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- 2021-05-13 发布
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2015年常州市中考数学试题
一、选择题(每小题2分,共16分)
1.-3的绝对值是
A.3 B.-3 C. D.-
2.要使分式有意义,则x的取值范围是
A.x>2 B.x<2 C.x≠-2 D.x≠2
3.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是
A. B. C. D.
4.如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是
A.70° B.60° C.50° D.40°
5.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是
A.AO=OD B.AO⊥OD C.AO=OC D.AO⊥AB
6.已知a=,b=,c=,则下列大小关系正确的是
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b
7.已知二次函数y=+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是
A.m=-1 B.m=3 C.m≤-1 D.m≥-1
8.将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是
A.cm2 B.8cm2 C.cm2 D.16cm2
二、填空题(每小题2分,共20分)
9.计算=_________.
10.太阳的半径约为696000km,把696000这个数用科学记数法表示为_______________________.
11.分解因式:=____________________________.
12.已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是________.
13.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD:DB=1:2,DE=2,则BC的长是______.
14.已知x=2是关于x的方程+x的解,则a的值是______________.
15.二次函数y=-+2x-3图像的顶点坐标是____________.
16.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是_______________.
17.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想.
4=2+2; 12=5+7;
6=3+3; 14=3+11=7+7;
8=3+5; 16=3+13=5+11;
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11;
…
通过这组等式,你发现的规律是_______________________________________(请用文字语言表达).
18.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是_______________.
三、解答题(共10小题,共84分)
19.(6分)先化简,再求值:,其中x=2.
20.(8分)解方程和不等式组:
⑴; ⑵
21.(8分)某调查小组采用简单随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下的统计图:
⑴该调查小组抽取的样本容量是多少?
⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数,并补全占频数分布直方图;
⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.
22.(8分)甲,乙,丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛,他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.
⑴求甲第一个出场的概率;
⑵求甲比乙先出场的概率.
23.(8分)如图,在□ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形.
⑴求证:AE=AF;
⑵求∠EAF的度数.
24.(8分)已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元;中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是:不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费.
⑴求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式;
⑵如果小张这天外出的消费还包括:中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学?为什么?
25.(8分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
⑴若AD=2,求AB;
⑵若AB+CD=2+2,求AB.
26.(10分)设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.
⑴阅读填空
如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.
理由:连接AH,EH.
∵ AE为直径 ∴ ∠AHE=90° ∴ ∠HAE+∠HEA=90°.
∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH=∠EDH=90°
∴ ∠HAD+∠AHD=90°
∴ ∠AHD=∠HED ∴ △ADH∽_____________.
∴ ,即=AD×DE.
又∵ DE=DC ∴ =____________,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.
⑵操作实践
平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.
如图②,请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).
⑶解决问题
三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的_________________(填写图形名称),再转化为等积的正方形.
如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).
⑷拓展探究
n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n-1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.
如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).
27.(10分)如图,一次函数y=-x+4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.
⑴写出点A的坐标;
⑵当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
⑶若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、,求的值.
28.(10分)如图,反比例函数y=的图像与一次函数y=x的图像交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图像上的动点,且在直线AB的上方.
⑴若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
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