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- 2021-05-13 发布
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中考直通车·数学
广州分册
第八章 专题拓展
模块
分值
2017
2016
2015
2014
2013
因动点产生的线段和差、
周长最值问题和面积问题
7
----
----
7
----
与四边形有关的压轴问题
14
----
14
----
----
因动点产生的等腰三角形问题和直角三角形
----
----
3
----
14
因动点产生的相似问题
17
----
14
17
14
与圆有关的压轴题
14
14
----
----
17
动态几何之定值最值问题
14
----
14
14
----
常见几何模型
----
17
----
3
-----
第24讲 常见几何模型
年份
题量
分值
考点
题型
2014
3
1
全等的性质和判定(手拉手模型)
选择题
2016
17
2
全等的判定及其性质、旋转模型
填空题、解答题
【考点解读】
常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型,主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多,综合性强,属于中考中重点但同样是难点的一个考点。
【考点分析】
2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质,标准的手拉手模型。
2014年 考查三角形全等的判断和性质,根据手拉手模型找出全等三角形,再应用其性质
2016年 本年度模型思想明显,分值占比大,主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转,利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。
【模型介绍】
手拉手模型:
1、 【条件】 如图两个等边三角形与,连结与,
【结论】(1)
(2)
(3)与之间的夹角为
(4)与的交点设为,
平分
1、 【条件】如图两个等腰直角三角形与,连结,二者相交于点。
【结论】 (1)是否成立?
(2) =CE
(3)与之间的夹角为
(4)是否平分?
旋转模型:
一、邻角相等对角互补模型
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,
【结论】
二、角含半角模型:全等
角含半角要旋转:构造两次全等
【条件】:如图,点分别是正方形的边上的点,,连接;
【结论】(1) (2) ;
一线三等角模型:
【条件】 一条直线同一侧三个相等的角(如图);
【结论】
1、锐角形一线三等角 2、直角形一线三等角
3、钝角形一线三等角
【真题拾遗】
1.(2014•广州)如图,四边形ABCD、CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连接BG、DE,DE和FG相交于点O,设AB=a,CG=b(a>b).下列结论:①△BCG≌△DCE;②BG⊥DE;③=;④(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.其中结论正确的个数是( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
2.(2016•广州)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 .
三、解答题
3.(2011广州中考)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.
4.(2016广州中考)如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°
(1)求证:BD是该外接圆的直径;
(2)连结CD,求证: AC=BC+CD;
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1、C
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
分析:
由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,根据正方形的性质,即可得BC=DC,
CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE;然后根据全等三角形的对应角相等,求得∠CDE+∠DGH=90°,则可得②BH⊥DE.由△DGF与△DCE相似即可判定③错误,由△GOD与△FOE相似即可求得④.
解答:
证明:①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
②∵△BCG≌△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∠CBG+∠BGC=90°,
∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠DHG=90°,∴BH⊥DE;
③∵四边形GCEF是正方形,
∴GF∥CE,
∴=,
∴=是错误的.
④∵DC∥EF,∴∠GDO=∠OEF,∵∠GOD=∠FOE,∴△OGD∽△OFE,
∴=()2=()2=,∴(a﹣b)2•S△EFO=b2•S△DGO.故应选B
点评:
此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质.
二、填空题
2、①②③
考点:
三角形全等、三角形内角和、菱形
分析:
首先证明△ADE≌△GDE,再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以一一判断.
解答:
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,
∵△DHG是由△DBC旋转得到,
∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,
在RT△ADE和RT△GDE中,
,
∴AED≌△GED,故②正确,∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,
∴∠AED=∠AFE=67.5°,∴AE=AF,同理EG=GF,∴AE=EG=GF=FA,
∴四边形AEGF是菱形,故①正确,
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确.
∵AE=FG=EG=BG,BE=AE,∴BE>AE,∴AE<,∴CB+FG<1.5,故④错误
故答案为①②③.
点评:
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是通过计算发现角相等,学会这种证明角相等的方法,属于中考常考题型.
三、解答题
3、
考点:
(1)三点共线 (2)中位线、全等三角形(手拉手性质)(3)同(2)
分析:
(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,∠DCE是直角,即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,先证明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,即可得到结论;
(3)证明的方法和(2)一样.
解答:
(1)证明:∵AB是直径,
∴∠BCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,∴B、C、E三点共线;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图1,
∵CB=CA,CD=CE,∴Rt△BCD≌Rt△ACE,∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BF⊥AE,
又∵M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,
∴,,ON∥BD,AE∥OM;
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,
∴MN=OM;
(3)成立.
