2020年中考数学真题试题（含解析） 新人教版 21页

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（2018年山东省临沂市）在实数﹣3，﹣1，0，1中，最小的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．‎ ‎【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜1，‎ ‎∴最小的是﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．‎ ‎　‎ ‎2．（2018年山东省临沂市）自2013年10月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来．各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度．全国脱贫人口数不断增加．仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人．将1100万人用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.1×103人 B．1.1×107人 C．1.1×108人 D．11×106人 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：1100万=1.1×107，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（2018年山东省临沂市）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=64°，则∠CBD的度数是（　　）‎ 21‎ A．42° B．64° C．74° D．106°‎ ‎【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和定理计算即可；‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABC=∠C=64°，‎ 在△BCD中，∠CBD=180°﹣∠C﹣∠D=180°﹣64°﹣42°=74°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2018年山东省临沂市）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）‎ A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=‎ ‎【分析】根据配方法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：y2﹣y﹣=0‎ y2﹣y=‎ y2﹣y+=1‎ ‎（y﹣）2=1‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎5．（2018年山东省临沂市）不等式组的正整数解的个数是（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】先解不等式组得到﹣1＜x≤3，再找出此范围内的整数．‎ ‎【解答】解：解不等式1﹣2x＜3，得：x＞﹣1，‎ 解不等式≤2，得：x≤3，‎ 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，‎ 21‎ 所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．‎ ‎　‎ ‎6．（2018年山东省临沂市）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（　　）‎ A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m ‎【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．‎ ‎【解答】解：∵EB∥CD，‎ ‎∴△ABE∽△ACD，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴CD=10.5（米）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．‎ ‎　‎ ‎7．（2018年山东省临沂市）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（　　）‎ 21‎ A．12cm2 B．（12+π）cm2 C．6πcm2 D．8πcm2‎ ‎【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．‎ ‎【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．‎ 所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．‎ ‎　‎ ‎8．（2018年山东省临沂市）2018年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式取出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎，‎ 一共有9种可能，符合题意的有1种，‎ 故小华和小强都抽到物理学科的概率是：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2018年山东省临沂市）如表是某公司员工月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎5000‎ ‎3400‎ ‎3300‎ ‎1000‎ 21‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　）‎ A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．平均数和方差 ‎【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．‎ ‎【解答】解：该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，‎ 所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；‎ 因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，‎ 所以该公司员工月收入的中位数为5000元；‎ 由于在25名员工中在此数据及以上的有12人，‎ 所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．‎ ‎　‎ ‎10．（2018年山东省临沂市）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）‎ A． = B． =‎ C． = D． =‎ ‎【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．‎ ‎【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，‎ 根据题意，得： =，‎ 故选：A．‎ 21‎ ‎【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．‎ ‎　‎ ‎11．（2018年山东省临沂市）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）‎ A． B．2 C．2 D．‎ ‎【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．‎ ‎【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，‎ ‎∴∠E=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠EBC+∠BCE=90°．‎ ‎∵∠BCE+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠EBC=∠DCA．‎ 在△CEB和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△CEB≌△ADC（AAS），‎ ‎∴BE=DC=1，CE=AD=3．‎ ‎∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2‎ 故选：B．‎ 21‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎12．（2018年山东省临沂市）如图，正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）‎ A．x＜﹣1或x＞1 B．﹣1＜x＜0或x＞1‎ C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜l ‎【分析】直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．‎ ‎∴B点的横坐标为：﹣1，‎ 故当y1＜y2时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜l．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出B点横坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2018年山东省临沂市）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：‎ ‎①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；‎ ‎②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；‎ ‎③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；‎ ‎④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．‎ 21‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，‎ ‎【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，‎ 当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，‎ 故④选项正确，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．‎ ‎　‎ ‎14．（2018年山东省临沂市）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）‎ A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30‎ D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 ‎【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．‎ ‎【解答】解：设原数为a，则新数为，设新数与原数的差为y 则y=a﹣=﹣‎ 易得，当a=0时，y=0，则A错误 21‎ ‎∵﹣‎ ‎∴当a=﹣时，y有最大值．‎ B错误，A正确．‎ 当y=21时，﹣ =21‎ 解得a1=30，a2=70，则C错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共1 5分)‎ ‎15．（2018年山东省临沂市）计算：|1﹣|=　﹣1　．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．‎ ‎【解答】解：|﹣|=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．‎ ‎　‎ ‎16．（2018年山东省临沂市）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=　1　．‎ ‎【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．‎ ‎【解答】解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，‎ ‎∵m+n=mn，‎ ‎∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．‎ ‎　‎ ‎17．（2018年山东省临沂市）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　4　．