中考数学函数复习专题 31页

x y Ox y Ox y OO y x 第一讲：一次函数与反比例函数 1.一次函数与正比例函数的定义： 一次函数：一般地，y=kx+b 若（其中 k,b 为常数且 k≠0），那么 y 是 x 的一次函数 正比例函数：当 b=0, k≠0 时，y=kx,此时称 y 是 x 的正比例函数 2. 一次函数与正比例函数的区别与联系： 从解析式看：y=kx+b(k≠0，b≠0)是一次函数而 y=kx(k≠0，b≠0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数 的特例，一次函数是正比例函数的推广 从图象看：y=kx(k≠0)是过点（0，0）的一条直线，而 y=kx+b(k≠0)是过点（0，b）且与 y=kx 平行的一条直 线。 例 1：如图，已知直线 y=-x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，另一直线 y=kx+b(k≠0)经过点 C（1，0），且 把△AOB 分成两部分。 （1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求 k 和 b 的值 3、反比例函数的图象 y = 是由两支曲线组成的。 (1)　当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限， (2)　当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限. 例 2.（1）已知函数 的图象分布在第二、四象限内，则 的取值范围是_________ （2）若 ab＜0,则函数 与 在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 （ ） （A） （B） （C） （D） （2011•成都）如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线 y=﹣x+b 经过该反比例函数 图象上的点 Q（4，m）． （1）求上述反比例函数和直线的函数表达式； （2）设该直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P，连接 0P、OQ，求△OPQ 的面积． k x 1ky x += k axy = x by = O B A C 2 4y x = 1 2y x = 解：（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，得 k= •8=4， ∴反比例函数的解析式为 y= ； 又∵点 Q（4，m）在该反比例函数图象上，∴4•m=4， 解得 m=1，即 Q 点的坐标为（4，1）， 而直线 y=﹣x+b 经过点 Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得 b=5， ∴直线的函数表达式为 y=﹣x+5； （2）联立 ，解得 或 ，∴P 点坐标为（1，4），对于 y=﹣x+5，令 y=0，得 x=5， ∴A 点坐标为（5，0），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ= ×5×5﹣ ×5×1﹣ ×5×1= ． 练习： 一、选择题 1、下列各点中，在函数 图像上的是 （ ） A ．（－2，－4）； B．（2，3）； C．（－6，1）； D．（－ ，3）． 2、如图，A,B 是双曲线 上的点，A,B 两点的横坐标分别是 a,2a,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C， 若 ，则 k=___________. 3、如图，过 x 轴正半轴任意一点 P 作 x 轴的垂线， 分别与反比例函数 y1= 和 y2= 的图像交于点 A 和点 B.若点 C 是 y 轴上任意一点，连结 AC、BC， 则△ABC 的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4、已知双曲线 ， 的部分图象如图所示， 是 轴正半轴上一点，过点 作 ∥ 轴， x 6y −= )0k(x ky >= 6S AOC =△ 2 x 4 x 2y x = ky x = 2 1 P y P AB x P AB x y O O x y ┐ 分别交两个图象于点 ．若 ，则 ． 5、如图，点 A 在双曲线 上，且 OA＝4，过 A 作 AC⊥ 轴， 垂足为 C， OA 的垂直平分线交 OC 于 B，则△ABC 周长为( ) A. B.5 C. D. 6、平面直角坐标系中，已知点 O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点 P 是反比例函数 图 象上的一个动点， 过点 P 作 PQ⊥x 轴，垂足为点 Q．若以点 O、P、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似， 则相应的点 P 共有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7、已知反比例函数的图象过点 M（－1，2），则此反比例函数的表达式为( ) A．y= B．y=－ C．y= D．y=－ 8、经过点 的双曲线的表达式是( )． A． ； B． ； C． ； D． 9、如图，已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为（ ，4）， 则△AOC 的面积为( ) A．12 B．9 C．6 D．4 10、如图，矩形 ABOC 的面积为 3，反比例函数 的图象过点 A， 则 k=（ ） A． B． C． D． 11、已知反比例函数 的图象如图，则一元二次方程 根的情况是（ ） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实根 D．无法确定。 12、下列函数中，y 随 x 增大而减小的是（　　） A.y=— B.y= C.y=－ D. y= －x－1 13、如图，已知梯形 ABCO 的底边 AO 在 轴上，BC∥AO，AB⊥AO， 过点 C 的双曲线 交 OB 于 D，且 OD ：DB=1 ：2， 若△OBC 的面积等于 3， 1y x = − ( 0)ky kx = < 6− 2x x2 1 x 4 ,A B 2PB PA= =k 6y x = x 4 7 2 7 22 x 2 x 2 x2 1 x2 1 ( )2,4 y 2x= 1 2 =y x 8y x = 2y x= x ky = 3 5.1− 3− 6− 2ky x −= 2 2(2 1) 1 0x k x k− − + − = x ky x = O A BC D x y 则 k 的值( ) A．等于 2 B．等于 C．等于 D．无法确定 14、反比例函数 与一次函数 y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） 15、若反比例函数 y= 的图象经过点（-2，1），则此函数的图象一定经过点( ) A．