四川省广元市中考数学试卷含解析 32页

2016 年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）﹣ 的倒数是（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 2．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．x2•x6=x12 B．（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x3 C．2a﹣3a=﹣a D．（x﹣2）2=x2﹣4 3．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3 分）为了解某市参加中考的 32000 名学生的体重情况，抽查了其中 1500 名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ） A．32000 名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体 C．1500 名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查 5．（3 分）如图，五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3 分别是∠BAE， ∠AED，∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3=（ ） A．90° B．180° C．120° D．270° 6．（3 分）设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y= 图象上的两点， 当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2，则一次函数 y=﹣2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3 分）如图，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=10°，P 是 的中点，则∠PAB 的 大小是（ ） A．35° B．40° C．60° D．70° 8．（3 分）某市 2015 年国内生产总值 GDP 比 2014 年增长 10%，由于受到客观 条件影响，预计 2016 年的 GDP 比 2015 年增长 7%．若这两年 GDP 平均增长率 为 x%，则 x 应满足的等量关系是（ ） A．10%+7%=x% B．（1+10%）（1+7%）=2（1+x%） C．（10%+7%）=2x% D．（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2 9．（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴影部分的面积是（ ） A． ﹣ B． ﹣ C．π﹣ D．π﹣ 10．（3 分）如图．在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位 置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 D 的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．（3 分）分解因式：25﹣a2= ． 12．（3 分）已知数据 7，9，8，6，10，则这组数据的方差是 ． 13．（3 分）适合关于 x 的不等式组 的整数解是 ． 14．（3 分）已知：一等腰三角形的两边长 x、y 满足方程组 ，则此等腰 三角形的周长为 ． 15．（3 分）函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）经过点（﹣1，0），（m， 0），且 1＜m＜2，当 x＜﹣1 时，y 随 x 增大而减小，下列结论： ①abc＞0； ②a+b＜0； ③若点 A（﹣3，y1），B（3，y2）在抛物线上，则 y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0； ⑤c≤﹣1 时，则 b2﹣4ac≤4a． 其中结论正确的有 ． 三、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．（6 分）计算：（ ）﹣2+（ ﹣ ）0+| ﹣1|+（ ﹣3 ）•tan60°． 17．（6 分）先化简，再求值： ，其中 x=﹣4． 18．（7 分）如图，点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上，且 BM=CN， AM，BN 交于点 Q．求证：∠BQM=60°． 19．（8 分）中央电视台举办的“2016 年春节联欢晚会”受到广泛关注，某民间组 织就 2016 年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在丽州广场进行了问卷调查，并将 问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别 记作 A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图所示的“扇形统计图”和“条形统计 图”，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查对象共有 人，被调查者“不太喜欢”有 人； （2）补全扇形统计图和条形统计图； （3）在“非常喜欢”调查结果里有 5 人为 80 后，分别为 3 男 2 女，在这 5 人中， 该民间组织打算随机抽取 2 人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选 2 人均 为男生的概率． 20．（8 分）节能电动车越来越受到人们的喜欢，新开发的各种品牌电动车相继 投入市场．小李车行经营的 A 型节能电动车 2015 年销售总额为 m 万元，2016 年每辆 A 型节能电动车的销售价比 2015 年降低 2000 年，若 2015 年和 2016 年 卖出的节能电动车的数量相同（同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同）， 则 2016 年的销售总额比 2015 年减少 20%． （1）2016 年 A 型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程方法解答） （2）小李车行计划端午节后新购进一批 A 型节能电动车和新型 B 型节能电动车， 每购进 3 辆节能电动车，批发商就给车行返回 1500 元．