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- 2021-05-13 发布
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四边形[来@源:zzstep*%.&~com]
1.【习题再现】
课本中有这样一道题目:
如图1,在四边形ABCD中,E,F,M分别是AB,CD,BD的中点,AD=BC.求证:∠EFM=∠FEM.(不用证明)
【习题变式】
(1)如图2,在“习题再现”的条件下,延长AD,BC,EF,AD与EF交于点N,BC与EF交于点P.求证:∠ANE=∠BPE.
(2)如图3,在△ABC中,AC>AB,点D在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,交BA的延长线于点G,连接GD,∠EFC=60°.求证:∠AGD=90°.
【习题变式】
解:(1)∵F,M分别是CD,BD的中点,
∴MF∥BP,,
∴∠MFE=∠BPE.
∵E,M分别是AB,BD的中点,
∴ME∥AN,,
∴∠MEF=∠ANE.
∵AD=BC,
∴ME=MF,
∴∠EFM=∠FEM,
∴∠ANE=∠BPE.
(2)连接BD,取BD的中点H,连接EH,FH.
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∵H,F分别是BD和AD的中点,
∴HF∥BG,,
∴∠HFE=∠FGA.
∵H,E分别是BD,BC的中点,
∴HE∥AC,,
∴∠HEF=∠EFC=60°.
∵AB=CD,
∴HE=HF,
∴∠HFE=∠EFC=60°,
∴∠AGF=60°,[中国教%@育~^出*版网]
∵∠AFG=∠EFC=60°,
∴△AFG为等边三角形.
∴AF=GF,
∵AF=FD,
∴GF=FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°,[来#%源:中*国教育出^版网~]
∴∠AGD=60°+30°=90°.
2.(1)问题:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点A作AE⊥AD,并满足AE=AD,连接CE.则线段BD和线段CE的数量关系是 BD=CE ,位置关系是 BD⊥CE .
(2)探索:如图2,当D点为BC边上一点(不与点B,C重合),Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系,并证明你的结论;[中国教%育出版@#~&网]
(3)拓展:如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,若BD=3,CD=1,请直接写出线段AD的长.[来#&源:中教^网%~]
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解:(1)问题:在Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
故答案为:BD=CE,BD⊥CE;
(2)探索:结论:DE2=BD2+CD2,
理由是:如图2中,连接EC.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∵,
∵△BAD≌△CAE(SAS),[来~#源*:中&国教育出版网@]
∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,
∴DE2=CE2+CD2,
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∴DE2=BD2+CD2;
(3)拓展:如图3,将AD绕点A逆时针旋转90°至AG,连接CG、DG,
则△DAG是等腰直角三角形,
∴∠ADG=45°,
∵∠ADC=45°,[w~w@w%.zzstep#.&com]
∴∠GDC=90°,
同理得:△BAD≌△CAG,
∴CG=BD=3,
Rt△CGD中,∵CD=1,
∴DG===2,
∵△DAG是等腰直角三角形,
∴AD=AG=2.
3.如图1,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE.DG.
(1)BE和DG的数量关系是 BE=DG ,BE和DG的位置关系是 BE⊥DG ;
(2)把正方形ECGF绕点C旋转,如图2,(1)中的结论是否还成立?若成立,写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)设正方形ABCD的边长为4,正方形ECGF的边长为3,正方形ECGF绕点C旋转过程中,若A.C.E三点共线,直接写出DG的长.
