连云港2015中考数学试题解析版 21页

2015 年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.．（3 分）（2015•衢州）﹣3 的相反数是（　　） 　A．3 B．﹣3 C． D ． ﹣ 考点：相反数．12999 数学网 专题：常规题型． 分析：根据相反数的概念解答即可． 解答：解：﹣3 的相反数是 3， 故选：A． 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数 的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 　 2.．（3 分）（2015•连云港）下列运算正确的是（　　） 　A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2•a3=a6 D ． （a+b）2=a2+b2 考点：同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．12999 数学网 分析：根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可． 解答：解：A、2a 与 3b 不能合并，错误； B．5a﹣2a=3a，正确； C．a2•a3=a5，错误； D．（a+b）2=a2+2ab+b2，错误； 故选 B． 点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算． 　 3.．（3 分）（2015•连云港）2014 年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省 辖市中居第一位，居民人均可支配收入约 18000 元，其中“18000”用科学记数法表示为 （　　） 　A．0.18×105 B．1.8×103 C．1.8×104 D ． 18×103 考点：科学记数法—表示较大的数．12999 数学网 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 18000 用科学记数法表示为 1.8×104． 故选 C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 4.．（3 分）（2015•连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛 中每名学生的平均成绩 及其方差 s2 如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学 生参赛，则应选择的学生是（　　） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 s2 1 1 1.2 1.3 　A．甲 B．乙 C．丙 D ． 丁 考点：方差；算术平均数．12999 数学网 分析：从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合 两个方面可选出乙． 解答：解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳 定， 因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙， 故选：B． 点评：此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量， 方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差 越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳 定． 　 5.．（3 分）（2015•连云港）已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（　　） 　A ． 当 AD=BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 　B．当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 　C．当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形 　D ． 当 AC=BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形 考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．12999 数学网 分析：由平行四边形的判定方法得出 A 不正确、B 正确；由矩形和正方形的判定方法得出 C、D 不正确． 解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形， ∴C 不正确； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， ∴D 不正确； 故选：B． 点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、 矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键． 　 6.．（3 分）（2015•连云港）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+3k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的 取值范围是（　　） 　A．k＜ B．k＞ C．k＜ 且 k≠0 D ． k＞ 且 k≠0 考点：根的判别式．12999 数学网 专题：计算题． 分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，即可求出 k 的范围． 解答：解：∵方程 x2﹣2x+3k=0 有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣12k＞0， 解得：k＜ ． 故选 A． 点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 　 7.．（3 分）（2015•连云港）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（﹣3， 4），顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 y= （x＜0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为（　　） 　A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D ． ﹣36 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．12999 数学网 分析：根据点 C 的坐标以及菱形的性质求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出 k 的值 即可． 解答：解：∵C（﹣3，4）， ∴OC= =5， ∴CB=OC=5， 则点 B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故 B 的坐标为：（﹣8，4）， 将点 B 的坐标代入 y= 得，4= ， 解得：k=﹣32． 故选 C． 点评：本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是 根据菱形的性质求出点 B 的坐标． 　 8.．（3 分）（2015•连云港）如图是本地区一种产品 30 天的销售图象，图①是产品日销售量 y（单位：件）与时间 t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润 z（单位： 元）与时间 t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润， 下列结论错误的是（　　） 　A ． 第 24 天的销售量为 200 件 　B．第 10 天销售一件产品的利润是 15 元 　C．第 12 天与第 30 天这两天的日销售利润相等 　D ． 第 30 天的日销售利润是 750 元 考点：一次函数的应用．