中考数学二模试卷含解析3 22页

‎2016年北京市大兴区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ ‎1．地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米 D．38.4×104千米 ‎2．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣‎3 ‎C．3 D．5‎ ‎4．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）‎ A．50° B．45° C．35° D．30°‎ ‎6．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：‎ ‎①BD垂直平分AC；‎ ‎②AC平分∠BAD；‎ ‎③AC=BD；‎ ‎④四边形ABCD是中心对称图形．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④‎ ‎7．在某捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：‎ 金额（元/人）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 学生数（人）‎ ‎3‎ ‎17‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎3‎ 则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（　　）‎ A．30 B．‎40 ‎C．35 D．45‎ ‎8．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（　　）‎ A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家‎200米 C．小明离家最远的距离为‎400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 ‎9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．4 D．8‎ ‎10．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．分解因式：m3﹣‎4m=_________．‎ ‎12．已知方程2x﹣ay=5的一个解，则a=_________．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y= （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为_________．‎ ‎14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长_________．‎ ‎15．在四边形ABCD中，AB=CD，请添加一个条件_________，使得四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎16．小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：‎ 人数 平均身高（单位：厘米）‎ 方差 男生 ‎15‎ ‎175‎ ‎36‎ 女生 ‎15‎ ‎165‎ ‎16‎ 则全班所有同学身高的方差为_________．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17．计算：（2015﹣π）0﹣（）﹣1﹣2sin60°+|﹣1|．‎ ‎18．解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．‎ ‎19．实数x满足x2﹣2x﹣1=0，求代数式（2x﹣1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2）的值．‎ ‎20．如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．‎ ‎21．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．‎ ‎（1）若此方程的一个根为1，求m的值；‎ ‎（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元．购进第一批书包的单价是多少元？‎ ‎　‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD=，求BE的值．‎ ‎24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：‎ 请根据以上信息，回答以下问题：‎ ‎（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了_________分钟；‎ ‎（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为_________亿（结果精确到0.1）；‎ ‎（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达_________亿．‎ ‎25．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．‎ ‎（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．‎ ‎26．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．‎ 小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣nx+m﹣关于y轴对称，且经过点（﹣1，﹣）‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）直线l经过点（0，﹣2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；‎ ‎（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出OP+AP的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．‎ ‎28．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．‎ ‎（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；‎ ‎（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．‎ ‎29．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．‎ 例如：下面所表示的函数的界高为4．‎ ‎（1）若函数y=kx+1（﹣2≤x≤1）的界高为4，求k的值；‎ ‎（2）已知m＞﹣2，若函数y=x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知a＞0，函数y=x2﹣2ax+‎3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市大兴区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ ‎1．地球与月球的距离约为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米 D．38.4×104千米 ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎2．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】一次性纸杯的正视图是一个上底大于下底的梯形，进行选择即可．‎ ‎【解答】解：一次性纸杯的正视图是，，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．‎ ‎　‎ ‎3．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣‎3 ‎C．3 D．5‎ ‎【考点】数轴．‎ ‎【分析】根据两点间的距离公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：AB=5﹣B=8，‎ B=﹣3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是明确数轴上两点间的距离，用大数减小数．‎ ‎　‎ ‎4．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概率．‎ ‎【分析】设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率的概念计算即可．