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解:(1)BE=DG.BE⊥DG;理由如下:
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形,
∴CD=BC,CE=CG,∠BCE=∠DCG=90°,
在△BEC和△DGC中,,[来源:*中#教&@网~]
∴△BEC≌△DGC(SAS),
∴BE=DG;
如图1,延长GD交BE于点H,
∵△BEC≌△DGC,
∴∠DGC=∠BEC,
∴∠DGC+∠EBC=∠BEC+∠EBC=90°,[中~^#国教育出版网&%]
∴∠BHG=90°,
即BE⊥DG;
故答案为:BE=DG,BE⊥DG.[w@ww.zzste*p.#%co&m]
(2)成立,理由如下:如图2所示:
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同(1)得:△DCG≌△BCE(SAS),
∴BE=DG,∠CDG=∠CBE,
∵∠DME=∠BMC,∠CBE+∠BMC=90°,
∴∠CDG+∠DME=90°,
∴∠DOB=90°,
∴BE⊥DG;
(3)由(2)得:DG=EB,分两种情况:
①如图3所示:
[来源%:&中国教育^出版*网@]
∵正方形ABCD的边长为4,正方形ECGF的边长为3,[来#源:中%&教网*^]
∴AC⊥BD,BD=AC=AB=4,OA=OC=OB=AC=2,CE=3,
∴AE=AC﹣CE=,
∴OE=OA﹣AE=,
在Rt△BOE中,由勾股定理得:DG=BE==;
②如图4所示:
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OE=CE+OC=2+3=5,
在Rt△BOE中,由勾股定理得:DG=BE==;
综上所述,若A.C.E三点共线,DG的长为或.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,动点D从点C出发,沿CA方向匀速运动,速度为2cm/s;同时,动点E从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.设点D,E运动的时间是t(s)(0<t<5).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)t为何值时,DE⊥AC?
(2)设四边形AEFC的面积为S,试求出S与t之间的关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使得S四边形AEFC:S△ABC=17:24,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)当t为何值时,∠ADE=45°?
[www.zz&^s#tep.c*o~m]
解:(1)∵∠B=90o,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴AC===10(cm),
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若DE⊥AC,
∴∠EDA=90°,
∴∠EDA=∠B,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,[来源:中国^*&教@#育出版网]
∴=,即:=,
∴t=,
∴当t=s时,DE⊥AC;
(2)∵DF⊥BC,
∴∠DFC=90°,
∴∠DFC=∠B,
∵∠C=∠C,
∴△CDF∽△CAB,
∴=,即=,
∴CF=,
∴BF=8﹣,
BE=AB﹣AE=6﹣t,
∴S=S△ABC﹣S△BEF=×AB•BC﹣×BF•BE=×6×8﹣×(8﹣t)×(6﹣t)=﹣t2+t;
(3)若存在某一时刻t,使得S四边形AEFC:S△ABC=17:24,
根据题意得:﹣t2+t=××6×8,
解得:t1=,t2=(不合题意舍去),[来%源#:zz@step.*com&]
∴当t=s时,S四边形AEFC:S△ABC=17:24;[来&@源:*中^国教育出~版网]
(4)过点E作EM⊥AC与点M,如图所示:
则∠EMA=∠B=90°,
∵∠A=∠A,
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∴△AEM∽△ACB,
∴==,即==,
∴EM=t,AM=t,
∴DM=10﹣2t﹣t=10﹣t,
在Rt△DEM中,当DM=ME时,∠ADE=45°,[w&@w%w.^zzst~ep.com]
∴10﹣t=t,
∴t=
∴当t=s时,∠ADE=45°.
5.我们定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且项角的顶点互相重合,则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边,形象的可以看作两双手,所以通常称为“手拉手模型”.例如,如图(1),△ABC与△ADE都是等腰三角形,其中∠BAC=∠DAE,则△ABD≌△ACE(SAS)[中%@#国教^育*出版网]
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(1)熟悉模型:如图(2),已知△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,求证:BD=CE;
(2)运用模型:如图(3),P为等边△ABC内一点,且PA:PB:PC=3:4:5,求∠APB的度数.小明在解决此问题时,根据前面的“手拉手全等模型”,以BP为边构造等边△BPM,这样就有两个等边三角形共顶点B,然后连结CM,通过转化的思想求出了∠APB的度数,则∠APB的度数为 150 度;
(3)深化模型:如图(4),在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求BD的长.
