河南省三门峡市中考数学一模试卷解析版 29页

‎2017年河南省三门峡市中考数学一模试卷 一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．的倒数是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎2．改革开放以来，我国国内生产总值由2006年的3645亿元增长到2016年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.30067×106 B．3.0067×105 C．3.0067×104 D．30.067×104‎ ‎3．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．102°‎ ‎4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（　　）‎ A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 ‎5．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1‎ ‎7．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为 ‎（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（　　）‎ A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．‎ ‎10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（　　）‎ A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④‎ 二、填空题（每题3分，共15分）‎ ‎11．如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是　 　．‎ ‎12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　 　．‎ ‎13．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是　 　．‎ ‎14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为　 　．‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8个小题，满分75分）‎ ‎16．先化简，再求值：（）÷（﹣1），其中a是满足不等组的整数解．‎ ‎17．小明在学习了数据的收集、整理与描述后，为妈妈整理记录了10月份的家庭支出情况，并绘制成如下尚不完整的统计图表，请你根据图表信息完成下列各题：‎ 项目 物业费 伙食费 服装费 其他费 金额/元 ‎800‎ ‎400‎ ‎（1）10月份小明家共支出多少元？‎ ‎（2）在扇形统计图中，表示“其他费”的扇形圆心角为多少度？‎ ‎（3）请将表格补充完整；‎ ‎（4）请将条形统计图补充完整．‎ ‎18．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．‎ 求：‎ ‎（1）P到OC的距离．‎ ‎（2）山坡的坡度tanα．‎ ‎（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）‎ ‎19．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．‎ ‎（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？‎ ‎（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？‎ ‎20．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．‎ ‎（1）求△AHO的周长；‎ ‎（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．‎ ‎21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．‎ ‎（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．‎ ‎（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．‎ ‎22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．‎ ‎（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，‎ ‎①BC与CF的位置关系是：　 　；‎ ‎②BC、CD、CF之间的数量关系为：　 　（将结论直接写在横线上）‎ ‎（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．‎ ‎23．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标；‎ ‎（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；‎ ‎（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年河南省三门峡市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．的倒数是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【考点】28：实数的性质．‎ ‎【分析】根据倒数的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：的倒数是，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．改革开放以来，我国国内生产总值由2006年的3645亿元增长到2016年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.30067×106 B．3.0067×105 C．3.0067×104 D．30.067×104‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将300 670用科学记数法表示应为3.0067×105，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．102°‎ ‎【考点】JA：平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2=∠1﹣∠A，代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A=∠3=40°，‎ ‎∵∠1=120°，‎ ‎∴∠2=∠1﹣∠A=80°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（　　）‎ A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 ‎【考点】WA：统计量的选择．‎ ‎【分析】根据方差的含义和求法，可得：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．‎ ‎【解答】解：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】U3：由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．‎ ‎【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，‎ 第二层应该有1个小正方体，‎ 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，‎ 所以这个几何体的体积是5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1‎ ‎【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，‎ ‎∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，‎ 解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树形图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，其中2个球的颜色不相同的有12种情况，‎ ‎∴其中2个球的颜色不相同的概率是=；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】KF：角平分线的性质；KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理．‎ ‎【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．‎ ‎【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，‎ ‎∴∠AOP=∠COP=30°，‎ ‎∵CP∥OA，‎ ‎∴∠AOP=∠CPO，‎ ‎∴∠COP=∠CPO，‎ ‎∴OC=CP=2，‎ ‎∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，‎ ‎∴∠CPE=30°，‎ ‎∴CE=CP=1，‎ ‎∴PE==，‎ ‎∴OP=2PE=2，‎ ‎∵PD⊥OA，点M是OP的中点，‎ ‎∴DM=OP=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（　　）‎ A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．‎ ‎【考点】MO：扇形面积的计算；D5：坐标与图形性质．