若新款 B 型节能电动车 的进货数量是 A 型节能电动车的进货数量的 2 倍，全部销售获得的利润不少于 18 万元，且 2016 年 A，B 两种型号节能电动车的进货和销售价格如表，那么 2016 年新款 B 型节能电动车至少要购进多少辆？ A 型节能电动车 B 型节能电动车 进货价格（万元/辆） 0.55 0.7 销售价格（万元/辆） 2016 年的销售价格 2 21．（8 分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们 在这棵树正前方一楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵 树的方向走到台阶下的点 C 处测得树顶端 D 的仰角为 60°，已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度 i=1：2，且 B，C，E 三点在同一条直线上，请根据以 上条件求出树 DE 的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 22．（10 分）如图，一次函数 y=kx+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 P、G 两点，过点 P 作 PA⊥x 轴，一次函数图象分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点， = ， 且 S △ ADP=6． （1）求点 D 坐标； （2）求一次函数和反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量 x 的取值范围． 23．（10 分）如图，已知⊙O 的半径为 6cm，射线 PM 经过点 O，OP=10cm，射 线 PN 与⊙O 相切于点 Q．A、B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿 射线 PM 方向运动，点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动，设运动时间为 t s． （1）求 PQ 的长； （2）当直线 AB 与⊙O 相切时，求证：AB⊥PN； （3）当 t 为何值时，直线 AB 与⊙O 相切？ 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A （5，0），B（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0， ）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得 △ ACP 是以点 A 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 G 为抛物线上的一动点，过点 G 作 GE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时， 求出点 G 的坐标． 2016 年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）（2013•北京）﹣ 的倒数是（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】倒数．菁优网版 权所有 【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵（﹣ ）×（﹣ ）=1， ∴﹣ 的倒数是﹣ ． 故选 D． 【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．x2•x6=x12 B．（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x3 C．2a﹣3a=﹣a D．（x﹣2）2=x2﹣4 【考点】整式的混合运算．菁优网版 权所有 【分析】由整式的运算法则分别进行计算，即可得出结论． 【解答】解：∵x2•x6=x8≠x12．∴选项 A 错误； ∵（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x4，∴选项 B 错误； ∵2a﹣3a=﹣a，∴选项 C 正确； ∵（x﹣2）2=x2﹣4x+4，∴选项 D 错误； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的运算法则；熟练掌握这是的运算法则是解决问题的关 键． 3．（3 分）（2012•肥城市校级模拟）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，x2+1）所 在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标；非负数的性质：偶次方．菁优网版 权所有 【分析】根据非负数的性质确定出点 P 的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的 坐标特征解答． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+1≥1， ∴点 P（﹣2，x2+1）在第二象限． 故选 B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符 号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣， +）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．（3 分）为了解某市参加中考的 32000 名学生的体重情况，抽查了其中 1500 名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ） A．32000 名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体 C．1500 名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查 【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．菁优网版 权所有 【分析】分别根据总体、个体、样本及调查的定义逐项判断即可． 【解答】解： 某市参加中考的 32000 名学生的体重情况是总体，故 A 错误； 每名学生的体重情况是总体的一个个体，故 B 错误； 1500 名学生的体重情况是一个样本，故 C 正确； 该调查属于抽样调查，故 D 错误； 故选 C． 