(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,[来源:zzst@ep.co^&%#m]
在△BAD和△CAE中,,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE;
(2)解:以BP为边构造等边△BPM,连接CM,如图(3)所示:
∵△ABC与△BPM都是等边三角形,
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∴AB=BC,BP=BM=PM,∠ABC=∠PBM=∠BMP=60°,
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBM﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBM,
在△ABP和△CBM中,,
∴△ABP≌△CBM(SAS),[来%&~源^:中#教网]
∴AP=CM,∠APB=∠CMB,
∵PA:PB:PC=3:4:5,[来~源:z%^zst&ep.#com]
∴CM:PM:PC=3:4:5,
∴PC2=CM2+PM2,
∴△CMP是直角三角形,
∴∠PMC=90°,[来源:中%&@国#教育出版网*]
∴∠CMB=∠BMP+∠PMC=60°+90°=150°,[来^源#:中教&~网%]
∴∠APB=150°,
故答案为:150;
(3)解:过点A作EA⊥AD,且AE=AD,连接CE,DE,如图(4)所示:
则△ADE是等腰直角三角形,∠EAD=90°,
∴DE=AD=4,∠EDA=45°,
∵∠ADC=45°,
∴∠EDC=45°+45°=90°,
在Rt△DCE中,CE===,
∵∠ACB=∠ABC=45°,
∴∠BAC=90°,AB=AC,
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,,[ww&w.#z*zs~tep.co@m]
∴△BAD≌△CAE(SAS),[来源:z@&zstep.^#%com]
∴BD=CE=.
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6.(1)某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目[www.z#zste&p*~.co@m]
如图,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=2:1,求AB的长经过数学小组成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)
请回答:∠ADB= 75 °,AB= 3
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=2:1,求DC的长
解:(1)如图2中,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,
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∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,[来源:中国教~#育^&出版%网]
∴△BOD∽△COA,
∴==2,.
又∵AO=,
∴OD=2AO=2,
∴AD=AO+OD=3.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=3;
故答案为75,3.
[来源@:zzstep.c*%om]
(2)如图3中,过点B作BE∥AD交AC于点E.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
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∴△AOD∽△EOB,
∴===2.
∵BO:OD=1:3,
∵AO=,
∴EO=2,
∴AE=3.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.[来源#~&:中教网@%]
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=3,[来源:@中%#&教网^]
∴AB=AC=6,AD=
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即62+()2=CD2,
解得:CD=(负根已经舍弃).
7.正方形ABCD中,AB=4,点E.F分别在AB.BC边上(不与点A.B重合).
(1)如图1,连接CE,作DM⊥CE,交CB于点M.若BE=3,则DM= 5 ;
(2)如图2,连接EF,将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;再将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;依此操作下去…,
①如图3,线段EF经过两次操作后拼得△EFD,其形状为 等边三角形 ,在此条件下,求证:AE=CF;
②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH,
(3)请判断四边形EFGH的形状为 正方形 ,此时AE与BF的数量关系是 AE=BF ;
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(4)以1中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.[来#源%:^中~教网&]
解:(1)如图1中,
[来源&%:zz^step#.co@m]
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠DCM=90°,
∵BE=3,BC=4,[来^@源&:%中~教网]
∴CE===5,
∵DM⊥EC,
∴∠DMC+∠MCE=90°,∠MCE+∠CEB=90°,
∴∠DMC=∠CEB,
∵BC=CD,
∴△BCE≌△CDM(AAS),
∴DM=EC=5.
故答案为5.
(2)如题图3,由旋转性质可知EF=DF=DE,则△DEF为等边三角形.
故答案为等边三角形.
(2)①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF.理由如下:
依题意画出图形,如答图1所示:连接EG、FH,作HN⊥BC于N,GM⊥AB于M.
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由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形,[中*&%#国教育~出版网]
由△EGM≌△FHN,可知EG=FH,
∴四边形EFGH的形状为正方形.
∴∠HEF=90°
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.[w~ww@%.zzstep#.&com]
∵∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.
