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正比例函数与一次函数图象、性质及其应用
一、选择题
1. （2018山东滨州，12，3分）如果规定表示不大于x的最大整数，例如，那么函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当x为正整数时，y=0，排除B和C；当x为负整数时，y＝1，排除掉D，当非整数时，令x=－1.5，y=－1.5－(－2)=0.5，故选A．
【知识点】新定义问题、数形结合思想和分段函数
2. （2018山东聊城，12，3分）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内没立方米空气中含药量y（mg/）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）
A.经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/
B.室内空气中的含药量不低于8mg/的持续时间达到了11min
C.当室内空气中的含药量不低于5mg/且持续时间不低于35min，才能有效杀灭某种传染病毒，此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2mg/时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/开始，需经过59min后，学生才能进入室内
【答案】C
【解析】利用函数图象可知：经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/，∴A正确；
∵当0＜x＜5时，y=2x，∴当y=8时，x=4，又∵x=15时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/的持续时间达到了11min，∴B正确；
∵当0＜x＜5时，y=2x，∴当y=5时，x=2.5；当x＞15时，y=，∴当y=5时，x=24；∴
40
室内空气中的含药量不低于5mg/的持续时间为21.5min，持续时间低于35min，此次消毒完全无效 ，∴C错误；
∵当0＜x＜5时，y=2x，∴当y=2时，x=1；当x＞15时，y=，∴当y=2时，x=60；∴当室内空气中的含药量低于2mg/的持续时间为59min，∴D正确.
【知识点】函数图象、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求反比例函数解析式、函数值的计算
3. （2018年山东省枣庄市，5，3分） 如图，直线是一次函数的图象，如果点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【解析】由图像可得直线l与x轴的两个交点的坐标为（0，1）（-2，0），代入到求得直线 l的解析式为，再把点代入到直线l的解析式中，求得m的值为．故选C.
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数的表达式；
4. （2018四川省南充市，第7题，3分）直线向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线y=2x向下平移2个单位长度得到直线的解析式是y=2x－2，故选C.
【知识点】一次函数的平移
5. （2018浙江绍兴，6，3分）如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（ ）
（第6题图）
A．当时，随的增大而增大
B．当时，随的增大而减小
40
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
【答案】A
【解析】由函数图像可知，当时，随的增大而增大，A正确；当时，随的增大而减小，B错误；当时，随的增大而增大，C错误，当时，随的增大而增大，D错误，故选A。
【知识点】一次函数的性质
1. （2018贵州遵义，7题，3分）如图，直线y=kx+3经过点(2,0)，则关于x的不等式kx+3>0的解集是
A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2
【答案】B
【解析】由图可知，函数y=kx+3随着x的增大而减小，与x轴的交点为(2,0)，kx+3>0，即y>0，即图像在x轴上方的部分，故不等式的解集为x<2
【知识点】一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合
2. （2018湖北宜昌，15，3分） 如图，一块砖的三个面的面积比是，如果面分别向下放在地上，地面所受压强为的大小关系正确的是( )
(第15题图)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】物体所受的压力与受力面积之比叫做压强，∵砖不变，∴压力不变.这块砖的三个面的面积比是，地面所受压强为的大小关系由小变大.故选择D.
【知识点】压强.
3. （2018湖南省湘潭市，7，3分）若b＞0，则一次函数y=-x+b的图象大致是（ ）
40
【答案】C
【解析】根据一次函数y=kx+b中，k＞0时，图象从左到右上升；k＜0时，图象从左到右下降；b＞0时，图象与y轴的交点在y轴上方；b=0时，图象与y轴的交点在原点；b＜0时，图象与y轴的交点在y轴下方.∵-1＜0，所以图象从左到右下降，b＞0所以图象与y轴交于y轴上方，故选择C.
【知识点】一次函数的图象和性质
4. （2018山东德州，10，3分）给出下列函数:①;②;③;④.上述函数中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（ ）
A．①③ B．③④ C.②④ D．②③
【答案】B
【解析】函数的随自变量增大而减小；因为函数在每个象限内时的随自变量增大而减小，所以在当时的随自变量增大而减小；函数在时的随自变量增大而增大，所以在当时的随自变量增大而增大；函数的随自变量增大而增大. 故选B.
【知识点】函数增减性
5. （2018广东省深圳市，7，3分）把函数y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【答案】D
【解析】一次函数的平移规律是：左加右减，上加下减，故把函数y＝x向上平移3个单位后的函数关系式为y＝x＋3，当x＝2时，y＝2＋3＝5，故选D．
【知识点】一次函数的平移；点的坐标
6.（2018湖北荆州，T7，F3）已知:将直线向上平移2个单位长度后得到直线,则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A.经过第一、二、四象限 B.与轴交于(1,0)
C.与轴交于(0,1) D.随的增大而减小
【答案】C
【解析】解：根据题意，将直线y=x﹣1向上平移2个单位后得到的直线解析式为：
y=x-1+2，即y=x+1，当x=0时，y=1, ∴与y轴交于点（0，1）；当y=0时，x=-1,与x轴交于点（-1，0）；图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大.故选B．
【知识点】一次函数图象的平移、坐标轴的交点、函数值随自变量的增减情况.