【点评】本题主要考查总体、个体与样本定义，解题的关键是明确考查的对象， 总体、个体与样本的考查对象是相同的，不同的是范围的大小． 5．（3 分）如图，五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3 分别是∠BAE， ∠AED，∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3=（ ） A．90° B．180° C．120° D．270° 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．菁优网版 权所有 【专题】计算题． 【分析】先利用平行线的性质得到∠4+∠5=180°，然后根据多边形的外角和为 360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，从而得到∠1+∠2+∠3=180°． 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠4+∠5=180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=180°． 故选 B． 【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n﹣2）•180 （n≥3） 且 n 为整数），外角和永远为 360°．也考查了平行线的性质． 6．（3 分）设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y= 图象上的两点， 当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2，则一次函数 y=﹣2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；反比例 函数的性质．菁优网版 权所有 【分析】如图 1，根据当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2 可知：反比例函数 y= 图象上，y 随 x 的增大而减小，得 k＞0；如图 2，再根据一次函数性质：﹣2＜0，所以图象 在二、四象限，由 k＞0 得，与 y 轴交于正半轴，得出结论． 【解答】解：∵当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2， ∴反比例函数 y= 图象上，y 随 x 的增大而减小， ∴图象在一、三象限，如图 1， ∴k＞0， ∴一次函数 y=﹣2x+k 的图象经过二、四象限，且与 y 轴交于正半轴， ∴一次函数 y=﹣2x+k 的图象经过一、二、四象限，如图 2， 故选 C． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，知道：①当 k＞0， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；②当 k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大； 反之也成立；③一次函数 y=kx+b 中，当 k＞0，图象在一、三象限；k＜0，图象 在二、四象限；b＞0 时，与 y 轴交于正半轴，当 b＜0 时，与 y 轴交于负半轴． 7．（3 分）如图，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=10°，P 是 的中点，则∠PAB 的 大小是（ ） A．35° B．40° C．60° D．70° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版 权所有 【专题】计算题；圆的有关概念及性质． 【分析】连接 OP，OB，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，求出∠BOC 度 数，进而求出∠AOB 度数，再利用圆心角、弦、弧之间的关系求出所求角度数 即可． 【解答】解：连接 OP，OB， ∵∠BAC=10°， ∴∠BOC=2∠BAC=20°， ∴∠AOB=160°， ∵P 为 的中点， ∴∠BOP= ∠AOB=80°， ∴∠PAB=40°， 故选 B 【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握圆周角 定理是解本题的关键． 8．（3 分）某市 2015 年国内生产总值 GDP 比 2014 年增长 10%，由于受到客观 条件影响，预计 2016 年的 GDP 比 2015 年增长 7%．若这两年 GDP 平均增长率 为 x%，则 x 应满足的等量关系是（ ） A．10%+7%=x% B．（1+10%）（1+7%）=2（1+x%） C．（10%+7%）=2x% D．（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版 权所有 【专题】增长率问题． 【分析】根据平均增长率：a（1+x）n，可得答案． 【解答】解：由题意，得 （1+10%）（1+7%）=（1+x%）2， 故选：D． 【点评】本题考查了实际问题与一元二次方程，利用平均增长率：a（1+x）n 是 解题关键． 9．（3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴影部分的面积是（ ） A． ﹣ B． ﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据菱形的性质得出 △ DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定 得出 △ ABG≌△DBH，得出四边形 GBHD 的面积等于 △ ABD 的面积，进而求出 即可． 【解答】解：连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2， ∴△ABD 的高为 ， ∵扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4， 设 AD、BE 相交于点 G，设 BF、DC 相交于点 H， 在 △ ABG 和 △ DBH 中， ， ∴△ABG≌△DBH（ASA）， ∴四边形 GBHD 的面积等于 △ ABD 的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S 扇形 EBF﹣S △ ABD= ﹣ ×2× = ﹣ ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识， 根据已知得出四边形 EBFD 的面积等于 △ ABD 的面积是解题关键． 