‎ ‎【分析】由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，求出AB的长，∠AOB的大小即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，‎ ‎∵P（，），‎ ‎∴OP=2，∵OA=OB=4，‎ ‎∴PA=PB=2，‎ ‎∴tan∠AOP=tan∠BOP=，‎ ‎∴∠AOP=∠BOP=60°，‎ ‎∴∠AOB=120°，‎ ‎∴S阴=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣•2=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（　　）‎ A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④‎ ‎【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎【解答】解：∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，‎ ‎∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正确；‎ 由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，②错误；‎ 由图象可知，当x=1时，y=0，‎ ‎∴a﹣b+c=0，‎ ‎∵b=﹣2a，‎ ‎∴3a+c=0，③正确；‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，‎ ‎∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；‎ 故④错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共15分）‎ ‎11．如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是　x≥﹣1且x≠2　．‎ ‎【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．‎ ‎【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵代数式有意义，‎ ‎∴，解得x≥﹣1且x≠2．‎ 故答案为：x≥﹣1且x≠2．‎ ‎　‎ ‎12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　4　．‎ ‎【考点】MA：三角形的外接圆与外心；M2：垂径定理．‎ ‎【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，‎ 则BC=2BD，‎ ‎∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，‎ ‎∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，‎ ‎∴∠BOC=120°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB==30°，‎ ‎∵⊙O的半径为4，‎ ‎∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，‎ ‎∴BC=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是　‎ ‎　．‎ ‎【考点】S4：平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】先利用AB∥EF得到=，则可求出解得AE=12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出的值．‎ ‎【解答】解：∵AB∥EF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵CE=4，CF=3，AE=BC，‎ ‎∴=，解得AE=12，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴===．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为　　．‎ ‎【考点】O4：轨迹；D5：坐标与图形性质．‎ ‎【分析】H经过的路径是以OE为直径的弧，连接OE，首先求得△‎ OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用长公式即可求解．‎ ‎【解答】解：连接OE．‎ S△OPE=××7=，‎ 在直角△OEA中，OE====5，‎ PE==，‎ ‎∵S△OPE=PE•OH，即×OH=，‎ ‎∴OH=5，‎ ‎∴在直角△OEH中，sin∠OEH===，‎ ‎∴∠OEH=45°，‎ 点H的运动路径长是： =．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为　或　．‎ ‎【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性质可知：AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，然后证明四边形ACDC′为正方形，从而求得DB=1，然后证明DE∥AC，△BDE∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DE=．‎ ‎【解答】解：如图1所示；点E与点C′重合时．‎ 在Rt△ABC中，BC==4．‎ 由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．‎ 设DC=ED=x，则BD=4﹣x．‎ 在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．‎ 解得：x=．‎ ‎∴DE=．‎ 如图2所示：∠EDB=90时．‎ 由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．‎ ‎∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，‎ ‎∴四边形ACDC′为矩形．‎ 又∵AC=AC′，‎ ‎∴四边形ACDC′为正方形．‎ ‎∴CD=AC=3．‎ ‎∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴△BDE∽△BCA．‎ ‎∴，即．‎ 解得：DE=．‎ 点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．‎ 故答案为：或．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8个小题，满分75分）‎ ‎16．先化简，再求值：（）÷（﹣1），其中a是满足不等组的整数解．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【分析】先算括号内的减法（通分后化成同分母的分式，再按同分母的分式相加减法则计算），同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，求出不等式组的整数解，取使分式有意义的数代入求出即可．‎ ‎【解答】解：（）÷（﹣1）‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=，‎ ‎∵解不等式组得＜a＜5，‎ ‎∴a=2，3，4，‎ ‎∵原式中a≠0，2，4，‎ ‎∴a=3，‎ ‎∴当a=3时，原式==1．‎ ‎　‎ ‎17．小明在学习了数据的收集、整理与描述后，为妈妈整理记录了10月份的家庭支出情况，并绘制成如下尚不完整的统计图表，请你根据图表信息完成下列各题：‎ 项目 物业费 伙食费 服装费 其他费 金额/元 ‎800‎ ‎400‎ ‎（1）10月份小明家共支出多少元？‎ ‎（2）在扇形统计图中，表示“其他费”的扇形圆心角为多少度？‎ ‎（3）请将表格补充完整；‎ ‎（4）请将条形统计图补充完整．‎ ‎【考点】VC：条形统计图；VA：统计表；VB：扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据题意列式计算即可；‎ ‎（2）“其他费”的扇形圆心角为用360°去乘以“其他费”所占的百分比即可得到结论；‎ ‎（3）小明家共支出的费用乘以伙食费、服装费所占的百分数即可得到结论；‎ ‎（4）根据题意补充条形统计图即可；‎ ‎【解答】解：（1）10月份小明家共支出800÷16%=5000（元）；‎ ‎（2）“其他费”的扇形圆心角为360°×（1﹣40%﹣36%﹣16%）=28.8°；‎ ‎（3）伙食费=5000×36%=1800元；服装费=5000×40%=2000元；‎ 故答案为：1800，2000；‎ ‎（4）补充条形统计图如图所示；‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．‎ 求：‎ ‎（1）P到OC的距离．‎ ‎（2）山坡的坡度tanα．‎ ‎（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）‎ ‎【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．‎ ‎【分析】（1）过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan31°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=400即可求得点P到OC的距离；‎ ‎（2）利用求得的线段PD的长求出PE=40，AE=100，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．‎ 在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，‎ ‎∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；‎ 在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=31°，‎ ‎∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan31°；‎ ‎∵CD﹣BD=BC，‎ ‎∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°=40，‎ ‎∴0.60PD﹣0.50PD=40，‎ 解得PD=400（米），‎ ‎∴P到OC的距离为400米；‎ ‎（2）在Rt△PBD中，BD=PD•tan26.6°≈400×0.50=200（米），‎ ‎∵OB=240米，‎ ‎∴PE=OD=OB﹣BD=40米，‎ ‎∵OE=PD=400米，‎ ‎∴AE=OE﹣OA=400﹣300=100（米），‎ ‎∴tanα===0.4，‎ ‎∴坡度为0.4．‎ ‎　‎ ‎19．