中考常见几何模型分析 26页

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中考常见几何模型分析

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中考直通车·数学 广州分册 第八章 专题拓展 模块 分值 ‎2017‎ ‎2016‎ ‎2015‎ ‎2014‎ ‎2013‎ 因动点产生的线段和差、‎ 周长最值问题和面积问题 ‎7‎ ‎----‎ ‎----‎ ‎7‎ ‎----‎ 与四边形有关的压轴问题 ‎14‎ ‎----‎ ‎14‎ ‎----‎ ‎----‎ 因动点产生的等腰三角形问题和直角三角形 ‎----‎ ‎----‎ ‎3‎ ‎----‎ ‎14‎ 因动点产生的相似问题 ‎17‎ ‎----‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎14‎ 与圆有关的压轴题 ‎14‎ ‎14‎ ‎----‎ ‎----‎ ‎17‎ 动态几何之定值最值问题 ‎14‎ ‎----‎ ‎14‎ ‎14‎ ‎----‎ 常见几何模型 ‎----‎ ‎17‎ ‎----‎ ‎3‎ ‎-----‎ 第24讲 常见几何模型 ‎ 年份 题量 分值 考点 题型 ‎2014‎ ‎3‎ ‎1‎ 全等的性质和判定(手拉手模型)‎ 选择题 ‎2016‎ ‎17‎ ‎2‎ 全等的判定及其性质、旋转模型 填空题、解答题 ‎【考点解读】‎ ‎ 常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型,主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多,综合性强,属于中考中重点但同样是难点的一个考点。‎ ‎【考点分析】‎ ‎2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质,标准的手拉手模型。‎ ‎2014年 考查三角形全等的判断和性质,根据手拉手模型找出全等三角形,再应用其性质 ‎2016年 本年度模型思想明显,分值占比大,主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转,利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。‎ ‎【模型介绍】‎ 手拉手模型:‎ 1、 ‎【条件】 如图两个等边三角形与,连结与,‎ ‎【结论】(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)与之间的夹角为 ‎(4)与的交点设为,‎ 平分 1、 ‎【条件】如图两个等腰直角三角形与,连结,二者相交于点。‎ ‎【结论】 (1)是否成立?‎ (2) ‎=CE ‎(3)与之间的夹角为 ‎ ‎(4)是否平分?‎ 旋转模型:‎ 一、邻角相等对角互补模型 ‎【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,‎ ‎【结论】‎ 二、角含半角模型:全等 角含半角要旋转:构造两次全等 ‎ ‎ ‎【条件】:如图,点分别是正方形的边上的点,,连接;‎ ‎【结论】(1) (2) ;‎ 一线三等角模型:‎ ‎【条件】 一条直线同一侧三个相等的角(如图);‎ ‎【结论】‎ ‎1、锐角形一线三等角 2、直角形一线三等角 ‎ ‎ ‎3、钝角形一线三等角 ‎【真题拾遗】‎ ‎1.(2014•广州)如图,四边形ABCD、CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连接BG、DE,DE和FG相交于点O,设AB=a,CG=b(a>b).下列结论:①△BCG≌△DCE;②BG⊥DE;③=;④(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.其中结论正确的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4个 B.‎ ‎3个 C.‎ ‎2个 D.‎ ‎1个 ‎2.(2016•广州)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论: ‎ ‎①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 ‎ 其中正确的结论是   . ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎3.(2011广州中考)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.‎ ‎(1)证明:B、C、E三点共线;‎ ‎(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;‎ ‎(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.‎ ‎4.(2016广州中考)如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45° ‎ ‎(1)求证:BD是该外接圆的直径; ‎ ‎(2)连结CD,求证: AC=BC+CD; ‎ ‎(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论. ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1、C 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.