10．（3 分）（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴 上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点 落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 D 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．菁优网版 权所有 【专题】计算题；综合题；压轴题． 【分析】如图，过 D 作 DF⊥AF 于 F，根据折叠可以证明 △ CDE≌△AOE，然后 利用全等三角形的性质得到 OE=DE，OA=CD=1，设 OE=x，那么 CE=3﹣x，DE=x， 利用勾股定理即可求出 OE 的长度，而利用已知条件可以证明 △ AEO∽△ADF， 而 AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出 DF、AF 的长度，也就求出 了 D 的坐标． 【解答】解：如图，过 D 作 DF⊥AF 于 F， ∵点 B 的坐标为（1，3）， ∴AO=1，AB=3， 根据折叠可知：CD=OA， 而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO， ∴△CDE≌△AOE， ∴OE=DE，OA=CD=1， 设 OE=x，那么 CE=3﹣x，DE=x， ∴在 Rt △ DCE 中，CE2=DE2+CD2， ∴（3﹣x）2=x2+12， ∴x= ， 又 DF⊥AF， ∴DF∥EO， ∴△AEO∽△ADF， 而 AD=AB=3， ∴AE=CE=3﹣ = ， ∴ ， 即 ， ∴DF= ，AF= ， ∴OF= ﹣1= ， ∴D 的坐标为（﹣ ， ）． 故选 A． 【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的 关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后 利用它们的性质即可解决问题． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．（3 分）（2014•来宾）分解因式：25﹣a2= （5﹣a）（5+a） ． 【考点】因式分解-运用公式法．菁优网版 权所有 【专题】因式分解． 【分析】利用平方差公式解答即可． 【解答】解：25﹣a2， =52﹣a2， =（5﹣a）（5+a）． 故答案为：（5﹣a）（5+a）． 【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12．（3 分）已知数据 7，9，8，6，10，则这组数据的方差是 2 ． 【考点】方差．菁优网版 权所有 【专题】计算题；数据的收集与整理． 【分析】根据已知数据确定出方差即可． 【解答】解：数据的平均数为 =8， 则方差 S2= [（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=2， 故答案为：2 【点评】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键． 13．（3 分）适合关于 x 的不等式组 的整数解是 ﹣2 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版 权所有 【分析】根据一元一次不等式组解出 x 的取值，根据 x 是整数解得出 x 的可能取 值． 【解答】解： 解①得 2x＜﹣2，即 x＜﹣1， 解②得 2x＞x﹣3，即 x＞﹣3， 综上可得﹣3＜x＜﹣1， ∵x 为整数，故 x=﹣2 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键在于根据 x 的取值范围，得出 x 的整数解． 14．（3 分）（2013•襄城区模拟）已知：一等腰三角形的两边长 x、y 满足方程组 ，则此等腰三角形的周长为 5 ． 【考点】等腰三角形的性质；解二元一次方程组．菁优网版 权所有 【专题】计算题；方程思想． 【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即 可得出答案． 【解答】解：解方程组 得 所以，等腰三角形的两边长为 2，1． 若腰长为 1，底边长为 2，由 1+1=2 知，这样的三角形不存在． 若腰长为 2，底边长为 1，则三角形的周长为 5． 所以这个等腰三角形的周长为 5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是 掌握分类讨论的思想解题． 15．（3 分）函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）经过点（﹣1，0），（m， 0），且 1＜m＜2，当 x＜﹣1 时，y 随 x 增大而减小，下列结论： ①abc＞0； ②a+b＜0； ③若点 A（﹣3，y1），B（3，y2）在抛物线上，则 y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0； ⑤c≤﹣1 时，则 b2﹣4ac≤4a． 其中结论正确的有 ①④ ． 【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版 权所有 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得 a＞0，由抛物线的对称轴位置得 b＜0，由抛物线与 y 轴的交点位置得 c＜0，于 是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且 1＜m＜2，根据 抛物线的对称性和对称轴方程得到 0＜﹣ ＜ ，变形可得 a+b＞0，则可对② 进行判断；利用点 A（﹣3，y1）和点 B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③ 进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得 a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得 am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到 a（m﹣1）+b=0，则可对④进 行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到 ＜c≤﹣1， 变形得到 b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断 【解答】解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， 所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且 1＜m＜2， ∴0＜﹣ ＜ ， ∴ + = ＞0， ∴a+b＞0， 所以②的结论错误； ∵点 A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点 B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2， 所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0， 所以④的结论正确； ∵ ＜c， 而 c≤﹣1， ∴ ＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误． 