40
7. （2018广西玉林，5题，3分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是
A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数
【答案】B
【解析】设顶角为x，底角为y，由三角形内角和定理可得，y=(180-x)=-x+90，所以二者之间为一次函数关系，故选B
【知识点】三角形内角和，一次函数
8. （2018陕西，4，3分）如图，在矩形ABCD中，A（－2，0），B（0，1）． 若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．－2 D．2
【答案】A
【解析】 由A（－2，0），B（0，1）可得C（－2，1）．把点C代入y=kx，得：－2k=1，，故选择A．
【知识点】正比例函数，图形与坐标
9.（2018陕西，7，3分）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（－2，0） B．（2，0） C．（－6，0） D．（6，0）
【答案】B
【解析】设直线l1解析式为y1=kx＋4，
∵l1与l2关于x轴对称，
∴直线l2的解析式为y2=－kx－4，
∵l2经过点（3，2），
∴－3k－4=2．
∴k=－2．
∴两条直线的解析式分别为y1=－2x＋4，y2=2x－4
联立方程组，解得：x=2，y=0．
∴交点坐标为(2，0)，故选择B．
【知识点】一次函数
二、填空题
1. （2018四川内江，25，6） 如图，直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为，，，…，，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，，，…，，用，，，…，，分别表示Rt△O，Rt△，…，Rt△的面积，则＋＋＋…＋＝ ．
40
【答案】
【思路分析】由，，，…，为线段OA的n等分点，且每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点， ，，…，，可以得到若干个“A”字型的相似三角形，利用这些相似可以依次将上述直角三角形中的平行于y轴的直角边表示出来，由于这些直角三角形的一条直角边都是，所以提出将其整理就可以得到答案．
【解题过程】解：∵∥y轴，∴△A∽△ABO，∴＝，∵直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，∴OA＝OB＝1，∴＝，∵O＝，∴＝××，同理＝××，…，＝××，∴＋＋＋…＋＝××（＋＋＋…＋）＝××（n－1＋n－2＋n－3＋…＋1）＝××＝．
【知识点】一次函数；相似三角形；
2. （2018浙江衢州，第14题，4分）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是________千米。
[
第14题图
【答案】1.5
【解析】本题考查了一次函数图像的应用，，解题的关键是正确理解函数图像中的数据含义.
40
根据函数图像，可判断8：45从家中走了45分钟，即到图书馆后又往家返5分钟，故距离1.5千米。2-2×=1.5（千米）
【知识点】一次函数图像的应用
3. （2018甘肃白银，16，4）如图，一次函数与的图像交于点P(n,-4),则关于的不等式组的解集为 。
第16题图
【答案】
【思路分析】不等式组中不等式（2）可解得x>-2,然后将P点坐标代入已知的一次函数求出P点坐标，再观察图像可得不等式的解。
【解题过程】∵过点P(n,-4),
∴，解得：n=2.
∴P点坐标是P(2,-4)
观察图像知：的解集为：x<2.
解不等式（2）可得x>-2.
∴不等式组的解集是：。
故填。
【知识点】待定系数求一次函数的解析式，解不等式组，由一次函数的图像得不等式的解集。
4. （2018江苏连云港，第15题，3分）如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别相交于A，B两点，⊙O经过A、B两点，已知AB=2，则的值为__________.
40
【答案】
【解析】解：∵OA=OB，∴∠OBA=45°，在Rt△OAB中，OA=AB•sin45°=2×=，即点A(，0)，同理可得点B(0，)，∵一次函数y=kx+b经过点A、B，∴解得：∴.故答案为：.
【知识点】锐角三角函数；圆；待定系数法求函数解析式
5. （2018湖南衡阳，18，3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，-），作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为 ．
【答案】21008.
【思路分析】写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律A2n的横坐标为（-2）n-1（n为正整数），依此规律即可得出结论．
【解题过程】解：观察，发现规律：A1（1，-），A2（1，1），A3（-2，1），A4（-2，-2），A5（4，-2），A6（4，4），A7（-8，4），A8（-8，-8），…，
∴A2n的横坐标为（-2）n-1（n为正整数）．
∵2018=2×1009，
∴A2018的横坐标为：（-2）1009-1=21008.
【知识点】探究规律、一次函数图象上点的坐标特征
6.（2018山东省济宁市，12，3）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2
40
)两点，若x1＜x2，则y1________y2（填“＞”“＜”或“=”）.
【答案】＞
【解析】一次函数y=kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而减大；当k＜0时，y随x的增大而减小，因为y=-2x＋1中的k=-2＜0，所以若x1＜x2，则y1＞y2， 因此，答案为：＞.
【知识点】一次函数的图像性质
7. （2018山东威海，18，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y＝x于点B1，过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y＝x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y＝x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y＝x于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为_________．
【答案】（22018，22017）
【思路分析】结合图形，先根据点A1的坐标确定OA1、OB1的长度，根据点B1在直线y＝x上，结合直线的倾斜度，可以得出B1坐标，依次类推，求A2、B2……，从而确定出B2018的坐标．
【解题过程】∵点A1（1，2），∴OA1＝OB1＝，∵B1在直线y＝x上，∴B1（2，1），依次类推A2（2，4），B2（4，2），A3（4，8），B2（6，4）……An(2n－1，2n)、Bn(2n，2n－1)，故点B2018（22018，22017）．
【知识点】坐标的规律性问题、点的坐标、一次函数图象上的点的特征
8. （2018四川省宜宾市，12，3分）已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为–,若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 .
【答案】（，）
【解析】把x=–代入y=x+1得：y=，∴点A的坐标为（，），∵点B和点A关于
y轴对称，∴B（，），故答案为（，）.
【知识点】关于对称轴对称的点的坐标；点在一次函数的图像上
40
9.（2018天津市，16，3）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
【答案】y=x+2
【解析】分析：由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.
解：由平移规律，直线向上平移2个单位长度，则平移后直线为y=x+2
故答案为y=x+2
【知识点】一次函数图象与几何变换
10. （2018浙江杭州，15，4分） 某日上午,甲B,乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前进前往B地,甲车8点出发,如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间（小时）变化的图象，乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是____________.
【答案】
【解析】由图象得，考虑极点情况，若在10点追上，则，解得： ，同理：若在11点追上，
【知识点】一次函数的应用
11. （2018浙江温州，15，5）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 .
【答案】
【解析】因为一次函数与x轴的交点为（，0）与y轴的交点为（0,4）所以OA=,OB=4
40
，所以tan∠OAB=所以∠OAB=30°所以∠OBA=60°因为C为OB的中点所以OC=BC=2又因为四边形OCDE为菱形所以OC=CD=2 ∠OBA=60°所以△BCD为等边三角形所以∠BCD=60°所以∠OCD=120°所以∠COE=60°所以∠EOA=30°所以EH=OE=×2=1所以△OAE的面积=故答案为
【知识点】一次函数的图象，菱形的性质，等边三角形的判定，三角形的面积公式，三角函数1. （2018湖南郴州，16，3） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 .
