例谈中考中的趣味三角形 副本 4页

中考中的新定义题型 二、奇异三角形 例2（2011宁波市）阅读下面情景对话，然后解答问题：‎ A B C D E O ‎（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=，AC=，BC=，且，若Rt△ABC是奇异三角形，求； ‎ ‎（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．‎ ① 求证：△ACE是奇异三角形；‎ ② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．‎ 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．‎ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？‎ 小华：等边三角形一定是奇异三角形！‎ ‎：‎ E D C B A 四、黄金三角形 例4（嘉兴市）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形已知AB=1，则DE=____________。‎ 五、位似三角形 例5（南京市）如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．‎ ‎ (1)选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）．‎ A．2、点P B．、点P C．2、点O D．、点O A O B C D E C'‎ D'‎ E'‎ 图2‎ Q R O P'‎ Q'‎ R'‎ 图1‎ ‎ (2) 如图２，用下面的方法可以画△AOB的内接 等边三角形．阅读后证明相应问题．‎ 画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，‎ 使点C在OA上，点D在OB上；‎ ‎②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，‎ 作E′D′∥ED，交OB于点D′；‎ ‎③连结C′D′．则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．‎ 求证：△C′D′E′是等边三角形．‎ 六、单位正三角形 例6（吉林省）如图，．图中的虚线网络我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．‎ ‎ (1)直接写出单位正三角形的高与面积；‎ ‎ (2)图①中的□ABCD含有多少个单位正三角形?□ABCD的面积是多少?‎ ‎ (3)求出图①中线段AC的长(可作辅助线)；‎ ‎ (4)求出图②中四边形EFGH的面积．‎ 七、倍角三角形 例7（天津市）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。‎ ‎（Ⅰ）如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°。求证：a2＝b（b＋c）‎ ‎（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，如图2，其中∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b＋c）是否仍然成了？并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。‎ ‎_‎ a ‎_‎ b ‎_‎ c ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A 图1 ‎ 图2‎ ‎_‎ a ‎_‎ b ‎_‎ c ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A D ‎25.（2015宁波本题12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角。‎ ‎（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°。‎ 求证：∠APB是∠MON的智慧角；‎ ‎（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；‎ ‎（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标。‎ ‎ ‎