故答案为①④． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0 时，抛物线向上 开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对 称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时 （即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）．抛物线与 x 轴交点个数由 △ 决定： △ =b2﹣ 4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △ =b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交 点； △ =b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 三、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．（6 分）计算：（ ）﹣2+（ ﹣ ）0+| ﹣1|+（ ﹣3 ）•tan60°． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版 权所有 【专题】计算题． 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值得 到原式=9+1+ ﹣1+（2 ﹣3 ）• ，然后进行二次根式的乘法运算后合并 即可． 【解答】解：原式=9+1+ ﹣1+（2 ﹣3 ）• =9+ ﹣3 =6+ ． 【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提 的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中 正实数可以开平方． 17．（6 分）（2008•盐城）先化简，再求值： ，其中 x=﹣4． 【考点】分式的化简求值．菁优网版 权所有 【专题】计算题． 【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算． 【解答】解：原式= = = ． 当 x=﹣4 时，原式= ． 【点评】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此 时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．做除法时要注意先把 除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的 先分解，然后约分． 18．（7 分）如图，点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上，且 BM=CN， AM，BN 交于点 Q．求证：∠BQM=60°． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版 权所有 【专题】证明题． 【分析】根据 BM=CN 可得 CM=AN，易证 △ AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC， 根据内角和为 180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题． 【解答】证明：∵BM=CN，BC=AC，∴CM=AN， 又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM， ∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC， ∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180° ∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°， ∴∠AQN=∠ACB， ∵∠BQM=∠AQN， ∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°． 【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，考查了 等边三角形各内角为 60°的性质，本题中求证∠AQN=∠ACB 是解题的关键． 19．（8 分）中央电视台举办的“2016 年春节联欢晚会”受到广泛关注，某民间组 织就 2016 年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在丽州广场进行了问卷调查，并将 问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别 记作 A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图所示的“扇形统计图”和“条形统计 图”，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查对象共有 50 人，被调查者“不太喜欢”有 5 人； （2）补全扇形统计图和条形统计图； （3）在“非常喜欢”调查结果里有 5 人为 80 后，分别为 3 男 2 女，在这 5 人中， 该民间组织打算随机抽取 2 人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选 2 人均 为男生的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版 权所有 【专题】统计与概率． 