在△AEH与△BFE中,
,
∴△AEH≌△BFE(ASA)
∴AE=BF.[来源:^中%国教育&出版~网#]
故答案为正方形,AE=BF.
(4)利用①中结论,易证△AEH、△BFE.△CGF、△DHG均为全等三角形,
∴BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4﹣x.
∴y=S正方形ABCD﹣4S△AEH=4×4﹣4×x(4﹣x)=2x2﹣8x+16.[来源:z@~z^step.#*com]
∴y=2x2﹣8x+16(0<x<4)
∵y=2x2﹣8x+16=2(x﹣2)2+8,
∴当x=2时,y取得最小值8;当x=0时,y=16,[ww^w#*.~zzste@p.com]
∴y的取值范围为:8≤y<16.[来源:zzste^p%#.c&om@]
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8.已知:如图1,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点B的坐标是(6,4).[来#源*:%^~中教网]
[来源^:*&中教%网~]
(1)直接写出A点坐标( 6 , 0 ),C点坐标( 0 , 4 );
(2)如图2,D为OC中点.连接BD,AD,如果在第二象限内有一点P(m,1),且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍,求满足条件的点P的坐标;
(3)如图3,动点M从点C出发,以每钞1个单位的速度沿线段CB运动,同时动点N从点A出发.以每秒2个单位的速度沿线段AO运动,当N到达O点时,M,N同时停止运动,运动时间是t秒(t>0),在M,N运动过程中.当MN=5时,直接写出时间t的值.
解:(1)∵四边形OABC是长方形,
∴AB∥OC,BC∥OA,
∵B(6,4),
∴A(6,0),C(0,4),
故答案为:6,0,0,4;
(2)如图2,[ww#w.zzs%t&ep.^@com]
由(1)知,A(6,0),C(0,4),
∴OA=6,OC=4,
∵四边形OABC是长方形,[来#源:中*国教育出版^网%~]
∴S长方形OABC=OA•OC=6×4=24,
连接AC,
∵AC是长方形OABC的对角线,[中&国^教育出#版网@~]
∴S△OAC=S△ABC=S长方形OABC=12,
∵点D是OC的中点,
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∴S△OAD=S△OAC=6,
∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍,
∴S四边形OADP=2S△ABC=24,
∵S四边形OADP=S△OAD+S△ODP=6+S△ODP=24,
∴S△ODP=18,
∵点D是OC的中点,且OC=4,[来%源@:#&中教网*]
∴OD=OC=2,[来源:&%中国教育出~版网*#]
∵P(m,1),
∴S△ODP=OD•|m|=×2|m|=18,
∴m=18(由于点P在第二象限,所以,m小于0,舍去)或m=﹣18,
∴P(﹣18,1);
(3)如图3,[来源~:*&中^@教网]
由(2)知,OA=6,OC=4,[来#源:%中国@教育~出&版网]
∵四边形OABC是长方形,[来*源%:zzstep.^com&@]
∴∠AOC=∠OCB=90°,BC=6,
由运动知,CM=t,AN=2t,
∴ON=OA﹣AN=6﹣2t,
过点M作MH⊥OA于H,
∴∠OHM=90°=∠AOC=∠OCB,
∴四边形OCMH是长方形,
∴MH=OC=4,OH=CM=t,
∴HN=|ON﹣CM|=6﹣2t﹣t|=|6﹣3t|,
在Rt△MHN中,MN=5,根据勾股定理得,HN2=MN2﹣MH2,
∴|6﹣3t|2=52﹣42=9,
∴t=1或t=3,
即:t的值为1或3.
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[来源:zzs~tep.c^%om]
9.综合与实践[中&国~^教@育出版网*]
问题情境
数学课上,李老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
[ww^w.%zzste~p*.@com]
(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后,得出了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.
请参考以上思路,任选一种写出完整的解答过程.[中国教#育^出@版*网&]
类比探究[中~%&国*教育出^版网]
(2)如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,,求∠APB的度数.
