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- 2021-05-13 发布
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1、(08广东茂名25题)(本题满分10分)
(第25题图)
A
x
y
B
C
O
如图,在平面直角坐标系中,抛物线=-++经过A(0,-4)、B(,0)、 C(,0)三点,且-=5.
(1)求、的值;(4分)
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形;(3分)
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.(3分)
解:
(08广东茂名25题解析)解:(1)解法一:
∵抛物线=-++经过点A(0,-4),
∴=-4 ……1分
又由题意可知,、是方程-++=0的两个根,
∴+=, =-=6 2分
由已知得(-)=25
又(-)=(+)-4=-24
∴ -24=25
解得=± 3分
当=时,抛物线与轴的交点在轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴=-. 4分
解法二:∵、是方程-++c=0的两个根,
即方程2-3+12=0的两个根.
∴=, 2分
∴-==5,
解得 =± 3分
(以下与解法一相同.)
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上, 5分
又∵=---4=-(+)+ 6分
∴抛物线的顶点(-,)即为所求的点D. 7分
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),
根据菱形的性质,点P必是直线=-3与
抛物线=---4的交点, 8分
∴当=-3时,=-×(-3)-×(-3)-4=4,
∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形. 9分
四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上. 10分
2、(08广东肇庆25题)(本小题满分10分)
已知点A(a,)、B(2a,y)、C(3a,y)都在抛物线上.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)当a=1时,求△ABC的面积;
(3)是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.
(08广东肇庆25题解析)(本小题满分10分)
解:(1)由5=0, (1分)
得,. (2分)
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0). (3分)
(2)当a=1时,得A(1,17)、B(2,44)、C(3,81), (4分)
分别过点A、B、C作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则有
=S - - (5分)
=-- (6分)
=5(个单位面积) (7分)
(3)如:. (8分)
事实上, =45a2+36a.
3()=3[5×(2a)2+12×2a-(5a2+12a)] =45a2+36a. (9分)
∴. (10分)
y
x
O
第26题图
D
E
C
F
A
B
3、(08辽宁沈阳26题)(本题14分)26.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08辽宁沈阳26题解析)解:(1)点在轴上 1分
理由如下:
连接,如图所示,在中,,,
,
由题意可知:
点在轴上,点在轴上. 3分
(2)过点作轴于点
,
在中,,
点在第一象限,
点的坐标为 5分
由(1)知,点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点,
由题意,将,代入中得
解得
所求抛物线表达式为: 9分
(3)存在符合条件的点,点. 10分
理由如下:矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为.
由题意可知为此平行四边形一边,
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得,,
,
以为顶点的四边形是平行四边形,
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
,,
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,;
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,. 14分
A
O
x
y
B
F
C
图16
4、(08辽宁12市26题)(本题14分)26.如图16,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.
(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08辽宁12市26题解析)
解:(1)直线与轴交于点,与轴交于点.
, 1分
点都在抛物线上,
抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
(2)存在 5分
7分
9分
(3)存在 10分
理由:
解法一:
延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点.
11分
A
O
x
y
B
F
C
图9
H
B
M
过点作于点.
点在抛物线上,
在中,,
,,
在中,,
,, 12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点,使得的周长最小,此时. 14分
5、(08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.
(1)求二次函数的解析式;
图14
y
x
O
A
B
M
O1
(2)求切线的函数解析式;
(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08青海西宁28题解析)解:(1)圆心的坐标为,半径为1,,……1分
二次函数的图象经过点,
可得方程组 2分
解得:二次函数解析式为 3分
(2)过点作轴,垂足为. 4分
是的切线,为切点,(圆的切线垂直于经过切点的半径).
y
A
H
F
M
O
P1
P2
O1
x
B
在中,
为锐角, 5分
,
在中,.
.
点坐标为 6分
设切线的函数解析式为,由题意可知, 7分
切线的函数解析式为 8分
(3)存在. 9分
①过点作轴,与交于点.可得(两角对应相等两三角形相似)
, 10分
②过点作,垂足为,过点作,垂足为.
可得(两角对应相等两三角开相似)
在中,,,
在中,,
, 11分
符合条件的点坐标有, 12分
6、(08山东济宁26题)(12分)
中,,,cm.长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动(运动前点与点重合).过分别作的垂线交直角边于
两点,线段运动的时间为s.
(1)若的面积为,写出与的函数关系式(写出自变量的取值范围);
(2)线段运动过程中,四边形有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时的值;若不可能,说明理由;
(3)为何值时,以为顶点的三角形与相似?