【答案】
【解析】解：延长BC交轴于点D，∵A点的坐标是（0，4），∴OA=4，∵四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，∴OA∥BC，OA=OC=4, ∠DOC=30°，∴∠AOD+∠ODB=180°，∴∠ODB=90°，∴BD⊥轴，在Rt△ACD中，，，∴CD=2，OD=2，∴C点的坐标为（2，2）. ∵A点的坐标是（0，4），∴可设直线AC的表达式为，将C点坐标代入，可得：，解得：，∴设直线AC的表达式为.
【知识点】平面直角坐标系，菱形的性质，一次函数表达式，解直角三角形
2. （2018·重庆A卷，17，4）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相离的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有
千米．
40
17题图
【答案】90．
【解析】由图可知甲车先出发40分钟行驶30千米，速度为30÷＝45（km/h），2h时两车相距10km，从而乙
车的速度为(45×2－10)÷(2－)＝80÷＝60（km/h），而乙车发生故障维修后的速度为50km/h．设乙车维修后行驶了xh，则其维修前行驶了(－1－x)h，根据题意，得60(－x)＋50x＝240，解得x＝2，从而45×2＝90，即乙车修好时，甲车距B地还有90千米，故答案为90．
【知识点】实一次函数的应用；行程问题；一元一次方程
3. （2018江苏淮安，14，3）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图像，点A1的坐标为 (1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2,以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点 C2作x轴的垂线，垂足为A3,交直线l于点B3,以A3D3为边作正方形A3B3C3D3,…， 按此规律操作下去，所得到的正方形AnBnCnDn的面积是 .
（第16题）
【答案】
【解析】根据一次函数的图象上点的坐标特征，分别求出点的坐标，然后根据点的坐标特征求出第一个、第二个、第三个正方形的面积，从中探索规律，进而可得结果.
解：点A1的坐标为 (1,0)
点D1的坐标为 (1,1)，
正方形A1B1C1D1的边长为1，面积为1
同理可得，正方形A2B2C2D2的边长为，面积为,
40
正方形A3B3C3D3的边长为，面积为
…正方形AnBnCnDn的面积是.
故答案为
【知识点】等腰直角三角形的性质；一次函数的图象与性质；坐标系中点的坐标特征；规律探索
4. （2018贵州安顺，T18，F4）正方形、、、…按如图所示的 方式放置.点、、…和点、C2、C3、…分别在直线y= x + 1 和x轴上，则点的坐标是______. (n为正整数）
【答案】
【解析】当x=0时，y=x+1=1，∴点的坐标为（0,1）.∵四边形为正方形，∴点的坐标为（1,1）.当x=1时，y=x+1=2，∴点的坐标为（1,2）.∵四边形为正方形，∴点的坐标为（3,2）.同理，可得点的坐标为（3,4），点的坐标为（7,4），……，点的坐标为，点的坐标为.故答案为.
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，探索规律.
5. （2018浙江省台州市，15，5分）
如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点在轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标.在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为 ．
40
【答案】（-3，5）
【解析】如图所示：过点M作MH⊥y轴，垂足为H，并延长到点N，使NH=MH，过点N作ND∥x轴，交y轴于点D，过点N作NE∥y轴，交x轴于点E.
在ΔNDH和ΔMCH中，
，
∴ΔNDH≌ΔMCH（AAS）
∴ND=MC=3，DH=CH
在RTΔMCH中，∠HCM=∠60°，∠HMC＝30°，
∴CH=MC=，
∴DC=2CH=3，
∴OD=OC+CD=2+3=5，
∴点N（-3，5）
【知识点】全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；
三、解答题
1 （2018四川内江，21，10） 某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
40
【思路分析】（1）先找到题中的等量关系：50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，以及A、B两种型号的手机的进价关系，设未知数列方程即可；（2）①由已知提供的信息：用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部；且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍，可以列出两个不等式，解这个不等式组（解为正整数）就可以确定进货方式．②设总利润为W，A种型号的手机m部，由利润等于售价减去进价再乘以部数，就可以得到一个关于W和m的一次函数，根据一次函数的性质可以得出怎样进货利润最大．
【解题过程】解：（1）设B种型号的手机每部进价为x元，则A种型号的手机每部进价为（x＋500）元，根据
题意可得10(x＋500)＋20 x＝50000，解得：x＝1500，x＋500＝2000．
答：A种型号的手机每部进价为2000元，B种型号的手机每部进价为1500元．
（2）①设商场购进A种型号的手机m部，B种型号的手机为（40－m）部，由题意得：
，解得≤m≤30，∵m为整数，∴m＝27，28，29，30，所以共有四种进货方案，
分别是：A种27部，B种13部；A种28部，B种12部；A种29部，B种11部；A种30部，B种10部．
②设获得的利润为W，则W＝（2500－2000）m＋（2100－1500）（40－m）＝－100m＋24000，∵－100＜0，∴W随m的增大而减小，所以当m＝27时，W最大，即选择购进A种27部，B种13部获得的利润最大．
【知识点】一元一次方程；一元一次不等式组；一次函数的性质；
2. （2018浙江衢州，第24题，12分）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）。
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（－10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线L垂直于x轴，设运动时间为t。
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线L上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值。
【思路分析】本题主要考查了一次函数与特殊四边形的综合问题，涉及到一次函数的解析式、菱形性质、及其动态问题。解答本题的关键是结合图形性质特点在动态过程中探究存在点的位置，利用勾股定理确定长度。
（1）因为已知经过两点，故利用待定系数法列方程组解答即可；
（2）假设法，假如存在，对点P的位置分两种情况进行讨论，利用∠PDA=∠B，可得到△PDA和△OBA相似，从而利用边长比得到PA的长度，从而得到P的坐标；
（3）分别以点B和O为圆心作圆弧，交直线CD于两点，结合菱形性质，利用勾股定理求得点Q的坐标。
40
【解题过程】解：（1）设直线CD的函数解析式为y=，将D（6，3）和C（12，0）代入得：
，解得
∴设直线CD的函数解析式为y=
（2）①存在点P.当点p在点A的左侧时，∵∠PDA=∠B，∴PD//OB，∴△PAD∽△OAB.