‎ 分析:‎ 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,根据正方形的性质,即可得BC=DC,‎ CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE;然后根据全等三角形的对应角相等,求得∠CDE+∠DGH=90°,则可得②BH⊥DE.由△DGF与△DCE相似即可判定③错误,由△GOD与△FOE相似即可求得④.‎ 解答:‎ 证明:①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,‎ ‎∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,‎ ‎∴∠BCG=∠DCE,‎ 在△BCG和△DCE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCG≌△DCE(SAS),‎ ‎②∵△BCG≌△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∠CBG+∠BGC=90°,‎ ‎∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠DHG=90°,∴BH⊥DE;‎ ‎③∵四边形GCEF是正方形,‎ ‎∴GF∥CE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=是错误的.‎ ‎④∵DC∥EF,∴∠GDO=∠OEF,∵∠GOD=∠FOE,∴△OGD∽△OFE,‎ ‎∴=()2=()2=,∴(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.故应选B 点评:‎ 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质.‎ 二、填空题 ‎2、①②③‎ 考点:‎ 三角形全等、三角形内角和、菱形 分析:‎ 首先证明△ADE≌△GDE,再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以一一判断. ‎ 解答:‎ 证明:∵四边形ABCD是正方形, ‎ ‎∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°, ‎ ‎∵△DHG是由△DBC旋转得到, ‎ ‎∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°, ‎ 在RT△ADE和RT△GDE中, ‎ ‎, ‎ ‎∴AED≌△GED,故②正确,∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG, ‎ ‎∴∠AED=∠AFE=67.5°,∴AE=AF,同理EG=GF,∴AE=EG=GF=FA, ‎ ‎∴四边形AEGF是菱形,故①正确, ‎ ‎∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确. ‎ ‎∵AE=FG=EG=BG,BE=AE,∴BE>AE,∴AE<,∴CB+FG<1.5,故④错误 故答案为①②③. ‎ ‎ ‎ 点评:‎ 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是通过计算发现角相等,学会这种证明角相等的方法,属于中考常考题型. ‎ 三、解答题 ‎3、‎ 考点:‎ ‎(1)三点共线 (2)中位线、全等三角形(手拉手性质)(3)同(2)‎ 分析:‎ ‎(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,∠DCE是直角,即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°;‎ ‎(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,先证明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,即可得到结论;‎ ‎(3)证明的方法和(2)一样.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵AB是直径,‎ ‎∴∠BCA=90°,‎ 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,‎ ‎∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,∴B、C、E三点共线;‎ ‎(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图1,‎ ‎∵CB=CA,CD=CE,∴Rt△BCD≌Rt△ACE,∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,‎ ‎∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BF⊥AE,‎ 又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,‎ ‎∴,,ON∥BD,AE∥OM;‎ ‎∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,‎ ‎∴MN=OM;‎ ‎(3)成立.‎ 理由如下:如图2,连接BD1,AE1,ON1,∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1,‎ ‎∴∠BCD1=∠ACE1,又∵CB=CA,CD1=CE1,∴△BCD1≌△ACE1,‎ 与(2)同理可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,‎ 从而有M1N1=OM1.