12999 数学网 分析：根据函数图象分别求出设当 0≤t≤20，一件产品的销售利润 z（单位：元）与时间 t（单 位：天）的函数关系为 z=﹣x+25，当 0≤t≤24 时，设产品日销售量 y（单位：件）与 时间 t（单位；天）的函数关系为 y= ，根据日销售利润=日销售量×一件产品 的销售利润，即可进行判断． 解答：解：A、根据图①可得第 24 天的销售量为 200 件，故正确； B．设当 0≤t≤20，一件产品的销售利润 z（单位：元）与时间 t（单位：天）的函 数关系为 z=kx+b， 把（0，25），（20，5）代入得： ， 解得： ， ∴z=﹣x+25， 当 x=10 时，y=﹣10+25=15， 故正确； C．当 0≤t≤24 时，设产品日销售量 y（单位：件）与时间 t（单位；天）的函数关系为 y=k1t+b1， 把（0，100），（24，200）代入得： ， 解得： ， ∴y= ， 当 t=12 时，y=150，z=﹣12+25=13， ∴第 12 天的日销售利润为；150×13=1950（元），第 30 天的日销售利润为；150×5=750 （元）， 750≠1950，故 C 错误； D．第 30 天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确． 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9.．（3 分）（2015•连云港）在数轴上，表示﹣2 的点与原点的距离是　2　． 考点：数轴．12999 数学网 分析：在数轴上，表示﹣2 的点与原点的距离即是﹣2 的绝对值，是 2． 解答：解：﹣2 与原点的距离为：|﹣2|=2． 点评：注意：距离是一个非负数，求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对 值． 　 10.．（3 分）（2015•连云港）代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 x≠3　． 考点：分式有意义的条件．12999 数学网 分析：根据分母不等于 0 进行解答即可． 解答：解：要使代数式 在实数范围内有意义， 可得：x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故答案为：x≠3 点评：此题考查分式有意义，关键是分母不等于 0． 　 11.．（3 分）（2015•连云港）已知 m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=　1　． 考点：整式的混合运算—化简求值．12999 数学网 分析：先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算． 解答：解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， ∵m+n=mn， ∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1， 故答案为 1． 点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的 运算法则，此题难度不大． 　 12.．（3 分）（2015•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为　 720°　． 考点：多边形内角与外角．12999 数学网 分析：根据多边形内角和公式进行计算即可． 解答：解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°． 故答案为：720°． 点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180° （n≥3）且 n 为整数）． 　 13.．（3 分）（2015•连云港）已知一个函数，当 x＞0 时，函数值 y 随着 x 的增大而减小，请 写出这个函数关系式　y=﹣x+2　(写出一个即可）． 考点：一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．12999 数学网 专题：开放型． 分析：写出符合条件的函数关系式即可． 解答：解：函数关系式为：y=﹣x+2，y= ，y=﹣x2+1 等； 故答案为：y=﹣x+2 点评：本题考查的是函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 　 14.．（3 分）（2015•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为　8π　． 考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图．12999 数学网 分析：根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为 4，底面圆的直径为 4，然后 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径 等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 解答：解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为 4，底面圆的直径为 4， 所以这个几何体的侧面展开图的面积= ×4π×4=8π． 故答案为：8π． 点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 　 15.．（3 分）（2015•连云港）在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是　4：3　． 考点：角平分线的性质．12999 数学网 分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD 的边 AB 上的高与△ACD 的 AC 上的高相等，估 计三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比． 解答：解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴设△ABD 的边 AB 上的高与△ACD 的 AC 上的高分别为 h1，h2， ∴h1=h2， ∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB：AC=4：3， 故答案为 4：3． 点评：本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性 质是解题的关键． 　 16.．（3 分）（2015•连云港）如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线 l1∥l2∥l3，l1 与 l2 之间距离是 1，l2 与 l3 之间距离是 2，且 l1，l2，l3 分别经过点 A，B，C，则边 AC 的长为　 　． 考点：相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．12999 数学网 分析：过点 B 作 EF⊥l2，交 l1 于 E，交 l3 于 F，在 Rt△ABC 中运用三角函数可得 = ，易 证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出 FC，然后在 Rt△BFC 中运用勾股定 理可求出 BC，再在 Rt△ABC 中运用三角函数就可求出 AC 的值． 解答：解：如图，过点 B 作 EF⊥l2，交 l1 于 E，交 l3 于 F，如图． ∵∠BAC=60°，∠ABC=90°， ∴tan∠BAC= = ． ∵直线 l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l1，EF⊥l3， ∴∠AEB=∠BFC=90°． ∵∠ABC=90°， ∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC， ∴△BFC∽△AEB， ∴ = = ． ∵EB=1，∴FC= ． 在 Rt△BFC 中， BC= = = ． 在 Rt△ABC 中，sin∠BAC= = ， AC= = = ． 故答案为 ． 