理由如下:如图2,连接BD1,AE1,ON1,∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1,
∴∠BCD1=∠ACE1,又∵CB=CA,CD1=CE1,∴△BCD1≌△ACE1,
与(2)同理可证BD1⊥AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,
从而有M1N1=OM1.
点评:
本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质,熟练掌握手拉手模型,作为本题切入点,可以非常顺利的解决本题。
4、
考点:
圆的相关概念、等腰三角形、截长补短(旋转模型性质)、勾股定理
分析:
(1)要证明BD是该外接圆的直径,只需要证明∠BAD是直角即可,又因为∠ABD=45°,所以需要证明∠ADB=45°;
(2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论;
(3)过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,证明△AMF是等腰三角形后,可得出AM=AF,MF=AM,然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM,最后根据勾股定理即可得出DM2,AM2,BM2三者之间的数量关系.
解答:
解:(1)∵=, ∴∠ACB=∠ADB=45°,
∵∠ABD=45°, ∴∠BAD=90°, ∴BD是△ABD外接圆的直径(2)在CD的延长线上截取DE=BC,
连接EA, ∵∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD,
∵∠ADE+∠ADC=180°, ∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
, ∴△ABC≌△ADE(SAS), ∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE=90°, ∵= ∴∠ACD=∠ABD=45°, ∴△CAE是等腰直角三角形, ∴AC=CE, ∴AC=CD+DE=CD+BC;
(3)过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF,
由对称性可知:∠AMB=ACB=45°,
∴∠FMA=45°,
∴△AMF是等腰直角三角形,
∴AM=AF,MF=AM,
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB,
∴∠FAB=∠MAD,
在△ABF与△ADM中,
, ∴△ABF≌△ADM(SAS),
∴BF=DM, 在Rt△BMF中, ∵BM2+MF2=BF2, BM2+2AM2=DM2.
点评:
本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理等知识,熟练掌握旋转模型的特征和性质,作为本题切入点,构造出等腰直角三角形,方向明确,减小了本题的难度。
【模拟演练】
一、选择题
图2
1、(2014番禺华附一模)如图2,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交边AB
于F,连FC,下列结论不正确的是( D ).
A.AB≥AE B.△AEF∽△DCE
C.△AEF∽△ECF D.△AEF与△BFC不可能相似
2、(2017十六中一模)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是( C ).
(1)EF=2OE; (2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;
(3)BE+BF=2OA;
(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时, AE= 34;
(5)OG•BD=AE2+CF2.
A.(1)(3)(4)(5) B.(2)(3)(4)(5)
C.(1)(2)(3)(5) D.(1)(2)(3)(4)
二、填空题
3、(2016黄埔区一模)如图,已知和均为等边三角形,点在边上,与相交于点,如果,,那么的长度为 .
三、解答题
第4题
4、(2016荔湾区一模)如图,正三角形ABC内接于⊙O,P是弧上的一点(P不与点
B、C重合),且,交于E,点F是延长线上的点,,,.
(1)求证≌;
(2)求证;
(3)求和的长.
5、(2016海珠区一模)已知正方形ABCD和正方形CEFG,连接AF交BC于O点,点P 是AF的中点,过点P作PH⊥DG于H ,CD=2,CG=1。
(1)如图1,点D、C、G在同一直线上,点E在BC边上,求PH得长;
(2)把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转(0°<a<180°)
图(3)
①如图2,当点E落在AF上时,求CO的长;
图(1)
图(2)
②如图3,当DG=时,求PH的长。
6、(2017二中一模)已知抛物线C1:经过点A(1,0)和B(-3,0).
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;
(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.
25题图1
25题图2
参考答案
1、D
考点:
相似三角形、三角形内角和(一线三直角)
分析:
利用等角的余角相等得到∠AFE=∠DEC,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△AEF∽Rt△DCE,由相似的性质得CD:AE=DE:AF,而CD=AB,DE=AE,则AB:AE=AE:AF,即AE2=AB•AF,利用AF≤AB,得到AB≥AE;再利用Rt△AEF∽Rt△DCE得到EF:EC=AF:DE,把DE=AE代入得到EF:EC=AF:AE,根据比例性质得EF:AF=EC:AE,加上∠A=∠FEC=90°,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△ECF;由∠EFC≠90°可判断△AEF∽△BFC相似不成立,而当∠AFE=∠BFC时,可判断△AEF∽△BCF.