∴=.∴PA==6=.∴（，0）
当点P在点A的右侧时，可得（，0）
②如图，（i）以B为圆心，BO为半径画弧交直线y=于，两点，由题意可知，B=BO=B,
设Q（x, ），由勾股定理得，+=
解得=-4，=12，即，两点的横坐标分别为-4和12，
由对称性可得、的横坐标分别为-10和6，
又点P从（-10，0）开始运动，∴=0，=16.
（ii）以O为圆心，OB为半径画弧交直线y=于点，两点，由题意可知，B=BO=B,
由勾股定理得，+=
解得=，=，即，两点的横坐标分别为和，
40
又因为点P从点（-10，0）开始运动，∴=，=.
综上所述，当t为0，16， ，时，在直线L上存在点M，使得以OB为一边，O、B、M、Q.为顶点的四边形为菱形。
3. （2018江苏无锡，25，8分）一水果店是A酒店的唯一供货商.水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果.已知水果店没售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元.以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元？
【思路分析】（1）利用售出部分的利润减去未售出部分的亏损即可得到y关于x的函数表达式；
（2）利用利润不少于22000可以列不等式求出实际问题的解.
【解题过程】（1）当2000≤x≤2600时，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；
当2600≤x≤3000时，y=10×2600=26000.
（2）由题意得16x-15600≥22000，
解得x≥2350，
∴当A酒店本月对这种水果的需求量不少于2350时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于22000元.
【知识点】列一次函数解析式、一元一次不等式的应用
4. （2018江苏无锡，26，10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）.
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.
【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；
方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.
（2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式.
【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；
40
方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.
（2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4），
设AC的解析式为y=kx+b，
则，解得,
∴.
方法二：作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，则BM=4，BN=6，
设A（a，0）C（0，b），利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a，
由△BAM∽BCN得，
∴，
∴
40
设AC的解析式为y=mx+n，
则，解得,
∴.
【知识点】
5. （2018山东潍坊，23，11分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务. 该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米. 每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元.
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元. 问施工时有哪几种调配方案，并指出那种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
【思路分析】（1）根据两种挖掘机挖土的数量列二元一次方程组求解即可；（2）设A型挖掘机有x台，则B型挖掘机有(12－x)台，根据挖土量和施工费用分别列不等式组取整数解，即可求出调配方案，设施工费用为y元，可列出施工费用y与x的函数关系式，利用函数的增减性求最低费用.
【解题过程】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土a立方米，每台B型挖掘机一小时挖土b立方米，根据题意，得：
解得：
所以，每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米.
（2）设A型挖掘机有x台，则B型挖掘机有(12－x)台.
解得：6≤x≤9
∵挖掘机数量不同，∴x≠12－x
∴x≠6
所以，x取整数为7，8，9共三种方案，分别是①A型7台，B型5台；②A型8台，B型4台；③A型9台，B型3台.
设施工总费用为y元，则y=300×4x＋180×4(12－x)=480x＋8640
∵480＞0,∴y随x的增大而增大，当x=7时，施工费用最少，此时y=480×7+8640=12000.
∴方案①A型7台，B型5台施工费用最低，最低费用为12000元.
【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数应用
6.（2018四川省成都市，26，8）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2
40
)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植面积总费用最少？最少费用为多少元？
【思路分析】（1）根据函数图象把(300，39000)，(500，55000)分别代入y＝k1x与y＝k2x＋b中即可求得解析式．
（2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200－a)m2，结合（1）中的函数关系式，分别求出甲、乙两种花卉的费用求和，再结合函数的增减性进行讨论，即可求出最小值．
【解题过程】解：（1）当0≤x≤300时，设函数关系式为y＝k1x，过(300，39000)，则39000＝300k1，解得k1＝130，∴当0≤x≤300时，y＝130x，当x＞300时，设函数关系式为y＝k2x＋b，过(300，39000)和(500，55000)两点，∴，解得，y＝80x＋1500．综上y＝．
（2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200－a)m2．
根据题意得，解得200≤a≤800．
当200≤a≤300时，总费用W1＝130a＋100(1200－a)＝30a＋120000，当a＝200时，总费用最少为Wmin＝30×200＋120000＝126000(元)；
当300≤a≤800时，总费用W2＝80a＋15000＋100(1200－a)＝－20a＋135000，当a＝800时，总费用最少为Wmin
＝－20×800＋135000＝119000，∵119000＜126000，∴当a＝800时，总费用最少为119000，此时1200－a＝400，
∴当甲种、乙两种花卉面积分别为800 m2和400 m2时，种植面积总费用最少，最少费用为119000元．
【知识点】解不等式组；一次函数；一次函数图象的性质；
7. （2018四川广安，题号22，分值：8） 某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元，若卖出的数量相同，销售量总额将比去年减少20％.
（1）求今年A型车每辆车的售价.
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A，B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？
【思路分析】对于（1），先设今年的售价为x元，并表示去年的售价，再根据卖出的数量相同列出分式方程，求出解即可.
对于（2），设购进A型车m辆，可表示B型车(45-m)辆，再根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍列出不等式，求出m的取值范围，再列出利润y与m的关系式，并根据一次函数的性质讨论极值即可.
【解题过程】（1）设今年的售价为x元，则去年的的售价为(x+400)元，根据题意，得
…………………………………………………………………………..2分
40
解得x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解………………………………………………………………3分
所以今年A型车每辆的售价为1600元.
（2）设购进A型车的数量为m辆，则购进B型车(45-m)辆，最大利润为y，根据题意可知
45-m≤2m，
解得m≥15.
则15≤m≤45………………………………………………………………………………….4分
y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000…………………………………………6分
∵-100＜0，
∴y随m的增大而减小，……………………………………………………………………..7分
即当m=15时，y最大=25500元.
所以，应购进A型车15辆，B型车30辆，最大利润为25500元………………………..8分
【知识点】分式方程的应用，一次函数的应用
8. （2018四川省南充市，第23题，10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多100元.
（1）求一件型、型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进型、型丝绸共50件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于16件，设购进型丝绸件.
①求的取值范围.