‎ 点评:‎ 本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质,熟练掌握手拉手模型,作为本题切入点,可以非常顺利的解决本题。‎ ‎4、‎ 考点:‎ 圆的相关概念、等腰三角形、截长补短(旋转模型性质)、勾股定理 分析:‎ ‎(1)要证明BD是该外接圆的直径,只需要证明∠BAD是直角即可,又因为∠ABD=45°,所以需要证明∠ADB=45°; ‎ ‎(2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论; ‎ ‎(3)过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,证明△AMF是等腰三角形后,可得出AM=AF,MF=AM,然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM,最后根据勾股定理即可得出DM2,AM2,BM2三者之间的数量关系. ‎ 解答:‎ 解:(1)∵=, ∴∠ACB=∠ADB=45°, ‎ ‎∵∠ABD=45°, ∴∠BAD=90°, ∴BD是△ABD外接圆的直径(2)在CD的延长线上截取DE=BC, ‎ 连接EA, ∵∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD, ‎ ‎∵∠ADE+∠ADC=180°, ∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADE, ‎ 在△ABC与△ADE中, ‎ ‎, ∴△ABC≌△ADE(SAS), ∴∠BAC=∠DAE, ‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE=90°, ∵= ∴∠ACD=∠ABD=45°, ∴△CAE是等腰直角三角形, ∴AC=CE, ∴AC=CD+DE=CD+BC; ‎ ‎(3)过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF, ‎ 由对称性可知:∠AMB=ACB=45°, ‎ ‎∴∠FMA=45°, ‎ ‎∴△AMF是等腰直角三角形, ‎ ‎∴AM=AF,MF=AM, ‎ ‎∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB, ‎ ‎∴∠FAB=∠MAD, ‎ 在△ABF与△ADM中, ‎ ‎, ∴△ABF≌△ADM(SAS), ‎ ‎∴BF=DM, 在Rt△BMF中, ∵BM2+MF2=BF2, BM2+2AM2=DM2. ‎ 点评:‎ 本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理等知识,熟练掌握旋转模型的特征和性质,作为本题切入点,构造出等腰直角三角形,方向明确,减小了本题的难度。‎ ‎【模拟演练】‎ 一、选择题 图2‎ ‎1、(2014番禺华附一模)如图2,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交边AB 于F,连FC,下列结论不正确的是( D ).‎ A.AB≥AE B.△AEF∽△DCE ‎ C.△AEF∽△ECF D.△AEF与△BFC不可能相似 ‎2、(2017十六中一模)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是( C ).‎ ‎(1)EF=‎2‎OE; (2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;‎ ‎(3)BE+BF=‎2‎OA;‎ ‎(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时, AE= ‎3‎‎4‎;‎ ‎(5)OG•BD=AE2+CF2.‎ A.(1)(3)(4)(5) B.(2)(3)(4)(5)‎ C.(1)(2)(3)(5) D.(1)(2)(3)(4)‎ 二、填空题 ‎3、(2016黄埔区一模)如图,已知和均为等边三角形,点在边上,与相交于点,如果,,那么的长度为 . ‎ 三、解答题 第4题 ‎4、(2016荔湾区一模)如图,正三角形ABC内接于⊙O,P是弧上的一点(P不与点 B、C重合),且,交于E,点F是延长线上的点,,,.‎ ‎(1)求证≌;‎ ‎(2)求证;‎ ‎(3)求和的长.‎ ‎5、(2016海珠区一模)已知正方形ABCD和正方形CEFG,连接AF交BC于O点,点P 是AF的中点,过点P作PH⊥DG于H ,CD=2,CG=1。‎ ‎(1)如图1,点D、C、G在同一直线上,点E在BC边上,求PH得长;‎ ‎(2)把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转(0°<a<180°)‎ 图(3)‎ ①如图2,当点E落在AF上时,求CO的长;‎ 图(1)‎ 图(2)‎ ②如图3,当DG=时,求PH的长。‎ ‎6、(2017二中一模)已知抛物线C1:经过点A(1,0)和B(-3,0).‎ ‎(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;‎ ‎(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.