解答:
∴∠AEF+∠DEC=90∘,∵∠AEF+∠AFE=90∘,∴∠AFE=∠DEC,
∴Rt△AEF∽Rt△DCE;∴CD:AE=DE:AF,∵E为矩形ABCD的边AD的中点,
∴CD=AB,DE=AE,∴AB:AE=AE:AF,即AE2=AB⋅AF,
而AF⩽AB,∴AB⩾AE;
∵Rt△AEF∽Rt△DCE,∴EF:EC=AF:DE,而DE=AE,
∴EF:EC=AF:AE,即EF:AF=EC:AE,∵∠A=∠FEC=90∘,∴△AEF∽△ECF;
∵∠EFC≠90∘∴△AEF∽△BFC相似不成立,
但当∠AFE=∠BFC时,△AEF∽△BCF.故选D.
点评:
此题为非常明显的考查相似三角形知识点,根据一线三等角模型特征快速得出答案。
2、C
考点:
正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质
分析:
①由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得结论;
②由(1)易证得,
则可证得结论;
③首先设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得答案;
④易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论.
解答:
①∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45∘,∠BOC=90∘,∴∠BOF+∠COF=90∘,
∵∠EOF=90∘,∴∠BOF+∠COE=90∘,∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,∠BOE=∠COF,OB=OC
∠OBE=∠OCF,∴△BOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故正确;
②∵
∴;故正确;
③过点O作OH⊥BC,∵BC=1,∴OH=12BC=12,
设AE=x,则BE=CF=1−x,BF=x,
∴
∵a=−12<0,
∴当x=14时,最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=14;故错误;
④∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45∘,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴∵OB=BD,OE=EF,
∴,
∵在△BEF中,,
∴,
∴.故正确。
故选C.
点评:
从图形上看是一个比较复杂的题,但是实际题目难度并不是很大,利用对角互补旋转模型结论再结合个够定理就能解决此题。
3、
考点:
相似三角形的判定与性质, 等边三角形的性质
分析:
先利用等边三角形的性质得到∠C=∠ADE=∠B=60°,AB=BC=AC=12,再利用三角形外角性质证明∠BDF=∠CAD,则可判断△DBF∽△ACD,然后利用相似比计算BF的长.
解答:
∴∠C=∠ADE=∠B=60∘,AB=BC=AC=12,
∵∠ADB=∠DAC+∠C,
而∠ADB=∠ADE+∠BDF,
∴∠BDF=∠CAD,
∴△DBF∽△ACD,
∴BF:CD=BD:AC,
即BF:4=8:12,解得BF=.
故答案为.
点评:
此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论,再利用相似解决第(2)(3)问
4、
考点:
圆周角定理,等边三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
分析:
对于(1),先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP,根据“SAS”即可得证;
对于(2),先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判断△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到结论;
对于(3),先利用计算出AE=,则PE=AP-AE=,再证△APF为等边三角形,得到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABP∽△CEP,得到PB·PC=PE·AP=3,然后根据根与系数的关系,可把PB和PC看作方程的两实数解,再解此方程即可得到PB和PC的长.
解答:
(1)证明:∵正三角形ABC内接于⊙O,
∴AB=AC.
∵四边形ABPC为圆的内接四边形,
∴∠ACF=∠ABP.
在△ABP和△ACF中,
∴△ABP≌△ACF.
(2)证明:∵正三角形ABC内接于⊙O,
∴∠ABC=∠ACE=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°,
∴∠ACE=∠APC
∵∠CAE=∠PAC
∴△ACE∽△APC
∴AE:AC=AC:AP
∴.
(3)∵,AB=AC,
∴,
∴,
∵△ABP≌△ACF,
∴∠APB=∠F=60°.
而∠APC=60°,
∴△APF为等边三角形,
∴PF=PA=4,
∴PC+CF=PC+PB=4.
∵∠BAP=∠PCE,∠APB=∠APC,
∴△ABP∽△CEP,
∴PB:PE=AP:PC,
∴PB·PC=PE·AP=×4=3.
∵PB+PC=4,
∴PB和PC可看作方程的两实数解,解此方程得.
∵PB<PC,
∴PB=1,PC=3.