②已知型的售价是800元/件，销售成本为元/件；型的售价为600元/件，销售成本为元/件.如果，求销售这批丝绸的最大利润（元）与（元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价-销售成本）.
【思路分析】(1)利用一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元，设出未知数，再利用用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，列出方程即可.
(2) ①根据A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，求出m的取值范围；②先根据A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件表示出利润，再根据50≤n≤150，求出最大利润.
【解题过程】解：(1)设A型丝绸进价为x元，则B型丝绸进价为(x－100)元，
根据题意，得：. 2分
解得：x=500. 3分
经检验，x=500是原方程的解.∴B型丝绸进价为400元.
答：A、B两型丝绸的进价分别为500元、400元. 4分
(2) ①∵解得：16≤m≤25. 6分
②w=(800－500－2n)m+(600－400－n)(50－m)=(100－n)m+(10000－50n). 8分
当50≤n≤150时，100－n＞0，w随m的增大而增大.
故m=25时，w最大=12500－75n. 9分
当n=100时，w最大=5000.
当100＜n≤150时，100－n＜0，w随m的增大而减小
故m=16时，. w最大=11600－66n.
综上所述，w最大= 10分
40
【知识点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
9.（2018浙江绍兴，16，3分）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是，底面的长是，宽是，容器内的水深为.现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点的三条棱的长分别是，，，当铁块的顶部高出水面时，，满足的关系式是 ．
（第16题图）
【答案】 或
【解析】
根据容器中上升的水的体积等于在水面以下铁块的体积，可分两种情况：①10×10的面放在容器底面，当时，，得：；②的面放在容器底面，当时，，得：。
【知识点】一次函数、分类讨论
10. （2018浙江绍兴，19，8分） 一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量（升）关于加满油后已行驶的路程（千米）的函数图象.
（第19题图）
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量.
（2）求关于的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程.
【思路分析】（1）汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，行使400千米耗油40升，再加上剩余30升即可求出加满油时油箱的油量为70升。
40
（2）把点，坐标分别代入即可求出关于的函数关系式，当时就可求出行使的路程。
【解题过程】解：（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，加满油时，油量为70升.
（2）设，把点，坐标分别代入得，，
∴，当时，，即已行驶的路程为650千米.
【知识点】一次函数的图像和性质，用待定系数法求一次函数的解析式。
11. （2018浙江绍兴,，24，14分） 24如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有，，，四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从站开往站的车称为上行车，从站开往站的车称为下行车.第一班上行车、下行车分别从站、站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在，站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时.
（第24题图）
（1）问第一班上行车到站、第一班下行车到站分别用时多少？
（2）若第一班上行车行驶时间为小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为千米，求与的函数关系式.
（3）一乘客前往站办事，他在，两站间的处（不含，站），刚好遇到上行车，千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到站或走到站乘下行车前往站.若乘客的步行速度是5千米/小时，求满足的条件.
【思路分析】（1）用第一班上行车的到B站的路程5千米除以这班车的速度30千米/小时即可；
（2） 当第一班上行车与第一班下行车相遇时用时小时，所以分、两种情况分别求；
（3） 可以分、、三种情况讨论。
【解题过程】24.解：（1）第一班上行车到站用时小时.
第一班下行车到站用时小时.
（2）当时，.
当时，.
（3）由（2）知同时出发的一对上、下行车的位置关于中点对称，设乘客到达站总时间为分钟，
当时，往站用时30分钟，还需再等下行车5分钟，
40
，不合题意.
当时，只能往站坐下行车，他离站千米，则离他右边最近的下行车离站也是千米，这辆下行车离站千米.
如果能乘上右侧第一辆下行车，，，∴，
，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，，
，，
∴，，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，，
，，
∴，，不合题意.
∴综上，得.
当时，乘客需往站乘坐下行车，
离他左边最近的下行车离站是千米，
离他右边最近的下行车离站也是千米，
如果乘上右侧第一辆下行车，，
∴，不合题意.
如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，，
，，∴，，
∴符合题意.
如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，，
，，，
∴不合题意.
40
∴综上，得.
综上所述，或.
【知识点】时间=路程÷速度、一次函数、分类讨论
12. （2018·重庆B卷，17，4）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校．小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲．妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半．小玲继续以原速度步行前往学校．妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的函数关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．
17题图
【答案】200．
【解析】由图可知：玲玲用30分钟从家里步行到距家1200米的学校，因此玲玲的速度为40米/分；妈妈在玲玲步行10分钟后从家时出发，用5分钟追上玲玲，因此妈妈的速度为40×15÷5＝120米/分，返回家的速度为120÷2＝60米/分．设妈妈用x分钟返回到家里，则60x＝40×15，解得x＝10，此时玲玲已行走了25分钟，共步行25×40＝1000米，还离学校1200－1000＝200（米），故答案为200．
【知识点】一次函数的实际应用
13. （2018·重庆B卷，22，10）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为－2，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BDC的面积．
40
22题图
【思路分析】（1）先求出点A的坐标，再由平移求出直线l3的为y＝x－4，进而求出点C的坐标；直线l2的解析式为y＝kx＋b，将A、C两点坐标代入得方程组解答即可锁定直线l2的解析式；（2）先求出B、D两点坐标，进而得到线段BD的长，C点的横坐标的绝对值即为△BDC的边BD上的高，由三角形的面积公式计算即可．
【解题过程】
22．解：（1）在y＝x中，当x＝2时，y＝1；易知直线l3的解析式为y＝x－4，当y＝－2时，x＝4，故A(2，1)，C(4，－2)．设直线l2的解析式为y＝kx＋b，则，解得，故直线l2的解析式为y＝－x＋4．
（2）易知D(0，4)，B(0，－4)，从而DB＝8．由C(4，－2)，知C点到y轴的距离为4，
故S△BDC＝BD•＝×8×4＝16．
【知识点】一次函数的应用 平移 一次函数解析式的求法
14. （2018江苏省盐城市，24，10分） 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝___________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为___________米/分钟;
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
40
【思路分析】（1）由图象得当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为＝40米/分钟;
（2）根据题意，先求得点A的坐标，然后用待定系数法求出线段AB所表示的函数表达式．
【解题过程】解：（1）24，40；
（2）∵甲、乙两人的速度和为＝100米/分钟，甲的速度为40米/分钟,∴乙的速度为60米/分钟．
乙从图书馆回学校所用的时间为＝40分钟．
相遇后，乙到达学校时，两人之间的距离y＝60×（40－24）＝1600（米），
∴点A的坐标为（40，1600）．
∵点B的坐标为（40，1600）∴设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx＋b．
根据题意，得解得
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40x．
【知识点】一次函数的图象的应用；一次函数的表达式
15. （2018山东临沂，24，9分）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发xh后，两人相距ykm，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息，求：
(1)点Q的坐标，并说明它的实际意义；
(2)甲、乙两人的速度.
