的等量关系，从而求出k；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m，n，p的关系．‎ ‎【解答】　(1)①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF＋∠ECB＝45°，‎ ‎∴∠ACE＝∠BCF.‎ 又∵＝＝，∴△CAE∽△CBF.‎ ‎②∵＝＝，AE＝2，∴BF＝.‎ 由△CAE∽△CBF可得∠CAE＝∠CBF.‎ 又∠CAE＋∠CBE＝90°，‎ ‎∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.‎ ‎∴EF＝＝.‎ ‎∴CE＝EF＝.‎ ‎(2)连接BF，同理可得∠EBF＝90°，‎ 由＝＝k，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶，CF∶EF∶EC＝1∶k∶.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴BF＝，BF2＝.‎ ‎∴CE2＝×EF2＝(BE2＋BF2)，‎ 即32＝(12＋)，解得k＝.‎ ‎(3)p2－n2＝(2＋)m2.‎ 提示：连接BF，同理可得∠EBF＝90°，过C作CH⊥AB，交AB延长线于H，‎ 可解得AB2∶BC2∶AC2＝1∶1∶(2＋)，‎ EF2∶FC2∶EC2＝1∶1∶(2＋)，‎ ‎∴p2＝(2＋)EF2＝(2＋)(BE2＋BF2)‎ ‎ ＝(2＋)(m2＋)＝(2＋)m2＋n2.‎ ‎∴p2－n2＝(2＋)m2.‎ 本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．‎ ‎1．(2013·乐山)阅读下列材料：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，BC＝b.若＝，则有结论：MN＝.‎ 请根据以上结论，解答下列问题：‎ 如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3.‎ ‎(1)若点P为线段EF的中点．求证：PP1＝PP2＋PP3；‎ ‎ (2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．‎ ‎2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．‎ ‎[发现证明]‎ 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．‎ ‎[类比引申]‎ 如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.‎ ‎[探究应用]‎ 如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝‎80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 类型1　操作探究题 ‎1．(1)①证明：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠ACB.‎ ‎∵B‎1C＝BC，‎ ‎∴∠CB1B＝∠B.‎ 又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB，‎ ‎∴∠CB1B＝∠A1CB1.‎ ‎∴BB1∥CA1.‎ ‎②过A作AG⊥BC于G，过C作CH⊥AB于H.‎ ‎∵AB＝AC，AG⊥BC，‎ ‎∴BG＝CG.‎ ‎∵在Rt△AGB中，cos∠ABC＝＝，AB＝5，‎ ‎∴BG＝3.‎ ‎∴BC＝6.∴B‎1C＝BC＝6.∵B‎1C＝BC，CH⊥AB，∴BH＝B1H.∴B1B＝2BH.‎ ‎∵在Rt△BHC中，cos∠ABC＝＝，‎ ‎∴BH＝.∴BB1＝.∴AB1＝BB1－AB＝－5＝，CH＝＝＝.‎ ‎∴S△AB‎1C＝AB1·CH＝××＝.‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于F，以点C为圆心，CF为半径画圆交BC于F1，此时EF1最小．‎ 此时在Rt△BFC中，CF＝.‎ ‎∴CF1＝.‎ ‎∴EF1的最小值为CF－CE＝－3＝.‎ 以点C为圆心，BC为半径画圆交BC的延长线于F′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC＋CF′1＝3＋6＝9.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴线段EF1的最大值与最小值的差9－＝.　‎ ‎2.(1)证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，‎ ‎∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°.在△B1CQ和△BCP1中， ‎∴△B1CQ≌△BCP1.∴CQ＝CP1.‎ ‎(2)作P1D⊥CA于D，∵∠A＝30°，‎ ‎∴P1D＝AP1＝1.‎ ‎∵∠P1CD＝45°，‎ ‎∴CP1＝P1D＝.‎ ‎∵CP1＝CQ，‎ ‎∴CQ＝.‎ ‎(3)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴AC＝BC.∵BE⊥P1B，∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠CBE＝30°.‎ ‎∴∠CBE＝∠A.