(08山东济宁26题解析)解:(1)当点在上时,,.
. 2分
当点在上时,.
. 4分
(2),..
. 6分
由条件知,若四边形为矩形,需,即,
.
当s时,四边形为矩形. 8分
(3)由(2)知,当s时,四边形为矩形,此时,
. 9分
除此之外,当时,,此时.
,.. 10分
,.
又,. 11分
,.
当s或s时,以为顶点的三角形与相似. 12分
7、(08四川巴中30题)(12分)30.已知:如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.
(1)写出直线的解析式.
(2)求的面积.
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O
(08四川巴中30题解析)解:(1)在中,令
,
, 1分
又点在上
的解析式为 2分
(2)由,得 4分
,
, 5分
6分
(3)过点作于点
7分
8分
由直线可得:
在中,,,则
, 9分
10分
11分
此抛物线开口向下,当时,
当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为. 12分
8、(08新疆自治区24题)(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽
1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?
(08新疆自治区24题解析)24.(10分)解:(1)设抛物线的表达式为 1分
点在抛物线的图象上.
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点,D点坐标为(k,t)
已知窗户高1.6m,∴ 5分
(舍去) 6分
∴(m) 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
.
答:最多可安装4扇窗户. 10分
(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形)
9、(08广东梅州23题)23.本题满分11分.
如图11所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD, AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系.
(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;
(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.
(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标,只需说明理由)
(08广东梅州23题解答)解: (1) DC∥AB,AD=DC=CB,
∠CDB=∠CBD=∠DBA, 0.5分
∠DAB=∠CBA, ∠DAB=2∠DBA, 1分
∠DAB+∠DBA=90, ∠DAB=60, 1.5分
∠DBA=30,AB=4, DC=AD=2, 2分
RtAOD,OA=1,OD=, 2.5分
A(-1,0),D(0, ),C(2, ). 4分
(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点A(-1,0),B(3,0),
故可设所求为 = (+1)( -3) 6分
将点D(0, )的坐标代入上式得, =.
所求抛物线的解析式为 = 7分
其对称轴L为直线=1. 8分
(3) PDB为等腰三角形,有以下三种情况:
①因直线L与DB不平行,DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B,
P1DB为等腰三角形; 9分
②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2,DB=DP3, P2DB, P3DB为等腰三角形;
③与②同理,L上也有两个点P4、P5,使得 BD=BP4,BD=BP5. 10分
由于以上各点互不重合,所以在直线L上,使PDB为等腰三角形的点P有5个.
10、(08广东中山22题)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边
AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
10
D
C
B
A
E
图9
(08广东中山22题解析)解:(1),,…………………………1分
等腰;…………………………2分
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
K
(3)由题意知,FP∥AE,
∴ ∠1=∠PFB,
又∵ ∠1=∠2=30°,
∴ ∠PFB=∠2=30°,
∴ FP=BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K,则.
∵ AF=t,AB=8,
∴ FB=8-t,.
在Rt△BPK中,. ……………………7分
∴ △FBP的面积,
∴ S与t之间的函数关系式为:
,或. …………………………………8分
t的取值范围为:. …………………………………………………………9分
11、(08湖北十堰25题)已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08湖北十堰25题解析)解:⑴对称轴是直线:,点B的坐标是(3,0). ……2分
说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴
∴b= ………………………………3分
当时,
∴ ………………………………4分
∴ ………………5分
⑶存在.……………………………6分
理由:如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±4.∴点M的坐标为.…9分
说明:少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.
∴点M的坐标为. ……………………………12分
说明:求点M的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.
说明:①综上所述不写不扣分;②如果开头“存在”二字没写,但最后解答全部正确,不扣分。
12、(08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中,其中点为坐标原点,点的坐标为,.
(1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标.
D
C
O
A
B
x
y
(2)若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系,并加以说明.
(3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,
求此函数的解析式.
