2013年湖州市中考数学试卷及答案(解析版) 18页

‎2013年浙江省湖州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答案卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．‎ ‎1．（3分）（2013•湖州）实数π，，0，﹣1中，无理数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ π B．‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎﹣1‎ 考点：‎ 无理数．‎ 分析：‎ 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．‎ 解答：‎ 解：A、是无理数；‎ B、是分数，是有理数，故选项错误；‎ C、是整数，是有理数，选项错误；‎ D、是整数，是有理数，选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•湖州）计算6x3•x2的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6x B．‎ ‎6x5‎ C．‎ ‎6x6‎ D．‎ ‎6x9‎ 考点：‎ 单项式乘单项式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据同底数的幂的乘法法则进行计算．‎ 解答：‎ 解：∵6x3•x2=6x3+2=6x5，‎ ‎∴故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了同底数幂的运算法则，要知道，底数不变，指数相加．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征．‎ 分析：‎ 把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．‎ 解答：‎ 解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），‎ ‎∴2=k，‎ 解得，k=2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•湖州）如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎60°‎ C．‎ ‎120°‎ D．‎ ‎150°‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 分析：‎ 根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据邻补角的定义解答．‎ 解答：‎ 解：∵a∥b，∠1=60°，‎ ‎∴∠3=∠1=60°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣60°=120°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•湖州）在开展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）：6，5，3，5，6，10，5，5，这组数据的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3元 B．‎ ‎5元 C．‎ ‎6元 D．‎ ‎10元 考点：‎ 中位数．‎ 分析：‎ 根据中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：将数据从小到大排列为：3，5，5，5，5，6，6，10，‎ 中位数为：5．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•湖州）在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 正三角形 B．‎ 等腰梯形 C．‎ 矩形 D．‎ 平行四边形 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．‎ 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解．‎ 解答：‎ 解：正三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•湖州）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4π B．‎ ‎3π C．‎ ‎2π D．‎ ‎2π 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S侧=•2πr•l=πrl，代入数进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵底面半径为1，高为2，‎ ‎∴母线长==3．‎ 底面圆的周长为：2π×1=2π．‎ ‎∴圆锥的侧面积为：S侧=•2πr•l=πrl=×2π×3=3π．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S侧=•2πr•l=πrl．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•湖州）一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式．‎ 分析：‎ 让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．‎ 解答：‎ 解：因为一共有6个球，红球有2个，‎ 所以从布袋里任意摸出1个球，摸到红球的概率为： =．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，‎ ‎∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，‎ ‎∵矩形ABCD的对边AB∥CD，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴∠EAC=∠DAC，‎ 设AE与CD相交于F，则AF=CF，‎ ‎∴AE﹣AF=CD﹣CF，‎ 即DF=EF，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠AFC=∠EFD，‎ ‎∴△ACF∽△EDF，‎ ‎∴==，‎ 设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，‎ 在Rt△ADF中，AD===4x，‎ 又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，‎ ‎∴==．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎16‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎14‎ D．‎ ‎13‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ 根据在OB上的两个交点之间的距离为3可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，‎ 然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，‎ 可平移6次，‎ 所以，一共有7条抛物线，‎ 同理可得开口向上的抛物线也有7条，‎ 所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2005•宁德）计算：=　1　．‎ 考点：‎ 分式的加减法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．‎ 解答：‎ 解：=．故答案为1．‎ 点评：‎ 此题比较容易，是简单的分式加法运算．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′=　15.5　度．‎ 考点：‎ 度分秒的换算．‎ 分析：‎ 根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：∵30′=0.5度，‎ ‎∴15°30′=15.5度；‎ 故答案为：15.5．‎ 点评：‎ 此题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•湖州）如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为　　．‎ 考点：‎ 锐角三角函数的定义；勾股定理．‎ 分析：‎ 首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用余弦函数的定义即可求解．‎ 解答：‎ 解：BC===5，‎ 则cosB==．‎ 点评：‎ 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•湖州）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如表，则这20户家庭这个月的平均用水量是　5.8　吨．‎ 用水量（吨）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 户数 ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎5‎ 考点：‎ 加权平均数．‎ 分析：‎ 根据加权平均数的计算方法先求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：‎ 这20户家庭这个月的平均用水量是（4×3+5×8+6×4+8×5）÷20=5.8（吨）；‎ 故答案为：5.8．‎ 点评：‎ 此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是求出所有数的和．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是　85　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．‎ 解答：‎ 解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，‎ 第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，‎ 第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，‎ ‎…‎ 第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，‎ 第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；‎ 故答案为：85．‎ 点评：‎ 此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；‎ ‎（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．‎ 解答：‎ 解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．‎ 如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．‎ ‎∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn，‎ 又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°，‎ ‎∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，‎ ‎∴B0Bn=ON•tan30°=×=．‎ 现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．‎ 如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．‎ ‎∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，‎ 又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，‎ ‎∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．