‎ ‎【解答】解：设圆的面积为6，‎ ‎∵圆被分成6个相同扇形，‎ ‎∴每个扇形的面积为1，‎ ‎∴阴影区域的面积为4，‎ ‎∴指针指向阴影区域的概率==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．‎ ‎　‎ ‎5．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）‎ A．50° B．45° C．35° D．30°‎ ‎【考点】平行线的性质；垂线．‎ ‎【分析】由条件可先求得∠B，再由平行线的性质可求得∠2．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵∠1=60°，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠B=30°，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：‎ ‎①BD垂直平分AC；‎ ‎②AC平分∠BAD；‎ ‎③AC=BD；‎ ‎④四边形ABCD是中心对称图形．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴BD垂直平分AC，故此小题正确；‎ ‎②在△ABC与△ADC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS），‎ ‎∴AC平分∠BAD，故此小题正确；‎ ‎③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；‎ ‎④∵AB=BC=CD=AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．在某捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：‎ 金额（元/人）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 学生数（人）‎ ‎3‎ ‎17‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎3‎ 则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（　　）‎ A．30 B．‎40 ‎C．35 D．45‎ ‎【考点】中位数．‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．‎ ‎【解答】解：在这一组数据中处于中间位置的数是30元、40元，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（30+40）÷2=35（元）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎8．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（　　）‎ A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家‎200米 C．小明离家最远的距离为‎400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】A．从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报；‎ B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家‎200米；‎ C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为‎400米；‎ D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟．‎ ‎【解答】解：A．小明看报用时8﹣4=4分钟，本项错误；‎ B．公共阅报栏距小明家‎200米，本项正确；‎ C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为‎400米，本项正确；‎ D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．‎ ‎　‎ ‎9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．4 D．8‎ ‎【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．‎ ‎【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．‎ ‎【解答】解：∵∠A=22.5°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=45°，‎ ‎∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=OC=2，‎ ‎∴CD=2CE=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．‎ ‎　‎ ‎10．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．‎ ‎【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：‎ ‎①点P运动到周长的一半（）时，OP最大；‎ ‎②点P的运动图象是抛物线．‎ 设点M为周长的一半，如下图所示：‎ 由图可知，‎ 图1中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项A；‎ 图3中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项C．‎ 另外，在图2中，当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．选项C中出现了椭圆，增加了试题的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．分解因式：m3﹣‎4m=m（m﹣2）（m+2）．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：m3﹣‎4m，‎ ‎=m（m2﹣4），‎ ‎=m（m﹣2）（m+2）．‎ ‎【点评】本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要注意分解因式要彻底．‎ ‎　‎ ‎12．已知方程2x﹣ay=5的一个解，则a=﹣1．‎ ‎【考点】二元一次方程的解．‎ ‎【分析】把方程的解代入即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：把x=2，y=1代入方程，得 ‎4﹣a=5，‎ 解得a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】注意：方程的解就是能使方程左右两边成立的数．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y= （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【专题】开放型．‎ ‎【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．‎ ‎【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴B点坐标为（2，2），‎ 当函数y= （k≠0）过B点时，k=2×2=4，‎ ‎∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．‎ 故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．‎ ‎　‎ ‎14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长2．‎ ‎【考点】中心对称．‎ ‎【分析】利用中心对称图形关于A为对称中心，得出两图形全等，即可解决．‎ ‎【解答】解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，‎ ‎∴△BAC≌△B′AC′，‎ ‎∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′‎ ‎∵∠C=90°，∠B=30°，AC=1，‎ ‎∴AB′=‎2AC′=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，以及在直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎15．在四边形ABCD中，AB=CD，请添加一个条件AD=BC或者AB∥CD，使得四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【考点】平行四边形的判定．‎ ‎【专题】开放型．‎ ‎【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件．