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拓展应用
(3)如图3,在边长为的等边三角形ABC内有一点O,∠AOC=90°,∠BOC=120°,则△AOC的面积是 .
解:(1)思路一,如图1,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',[来源:zzst~#@ep&^.com]
则△ABP'≌△CBP,AP'=CP=3,BP'=BP=2,∠PBP'=90°[来@^源~:#中国教育出版网%]
∴∠BPP'=45°,
根据勾股定理得,,
∵AP=1,
∴AP2+P'P2=1+8=9,
又∵P'A2=32=9,
∴AP2+P'P2=P'A2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°.[中国教育*出&@%^版网]
思路二、同思路一的方法.
(2)如图2,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP'.
则△ABP'≌△CBP,,BP'=BP=1,∠PBP'=90°
∴∠BPP'=45°,[www#.z@zs*tep.c%om~]
第 34 页 共 34 页
根据勾股定理得,,
∵AP=3,
∴AP2+P'P2=9+2=11,
又∵,
∴AP2+P'P2=P'A2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,[中国教@~育出版*网#%]
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°.
(3)如图,将△ABO绕点B顺时针旋转60°,得到△BCE,连接OE.[来#%源:^~中教网&]
则△BAO≌△BCE,∠AOB=∠BEC=360°﹣90°﹣120°=150°,[ww*&w.zzste^~p.c@om]
∵△BOE是等边三角形,
∴∠BEO=∠BOE=60°,
∴∠OEC=90°,∠OEC=120°﹣60°=60°,[来源^:*&@中~教网]
∴sin60°==,设EC=k,OC=2k,则OA=EC=k,
∵∠AOC=90°,
∴OA2+OC2=AC2,
∴3k2+4k2=7,
∴k=1或﹣1(舍弃),
∴OA=,OC=2,
∴S△AOC=•OA•OC=××2=.
故答案为.
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10.如图1,在矩形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP交对角线BD于点E,BP=BE.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F,N.[来源:中#国教育~出版*&网^]
(1)求证:∠BAP=∠BGN;
(2)若AB=6,BC=8,求;
(3)如图2,在(2)的条件下,连接CF,求tan∠CFM的值.
(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴∠BAP=∠APB=90°
∵BP=BE,
∴∠APB∠BEP=∠GEF,
∵MN垂直平分线段AP,[来源:%中*国#教~育出^版网]
∴∠GFE=90°,
∴∠BGN+∠GEF=90°,
∴∠BAP=∠BGN.
[来*源%:zzstep.^com&@]
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABP=90°,AD∥BC,AD=BC=8,
∴BD===10,
第 34 页 共 34 页
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠APB,
∵∠APB=∠BEP=∠DEA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DA=DE=8,
∴BE=BP=BD﹣DE=10﹣8=2,[来&源@:~中教^#网]
∴PA===2,
∵MN垂直平分线段AP,[来源%&:#中国教育出版~网*]
∴AF=PF=,
∵PB∥AD,
∴===,
∴PE=PA=,
∴EF=PF﹣PE=﹣=,[来源:*z&zstep.#c~om%]
∴==.[中国教育出版&*^#@网]
(3)解:如图3中,连接AM,MP.设CM=x.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADM=∠MCP=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,[来@源:^中国教~%育出版#网]
∵MN垂直平分线段AP,
∴MA=MP,
∴AD2+DM2=PC2+CM2,
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∴82+(6﹣x)2=62+x2,[www.zz#~@step^.com%]
∴x=,[来源:*~&%中^教网]
∵∠PFM=∠PCM=90°,
∴P,F,M,C四点共圆,
∴∠CFM=∠CPM,
∴tan∠CFM=tan∠CFM===.
11.在利用构造全等三角形来解决的问题中,有一种典型的利用倍延中线的方法,例如:在△ABC中,AB=8,AC=6,点D是BC边上的中点,怎样求AD的取值范围呢?我们可以延长AD到点E,使AD=DE,然后连接BE(如图①),这样,在△ADC和△EDB中,由于,∴△ADC≌△EDB,∴AC=EB,接下来,在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围.