点评:
此题为标准手拉手模型,所以除了相似三角形得出答案,还能利用手拉手模型性质解决。
5
考点:
梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一线三直角)
分析:
先判断出四边形APGF是梯形,再判断出PH是梯形的中位线,
得到;
(2)①先判断出△COE∽△AOB,得到AO是CO的2倍,设出CO,表示出BO,AO,再用勾股定理计算,②先找出辅助线,再判断出△ARD≌△DSC,△CSG≌△GTF,求出AR+FT,最后用梯形中位线即可.
解答:
(1)PH⊥CD,AD⊥CD,
∴PH∥AD∥FG,
∵点P是AF的中点,
∴PH是梯形APGF的中位线,
∴,
(2)①∵∠CEO=∠B=90∘,∠COE=∠AOB,
∴△COE∽△AOB,
∴COAO=CEAB,
∴COAO=12,
设CO=x,
∴AO=2x,BO=2−x,
在△ABO中,根据勾股定理得,,
∴或(舍),
∴CO=x=.
②如图3,
分别过点A,C,F作直线DG的垂线,垂足分别为R,S,T,
∵∠ADR+∠CDS=90∘,∠CDS+∠DCS=90∘,
∴∠ADR=∠DCS,
∵∠ADR=∠CSD=90∘,
∵AD=CD
∴△ARD≌△DSC,
∴AR=DS,
同理:△CSG≌△GTF,
∴SG=FT,
∴AR+FT=DS+SG=DG=,
同(1)的方法得,PH是梯形ARTF的中位线,
∴.
点评:
此题利用梯形中位线性质解决第(1)问,第(2)利用相似结合勾股定理这中常用方法求长度,第(3)问构造一线三直角模型解决问题。
6、
考点:
二次函数、等要直接三角形、相似三角形(一线三直接)、三角函数、中位线
分析:
(1) 根据解析式求出坐标;
(2) 根据等腰三角形的性质,EF=求出EF的长度,再根据抛物线与直线纵坐标差值求出答案。
(3) ①根据答案需要求的正切值转换为相似比,再根据已知的两个直角构造出一线三直接模型,相似比为定值,②初中能解决的路径不是线段就是弧长,有关键位置分析可知轨迹为三角形中位线。
解答:
解:(1)∵抛物线C1:经过点A(1,0)和B(-3,0),
∴ 解得,
∴抛物线C1的解析式为,
∵,
∴顶点C的坐标为(-1,-2);
(2)如图,作CH⊥x轴于H,
∵A(1,0),C(-1,-2),
∴AH=CH=2,
∴∠CAB=∠ACH=45°
∴直线AC的解析式为y=x-1,
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠ACH,
∴EF∥y轴,∵DE=AC=2,∴EF=4,
设F(m,),则E(m,m-1),
∴EF=-(m+1)=4, 解得m=±3,
∵点F在x轴上方,∴F(3,6).
(3)①tan∠ENM的值为定值,tan∠ENM=2;
如图,∵DF⊥AC,BC⊥AC,
∴DF∥BC,
∵DF=DE=AC=BC,
∴四边形DFBC平行四边形,
∵DF⊥AC
∴四边形DFBC是矩形,
过点N作NG⊥AC,交AC于点G,
∴NG=BC=AC=2,
∵EN⊥EM,
∴∠MEN=90°,
∵∠CEG+∠NEG =90°,∠ENG+∠NEG =90°
∴∠CEM=∠ENG,
∴△EGN∽△MCE,
∴,
∵F(3, 6),EF=4,
∴E(3, 2),
∵C(-1,-2),∴EC=4,
∴,
∴tan∠ENM==2;
∴tan∠ENM的值为定值,定值为2;
法二:
∵∠NBM+∠NEM =180°
∴B、M、E、N四点共圆,
连结BE,则∠ENM=∠EBM
∴tan∠ENM=tan∠EBM=
②
解答:如图,点P应为直径MN的中点,连结PB、PE,则PB=PE,
∴点P在线段BE的中垂线上,点P经过的路径是线段P1P2,(考虑起点位置与终点位置),
则P1P2应为下图中△BEN的中位线(B与M重合)
在Rt△ECB中,
∵tan∠ENM==2,
∴EN=
∴P1P2=EN=;
∴点M到达点C时,点P经过的路线长为.
点评:
此题(1)(2)主要考察二次函数和等腰三角形的性质,第(3)问根据一线三直角模型特征构造模型解决①小问,②根据特殊位置分析,先得出结论再利用常规方法证明结论。
【要点总结】
常见几何模型再压轴题应用广,几何模型作为解题切入点,提供解题方向,是解决几何问题的重中之重,掌握几何模型就掌握了几何。