【分析】（1）利用公式“该部分的人数÷部分所占的百分比=总人数”求解即可． （2）先算出项目 B 所占的百分比，然后再算出项目 C 的百分比及 C、D 对应的 人数即可作图． （3）利用列表法求出 5 人中 3 男 2 女选 2 人接受采访均为男生的所有可能的情 况，然后根据概率的计算方法求解即可． 【解答】解：（1）∵15÷30%=50（人）， ∴50×10%=5（人） 即：这次被调查对象共有 50 人，被调查者“不太喜欢”有 5 人； 故答案为：50；5 （2）∵20÷50×100%=40%， ∴1﹣10%﹣30%﹣40%=20%， ∵50×20%=10（人），∴50﹣5﹣10﹣15=20（人）， 所求扇形统计图和条形统计图如下图所示： （3）用列表法表示选 2 人接受采访的所有可能如下： 故：P（所选 2 人均为男生）= 【点评】本题考查了列表法与树状图、条形统计图、扇形统计图等问题，解题的 关键是要掌握整体与部分之间的数量关系及条形统计图与扇形统计图的作法 20．（8 分）节能电动车越来越受到人们的喜欢，新开发的各种品牌电动车相继 投入市场．小李车行经营的 A 型节能电动车 2015 年销售总额为 m 万元，2016 年每辆 A 型节能电动车的销售价比 2015 年降低 2000 年，若 2015 年和 2016 年 卖出的节能电动车的数量相同（同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同）， 则 2016 年的销售总额比 2015 年减少 20%． （1）2016 年 A 型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程方法解答） （2）小李车行计划端午节后新购进一批 A 型节能电动车和新型 B 型节能电动车， 每购进 3 辆节能电动车，批发商就给车行返回 1500 元．若新款 B 型节能电动车 的进货数量是 A 型节能电动车的进货数量的 2 倍，全部销售获得的利润不少于 18 万元，且 2016 年 A，B 两种型号节能电动车的进货和销售价格如表，那么 2016 年新款 B 型节能电动车至少要购进多少辆？ A 型节能电动车 B 型节能电动车 进货价格（万元/辆） 0.55 0.7 销售价格（万元/辆） 2016 年的销售价格 2 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版 权所有 【分析】（1）设 2016 年 A 型节能电动车每辆售价 x 万元，则 2015 年售价每辆 为（x+0.2）万元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （2）设 2016 年新进 B 型节能电动车 a 辆，则 A 型节能电动车 辆，获利 y 元， 由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值． 【解答】解：（1）设 2016 年 A 型车每辆售价 x 万元，则 2015 年售价每辆为（x+0.2） 万元， 由题意，得 = ， 解得：x=0.8． 经检验，x=0.8 是原方程的根． 答：2016 年 A 型车每辆售价 0.8 万元； （2）设 2016 年新进 B 型节能电动车 a 辆，则 A 型节能电动车 辆，获利 y 元， 依题意得 y=a（20000﹣0.7×10000）+ （8000﹣0.55×10000）+1500× ≥180000， 解得：a≥12． 因为 a 是整数，所以 a=12． 答：2061 年新款 B 型节能电动车至少要购进 12 辆． 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一 次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是 关键． 21．（8 分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们 在这棵树正前方一楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵 树的方向走到台阶下的点 C 处测得树顶端 D 的仰角为 60°，已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度 i=1：2，且 B，C，E 三点在同一条直线上，请根据以 上条件求出树 DE 的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问 题．菁优网版 权所有 【分析】首先表示出 AF 的长，进而得出 BC 的长，再表示出 CE= （x+2）， 利用 EB=BC+CE 求出答案． 【解答】解：过点 A 作 AF⊥DE，设 DF=x， 在 Rt △ ADF 中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF= = ， ∴AF= x， AC 的坡度 i=1：2， ∴ = ， ∵AB=2， ∴BC=4， ∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE， ∴四边形 ABEF 为矩形， ∴EF=AB=2，BE=AF， ∴DE=DF+EF=x+2， 在 Rt △ DCE 中，tan∠DCE= ， ∵∠DCE=60°， ∴CE= （x+2）， ∵EB=BC+CE= （x+2）， ∴ （x+2）+4= x， ∴x=1+2 ， ∴DE=3+2 ． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函 数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 22．（10 分）如图，一次函数 y=kx+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 P、G 两点，过点 P 作 PA⊥x 轴，一次函数图象分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点， = ， 且 S △ ADP=6． （1）求点 D 坐标； （2）求一次函数和反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量 x 的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版 权所有 【专题】计算题；反比例函数及其应用． 【分析】（1）对于一次函数，令 x=0 求出 y 的值，即可确定出 D 坐标； （2）由 AP 与 y 轴平行，得比例，根据 OD 的长求出 AP 的长，由三角形 ADP 面积求出 OA 的长，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 m 的值，代入一次 函数求出 k 的值，即可确定出各自的解析式； （3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，确定出 G 坐标，利用图 象确定出一次函数值小于反比例函数值时 x 的范围即可． 