请你回答:
(1)在图①中,中线AD的取值范围是 1<AD<7 .
(2)应用上述方法,解决下面问题
①如图②,在△ABC中,点D是BC边上的中点,点E是AB边上的一点,作DF⊥DE交AC边于点F,连接EF,若BE=4,CF=2,请直接写出EF的取值范围.
②如图③,在四边形ABCD中,∠BCD=150°,∠ADC=30°,点E是AB中点,点F在DC上,且满足BC=CF,DF=AD,连接CE.ED,请判断CE与ED的位置关系,并证明你的结论.
解:(1)延长AD到点E,使AD=DE,连接BE,如图①所示:
∵点D是BC边上的中点,
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∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中,,[中#国教育@出版&%网~]
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB=6,[来源:#中^国&教育*出版~网]
在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE,
∴8﹣6<AE<8+6,即2<AE<14,
∴1<AD<7,
故答案为:1<AD<7;[来源:*#中国教^育出版~&网]
(2)①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,如图②所示:
∵点D是BC边上的中点,
∴BD=CD,
在△NDC和△EDB中,中,,
∴△NDC≌△EDB(SAS),
∴BE=CN=4,[来源:zz@s&te~p.c%o#m]
∵DF⊥DE,ED=DN,
∴EF=FN,[来@源:^*中&%教网]
在△CFN中,CN﹣CF<FN<CN+CF,[来源@:中#~国*教&育出版网]
∴4﹣2<FN<4+2,即2<FN<6,
∴2<EF<6;
②CE⊥ED;理由如下:
延长CE与DA的延长线交于点G,如图③所示:[来~源:*%中国教育出#版网@]
∵点E是AB中点,
∴BE=AE,
∵∠BCD=150°,∠ADC=30°,
∴DG∥BC,
∴∠GAE=∠CBE,
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在△GAE和△CBE中,,
∴△GAE≌△CBE(ASA),
∴GE=CE,AG=BC,
∵BC=CF,DF=AD,[www.zz^&st#ep.co*m~]
∴CF+DF=BC+AD=AG+AD,即:CD=GD,
∵GE=CE,
∴CE⊥ED.
[来源:zzst%&ep#*.c~om]
12.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,对角线AC.BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°),分别交线段BC.AD于点E.F,已知AB=1,,连接BF.
(1)如图①,在旋转的过程中,请写出线段AF与EC的数量关系,并证明;
(2)如图②,当α=45°时,请写出线段BF与DF的数量关系,并证明;
(3)如图③,当α=90°时,求△BOF的面积.
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[中国#教%@育*出版网&]
解:(1)AF=CE;理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,[来源:zz~step.^c%om]
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠FAO=∠ECO,[中^国&%教#育出版网*]
∴在△AFO与△CEO中,,
∴△AFO≌△CEO(ASA),
∴AF=EC;
(2)BF=DF;理由如下:
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∴AC===2,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO=AC=1,
∴AB=AO,
又∵AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,
∵α=45°,∠AOF=45°,
∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=45°+45°=90°,
∴EF⊥BD,
∵BO=DO,
∴BF=DF;
(3)∵AB⊥AC,
∴∠CAB=90°,
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∴∠CAB=∠AOF=α=90°,
∴AB∥EF,[来源:&中%国教育^出版~网@]
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥BE,[来源@:中*&国~%教育出版网]
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴AB=EF=1,
由(1)得:△AFO≌△CEO,
∴OF=OE=EF=,
由(2)得:AO=1,
∵AB∥EF,AO⊥EF,[w^*#w~w.zzs@tep.com]
∴S△BOF=S△AOF=AO•OF=×1×=.
13.综合与实践
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.请写出∠AEB的度数及线段AD,BE之间的数量关系,并说明理由.
(2)类比探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.