‎ 21‎ ‎【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴AC==8，‎ ‎∴OC=4，‎ ‎∴OB==2，‎ ‎∴BD=2OB=4‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（2018年山东省临沂市）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　cm．‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，‎ ‎∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ 21‎ 作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，‎ ‎∴BD=，∠OBD=30°，‎ ‎∴OB=，得OB=，‎ ‎∴2OB=，‎ 即△ABC外接圆的直径是cm，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎19．（2018年山东省临沂市）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0. =x，由0. =0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以l0x﹣x=7，解方程，得x=，于是．得0. =．将0.写成分数的形式是　　．‎ ‎【分析】设0. =x，则36. =100x，二者做差后可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设0. =x，则36. =100x，‎ ‎∴100x﹣x=36，‎ 解得：x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ 21‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共6 3分）‎ ‎20．（2018年山东省临沂市）计算：（﹣）．‎ ‎【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．‎ ‎【解答】解：原式=[﹣]•‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．‎ ‎　‎ ‎21．（2018年山东省临沂市）某地某月1～20日中午12时的气温（单位：℃）如下：‎ ‎22 31 25 15 18 23 21 20 27 17‎ ‎20 12 18 21 21 16 20 24 26 19‎ ‎（1）将下列频数分布表补充完整：‎ 气温分组 划记 频数 ‎12≤x＜17‎ ‎3‎ ‎17≤x＜22‎ ‎　　‎ ‎　10　‎ ‎22≤x＜27‎ ‎　　‎ ‎　5　‎ ‎27≤x＜32‎ ‎2‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况．‎ 21‎ ‎【分析】（1）根据数据采用唱票法记录即可得；‎ ‎（2）由以上所得表格补全图形即可；‎ ‎（3）根据频数分布表或频数分布直方图给出合理结论即可得．‎ ‎【解答】解：（1）补充表格如下：‎ 气温分组 划记 频数 ‎12≤x＜17‎ ‎3‎ ‎17≤x＜22‎ ‎10‎ ‎22≤x＜27‎ ‎5‎ ‎27≤x＜32‎ ‎2‎ ‎（2）补全频数分布直方图如下：‎ ‎（3）由频数分布直方图知，17≤x＜22时天数最多，有9天．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ 21‎ ‎22．（2018年山东省临沂市）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？‎ ‎【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：‎ 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，‎ 理由是：过B作BD⊥AC于D，‎ ‎∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，‎ ‎∴求出DB长和2.1m比较即可，‎ 设BD=xm，‎ ‎∵∠A=30°，∠C=45°，‎ ‎∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，‎ ‎∵AC=2（+1）m，‎ ‎∴x+x=2（+1），‎ ‎∴x=2，‎ 即BD=2m＜2.1m，‎ ‎∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（2018年山东省临沂市）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．‎ 21‎ ‎【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；‎ ‎（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，‎ ‎∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点D，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 而OF⊥AC，‎ ‎∴OF=OD，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，‎ ‎∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，‎ ‎∴OD=1，OB=2，‎ ‎∴∠B=30°，∠BOD=60°，‎ ‎∴∠AOD=30°，‎ 在Rt△AOD中，AD=OD=，‎ ‎∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF ‎=2××1×﹣‎ 21‎ ‎=﹣．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎24．（2018年山东省临沂市）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．‎ 根据图中信息，求：‎ ‎（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；‎ ‎（2）甲、乙两人的速度．‎ ‎【分析】（1）两人相向而行，当相遇时y=0本题可解；‎ ‎（2）分析图象，可知两人从出发到相遇用1小时，甲由相遇点到B用小时，乙走这段路程用1小时，依此可列方程．‎ ‎【解答】解：（1）设PQ解析式为y=kx+b 把已知点P（0，10），（，）代入得 21‎ 解得：‎ ‎∴y=﹣10x+10‎ 当y=0时，x=1‎ ‎∴点Q的坐标为（1，0）‎ 点Q的意义是：‎ 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过1个小时两人相遇．‎ ‎（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h 由已知第小时时，甲到B地，则乙走1小时路程，甲走﹣1=小时 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴甲、乙的速度分别为6km/h、4km/h ‎【点评】本题考查一次函数图象性质，解答问题时要注意函数意义．同时，要分析出各个阶段的路程关系，并列出方程．‎ ‎　‎ ‎25．（2018年山东省临沂市）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．‎ ‎（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；‎ ‎（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；‎ 21‎ ‎（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．‎ ‎【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE，‎ 又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，‎ ‎∴∠EDG=∠DEG，‎ ‎∴DG=EG，‎ ‎∴FG=AG，‎ 又∵∠DGF=∠EGA，‎ ‎∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），‎ ‎∴DF=AE，‎ 又∵AE=AB=CD，‎ ‎∴CD=DF；‎ ‎（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，‎ ‎∵GC=GB，‎ ‎∴GH⊥BC，‎ ‎∴四边形ABHM是矩形，‎ 21‎ ‎∴AM=BH=AD=AG，‎ ‎∴GM垂直平分AD，‎ ‎∴GD=GA=DA，‎ ‎∴△ADG是等边三角形，‎ ‎∴∠DAG=60°，‎ ‎∴旋转角α=60°；‎ ‎②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，‎ ‎∴∠DAG=60°，‎ ‎∴旋转角α=360°﹣60°=300°．‎ ‎【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．‎ ‎　‎ ‎26．（12018年山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．‎ ‎①求点P的坐标；‎ ‎②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 21‎ ‎【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；‎ ‎（2）①先得AB的解析式为：y=﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；‎ ‎②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵B（1，0），‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∵OC=2OB=2，‎ ‎∴C（﹣2，0），‎ Rt△ABC中，tan∠ABC=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴A（﹣2，6），‎ 把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；‎ ‎（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），‎ 易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，‎ 设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），‎ ‎∵PE=DE，‎ ‎∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），‎ 21‎ x=1（舍）或﹣1，‎ ‎∴P（﹣1，6）；‎ ‎②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），‎ 设M（﹣1，y），‎ ‎∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，‎ BM2=（1+1）2+y2=4+y2，‎ AB2=（1+2）2+62=45，‎ 分三种情况：‎ i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，‎ ‎∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，‎ 解得：y=3，‎ ‎∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；‎ ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，‎ ‎∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，‎ y=﹣1，‎ ‎∴M（﹣1，﹣1），‎ iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，‎ ‎∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，‎ y=，‎ ‎∴M（﹣1，）；‎ 综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．‎ ‎【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度及勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．‎ 21‎