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．‎ ‎（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？‎ ‎（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？‎ ‎【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+‎ ‎300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；‎ ‎（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，‎ 由题意得， =，‎ 解得：x=1200，‎ 经检验x=1200是原方程的根，‎ 则x+300=1500，‎ 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；‎ ‎（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，‎ 解得：x=1600，‎ 答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．‎ ‎（1）求△AHO的周长；‎ ‎（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；‎ ‎（2）根据待定系数法，可得函数解析式．‎ ‎【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得 AH=4．即A（﹣4，3）．‎ 由勾股定理，得 AO==5，‎ ‎△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；‎ ‎（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得 k=﹣4×3=﹣12，‎ 反比例函数的解析式为y=；‎ 当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．‎ 将A、B点坐标代入y=ax+b，得 ‎，‎ 解得，‎ 一次函数的解析式为y=﹣x+1．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．‎ ‎（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．‎ ‎（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．‎ ‎【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；L9：菱形的判定．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到△BOE与△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；‎ ‎（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．‎ ‎【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为r，‎ 在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，‎ 根据勾股定理得：AB==8，‎ ‎∵BC与圆O相切，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴∠OEB=∠BAC=90°，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BOE∽△BCA，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：r=3；‎ ‎（2）∵=，∠AFE=2∠ABC，‎ ‎∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，‎ ‎∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=30°，∠F=60°，‎ ‎∵EF⊥AD，‎ ‎∴∠EMB=∠CAB=90°，‎ ‎∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，‎ ‎∴CB∥AF，‎ ‎∴四边形ACEF为平行四边形，‎ ‎∵∠CAB=90°，OA为半径，‎ ‎∴CA为圆O的切线，‎ ‎∵BC为圆O的切线，‎ ‎∴CA=CE，‎ ‎∴平行四边形ACEF为菱形．‎ ‎　‎ ‎22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．‎ ‎（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，‎ ‎①BC与CF的位置关系是：　BC⊥CF　；‎ ‎②BC、CD、CF之间的数量关系为：　BC=CF+CD　（将结论直接写在横线上）‎ ‎（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；‎ ‎②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；‎ ‎（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 在△DAB与△FAC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DAB≌△FAC，‎ ‎∴∠B=∠ACF，‎ ‎∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；‎ 故答案为：BC⊥CF；‎ ‎②△DAB≌△FAC，‎ ‎∴CF=BD，‎ ‎∵BC=BD+CD，‎ ‎∴BC=CF+CD；‎ 故答案为：BC=CF+CD；‎ ‎（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．‎ ‎∵正方形ADEF中，AD=AF，‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 在△DAB与△FAC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DAB≌△FAC，‎ ‎∴∠ABD=∠ACF，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°．‎ ‎∴∠ABD=180°﹣45°=135°，‎ ‎∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，‎ ‎∴CF⊥BC．‎ ‎∵CD=DB+BC，DB=CF，‎ ‎∴CD=CF+BC．‎ ‎　‎ ‎23．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标；‎ ‎（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；‎ ‎（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；‎ ‎（2）可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标，连接C′N交x轴于点K，再求得直线C′K的解析式，可求得K点坐标；‎ ‎（3）过点E作EG⊥x轴于点G，设Q（m，0），可表示出AB、BQ，再证明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；‎ ‎（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣；‎ ‎（2）由（1）可求得抛物线顶点为N（1，），‎ 如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，‎ 设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线C′N的解析式为y=，‎ 令y=0，解得x=，‎ ‎∴点K的坐标为（，0）；‎ ‎（3）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图2，‎ 由﹣=0，得x1=﹣2，x2=4，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，0），AB=6，BQ=m+2，‎ 又∵QE∥AC，‎ ‎∴△BQE≌△BAC，‎ ‎∴，即，解得EG=；‎ ‎∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ===．‎ 又∵﹣2≤m≤4，‎ ‎∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；‎ ‎（4）存在．在△ODF中，‎ ‎（ⅰ）若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），‎ ‎∴AD=OD=DF=2．‎ 又在Rt△AOC中，OA=OC=4，‎ ‎∴∠OAC=45°．‎ ‎∴∠DFA=∠OAC=45°．‎ ‎∴∠ADF=90°．‎ 此时，点F的坐标为（2，2）．‎ 由﹣=2，得x1=1+，x2=1﹣．‎ 此时，点P的坐标为：P1（1+，2）或P2（1﹣，2）；‎ ‎（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M．‎ 由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，‎ ‎∴AM=3．‎ ‎∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．‎ ‎∴F（1，3）．‎ 由﹣=3，得x1=1+，x2=1﹣．‎ 此时，点P的坐标为：P3（1+，3）或P4（1﹣，3）；‎ ‎（ⅲ）若OD=OF，‎ ‎∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．‎ ‎∴AC=4．‎ ‎∴点O到AC的距离为2．‎ 而OF=OD=2＜2，与OF≥2矛盾．‎ ‎∴在AC上不存在点使得OF=OD=2．‎ 此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．‎ 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，3）或（1﹣，3）．‎ ‎　‎ ‎2017年6月20日