F
E
(08四川达州23题解析)解:(1)连结AD,则∠ADO=∠B=600
在Rt△ADO中,∠ADO=600
所以OD=OA÷=3÷=
D
C
O
A
B
x
y
F
所以D点的坐标是(0,)
(2)猜想是CD与圆相切
∵ ∠AOD是直角,所以AD是圆的直径
E
又∵ Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO=300
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD
∴ CD切外接圆于点D
(3)依题意可设二次函数的解析式为 :
y=α(x-0)(x-3)
由此得顶点坐标的横坐标为:x==;
即顶点在OA的垂直平分线上,作OA的垂直平分线EF,则得∠EFA=∠B=300
得到EF=EA= 可得一个顶点坐标为(,)
同理可得另一个顶点坐标为(,)
分别将两顶点代入y=α(x-0)(x-3)可解得α的值分别为,
则得到二次函数的解析式是y=x(x-3)或y= x(x-3)
13、(08湖北仙桃等4市25题)如图,直角梯形中,∥,为坐标原点,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,点坐标为(2,2),∠= 60°,于点.动点从点出发,沿线段向点运动,动点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
(1) 求的长;
(2) 若的面积为(平方单位). 求与之间的函数关系式.并求为何值时,的面积最大,最大值是多少?
(3) 设与交于点.①当△为等腰三角形时,求(2)中的值.
②探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论.
(08湖北仙桃等4市25题解析)
解:(1)∵∥
∴
在中, ,
∴,
∴ 而
∴为等边三角形
∴…(3分)
(2)∵
∴
∴
= ()…………………………(6分)
即
∴当时,………………………………………(7分)
(3)①若为等腰三角形,则:
(i)若,
∴∥
∴ 即
解得:
此时………………………………(8分)
(ii)若,
∴
过点作,垂足为,则有:
即
解得:
此时……………………………………(9分)
(iii)若,
∴∥
此时在上,不满足题意.……………………………………………(10分)
②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)
14、(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,,.
(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求两点的坐标;
(2)如图19-2,若上有一动点(不与重合)自点沿方向向点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒(),过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点.求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标.
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-1
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-2
P
M
N
(08甘肃兰州28题解析)(本题满分12分)
解:(1)依题意可知,折痕是四边形的对称轴,
在中,,.
..
点坐标为(2,4). 2分
在中,, 又.
. 解得:.
点坐标为 3分
(2)如图①,.
,又知,,
, 又.
而显然四边形为矩形.
5分
,又
当时,有最大值. 6分
(3)(i)若以为等腰三角形的底,则(如图①)
在中,,,为的中点,
y
x
B
C
O
A
D
E
图①
P
M
N
F
.
又,为的中点.
过点作,垂足为,则是的中位线,
,,
当时,,为等腰三角形.
此时点坐标为. 8分
(ii)若以为等腰三角形的腰,则(如图②)
y
x
B
C
O
A
D
E
图②
P
M
N
F
在中,.
过点作,垂足为.
,.
.
,.
,,
当时,(),此时点坐标为. 11分
综合(i)(ii)可知,或时,以为顶点的三角形为等腰三角形,相应点的坐标为或. 12分
15、(08天津市卷26题)(本小题10分)
已知抛物线,
(Ⅰ)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;
(Ⅱ)若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求的取值范围;
(Ⅲ)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.
(08天津市卷26题解析)解(Ⅰ)当,时,抛物线为,
方程的两个根为,.
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和. 2分
(Ⅱ)当时,抛物线为,且与轴有公共点.
对于方程,判别式≥0,有≤. 3分
①当时,由方程,解得.
此时抛物线为与轴只有一个公共点. 4分
②当时,
时,,
时,.
由已知时,该抛物线与轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为,
应有 即
解得.
综上,或. 6分
(Ⅲ)对于二次函数,
由已知时,;时,,
又,∴.
于是.而,∴,即.
∴. 7分
∵关于的一元二次方程的判别式
,
∴抛物线与轴有两个公共点,顶点在轴下方. 8分
又该抛物线的对称轴,
x
由,,,
得,
∴.
又由已知时,;时,,观察图象,
可知在范围内,该抛物线与轴有两个公共点. 10分
16、(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y
如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.
(1)求证:点为线段的中点;
(2)求证:①四边形为平行四边形;
②平行四边形为菱形;
(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由.
(08江苏镇江28题解析)(1)法一:由题可知.
,,
. (1分)
,即为的中点. (2分)
法二:,,. (1分)
又轴,. (2分)
(2)①由(1)可知,,
,,
. (3分)
,
又,四边形为平行四边形. (4分)
②设,轴,则,则.
过作轴,垂足为,在中,
.
平行四边形为菱形. (6分)
(3)设直线为,由,得,代入得:
直线为. (7分)
设直线与抛物线的公共点为,代入直线关系式得:
,,解得.得公共点为.
所以直线与抛物线只有一个公共点. (8分)