‎ ‎25题图1‎ ‎25题图2‎ 参考答案 ‎1、D 考点:‎ 相似三角形、三角形内角和(一线三直角)‎ 分析:‎ 利用等角的余角相等得到∠AFE=∠DEC,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△AEF∽Rt△DCE,由相似的性质得CD:AE=DE:AF,而CD=AB,DE=AE,则AB:AE=AE:AF,即AE2=AB•AF,利用AF≤AB,得到AB≥AE;再利用Rt△AEF∽Rt△DCE得到EF:EC=AF:DE,把DE=AE代入得到EF:EC=AF:AE,根据比例性质得EF:AF=EC:AE,加上∠A=∠FEC=90°,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△ECF;由∠EFC≠90°可判断△AEF∽△BFC相似不成立,而当∠AFE=∠BFC时,可判断△AEF∽△BCF.‎ 解答:‎ ‎∴∠AEF+∠DEC=90∘,∵∠AEF+∠AFE=90∘,∴∠AFE=∠DEC,‎ ‎∴Rt△AEF∽Rt△DCE;∴CD:AE=DE:AF,∵E为矩形ABCD的边AD的中点,‎ ‎∴CD=AB,DE=AE,∴AB:AE=AE:AF,即AE2=AB⋅AF,‎ 而AF⩽AB,∴AB⩾AE;‎ ‎∵Rt△AEF∽Rt△DCE,∴EF:EC=AF:DE,而DE=AE,‎ ‎∴EF:EC=AF:AE,即EF:AF=EC:AE,∵∠A=∠FEC=90∘,∴△AEF∽△ECF;‎ ‎∵∠EFC≠90∘∴△AEF∽△BFC相似不成立,‎ 但当∠AFE=∠BFC时,△AEF∽△BCF.故选D.‎ 点评:‎ 此题为非常明显的考查相似三角形知识点,根据一线三等角模型特征快速得出答案。‎ ‎2、C 考点:‎ 正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质 分析:‎ ‎①由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得结论; ②由(1)易证得,‎ 则可证得结论; ③首先设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得答案; ④易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论.‎ 解答:‎ ‎①∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45∘,∠BOC=90∘,∴∠BOF+∠COF=90∘,‎ ‎∵∠EOF=90∘,∴∠BOF+∠COE=90∘,∴∠BOE=∠COF,‎ 在△BOE和△COF中,∠BOE=∠COF,OB=OC ‎∠OBE=∠OCF,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,BE=CF,‎ ‎∴EF=OE;故正确;‎ ‎②∵‎ ‎∴;故正确;‎ ‎③过点O作OH⊥BC,∵BC=1,∴OH=12BC=12,‎ 设AE=x,则BE=CF=1−x,BF=x,‎ ‎∴‎ ‎∵a=−12<0,‎ ‎∴当x=14时,最大;‎ 即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=14;故错误;‎ ‎④∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45∘,‎ ‎∴△OEG∽△OBE,‎ ‎∴OE:OB=OG:OE,‎ ‎∴∵OB=BD,OE=EF,‎ ‎∴,‎ ‎∵在△BEF中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.故正确。‎ 故选C.‎ 点评:‎ 从图形上看是一个比较复杂的题,但是实际题目难度并不是很大,利用对角互补旋转模型结论再结合个够定理就能解决此题。‎ ‎3、‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质, 等边三角形的性质 分析:‎ 先利用等边三角形的性质得到∠C=∠ADE=∠B=60°,AB=BC=AC=12,再利用三角形外角性质证明∠BDF=∠CAD,则可判断△DBF∽△ACD,然后利用相似比计算BF的长.‎ 解答:‎ ‎∴∠C=∠ADE=∠B=60∘,AB=BC=AC=12,‎ ‎∵∠ADB=∠DAC+∠C,‎ 而∠ADB=∠ADE+∠BDF,‎ ‎∴∠BDF=∠CAD,‎ ‎∴△DBF∽△ACD,‎ ‎∴BF:CD=BD:AC,‎ 即BF:4=8:12,解得BF=.‎ 故答案为.‎ 点评:‎ 此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论,再利用相似解决第(2)(3)问 ‎4、‎ 考点:‎ 圆周角定理,等边三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 分析:‎ 对于(1),先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP,根据“SAS”即可得证;‎ 对于(2),先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判断△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到结论;‎ 对于(3),先利用计算出AE=,则PE=AP-AE=,再证△APF为等边三角形,得到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABP∽△CEP,得到PB·PC=PE·AP=3,然后根据根与系数的关系,可把PB和PC看作方程的两实数解,再解此方程即可得到PB和PC的长.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵正三角形ABC内接于⊙O,‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎∵四边形ABPC为圆的内接四边形,‎ ‎∴∠ACF=∠ABP.‎ 在△ABP和△ACF中,‎ ‎∴△ABP≌△ACF.