填空:①∠AEB的度数为 90° ;
②线段CM,AE,BE之间的数量关系为 AE=BE+2CM .
(3)拓展延伸[来源^:中国教育出#版*~%网]
在(2)的条件下,若BE=4,CM=3,则四边形ABEC的面积为 35 .
解:(1)∠AEB=60°,AD=BE,理由如下:
∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
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∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.AD=BE,
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.[来%源:@中^国教~育出版#网]
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
(2)猜想:①∠AEB=90°,②AE=BE+2CM.理由如下:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.[来源~:中&*^@教网]
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.[中*@国&教育^出~版网]
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
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∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.[来~%源:zz#s*tep.c&om]
故答案为:90°,AE=BE+2CM;
(3)由(2)得:∠AEB=90°,AD=BE=4,
∵△DCE均为等腰直角三角形,CM为△DCE中DE边上的高,
∴CM⊥AE,DE=2CM=6,
∴AE=AD+DE=4+6=10,
∴四边形ABEC的面积=△ACE的面积+△ABE的面积=AE×CM+AE×BE=×10×3+×10×4=35;
故答案为:35.[来源:@中%#&教网^]
14.如图,正方形OABC的边长为8,P为OA上一点,OP=2,Q为OC边上的一个动点,分别以OPPQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE.
(1)证明:DE=OQ;[来源:#z~zste*p.%co&m]
(2)直线ED与OC交于点F,点Q在运动过程中.
①∠EFC的度数是否发生改变?若不变,求出这个角的度数;若改变,说明理由;
②连结AE,求AE的最小值.
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(1)证明:如图1中,
∵△OPD和△PQE是等边三角形,
∴PO=PD,PQ=PE,∠OPD=∠QPE=60°,
∴∠OPQ=∠DPE,
∴△OPQ≌△DPE(SAS),
∴DE=OQ.
[中国教^&%育*出版网@]
(2)①∵△OPQ≌△DPE,
∴∠EDP=∠POQ=90°,
∵∠DOP=∠ODP=60°
∴∠FDO=∠FDO=30°,[中国#教^@育*出版网&]
∴∠EFC=∠FOC+∠FDO=60°.[来源:&@中国教育出^%*版网]
②如图2中,当点Q与点C重合时,以PQ为边作正三角形PQM.
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[来源&:~#中%教网*]
∵∠EFC=60°为定值,
点E的运动路径为线段DM,[来~源:@#*^中教网]
过点P作PH⊥EA,垂足为H,
∴当AE⊥DE时,AE的值最小
∵∠PDE=∠DEH=∠PHE=90°,
∴四边形PDEH是矩形,
∴∠DPH=90°,EH=PD=2,
∴EH=DP=2,
在△PHA中,∠AHP=90°,∠HPA=30°[ww~w.zz%^s#tep.co&m]
∴AH=PA=3,
∴AE=EH+AH=2+3=5.
15.我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂直四边形吗?请说明理由;
(2)如图2,四边形ABCD是垂直四边形,求证:AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)如图3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC.AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,BC=3,求GE长.
(1)解:四边形ABCD是垂直四边形;理由如下:
∵AB=AD,
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∴点A在线段BD的垂直平分线上,
∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是线段BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂直四边形;
(2)证明:设AC.BD交于点E,如图2所示:
∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得:AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+DE2+CE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)解:连接CG、BE,如图3所示:
∵正方形ACFG和正方形ABDE,
∴AG=AC,AB=AE,CG=AC=4,BE=AB,∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,,
∴△GAB≌△CAE(SAS),[中国教*^&%育@出版网]
∴∠ABG=∠AEC,
又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°,
∴∠ABG+∠CEB+∠ABE=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂直四边形,由(2)得,CG2+BE2=BC2+GE2,
∵AC=4,BC=3,[来@源:中国教育出*~&版%网]
∴AB===5,BE=AB=5,
∴GE2=CG2+BE2﹣BC2=(4)2+(5)2﹣32=73,
∴GE=.
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