河南中考数学第题 3页

‎(2017• 河南)如图1, 在 Rt△ABC 中,∠A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE, 连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.  ‎ ‎(1)观察猜想           图1中,线段PM与PN的数量关系是   ,位置关系是   ;  (2)探究证明         把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断的形状,并说明理由;  (3)拓展延伸          把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.  ‎ 答案详解 解:(1)点P,N是BC,CD的中点, PN∥BD，PN=1/2BD ,点P,M是CD,DE的中点, ,,  ,, , ,‎ ‎ , , , ,  , ,  ,  , 故答案为:,,  (2)由旋转知,, ,,  ,  ‎ ‎,,  同(1)的方法,利用三角形的中位线得,,,  ,是等腰三角形,  同(1)的方法得,, ,  同(1)的方法得,,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  是等腰直角三角形,  (3)如图2, 同(2)的方法得,是等腰直角三角形,  最大时,的面积最大, 且DE在顶点A上面,  最大,  连接AM,AN,  在中,,,  , ‎ ‎ 在中,,,  ,  ‎ 解析:‎ ‎(1)利用三角形的中位线得出,,进而判断出,即可得出结论,另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论;  (2)先判断出,得出,同(1)的方法得出,,即可得出,同(1)的方法即可得出结论;  (3)先判断出MN最大时,的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大,最后用面积公式即可得出结论.‎