中考压轴题之几何探究型解题技巧 13页

中考压轴题之几何探究型解题技巧 一、 旋转引辅助线法：‎ 方法技巧：‎ 旋转引辅助线法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转到另一位置的一种引辅助线方法。‎ 旋转法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转法常用于等腰三角形、等边三角形、及正方形等具有相等边的图形中。‎ 旋转时要注意确定旋转中心，旋转方向及旋转角度的大小。‎ 经典真题：‎ ‎1、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，则有结论EF＝BE＋FD成立；‎ ‎ ‎ ‎（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.‎ 解：‎ ‎2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； ‎ ‎（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ‎ ‎（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，‎ 若AN=，则Q= （用、L表示）．‎ ‎3、请阅读下列材料：‎ 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.‎ 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，‎ 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：‎ ‎（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数 量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）‎ ‎（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线 段CB延长线上时，如图（2），其它条件 ‎ 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？‎ 请说明你的猜想并给予证明.‎ 一、 与中点有关的辅助线的添加方法 方法技巧：‎ ‎ ①有中线，可延长；②作斜边中线，利用斜边中线性质证题；③有中点，造中位；④有底中点，连中线（造中垂）；‎ ‎⑤倍长中线法造全等三角形；⑥等边三角形三边中点连线造等边三角形。‎ 经典真题：‎ ‎1、设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ//PC.‎ （1） 证明：PC=2AQ；‎ （2） 当点F为BC的中点时，试比较和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。‎ ‎ ‎ ‎2、已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．‎ ‎（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明； ‎ ‎（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．‎ 图②‎ 图①‎ ‎ ‎ ‎3、已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG. (1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由； （2）将图1中△BEF绕B 点顺时针旋转得图2，连结DF, 取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；‎ ‎（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；‎ ‎4、如图， 已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动）．‎ ‎（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；‎ A E F D B N C M ‎（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由． ‎ ‎ （第4题图1） （第4题图2） （第4题图3）‎ 三、与角平分线有关的辅助线 方法技巧：‎ ‎①角边等，造全等；②点分线，垂两边；③角分垂，等腰归；④角分平，等腰呈。⑤角平分线+直角=﹥相似三角形 经典真题：‎ ‎1、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB。‎ ‎（1）如图1，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证:AB+AD=AC;‎ ‎（2）如图2，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；‎ ‎（3）如图3，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明。‎ ‎2、已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.‎ ‎（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；‎ ‎（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.‎ ‎ ‎ 四、 截取与延长构造特殊图形法 方法技巧：‎ 线段的截长补短法：‎ 截长补短就是在证题时，在长线段上截取和短线段相等的线段或把短线段补成和长线段相等的线段的引辅助线方法。‎ 一般在以下几种情况下可以用截长补短法证题：‎ 1、 当已知或求证中有一条线段大于另一条线段时；‎ 2、 当已知或求证中涉及到线段的和（或差）等于另一条线段（或几条线段和差）时。‎ 其基本图形如下图：已知AB>AC,截长法就是在AB上截取AD=AC,补短法就是延长CA到E,使AE=AB；通过这样的截长或补短,可以把分散的条件集中起来,为证明三角形全等或等腰三角形提供了条件.‎ ‎ ‎ 经典真题：‎ ‎2、如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，,‎ MH与六边形外角的平分线BQ交于H点. ‎ ‎（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;‎ ‎（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B 重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.‎ ‎3、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线 交AD于点E，交BC于点F. 若PE=PF，且AP+AE=CP+CF. ‎ ‎（1）求证：PA=PC；‎ ‎（2）若AD=12，AB=15，，求四边形ABCD的面积.‎ 五、从特殊到一般法 经典真题：‎ ‎1、‎ ‎2、请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．‎ D C G P A B E F 图2‎ D A B E F C P G 图1‎ 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．‎ ‎（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．‎ 解：（1）线段与的位置关系是 ； ．‎ ‎（2）‎