第24题图
【思路分析】(1)先求出直线PQ的函数解析式，然后再求出点Q的坐标；由点Q位于x轴上，并联系甲乙的位置来描述它的实际意义；
(2)由点M可知甲已到达点A，由总路程为10km即可求出甲的速度；再由点Q的位置可知甲乙相遇时的时间，由此建立方程可求出乙的速度.
40
【解题过程】(1)设直线PQ的解析式为y＝kx＋b，代入点(0，10)和(，)的坐标，得
，解得：，故直角PQ的解析式为y＝－10x＋10，
当y＝0时，x＝1，故点Q的坐标为(1，0)，该点表示甲乙两人经过1小时相遇.
(2)由点M的坐标可知甲经过h达到B地，故甲人的速度为：10km÷h＝6km/h；
设乙人的速度为xkm/h，由两人经过1小时相遇，得：
1·(x＋6)＝10，解得：x＝4，
故乙人的速度为4km/h.
【知识点】一次函数 应用题 待定系数法求解析式
16.（2018天津市，23，10）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
方式一的总费用（元）
150
175
…
方式二的总费用（元）
90
135
…
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【思路分析】本题考查一次函数的应用方案选择问题，先根据题意找到两种方案的关系式，再利用一次函数的性质即可得结果.
（Ⅰ）读懂表格，结合题意填写.方式一是先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二是不购买会员证，每次游泳付费9元.
（Ⅱ）根据表格，方式一的总费用＝5x+100，方式二的总费用=9x,代入分别计算，然后比较可得结果.
（Ⅲ）先表达出方式一与方式二的总费用的差，列出一次函数关系，然后由 x的取值范围，根据函数的增减性确定出最节省费用的方案.
【解题过程】解：（Ⅰ）200，，180，.
（Ⅱ）方式一：，解得.
方式二：，解得.
∵，
∴小明选择方式一游泳次数比较多.
（Ⅲ）设方式一与方式二的总费用的差为元.
则，即.
40
当时，即，得.
∴当时，小明选择这两种方式一样合算.
∵，
∴随的增大而减小.
∴当时，有，小明选择方式二更合算；
当时，有，小明选择方式一更合算.
【知识点】方案设计与决策题型；列代数式；一次函数与方程（组）或不等式的联系；方程与函数思想；
17. （2018浙江湖州，22，10） “绿水青山就是金山银山”．为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥．甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：
路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．（温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内）
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110－x
2×15x
2×25（110－x）
B果园
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【思路分析】（1）根据B果园需要的化肥量和乙仓库可运出的化肥量，以及甲乙两仓库距离B果园的路程可以填写；（2）将4个运费加起来即为总运费．
【解题过程】解 （1）
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110－x
2×15x
2×25（110－x）
B果园
80－x
x－10
2×20（80－x）
2×20（x－10）
6分
（2）y＝2×15x+2×25（110－x）+2×20（80－x）+2×20（x－10），
即y＝－20x+8300． 2分
在一次函数y＝－20x+8300中，∵－20＜0，且10≤x≤80，
∴当x＝80时y最小＝6700元． 2分
即当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，是6700元．
【知识点】一次函数的应用
40
1. （2018湖南益阳，24，10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低． 马迹塘一农户需要将A、B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变． 原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元． A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍． 问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
【解析】解：（1）解：设每次运输的农产品中A产品有x件，B产品有y件，根据题意，得：
解得：
答：每次运输的农产品中A产品有10件，B产品有30件．
（2）设每次运送的产品中A产品增加m件，则B产品增加（8－m）件．
30＋8－m≤2（10＋m）
解得：m≥6
又∵8－m≥0
∴m≤8
∴6≤m≤8
设产品件数增加后，运费为W元，
W=30(10＋m)＋20(30＋8－m)
=10m＋1060
∵k=10＞0，
∴W随m的增大而增大．
∴当m=6时，W取最小值，此时W=10×6＋1060=1120
所以，产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．
【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数应用
2. （2018内蒙古呼和浩特，20，8分）如图，已知A(6，0)、B(8，5),将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC、AB、CD、BD,
（1）求对角线AC的长；
（2）设点D的坐标为(x,0), △ODC与△ABD的面积分别记为，设，写出S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，用坐标形式写出点D的位置，如果不存在，说明理由。
40
【思路分析】以几何图形(动点)为背景存在性的问题一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相对应的函数图象,要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
【解析】
解：（1）将OA平移到BC，则BC=OA=6,B（8,5），∴点C（2,5）。
∴AC=;
(2)若点D在线段OA上，=（0＜x＜6），
当点D在线段OA延长线上，=（x＞6），
∴
，
∴当S与△DBC面积相等时，点D在线段OA延长线上，
此时D的坐标（x，0）（x＞6）.