‎ 又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，‎ ‎∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，‎ ‎∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．‎ 综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8小题，共66分）‎ ‎17．（6分）（2013•湖州）因式分解：mx2﹣my2．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：mx2﹣my2，‎ ‎=m（x2﹣y2），‎ ‎=m（x+y）（x﹣y）．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2013•湖州）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：‎ 解：，由①得，x＞；由②得，x＜5，‎ 故此不等式组的解集为：＜x＜5．‎ 点评：‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•湖州）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求抛物线的顶点坐标．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，‎ ‎（2）根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．‎ ‎∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），‎ 即y=﹣x2+2x+3，‎ ‎（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．‎ 点评：‎ 此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求证：PB是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；‎ ‎（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．‎ 解答：‎ ‎（1）解：连接OB，‎ ‎∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，‎ ‎∴弧BC与弧AC的度数为：60°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴BC=OC=2；‎ ‎（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，‎ ‎∴BC=CP，‎ ‎∴∠CBP=∠CPB，‎ ‎∵△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=60°，‎ ‎∴∠CBP=30°，‎ ‎∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，‎ ‎∴OB⊥BP，‎ ‎∵点B在⊙O上，‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•湖州）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．‎ 学生投票结果统计表 候选教师 王老师 赵老师 李老师 陈老师 得票数 ‎200‎ ‎300‎ ‎（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）‎ ‎（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？‎ ‎（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用；条形统计图．‎ 分析：‎ ‎（1）根据共有25位教师代表参加投票，结合条形图得出李老师得到的教师票数即可；‎ ‎（2）根据“王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，”分别得出方程组求出即可；‎ ‎（3）求出每位老师的得票总数，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）李老师得到的教师票数是：25﹣（7+6+8）=4，‎ 如图所示：‎ ‎（2）设王老师与李老师得到的学生票数分别是x和y，‎ 由题意得出：，‎ 解得：，‎ 答：王老师与李老师得到的学生票数分别是380和120；‎ ‎（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，‎ 李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，‎ 推选到市里的是王老师和陈老师．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．‎ ‎（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是　140　元，小张应得的工资总额是　2800　元，此时，小李种植水果　10　亩，小李应得的报酬是　1500　元；‎ ‎（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；‎ ‎（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据图象数据解答即可；‎ ‎（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；‎ ‎（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，‎ 小张应得的工资总额是：140×20=2800元，‎ 此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，‎ 小李应得的报酬是1500元；‎ 故答案为：140；2800；10；1500；‎ ‎（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），‎ ‎∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，z=120n+300（10＜n≤30）；‎ ‎（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，‎ ‎∵函数图象经过点（10，160），（30，120），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣2m+180，‎ ‎∵m+n=30，‎ ‎∴n=30﹣m，‎ ‎∴①当10＜m≤20时，10＜m≤20，‎ w=m（﹣2m+180）+120n+300，‎ ‎=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，‎ ‎=﹣2m2+60m+3900，‎ ‎②当20＜m≤30时，0＜n≤10，‎ w=m（﹣2m+180）+150n，‎ ‎=m（﹣2m+180）+150（30﹣m），‎ ‎=﹣2m2+30m+4500，‎ 所以，w与m之间的函数关系式为w=．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m、n的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：‎ 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．‎ ‎（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：‎ 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．‎ ‎（2）特殊位置，证明结论 若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．‎ ‎（3）知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；‎ ‎（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；‎ ‎（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵PB=PD，‎ ‎∴∠2=∠PBD，‎ ‎∵AB=BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠C=45°，‎ ‎∵BO⊥AC，‎ ‎∴∠1=45°，‎ ‎∴∠1=∠C=45°，‎ ‎∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵BO⊥AC，DE⊥AC，‎ ‎∴∠BOP=∠PED=90°，‎ 在△BPO和△PDE中 ‎∴△BPO≌△PDE（AAS）；‎ ‎（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，‎ ‎∵BP平分∠ABO，‎ ‎∴∠ABP=∠3，‎ ‎∴∠ABP=∠4，‎ 在△ABP和△CPD中 ‎∴△ABP≌△CPD（AAS），‎ ‎∴AP=CD．‎ ‎（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．‎ 理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，‎ 则AP=2x+x=3x，‎ 由（2）知BO=PE，‎ PE=2x，CE=2x﹣x=x，‎ ‎∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，‎ ‎∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，‎ 即AP=3x，CD=x，‎ ‎∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．‎ ‎（1）若OA=10，求反比例函数解析式；‎ ‎（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；‎ ‎（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；‎ ‎（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，‎ 根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；‎ ‎（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．‎ 解答：‎ 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，‎ ‎∵sin∠AOB=，OA=10，‎ ‎∴AH=8，OH=6，‎ ‎∴A点坐标为（6，8），根据题意得：‎ ‎8=，可得：k=48，‎ ‎∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；‎ ‎（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，‎ ‎∵sin∠AOB=，‎ ‎∴AH=a，OH=a，‎ ‎∴S△AOH=•aa=a2，‎ ‎∵S△AOF=12，‎ ‎∴S平行四边形AOBC=24，‎ ‎∵F为BC的中点，‎ ‎∴S△OBF=6，‎ ‎∵BF=a，∠FBM=∠AOB，‎ ‎∴FM=a，BM=a，‎ ‎∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，‎ ‎∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，‎ ‎∵点A，F都在y=的图象上，‎ ‎∴S△AOH=k，‎ ‎∴a2=6+a2，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴OA=，‎ ‎∴AH=，OH=2，‎ ‎∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，‎ ‎∴OB=AC=3，‎ ‎∴C（5， ）；‎ ‎（3）存在三种情况：‎ 当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（， ），P2（﹣， ），‎ 当∠PAO=90°时，P3（， ），‎ 当∠POA=90°时，P4（﹣， ）．‎ 点评：‎ 此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．‎ ‎　‎