‎ ‎【解答】解：∵AB=CD，‎ ‎∴当AD=BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）‎ 或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）时，四边形ABCD是平行四边形．‎ 故答案为：AD=BC或者AB∥CD．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎16．小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：‎ 人数 平均身高（单位：厘米）‎ 方差 男生 ‎15‎ ‎175‎ ‎36‎ 女生 ‎15‎ ‎165‎ ‎16‎ 则全班所有同学身高的方差为26．‎ ‎【考点】方差．‎ ‎【分析】根据男生身高的方差和女生身高的方差，得出全班所有同学身高的方差为×（36×15+16×15），再进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵男生身高的方差是36，女生身高的方差16，‎ ‎∴全班所有同学身高的方差为×（36×15+16×15）=26；‎ 故答案为：26．‎ ‎【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，关键是灵活运用方差公式，列出算式．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎17．计算：（2015﹣π）0﹣（）﹣1﹣2sin60°+|﹣1|．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣2﹣2×+﹣1=﹣2．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．解不等式组：，并在数轴上表示出其解集．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是所求．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x＞﹣1；‎ 解②得：x≤4．‎ ‎，‎ 不等式组的解集是：﹣1＜x≤4．‎ ‎【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎19．实数x满足x2﹣2x﹣1=0，求代数式（2x﹣1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2）的值．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】由x2﹣2x﹣1=0，得出x2﹣2x=1，进一步把代数式化简，整体代入求得答案即可．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，‎ ‎∴x2﹣2x=1，‎ ‎∴原式=4x2﹣4x+1﹣x2﹣4x+x2﹣4‎ ‎=4x2﹣8x﹣3‎ ‎=4（x2﹣2x）﹣3‎ ‎=4﹣3‎ ‎=1．‎ ‎【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再整体代入求得数值．‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】易证∠DCF=∠ABE，CF=BE，即可证明△ABE≌△DCF，可得AE=DF，即可解题．‎ ‎【解答】证明：AB∥CD，‎ ‎∴∠DCF=∠ABE，‎ ‎∵BF=CE，‎ ‎∴BF﹣EF=CE﹣EF，即CF=BE，‎ 在△ABE与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴AE=DF．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△DCF是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．‎ ‎（1）若此方程的一个根为1，求m的值；‎ ‎（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的解．‎ ‎【分析】（1）直接把x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0求出m的值；‎ ‎（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，‎ 得：1+m+m﹣2=0，‎ 解得：m=；‎ ‎（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣‎4m+8=（m﹣2）2+4＞0，‎ ‎∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣‎4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元．购进第一批书包的单价是多少元？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】首先设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是（x+4）元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量×3=第二批购进的数量，由等量关系可得方程×3=，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是（x+4）元，由题意得：‎ ‎×3=，‎ 解得：x=80，‎ 经检验，x=80是原方程的解．‎ 答：购进第一批书包的单价是80元．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD=，求BE的值．‎ ‎【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；‎ ‎（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∴∠B=∠BCD，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ 又∠ACB=90°‎ ‎∴∠BCD+∠ACH=90°‎ ‎∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，‎ ‎∵AH=2CH，‎ ‎∴由勾股定理得AC=CH，‎ ‎∴CH：AC=1：，‎ ‎∴sinB=；‎ ‎（2）∵sinB=，‎ ‎∴AC：AB=1：，‎ ‎∴AC=2．‎ ‎∵∠CAH=∠B，‎ ‎∴sin∠CAH=sinB==，‎ 设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，‎ ‎∴CE=x=1，AC=2，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ ‎∵AB=2CD=2，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=3．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．‎ ‎　‎ ‎24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：‎ 请根据以上信息，回答以下问题：‎ ‎（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了6.7分钟；‎ ‎（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为1.5亿（结果精确到0.1）；‎ ‎（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达8.64亿．‎ ‎【考点】扇形统计图；统计表．‎ ‎【分析】（1）用2013年的微信使用时长减去2012年的微信使用时长即可确定答案；‎ ‎（2）用单位1减去其他所占的百分比即可确定偶尔使用的所占的百分比，用总量乘以经常使用的所占的百分比即可确定经常使用的用户的数量；‎ ‎（3）用总量乘以增长的百分比即可确定两年后的微信用户量．‎ ‎【解答】解：（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7﹣3.0=6.7分钟；‎ ‎（2）偶尔使用所占的百分比为1﹣13%﹣7.4%﹣13%﹣24.2%=42.4%；‎ 我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿 ‎（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，‎ 故答案为：6.7，1.5，8.64．‎ ‎【点评】本题考查了扇形统计图及统计表的知识，解题的关键是仔细的读表或统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．‎ ‎　‎ ‎25．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．