【知识点】平移的性质，勾股定理，分段函数
3. （2018·重庆A卷，22，10）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A(5，m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围．
22题图
【思路分析】（1）先求出A点坐标，再利用点的平移规律，求出C点坐标；由坐标平面内的平行直线的“斜率”k值相等，设直线CD的解析式为y＝2x＋b，最后将点C坐标代入即可求出b值，也就求出直线CD的解析式了；
（2）先求出直线CD与x轴交点的横坐标，再求出点B坐标，从而得到过点B且平行于直线CD的解析式，最后求出该直线解析与x轴交点的横坐标，就锁定了直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围．
【解析】
解：（1）在y＝－x＋3中，当x＝5时，y＝2，故A(5，－2)．
∵把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，
40
∴C(3，2)．
∵直线CD∥直线y＝2x，
∴令直线CD的解析式为y＝2x＋b，则2×3＋b＝2，解得b＝－4．
∴直线CD的解析式为y＝2x－4．
（2）易知点B(0，3)．
在y＝2x－4中，令y＝0，得2x－4＝0，解得x＝2．
∵过点B且平行于直线CD的解析式为y＝2x＋3，
∴令y＝2x＋3中的y＝0，得2x＋3＝0，解得x＝－．
∴直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是－≤x≤2．
【知识点】一次函数解析式的求法；平移；一次函数的图像与性质
4. （2018广东广州，21，12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售，若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二方案更合算，求x的范围．
【思路分析】（1）当x=8时，分别计算两种优惠方案的所需要的费用，进行比较；（2）根据“方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售”分情况与方案一的费用进行比较．
【解析】（1）当x=8时，方案一费用：0.9a·8＝7.2a元，方案二费用：5a＋0.8a(8－5)＝7.4a元，∵a＞0，∴7.2a＜7.4a，∴方案一费用最少，最少费用7.2a元；
（2）若x≤5，方案一每台按售价的九折销售，方案二每台按售价销售，所以采用方案一购买合算；
若x＞5，方案一的费用：0.9ax；方案二的费用：5a＋0.8a(x－5)＝0.8ax＋a；由题意：0.9ax＞0.8ax＋a，解得x＞10，所以若该公司采用方案二购买更合算，x的取值范围是：x＞10且x为正整数.
【知识点】代数式表示；一次函数的应用；一元一次不等式的应用
5. （2018贵州遵义，25题，12分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系：
销售量y（千克）
……
34.8
32
29.6
28
……
售价x（元/千克）
……
22.6
24
25.2
26
……
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【思路分析】（1）题目中说明是一次函数，故用待定系数法设出函数表达式，利用表格中的数据求得表达式，然后将售价23.5代入，可求得当天水果的销售量；（2）总利润=单个利润×销售量，设售价为m元/千克，表示出总利润，解方程可得售价，注意题目中对售价的要求。
【解析】（1）由题可知水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足一次函数关系，故设y=kx+b，当x=24时，y=32，当x=26时，y=28，得，解得，所以y=-2x+80，当x=23.5时，y=33，答：当天水果的销售量为33千克。
40
（2）设售价为m元，当天的销售量为(-2m+80)千克，根据题意得，(m-20)(-2m+80)=150，解得，m1=25，m2=35，因为售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，所以m2=35舍去，答：该天水果的售价为25元
【知识点】一次函数的应用，一元二次方程的应用
6.（2018河北省，24，10）如图，直角坐标系，xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC－S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
l1:y=－x＋5
1
1
A
B
y
O
C
l2
第24题图
【思路分析】（1）将点C的坐标代入l1的解析式可求得m的值，进而确定l2的解析式；（2）根据A，B，C三点的坐标可求出△AOC和△BOC的面积，进而求出面积之差；（3）∵l1与l2相交，∴l3与它们不能构成三角形，一定是和其中一条直线平行或三条直线交于一点．
【解析】（1）将点C的坐标代入l2的解析式，得－m＋5＝4．解得m＝2． 1分
m＝2时，C的坐标为（2，4）．设l2的解析式为y＝ax．将点C的坐标代入，得4＝2a．解得a＝2．
∴l2的解析式为y＝2x． 1分
（2）由y＝－x＋5，当x＝0时，y＝5，∴B（0，5）．
当y＝0时，x＝10，∴A（10，0）． 1分
∴S△AOC＝×10×4＝20，S△BOC＝×5×2＝5． 1分
∴S△AOC－S△BOC＝20－5＝15． 1分
（3）∵l1，l2，l3不能围成三角形，
∴l1∥l3或l2∥l3或l3过点C． 1分
当l3过点C时，4＝2k＋1．
∴k＝. 1分
∴k的值为－或2或． 3分
【知识点】一次函数的图象，三角形的面积
40
7. （2018江苏淮安，22，8）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A（-2,6)，且与x轴相交于点B ,与正比例函数y=3x的图像相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)若点D在y轴负半轴上，且满足，求点D的坐标
【思路分析】本题综合考查一次函数图象与性质，（1）由题设条件，利用待定系数法可得结果；（2）利用数形结合，先求出S△BOC的面积，进而可得点D的坐标.
【解析】 由点C在y=3x上得点C的坐标为（1，3）；
由点A、C在y=kx+b得，解得k=-1,b=4
（2）由图可求得，S△BOC＝
所以
即
所以OD=4
即点D的坐标为（0，﹣4）
【知识点】一次函数图象与性质；正比例函数图象与性质，待定系数法；坐标系中点的坐标特征
8. （2018江西，21，9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保持期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
40
第21题图
【思路分析】(1)设出一次函数解析式y＝kx＋b，将(10，200)(15，150)代入，求出k、b即可；(2)利用总利润＝每千克利润×千克数，得到二次函数形式，再利用顶点式求最值；(3)在(2)下，求出每天的销售量，再算出总销售量，然后和今年共采摘量比较即可．
【解析】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(10，200)(15，150)代入y＝kx＋b(k≠0)中
，解得，
∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300(8≤x≤30)；
(2)设每天销售获得的利润为w，根据题意得：
w＝(x－8)y
＝(x－8)(－10x＋300)
＝－10(x－19)2＋1210，
∵8≤x≤30，
∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210；
(3)由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，
则每天销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)．
∵保质期为40天，
∴销售总量为40×110＝4400，
又∵4400＜4800
∴不能销售完这批蜜柚．
【知识点】一次函数解析式，一次函数最值，一次函数的应用
9.（2018山东省日照市，18，10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中.小红从家出发到返回家中，行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h；
(2)当1.5≤x≤2.5时，求出路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？
【思路分析】(1)由图象可知，小红0.5小时行驶了10千米，可求得小红由家到甲地的骑车速度，即为从甲地到乙地骑车的速度；(2)求得点C的坐标，用待定系数法，求得y与x的函数解析式.