点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定 理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造 K 型相似是解决本题的关 键． 　 三、解答题 17.．（6 分）（2015•连云港）计算： +（ ）﹣1﹣20150． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．12999 数学网 专题：计算题． 分析：原式第一项利用二次根式的性质计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项 利用零指数幂法则计算即可得到结果． 解答：解：原式=3+2﹣1=4． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 18.．（6 分）（2015•连云港）化简：（1+ ） ． 考点：分式的混合运算．12999 数学网 专题：计算题． 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分即可得到结果． 解答：解：原式= • = ． 点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 19.．（6 分）（2015•连云港）解不等式组： ． 考点：解一元一次不等式组．12999 数学网 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解答： 解： 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， 所以不等式组的解集是 2＜x＜3． 点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间 找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 　 20.．（8 分）（2015•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得 到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部 分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表 和图． 组别 个人年消费金额 x（元）频数（人数） 频率 A x≤2000 18 0.15 B 2000＜x≤4000 a b C 4000＜x≤6000 D 6000＜x≤8000 24 0.20 E x＞8000 12 0.10 合计 c 1.00 根据以上信息回答下列问题： (1）a=　36　，b=　0.30　，c=　120　．并将条形统计图补充完整； (2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在　C　组； (3）若这个企业有 3000 多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在 6000 元以上的人数． 考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．12999 数学网 分析：（1）首先根据 A 组的人数和所占的百分比确定 c 的值，然后确定 a 和 b 的值； (2）根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可； (3）利用样本估计总体即可得到正确的答案． 解答：解：（1）观察频数分布表知：A 组有 18 人，频率为 0.15， ∴c=18÷0.15=120， ∵a=36， ∴b=36÷120=0.30； ∴C 组的频数为 120﹣18﹣36﹣24﹣12=30， 补全统计图为： 故答案为：36，0.30，120； (2）∵共 120 人， ∴中位数为第 60 和第 61 人的平均数， ∴中位数应该落在 C 小组内； (3）个人旅游年消费金额在 6000 元以上的人数 3000×（0.10+0.20）=900 人． 点评：本题考查了统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问 题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．理解平均数、中位数和众数 的概念，并能根据它们的意义解决问题． 　 21.．（10 分）（2015•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都 有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张 牌背面朝上洗匀，先从中抽出 1 张牌，再从余下的 4 张牌中抽出 1 张牌，记录两张牌点 数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为 x，按表格要求确定奖项． 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 |x| |x|=4 |x|=3 1≤|x|＜3 （1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率； (2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？ 考点：列表法与树状图法．12999 数学网 分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得 一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案； (2）由树状图可得：当两张牌都是 2 时，|x|=0，不会有奖． 解答：解：（1）画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有 2 种情况， ∴甲同学获得一等奖的概率为： = ； (2）不一定，当两张牌都是 2 时，|x|=0，不会有奖． 点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比． 　 22.．（10 分）（2015•连云港）如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 进行折叠，折叠后 点 C 落在点 F 处，DF 交 AB 于点 E． (1）求证；∠EDB=∠EBD； (2）判断 AF 与 DB 是否平行，并说明理由． 考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．12999 数学网 分析：（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD； (2）AF∥DB；首先证明 AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性 质可证明∠BDE=∠AFE，所以 AF∥BD． 解答：解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CDB=∠EBD， ∴∠EDB=∠EBD； (2）AF∥DB； ∵∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE， 由折叠可知：DC=DF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC=AB， ∴DF=AB， ∴AE=EF， ∴∠EAF=∠EFA， 在△BED 中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°， ∴2∠EDB+∠DEB=180°， 同理，在△AEF 中，2∠EFA+∠AEF=180°， ∵∠DEB=∠AEF， ∴∠EDB=∠EFA， ∴AF∥DB． 点评：本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用 三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键． 　 23.．（10 分）（2015•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠， 决定在原定票价基础上每张降价 80 元，这样按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数， 现在只花费了 4800 元． (1）求每张门票的原定票价； (2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二 次降价后降为 324 元，求平均每次降价的百分率． 