‎ ‎（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．‎ ‎【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）连接OC，证△PAO≌△PCO，推出∠POA=∠POC，求出∠OCB=∠OBC，推出∠CBO=∠POA，根据平行线的判定推出即可；‎ ‎（2）根据勾股定理求出OP，证相似，根据相似求出BC长，再证△CBD∽△POD，得出比例式，求出BD即可．‎ ‎【解答】（1）猜想：BC∥OP，‎ 证明：连接OC，‎ ‎∵PA、PC与⊙O相切，‎ ‎∴OA⊥PA，OC⊥PC，‎ ‎∴∠PAO=∠PCO=90°，‎ 在Rt△PAO和Rt△PCO中 ‎∴Rt△PAO≌Rt△PCO，‎ ‎∴∠AOP=∠COP=∠AOC，‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，‎ ‎∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=∠AOC，‎ ‎∴∠AOP=∠OBC，‎ ‎∴BC∥OP；‎ ‎（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO==，‎ 作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=BC，‎ ‎∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，‎ ‎∴△OAP∽△BEO，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得：BC=，‎ 由（1）知BC∥OP，‎ ‎∴△DCB∽△DPO，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BD=．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎26．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．‎ 小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣nx+m﹣关于y轴对称，且经过点（﹣1，﹣）‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）直线l经过点（0，﹣2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；‎ ‎（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出OP+AP的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用抛物线的对称性和过已知点，可求得m、n的值；‎ ‎（2）可设出P点坐标，再用P点坐标分别表示出d和OP的长，可得出d=OP；‎ ‎（3）根据（2）的结论，可知OP的长与P到直线l的距离相等，可过A作直线垂直于x轴，与抛物线的交点即为满足条件的P点，容易求得OP+AP和P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线关于y轴对称，‎ ‎∴n=0，‎ ‎∵抛物线经过点（﹣1，﹣），‎ ‎∴m+m﹣=﹣，解得m=；‎ ‎（2）d=OP．证明如下：‎ 由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣1，故可设P点坐标为（x， x2﹣1），‎ ‎∴点P到直线l的距离d=x2﹣1﹣（﹣2）=x2+1，‎ 又∵OP=====x2+1，‎ ‎∴d=OP；‎ ‎（3）如图，过A作直线t⊥x轴，与抛物线交于点P，交直线l于点B，‎ 由（2）可知PO=PB，‎ ‎∴OP+AP=PB+AP=AB，‎ ‎∴此时P点满足条件，‎ ‎∴OP+AP=1﹣（﹣2）=3，把x=1代入抛物线解析式可求得y=﹣，‎ ‎∴OP+AP的最小值为3，此时点P的坐标为（1，﹣）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中确定出n是解题的关键，在（2）中利用勾股定理表示出OP的距离是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题所考查知识相对基础，难度不大．‎ ‎　‎ ‎28．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．‎ ‎（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；‎ ‎（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ ‎【分析】（1）过N作NG⊥AB于G，通过证明△ABP≌△NGM，得到MN=AP，由勾股定理AP的长度，即可得到结果．‎ ‎（2）过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE，得到ME=HE，再由矩形的性质和三角形全等得到BS=AT，FS=AT，由Rt△FPS≌Rt△ATF，得到PS=TF，可得PS=TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：如图1，过N作NG⊥AB于G，‎ ‎∴四边形AGND是矩形，‎ ‎∴NG=AD，‎ ‎∴AB=AD=GN，‎ ‎∵AP⊥MN，‎ ‎∴∠AEM=90°，‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△ABP与△NGM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△NGM，‎ ‎∴MN=AP，‎ 在Rt△ABP中，AB=9，BP=3，‎ ‎∴AP==3，‎ ‎∴MN=3．‎ ‎（2）证明：如图2，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，‎ ‎∵MN垂直平分AP，‎ ‎∴AE=PE，AF=PF，‎ ‎∵PH∥AB，‎ ‎∴∠MAE=∠HPE，‎ 在△AME与△PHE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AME≌△PHE，‎ ‎∴ME=HE，‎ ‎∵∠TDF=∠FBP=45°，‎ ‎∴TD=TF，FS=BS，‎ ‎∵四边形ABST是矩形，‎ ‎∴BS=AT，‎ ‎∴FS=AT，‎ 在Rt△FPS与Rt△ATF中 ‎，‎ ‎∴Rt△FPS≌Rt△ATF，‎ ‎∴PS=TF，‎ ‎∴PS=TD，‎ ‎∵四边形TSCD是矩形，‎ ‎∴TD=SC，‎ ‎∴PS=SC，‎ ‎∵PH∥TS∥CD，‎ ‎∴HF=FN，‎ ‎∴ME+NF=EF．‎ ‎【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题关键，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎29．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．‎ 例如：下面所表示的函数的界高为4．‎ ‎（1）若函数y=kx+1（﹣2≤x≤1）的界高为4，求k的值；‎ ‎（2）已知m＞﹣2，若函数y=x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知a＞0，函数y=x2﹣2ax+‎3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】（1）将x1=﹣2代入得：y1=﹣2k+1，将x2=1代入得：y2=k+1，然后根据|y1﹣y2|=4，得|﹣3k|=4，从而可求得k的值；‎ ‎（2）将y=4代入抛物线的解析式得：x2=4，解得：x1=﹣2，x2=2，从而可求得m=2；‎ ‎（3）当a≥1时，将x1=﹣2，x2=1代入函数解析式求得y1，y2，然后根据|y1﹣y2|=4，可求得a的值；当0≤a≤1时，将x1=﹣2，x2=a代入函数的解析式得到y1‎ ‎、y2，然后根据|y1﹣y2|=4，可求得a的值．‎ ‎【解答】解：（1）将x1=﹣2代入得；y1=﹣2k+1，将x2=1代入得：y2=k+1，‎ ‎∵|y1﹣y2|=4，‎ ‎∴|﹣3k|=4．‎ 解得：k=．‎ ‎（2）将y=4代入抛物线的解析式得：x2=4，解得：x1=﹣2，x2=2，‎ ‎∴m=2．‎ ‎∴m的取值范围是0≤m＜2．‎ ‎（3）当a≥1时，将x1=﹣2，x2=1代入函数解析式求得y1=4+‎7a，y2=1+a，‎ ‎∵|y1﹣y2|=，‎ ‎∴3+‎6a=，‎ 解得：a=‎ 又∵a≥1‎ 故此种情况不成立；‎ 当0≤a≤1时，将x1=﹣2，x2=a代入函数解析式得：y1=4+‎7a，y2=‎3a﹣a2，‎ ‎∵y1﹣y2=，‎ ‎∴a2+‎4a﹣=0，‎ 解得：a1=，a2=（舍去）‎ 故a=．‎ ‎【点评】本题主要考查的是一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的增减性以及界高的定义得到相应的方程是解题的关键．‎