【解答】解：（1）对于 y=kx+2，令 x=0，得到 y=2，即 D（0，2）； （2）∵AP∥y 轴，∴ = = ， ∵OD=2，∴AP=4， ∵S △ ADP= AP•OA=6， ∴OA=3，即 P（3，﹣4）， 把 P 坐标代入反比例解析式得：m=﹣12， ∴反比例函数解析式为 y=﹣ ， 把 P 坐标代入 y=kx+2 中得：﹣4=3k+2，即 k=﹣2， ∴一次函数解析式为 y=﹣2x+2； （3）联立得： ， 解得： 或 ， ∴Q（﹣2，6），P（3，﹣4）， 则由图象得：当 x＞3 或﹣2＜x＜0 时，一次函数值小于反比例函数值． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想， 熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解本题的关键． 23．（10 分）如图，已知⊙O 的半径为 6cm，射线 PM 经过点 O，OP=10cm，射 线 PN 与⊙O 相切于点 Q．A、B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿 射线 PM 方向运动，点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动，设运动时间为 t s． （1）求 PQ 的长； （2）当直线 AB 与⊙O 相切时，求证：AB⊥PN； （3）当 t 为何值时，直线 AB 与⊙O 相切？ 【考点】圆的综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）连接 OQ，在 Rt △ OPQ 中，利用勾股定理即可解决问题． （2）如图 2 中，过点 O 作 OC⊥AB 于 C．只要证明 △ PBA∽△PQO，即可推出 ∠PBA=∠PQO=90°． （3）首先证明四边形 OCBQ 是矩形，分两种情形列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OQ， ∵PN 与⊙O 相切于点 Q， ∴OQ⊥PN， ∴∠OQP=90°， ∵OQ=6cm，OP=10cm， ∴PQ= = =8． （2）如图 2 中，过点 O 作 OC⊥AB 于 C． 由题意，PA=5t，PB=4t， ∵OP=10，PQ=8， ∴ = ，∵∠P=∠P， ∴△PBA∽△PQO， ∴∠PBA=∠PQO=90°， ∴AB⊥PN． （3）∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°， ∴四边形 OCBQ 是矩形， ∴BQ=OC=6， ∵OC=6cm， ∴BQ=6cm． ①当 AB 运动到图 2 位置时，BQ=PQ﹣PB=6， ∴8﹣4t=6， ∴t=0.5s， ②当 AB 运动到图 3 位置时， BQ=AB﹣PQ=6， ∴4t﹣8=6， ∴t=3.5s， 综上所述，t=0.5s 或 3.5s 时，直线 AB 与⊙O 相切． 【点评】本题考查圆的综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、矩形的性 质和判定、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会 添加常用辅助线，属于中考常考题型． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A （5，0），B（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0， ）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得 △ ACP 是以点 A 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 G 为抛物线上的一动点，过点 G 作 GE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时， 求出点 G 的坐标． 【考点】二次函数综合题．菁优网版 权所有 【分析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式； （2）以 A 为直角顶点，根据点 P 的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可 求出点 P 的坐标； （3）连接 OD，易得四边形 OFDE 是矩形，则 OD=EF，根据垂线段最短可得当 OD⊥AC 时，OD（即 EF）最短，然后只需求出点 D 的纵坐标，就可得到点 P 的纵坐标，就可求出点 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（5，0），B（﹣1，0）两 点，与 y 轴交于点 C（0， ）， ∴设抛物线的解析式是 y=a（x﹣5）（x+1）1）， 则 =a×（﹣5）×1，解得 a=﹣ ． 则抛物线的解析式是 y=﹣ （x﹣5）（x+1）=﹣ x2+2x+ ； （2）存在． 当点 A 为直角顶点时，过 A 作 AP⊥AC 交抛物线于点 P，交 y 轴于点 H，如图． ∵AC⊥AP，OC⊥OA， ∴△OAC∽△OHA， ∴ = ， ∴OA2=OC•OH， ∵OA=5，OC= ， ∴OH=10， ∴H（0，﹣10），A（5，0）， ∴直线 AP 的解析式为 y=2x﹣10， 联立 ， ∴P 的坐标是（﹣5，﹣20）． （3）∵DF⊥x 轴，DE⊥y 轴， ∴四边形 OFDE 为矩形， ∴EF=OD， ∴EF 长度的最小值为 OD 长度的最小值， 当 OD⊥AC 时，OD 长度最小， 此时 S △ AOC= AC•OD= OA•OC， ∵A（5，0），C（0， ）， ∴AC= ， ∴OD= ， ∵DE⊥y 轴，OD⊥AC， ∴△ODE∽△OCD， ∴ = ， ∴OD2=OE•CO， ∵CO= ，OD= ， ∴OE=2， ∴点 G 的纵坐标为 2， ∴y=﹣ x2+2x+ =2， 解得 x1=2﹣ ，x2=2+ ， ∴点 G 的坐标为（2﹣ ，2）或（2+ ，2）． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特 征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一 定的综合性，根据矩形的性质将 EF 转化为 OD，然后利用垂线段最短是解决第 （3）小题的关键．