考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用．12999 数学网 分析：（1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按 原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800 元”建立方程，解方程 即可； (2）设平均每次降价的百分率为 y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为 324 元” 建立方程，解方程即可． 解答：解：（1）设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根 据题意得 = ， 解得 x=400． 经检验，x=400 是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为 400 元； (2）设平均每次降价的百分率为 y，根据题意得 400（1﹣y）2=324， 解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价 10%． 点评：本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 　 24.．（10 分）（2015•连云港）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x﹣2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是直线 AB 上一动点，⊙P 的半径为 1． (1）判断原点 O 与⊙P 的位置关系，并说明理由； (2）当⊙P 过点 B 时，求⊙P 被 y 轴所截得的劣弧的长； (3）当⊙P 与 x 轴相切时，求出切点的坐标． 考点：圆的综合题．12999 数学网 分析：（1）由直线 y= x﹣2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，可求得点 A 与点 B 的 坐标，继而求得∠OBA=30°，然后过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，利用三角函数可求得 OH 的长，继而求得答案； (2）当⊙P 过点 B 时，点 P 在 y 轴右侧时，易得⊙P 被 y 轴所截的劣弧所对的圆心角 为：180°﹣30°﹣30°=120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P 过点 B 时，点 P 在 y 轴 左侧时，⊙P 被 y 轴所截得的劣弧的长； (3）首先求得当⊙P 与 x 轴相切时，且位于 x 轴下方时，点 D 的坐标，然后利用对称 性可以求得当⊙P 与 x 轴相切时，且位于 x 轴上方时，点 D 的坐标． 解答：解：（1）原点 O 在⊙P 外． 理由：∵直线 y= x﹣2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点， ∴点 A（2，0），点 B（0，﹣2 ）， 在 Rt△OAB 中，tan∠OBA= = = ， ∴∠OBA=30°， 如图 1，过点 O 作 OH⊥AB 于点 H， 在 Rt△OBH 中，OH=OB•sin∠OBA= ， ∵ ＞1， ∴原点 O 在⊙P 外； (2）如图 2，当⊙P 过点 B 时，点 P 在 y 轴右侧时， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠OBA=30°， ∴⊙P 被 y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°， ∴弧长为： = ； 同理：当⊙P 过点 B 时，点 P 在 y 轴左侧时，弧长同样为： ； ∴当⊙P 过点 B 时，⊙P 被 y 轴所截得的劣弧的长为： ； (3）如图 3，当⊙P 与 x 轴相切时，且位于 x 轴下方时，设切点为 D， 在 PD⊥x 轴， ∴PD∥y 轴， ∴∠APD=∠ABO=30°， ∴在 Rt△DAP 中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°= ， ∴OD=OA﹣AD=2﹣ ， ∴此时点 D 的坐标为：（2﹣ ，0）； 当⊙P 与 x 轴相切时，且位于 x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为： （2+ ，0）； 综上可得：当⊙P 与 x 轴相切时，切点的坐标为：（2﹣ ，0）或（2+ ，0）． 点评：此题属于一次函数的综合题，考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式 以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用． 　 25.．（10 分）（2015•连云港）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=3，D 为 AC 延长线上一 点，AC=3CD，过点 D 作 DH∥AB，交 BC 的延长线于点 H． (1）求 BD•cos∠HBD 的值； (2）若∠CBD=∠A，求 AB 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．12999 数学网 分析：（1）首先根据 DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出 =3；然后求出 BH 的值是多少，再根据在 Rt△BHD 中，cos∠HBD= ，求出 BD•cos∠HBD 的值是多少 即可． (2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得 ；然后根据△ABC∽△DHC，推得 ，所以 AB=3DH；最后根据 ，求出 DH 的值是多少，进而求出 AB 的值是多少即可． 解答：解：（1）∵DH∥AB， ∴∠BHD=∠ABC=90°， ∴△ABC∽△DHC， ∴ =3， ∴CH=1，BH=BC+CH， 在 Rt△BHD 中， cos∠HBD= ， ∴BD•cos∠HBD=BH=4． (2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD， ∴△ABC∽△BHD， ∴ ， ∵△ABC∽△DHC， ∴ ， ∴AB=3DH， ∴ ， 解得 DH=2， ∴AB=3DH=3×2=6， 即 AB 的长是 6． 点评：（1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形 对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可 单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件 方可． (2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． 　 26.．（12 分）（2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 2 的正方形 ABCD 与边长为 2 的正方形 AEFG 按图 1 位置放置，AD 与 AE 在同一直线 上，AB 与 AG 在同一直线上． (1）小明发现 DG⊥BE，请你帮他说明理由． (2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请 你帮他求出此时 BE 的长． (3）如图 3，小明将正方形 ABCD 绕点 A 继续逆时针旋转，线段 DG 与线段 BE 将相交，交 点为 H，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由． 考点：几何变换综合题．12999 数学网 专题：综合题． 