(-2,-1） B. (2,-1） C. （ ，2） D. ( ,2) 16、如图所示，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次 是 和 ，设点 在 上， ⊥ 轴于点 ，交 于点 ， ⊥ 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面积为( )　 A． B． C． D. 17、若点 都在反比例函数 的图象上，则（ ） A． B． C． D． 18、下列函数中，y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． ； B． ； C． ； D． ． 19、若反比例函数 的图象经过点（-1,2)，则这个函数的图象一定经过点（ ） 　　 A、(2,-1)　　 　B、( ,2)　　 　C、(-2,-1)　　 　D、( ,2) 20、若反比例函数 的图象位于第二、四象限内，则 m 的取值范围是（　 ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1 21、已知反比例函数的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 22、反比例函数 y= ，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，那么 m 的取值范围是( ) (A)m<3 (B) m>3 (C)m<-3 (D) m>-3 二、填空题 1 3y x= 1 3y x= − 3y x = 3y x = − 3 4 24 5 x my = k x 1 2 − 1 2 x ky 1= x ky 2= 1C 2C P 1C PC x C 2C A PD y D 2C B PAOB 21 kk + 21 kk − 21 kk ⋅ 221 kkk −⋅ 1 2 3( 1, ) 2 3y− 、（ ，y ）、（ ，y ） 5y x = 1 2 3y y y< < 2 1 3y y y< < 1 2 3y y y> > 1 3 2y y y< < ky x = 1 2 − 1 2 x my 1−= x m 3+ A O y x B O y x D O y x C O y x 1 x y S1 S2 S3 P1 P2 P3 O 2 3 4 AB P x y O 1、点 ，点 是双曲线 上的两点，若 ，则 （ 填 “ = ”、“ ＞ ”、 “＜”）． 2、如果点 A、B 在一个反比例函数的图像上，点 A 的坐标为（1，2），点 B 横坐标为 2，那么 A、B 两点之间的 距离为 ． 3、已知反比例函数的图像经过点（m，3）和（-3,2），则 m 的值为 ． 4、若反比例函数的图象经过点（-2,-1），则这个函数的图象位于第___________象限． 5、设函数 与 的图象的交点坐标为（ ， ），则 的值为__ ___． 6、如果 ， ，那么 　　 　　． 7、某中学要在校园内划出一块面积是 100m2 的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为 xm 和 ym， 那么 y 关于 x 的函数解析式是_________________． 8、反比例函数 y＝ k x 的图象与正比例函数 y＝3x 的图象交于 Ｏ点 P(m，6)，则反比例函数的关系式 是 ． 9、如图，已知点 A 在双曲线 上，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，OC= ， 线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，则△ABC 的周长为　 　． 10、若反比例函数 y＝(k－1) 的图象经过第二、四象限，则 k＝ ． 11、一个函数具有下列性质： ①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增 大而增大．则这个函数的解析式可以为 ． 12、如图，在反比例函数 （ ）的图象上， 有点 ，···， ,它们的横坐标依次为 1，2，3，4，···， ．分别过这些点作 轴与 轴 的垂线，图中所构成的阴影部分的面积分别为 ，···， ，则 的值为 . 13、如图，A 是反比例函数 y= 图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴上，△ABP 的面 积为 2，则 K 的值为_____________. 14、如图，△AOB 为等边三角形，点 B 的坐标为（-2,0）， 过点 C（2,0）作直线 l 交 AO 于 D，交 AB 于 E，点 E 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 0x x< < ( ) kf x x = ( )2 3f = − k = 2y x = − 1y 2y 2y x = 1y x= − a b 1 1 a b − xy 6= 3 2k -5x xy 6= 0x > 1 2 3 4P P P P， ， ， nP n x y 1 2 3S S S， ， nS 10321 SSSS ++++  x k 在某反比例函数图象上，当△ADE 和△DCO 的 面积相等时，那么该反比例函数解析式为　　　　　　　 . 三、解答题 1、已知双曲线 和直线 AB 的图象交于点 A(-3,4),AC⊥x 轴于点 C. (1)求双曲线 的解析式; (2)当直线 AB 绕着点 A 转动时,与 x 轴的交点为 B(a,0),并与双曲线 另一支还有一个交点的情形下,求 △ABC 的面积 S 与 a 之间的函数关系式.,并指出 a 的取值范围. 2、已知反比例函数 的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直 线 经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点C（n,一2）． ⑴求直线 的解析式； ⑵设直线 与 x 轴交于点 M，求 AM 的长． 3、如图，在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B（a，b）在第一象限，四 边形 OABC 是矩形，若反比例函数 （k＞0，x>0）的图象与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，且 BE=CE. （1）求证：BD=AD； （2）若四边形 ODBE 的面积是 9，求 k 的值. ky x = ky x = ky x = x ky = baxy += x ky = baxy += baxy += x ky = 4、如图，将—矩形 OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点 A 在 x 轴正半轴上．点 E 是边 AB 上的—个动 点(不与点 A、B 重合)，过点 E 的反比例函数 的图象与边 BC 交于点 F. （1）若△OAE、△OCF 的而积分别为 ．