‎ 由旋转的性质可得：∠ACP1＝∠BCE，‎ ‎∴△AP‎1C∽△BEC.‎ ‎∴AP1∶BE＝AC∶BC＝∶1.‎ 设AP1＝x，则BE＝x，在Rt△ABC中，∠A＝30°，‎ ‎∴AB＝2BC＝2.∴BP1＝2－x.‎ ‎∴S△P1BE＝×x(2－x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，‎ ‎∵－<0，‎ ‎∴当x＝1时，△P1BE面积的最大值为.　‎ ‎3.(1)作AH⊥BC于H，‎ ‎∴∠AHB＝90°.在Rt△AHB中，AH＝AB·sinB＝3×sin60°＝3×＝.‎ ‎∴S△ABC＝＝.‎ ‎(2)如图1，当0＜x≤1.5时，y＝S△ADE.‎ ‎　图1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 作AG⊥DE于G，‎ ‎∴∠AGD＝90°，∠DAG＝30°.‎ ‎∴DE＝x，AG＝x.‎ ‎∴y＝＝x2.‎ 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，‎ ‎　图2‎ ‎∵AD＝x，∴DE＝AD＝x，BD＝DM＝3－x.‎ ‎∴DG＝(3－x)，MF＝MN＝2x－3.‎ ‎∴MG＝(3－x)．‎ ‎∴y＝＝－x2＋3x－.‎ ‎∴y＝ ‎(3)当0＜x≤1.5时，y＝x2，∵a＝＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，‎ ‎∴x＝1.5时，y最大＝，如图3，当1.5＜x＜3时，y＝－x2＋3x－，‎ ‎∴y＝－(x2－4x)－＝(x－2)2＋.‎ ‎∵a＝－＜0，开口向下，∴x＝2时，y最大＝.∵＞，‎ ‎∴y最大时，x＝2.‎ ‎　图3‎ ‎∴DE＝AD＝2，BD＝DM＝1.‎ 作FO⊥DE于O，连接MO，ME.‎ ‎∴DO＝OE＝1.∴DM＝DO.‎ ‎∵∠MDO＝60°，‎ ‎∴△MDO是等边三角形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴∠DMO＝∠DOM＝60°，MO＝DO＝1.‎ ‎∴MO＝OE，∠MOE＝120°.‎ ‎∴∠OME＝30°.‎ ‎∴∠DME＝90°.‎ ‎∴DE是直径，S⊙O＝π×12＝π.‎ 类型2　动态探究题 ‎1．(1)证明：∵BD⊥BE，A，B，C三点共线，‎ ‎∴∠ABD＋∠CBE＝90°.‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠CBE＋∠E＝90°.‎ ‎∴∠ABD＝∠E.‎ 又∵∠A＝∠C，AD＝BC，‎ ‎∴△DAB≌△BCE(AAS)．∴AB＝CE.‎ ‎∴AC＝AB＋BC＝AD＋CE.‎ ‎(2)①连接DQ，设BD与PQ交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP＝∠QFB，‎ ‎∴△DFP∽△QFB.∴＝.‎ 又∵∠DFQ＝∠PFB，‎ ‎∴△DFQ∽△PFB.∴∠DQP＝∠DBA.‎ ‎∴tan∠DQP＝tan∠DBA.‎ 即在Rt△DPQ和Rt△DAB中，＝.‎ ‎∵AD＝3，AB＝CE＝5，‎ ‎∴＝.‎ ‎②过Q作QH⊥BC于点H.∵PQ⊥DP，∠A＝∠H＝90°，‎ ‎∴△APD∽△HQP.∴＝＝.∵DA＝3，∴PH＝5.‎ ‎∵AP＝PC＝4，AB＝PH＝5，∴PB＝CH＝1.‎ ‎∵EC⊥BH，QH⊥BH，∴＝.∴＝.∴QH＝.‎ 在Rt△BHQ中，BQ＝＝＝.‎ ‎∵MN是△BDQ的中位线，∴MN＝.　‎ ‎2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝BP·AD＝(6－t)·8＝－4t＋24.‎ 当点P在边BC上时，BP＝t－6.‎ ‎∴S＝BP·AB＝(t－6)·6＝3t－18.‎ ‎∴S＝ ‎(3)∵D(－t，t)，当点P在边AB上时，P(－t－8，t)．‎ 若＝时，＝，解得t＝6.若＝时，＝，解得t＝20.‎ ‎∵0≤t≤6，∴t＝20时，点P不在边AB上， 不合题意．‎ 当点P在边BC上时，P(－14＋t，t＋6)．若＝时，＝，解得t＝6.‎ 若＝时，＝，解得t＝.‎ ‎∵6≤t≤14，∴t＝时，点P不在边BC上，不合题意．‎ ‎∴当t＝6时，△PEO与△BCD相似．　‎ ‎3.(1)当点M为AC的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C的重合时，BA＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM＝2时，AM＝AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形．‎ ‎(2)证明：在AB上取点K，使AK＝AN，连接KN.‎ ‎∵AB＝AD，BK＝AB－AK，ND＝AD－AN，‎ ‎∴BK＝DN.又DH平分直角∠CDG，‎ ‎∴∠CDH＝45°.‎ ‎∴∠NDH＝90°＋45°＝135°.‎ ‎∵∠BKN＝180°－∠AKN＝135°，‎ ‎∴∠BKN＝∠NDH.∵在Rt△ABN中，∠ABN＋∠ANB＝90°，‎ 又BN⊥NH，即∠BNH＝90°，∴∠ANB＋∠DNH＝180°－∠BNH＝90°.‎ ‎∴∠ABN＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)，‎ ‎∴BN＝NH.‎ ‎(3)①当M在AC上时，即0＜t≤2时，易知：△AMF为等腰直角三角形．‎ ‎∵AM＝t，∴AF＝FM＝t.∴S＝AF·FM＝·t·t＝t2.