‎ ‎(2)证明:∵正三角形ABC内接于⊙O,‎ ‎∴∠ABC=∠ACE=60°,‎ ‎∴∠APC=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠ACE=∠APC ‎∵∠CAE=∠PAC ‎∴△ACE∽△APC ‎∴AE:AC=AC:AP ‎∴.‎ ‎(3)∵,AB=AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵△ABP≌△ACF,‎ ‎∴∠APB=∠F=60°.‎ 而∠APC=60°,‎ ‎∴△APF为等边三角形,‎ ‎∴PF=PA=4,‎ ‎∴PC+CF=PC+PB=4.‎ ‎∵∠BAP=∠PCE,∠APB=∠APC,‎ ‎∴△ABP∽△CEP,‎ ‎∴PB:PE=AP:PC,‎ ‎∴PB·PC=PE·AP=×4=3.‎ ‎∵PB+PC=4,‎ ‎∴PB和PC可看作方程的两实数解,解此方程得.‎ ‎∵PB<PC,‎ ‎∴PB=1,PC=3.‎ 点评:‎ 此题为标准手拉手模型,所以除了相似三角形得出答案,还能利用手拉手模型性质解决。‎ ‎5‎ 考点:‎ 梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一线三直角)‎ 分析:‎ 先判断出四边形APGF是梯形,再判断出PH是梯形的中位线,‎ 得到; (2)①先判断出△COE∽△AOB,得到AO是CO的2倍,设出CO,表示出BO,AO,再用勾股定理计算,②先找出辅助线,再判断出△ARD≌△DSC,△CSG≌△GTF,求出AR+FT,最后用梯形中位线即可.‎ 解答:‎ ‎(1)PH⊥CD,AD⊥CD,‎ ‎∴PH∥AD∥FG,‎ ‎∵点P是AF的中点,‎ ‎∴PH是梯形APGF的中位线,‎ ‎∴,‎ ‎(2)①∵∠CEO=∠B=90∘,∠COE=∠AOB,‎ ‎∴△COE∽△AOB,‎ ‎∴COAO=CEAB,‎ ‎∴COAO=12,‎ 设CO=x,‎ ‎∴AO=2x,BO=2−x,‎ 在△ABO中,根据勾股定理得,,‎ ‎∴或(舍),‎ ‎∴CO=x=.‎ ‎②如图3,‎ 分别过点A,C,F作直线DG的垂线,垂足分别为R,S,T,‎ ‎∵∠ADR+∠CDS=90∘,∠CDS+∠DCS=90∘,‎ ‎∴∠ADR=∠DCS,‎ ‎∵∠ADR=∠CSD=90∘,‎ ‎∵AD=CD ‎∴△ARD≌△DSC,‎ ‎∴AR=DS,‎ 同理:△CSG≌△GTF,‎ ‎∴SG=FT,‎ ‎∴AR+FT=DS+SG=DG=,‎ 同(1)的方法得,PH是梯形ARTF的中位线,‎ ‎∴.‎ 点评:‎ 此题利用梯形中位线性质解决第(1)问,第(2)利用相似结合勾股定理这中常用方法求长度,第(3)问构造一线三直角模型解决问题。‎ ‎6、‎ 考点:‎ 二次函数、等要直接三角形、相似三角形(一线三直接)、三角函数、中位线 分析:‎ (1) 根据解析式求出坐标;‎ (2) 根据等腰三角形的性质,EF=求出EF的长度,再根据抛物线与直线纵坐标差值求出答案。‎ (3) ‎①根据答案需要求的正切值转换为相似比,再根据已知的两个直角构造出一线三直接模型,相似比为定值,②初中能解决的路径不是线段就是弧长,有关键位置分析可知轨迹为三角形中位线。‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线C1:经过点A(1,0)和B(-3,0),‎ ‎∴ 解得,‎ ‎∴抛物线C1的解析式为,‎ ‎∵, ‎ ‎∴顶点C的坐标为(-1,-2); ‎ ‎(2)如图,作CH⊥x轴于H,‎ ‎∵A(1,0),C(-1,-2),‎ ‎∴AH=CH=2,‎ ‎∴∠CAB=∠ACH=45°‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x-1, ‎ ‎∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DEF=45°,‎ ‎∴∠DEF=∠ACH,‎ ‎∴EF∥y轴,∵DE=AC=2,∴EF=4,‎ 设F(m,),则E(m,m-1), ‎ ‎∴EF=-(m+1)=4, 解得m=±3, ‎ ‎∵点F在x轴上方,∴F(3,6). ‎ ‎(3)①tan∠ENM的值为定值,tan∠ENM=2; ‎ 如图,∵DF⊥AC,BC⊥AC,‎ ‎∴DF∥BC,‎ ‎∵DF=DE=AC=BC,‎ ‎∴四边形DFBC平行四边形,‎ ‎∵DF⊥AC ‎∴四边形DFBC是矩形,‎ 过点N作NG⊥AC,交AC于点G,‎ ‎∴NG=BC=AC=2,‎ ‎∵EN⊥EM,‎ ‎∴∠MEN=90°,‎ ‎∵∠CEG+∠NEG =90°,∠ENG+∠NEG =90°‎ ‎∴∠CEM=∠ENG,‎ ‎∴△EGN∽△MCE, ‎ ‎∴,‎ ‎∵F(3, 6),EF=4,‎ ‎∴E(3, 2),‎ ‎∵C(-1,-2),∴EC=4, ‎ ‎∴,‎ ‎∴tan∠ENM==2; ‎ ‎∴tan∠ENM的值为定值,定值为2;‎ 法二:‎ ‎∵∠NBM+∠NEM =180°‎ ‎∴B、M、E、N四点共圆, ‎ 连结BE,则∠ENM=∠EBM ‎ ‎∴tan∠ENM=tan∠EBM= ‎ ‎② ‎ 解答:如图,点P应为直径MN的中点,连结PB、PE,则PB=PE,‎ ‎∴点P在线段BE的中垂线上,点P经过的路径是线段P1P2,(考虑起点位置与终点位置),‎ 则P1P2应为下图中△BEN的中位线(B与M重合)‎ 在Rt△ECB中,‎ ‎∵tan∠ENM==2,‎ ‎∴EN=‎ ‎∴P1P2=EN=;‎ ‎∴点M到达点C时,点P经过的路线长为.‎ 点评:‎ 此题(1)(2)主要考察二次函数和等腰三角形的性质,第(3)问根据一线三直角模型特征构造模型解决①小问,②根据特殊位置分析,先得出结论再利用常规方法证明结论。‎ ‎【要点总结】‎ 常见几何模型再压轴题应用广,几何模型作为解题切入点,提供解题方向,是解决几何问题的重中之重,掌握几何模型就掌握了几何。‎