分析：（1）由四边形 ABCD 与四边形 AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等， 且夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ADG 与三角形 ABE 全等，利用全等三角形对应 角相等得∠AGD=∠AEB，如图 1 所示，延长 EB 交 DG 于点 H，利用等角的余角相等 得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得 DG⊥BE； (2）由四边形 ABCD 与四边形 AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等， 且夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ADG 与三角形 ABE 全等，利用全等三角形对应 边相等得到 DG=BE，如图 2，过点 A 作 AM⊥DG 交 DG 于点 M， ∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形 AMD 中，求出 AM 的长，即为 DM 的长，根据 勾股定理求出 GM 的长，进而确定出 DG 的长，即为 BE 的长； (3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为 6，理由为：对于△EGH，点 H 在以 EG 为 直径的圆上，即当点 H 与点 A 重合时，△EGH 的高最大；对于△BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上，即当点 H 与点 A 重合时，△BDH 的高最大，即可确定出面积的最大 值． 解答：解：（1）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都为正方形， ∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE， 在△ADG 和△ABE 中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴∠AGD=∠AEB， 如图 1 所示，延长 EB 交 DG 于点 H， 在△ADG 中，∠AGD+∠ADG=90°， ∴∠AEB+∠ADG=90°， 在△EDH 中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°， ∴∠DHE=90°， 则 DG⊥BE； (2）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都为正方形， ∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE， ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE， 在△ADG 和△ABE 中， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴DG=BE， 如图 2，过点 A 作 AM⊥DG 交 DG 于点 M，∠AMD=∠AMG=90°， ∵BD 为正方形 ABCD 的对角线， ∴∠MDA=45°， 在 Rt△AMD 中，∠MDA=45°， ∴cos45°= ， ∵AD=2， ∴DM=AM= ， 在 Rt△AMG 中，根据勾股定理得：GM= = ， ∵DG=DM+GM= + ， ∴BE=DG= + ； (3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为 6，理由为： 对于△EGH，点 H 在以 EG 为直径的圆上， ∴当点 H 与点 A 重合时，△EGH 的高最大； 对于△BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上， ∴当点 H 与点 A 重合时，△BDH 的高最大， 则△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为 2+4=6． 点评：此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质， 勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解本题的关键． 　 27.．（14 分）（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线 y= x2 交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是﹣2． (1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标． (2）在 x 轴上是否存在点 C，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存 在，请说明理由． (3）过线段 AB 上一点 P，作 PM∥x 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点 N（0，1）， 当点 M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？ 考点：二次函数综合题．12999 数学网 分析：（1）首先求得点 A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线 与抛物线的交点坐标； (2）如图 1，过点 B 作 BG∥x 轴，过点 A 作 AG∥y 轴，交点为 G，然后分若 ∠BAC=90°，则 AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则 AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°， 则 AB2+BC2=AC2 三种情况求得 m 的值，从而确定点 C 的坐标； (3）设 M（a， a2），如图 2，设 MP 与 y 轴交于点 Q，首先在 Rt△MQN 中，由勾股 定理得 MN= a2+1，然后根据点 P 与点 M 纵坐标相同得到 x= ，从而得到 MN+3PM=﹣ a2+3a+9，确定二次函数的最值即可． 解答：解：（1）∵点 A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2， ∴y= ×（﹣2）2=1，A 点的坐标为（2，﹣1）， 设直线的函数关系式为 y=kx+b， 将（0，4），（﹣2，1）代入得 ， 解得 ， ∴直线 y= x+4， ∵直线与抛物线相交， ∴ x+4= x2， 解得：x=﹣2 或 x=8， 当 x=8 时，y=16， ∴点 B 的坐标为（8，16）； (2）如图 1，过点 B 作 BG∥x 轴，过点 A 作 AG∥y 轴，交点为 G， ∴AG2+BG2=AB2， ∵由 A（﹣2，1），B（8，16）可求得 AB2=325． 设点 C（m，0），同理可得 AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5， BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320， ①若∠BAC=90°，则 AB2+AC2=BC2，即 325+m2+4m+5=m2﹣16m+320， 解得：m=﹣ ； ②若∠ACB=90°，则 AB2=AC2+BC2，即 325=m2+4m++=m2﹣16m+320， 解得：m=0 或 m=6； ③若∠ABC=90°，则 AB2+BC2=AC2，即 m2+4m+5=m2﹣16m+320+325， 解得：m=32； ∴点 C 的坐标为（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0） (3）设 M（a， a2），如图 2，设 MP 与 y 轴交于点 Q， 在 Rt△MQN 中，由勾股定理得 MN= = a2+1， 又∵点 P 与点 M 纵坐标相同， ∴ +4= a2， ∴x= ， ∴点 P 的纵坐标为 ， ∴MP=a﹣ ， ∴MN+3PM= +1+3（a﹣ ）=﹣ a2+3a+9， ∴当 a=﹣ =6， 又∵2≤6≤8， ∴取到最小值 18， ∴当 M 的横坐标为 6 时，MN+3PM 的长度的最大值是 18． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面 积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．