‎ 当M在CG上时，即2＜t＜4时，CM＝t－AC＝t－2，MG＝4－t.‎ ‎∵AD＝DC，∠ADC＝∠CDG，CD＝CD，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴△ACD≌△GCD(SAS)．∴∠ACD＝∠GCD＝45°.‎ ‎∴∠ACM＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°.‎ ‎∴△MFG为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝(4－t)·＝4－t.‎ ‎∴S＝S△ACG－S△MCJ－S△FMG＝×4×2－·CM·CM－·FG·FM＝4－·(t－2)2－·(4－t)2＝－t2＋4t－8.‎ ‎∴S＝ ‎②在0＜t≤2范围内，当t＝2时，S的最大值为×(2)2＝2；‎ 在2＜t＜4范围内，S＝－(t－)2＋.当t＝时，S的最大值为.‎ ‎∵>2，∴当t＝秒时，S的最大值为.‎ 类型3　类比探究题 ‎1．(1)证明：过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S.‎ ‎∵BE为角平分线，‎ ‎∴ER＝ES.过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，同理FM＝FN.‎ ‎∵ES⊥BA，PP2⊥AB，‎ ‎∴PP2∥ES.同理得PP3∥FN，FM∥PP1∥ER.‎ ‎∵点P为EF中点，PP2∥ES，‎ ‎∴△FPP2∽△FES.‎ ‎∴ES＝2PP2，同理FN＝2PP3.‎ ‎∴FM＝2PP3，ER＝2PP2.‎ 在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，‎ ‎∴根据题设结论可知：PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.‎ ‎(2)探究结论：PP1＝PP2＋PP3‎ ‎.证明：过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER＝ES.‎ 过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM＝FN.点P为EF上任意一点，不妨设＝，则＝，＝.∵PP2∥ES，∴＝＝.‎ ‎∴ES＝PP2.‎ ‎∵PP3∥FN，∴＝＝.∴FN＝PP3.∴ER＝PP2，FM＝PP3.‎ 在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴根据题设结论可知：PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.　‎ ‎2.[发现证明]：将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．‎ ‎∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG.‎ ‎∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.‎ 在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°.‎ ‎∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中， ‎∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF.又GF＝DG＋DF＝BE＋DF.‎ ‎∴EF＝BE＋FD.‎ ‎[类比引申]：∠EAF＝∠BAD，‎ 理由如下：将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合．‎ ‎∴△ABE≌△ADG.‎ ‎∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG.‎ ‎∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD.‎ ‎∵在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°.‎ ‎∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中， ‎∴△EAF≌△GAF.‎ ‎∴EF＝GF.‎ 又GF＝DG＋DF＝BE＋DF，‎ ‎∴EF＝BE＋FD.‎ ‎[探究应用]：连接AF，延长BA、CD交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.‎ ‎∴△AOD为直角三角形．在Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝‎80米．‎ ‎∴AO＝‎40‎米，OD＝‎40米．‎ ‎∵OF＝OD＋DF＝40＋40(－1)＝40(米)，‎ ‎∴AO＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠EAF＝90°－15°＝75°.∴∠EAF＝∠BAD.‎ ‎∵∠BAE＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B＝60°，‎ ‎∴△BAE为等边三角形．‎ ‎∴BE＝AB＝‎80米．‎ 由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(＋1)≈109(米)．‎ ‎ ‎