【解析】解：(1)10÷0.5=20(km/h).
所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h.
(2)解法1：20×(2.5－1.5)=20，20+10=30，
∴点C的坐标为（2.5，30）.
40
当1.5≤x≤2.5时，设路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=kx+b.
把点B（1.5，10），点C（2.5，30）代入y=kx+b，得
解得
∴当1.5≤x≤2.5时，路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x－20，乙地离小红家30千米.
解法2：当1.5≤x≤2.5时，设路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x+b.
把点B（1.5，10）代入y=kx+b，得10=20×1.5+b，解得b=－20.
所以当1.5≤x≤2.5时，路程y(km)关于时间x（h）的函数解析式为y=20x－20.
当x=2.5时，y=20×2.5－20=30.
所以乙地离小红家30千米.
【知识点】一次函数的应用
10. （2018四川雅安，19题，8分）某商店计划购进A、B两种玩具，已知购进1件A玩具和2件B玩具共需要65元，购进3件A玩具和5件B玩具共需要170元。
（1）求每件A、B玩具的进价分别是多少元？
（2）商店计划用不超过720元的资金购进A、B两种玩具共34件，如果商店将这批玩具全部销售，A种玩具每件可获利8元，B种玩具每件可获利12元，那么商店应购进A种玩具多少件时获得利润最多？
【思路分析】（1）根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价；（2）由资金限制求得A玩具数量的范围，再由利润和A玩具数量的函数关系，确定A的具体数量
【解题过程】（1）设每件A玩具的进价为x元，每件B玩具的进价为y元，由题可得：，解得，答每件A玩具的进价为15元，每件B玩具的进价为25元
（2）设应购进A中玩具a件，则购进B种玩具(34-a)件，商店所获利润为w元，由题可得15a+25(34-a)≤720，解得，a≥13，有因为w=8a+12(34-a)=-4a+408，因为k=-4<0，所以w随a的增大而减小，所以当a=13时，w有最大值：-4×13+408=356(元)，答：商店应购进A种玩具13件，此时利润最多
【知识点】二元一次方程应用，不等式应用，一次函数增减性
11. （2018武汉市，20，8分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）
(1) 求A、B型钢板的购买方案共有多少种？
(2) 出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若童威将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案
【思路分析】(1)设购买A型钢板x块，表示出B型钢板的块数，根据C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块列出不等式组，求出x的取值范围，得到购买方案.
(2)用x表示出出售C型钢板、D型钢板获得的利润，根据函数的增减性确定获得最大利润的购买方案.
【解题过程】（1）设A型钢板x块，则B型钢板有（100-x）块.
，解得.
X=20或21或22或23或24或25，购买方案共有6种.
40
（2）设总利润为W元，则
X=20时，元.
获利最大的方案为购买A型20块，B型80块.
【知识点】一元一次不等式组的应用 一次函数的实际应用
12. （2018 湖南张家界，19， 6分）阅读理解题.
在平面直角坐标系中,点到直线的距离公式为:. 例如，求点到直线的距离.
解:由直线知：.
所以到直线的距离为：
根据以上材料,解决下列问题：
（1）求点到直线的距离；
（2）若点到直线的距离为,求实数的值.
【思路分析】（1）根据点到直线的距离公式，代入即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程既可解决问题.
【解题过程】解：（1）根据题意，得；
（2）根据题意，得 ，即 .
. 解得 ， .
【知识点】一次函数综合问题；点到直线的距离公式.
13. （2018·北京，24，6）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
40
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
2.65
3.18
4.37
y2/cm
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
【思路分析】（1）利用描点法先画出函数y1的图象；（2）利用y1的图象，确定当x＝3.00时对应的函数y1的对应值；（3）结合图形与图象，利用分类思想锁定△APC为等腰三角形时，AP的长度的近似．
【解题过程】
24．解：（1）3.06；（答案不唯一，只要在3.00≤y1≤3.10均可）
（2）如下图所示：
（3）3.08cm或5.02cm或5.75cm，如下图所示：
【知识点】函数图象的画法；估算；等腰三角形；分类思想；探究性问题
14. （2018江苏省宿迁市，24，10）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
40
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时，油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．
【思路分析】（1）剩余油量等于总油量减去消耗的油量；（2）求行驶的路程，只需求出行驶中消耗的油量就能得解．
【解题过程】（1）y＝40－×10＝40－0.1x． 4分
（2）由（1）可知，汽车最少剩余的油量为40×＝10． 3分
当y＝10时，40－0.1x＝10．解得x＝300．
∴该辆汽车最多行驶的路程为300km． 3分
【知识点】一次函数的实际应用
15. （2018山东省泰安市，20，9）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
【思路分析】本题考查了分式方程、一次函数及一元一次不等式的的实际应用，解题的关键是找出数量关系列出方程、一次函数和不等式．首先根据甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍来设未知数，根据用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本来列方程。在第（2）中，根据利润=甲种图书单件利润数量+乙种图书单件利润数量来列一次函数；根据书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书来列不等式确定函数自变量的取值范围，根据函数的增减性质，在取值范围内确定最值.
【解题过程】解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元.
由题意得： ， 2分
解得：.经检验，是原方程的解. 4分
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元. 5分
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
. 6分
又∵， 解得， 8分
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）.
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大. 9分
【知识点】分式方程的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用.
16.（2018陕西，21，7分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
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根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000 kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣有多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000 kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600 kg． 假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．
【思路分析】（1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣有a袋，小米有b袋，根据数量和利润列方程组求解；（2）先分别表示出红枣和小米的袋数，然后根据“每袋的利润×袋数”列函数关系式，再根据函数的增减性求至少能获得的总利润．
【解题过程】解：（1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣有a袋，小米有b袋， 根据题意，得：
解得：
∴这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣有1500袋．
（2）
=12x＋16000 (x≥600)
∵k=12＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x=600时，获得最少利润，至少为：12×600＋16000=23200(元)．
即函数关系式为y=12x+16000，后五个月至少获得总利润为23200元．
【知识点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用
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