且 ，求 k 的值. （2）若 OA=2，0C=4，问当点 E 运动到什么位置时，四边形 OAEF 的面积最大，其最大值为多少? 5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=-2x 的图像与反比例函数 的图像的一个交点为 A（-1，n）. (1) 求反比例函数 的解析式； (2) 若 P 是坐标轴上的一点，且满足 PA=0A，直接写出 P 的坐标. 6、如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，且点 的横坐标为 1，过点 作 轴的垂线， 为垂足，若 ，求一次函数和反比例函数的解析式. ( 0)ky xx = > 1 2S S、 1 2 =2S S+ ky x = ky x = y x b= + ky x = B B B y C 3 2BCOS∆ = y x A O B A B(1,n) 1 －1 －2 n y O x 7、已如图，反比例函数 y＝k x 的图象与一次函数 y＝mx＋b 的图象交于两点 A（1,3） ,B（n,－1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当 x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3) 连接 AO、BO，求△ABO 的面积； 8、如图,已知 A(4,a) ，B（－2 ,－4）是一次函数 y＝kx＋b 的图象和反比例函数 的图象的交点. (1)求反比例函数的解析式；(2) 求一次函数的解析式。 9、如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点。 (1)利用图中条件求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围． 10、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 （ ）的图象与一次函数 的图象的一个 交点为 ． （1）求一次函数的解析式； x my = bkxy += x my = x 4y x = 0x > y x b= − + (4 , )A m （2）设一次函数 的图象与 y 轴交于点 B，P 为一次函数 的图象上一点，若 的 面积为 5，求点 P 的坐标． 11、已知 A(n，-2)，B(1，4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点，直线 AB 与 y 轴 交于点 C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式 kx+b- <0 的解集(直接写出答案)． 12、如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲线为 ．在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变 换后的像是 O´B´． （1）当点 O´与点 A 重合时，求点 P 的坐标. （2）设 P（t，0），当 O´B´与双曲线有交点时，t 的取值范围是多少？ 14、如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点A（4，m）和B（－8,－２），与y 轴交于点C，求： （1） ， ； （2）根据函数图像可知，当 ＞ 时，x 的取值范围是 ； ky x = y x b= − + y x b= − + OBP△ x m x m 2xky 11 += x ky 2 2 = =1k =2k 1y 2y y xD C B A O P y x 6 6− O A B A B C P Q O x y （3）过点 A 作 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限图像上的一点，设直线 OP 与线段 AD 交 于点 E，当 时，求点 P 的坐标。 15、如图,反比例函数 的图像经过点 ，过点 作 轴于点B，△AOB的面积为 ． （1）求 和 的值； （2）若一次函数 的图象经过点 ，求这个一次函数的解析式． 16、如图所示，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 A，B 两点，且与坐标轴的交点 为 ， ，点 B 的横坐标为-4． （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积； （3）直接写出不等式 的解． 17、如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 是直线 与双曲线 在第一象限内的交 点， 轴，垂足为点 ， 的面积为 4． （1）求点 的坐标； （2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点 的坐标． bxky 1 += )0x(x ky 2 <= )0,6(− )6,0( x kbxk 2 1 >+ 1 12y x= + x y A C， P AC ky x = PB x⊥ B APB△ P Q xAD ⊥ 1:3：SS ΔODE四边边形ODA = ky x = ( )4,A b A AB x⊥ 2 k b 3y ax= − A 20.(2006)如图，已知反比例函数 y＝ （k＜0)的图象经过点 A（- ，m），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，且△AOB 的面积为 . （1）求 k 和 m 的值； （2）若一次函数 y＝ax+1 的图象经过点 A，并且与 x 轴相交于点 C，求∠ACO 的度数和│AO│∶│AC│ (2008) 如图，已知反比例函数 y = 的图象经过点 A（1，- 3），一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A 与点 C （0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点 B. （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求点 B 的坐标. (2011 绵阳)右图中曲线是反比例函数 的图象的一支． （1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数 n 的取值范围是什么？ （2）若一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，△AOB 的面积为 2， 求 n 的值． x k 3 3 x m x ny 7+= 3 4 3 2 +−= xy A BO x y 第二讲：二次函数 一、y=ax2，y＝ax2+c 二次函数 y=ax2 的图象的一些性质： ①、图象——“抛物线”是轴对称图形； ②、与 x、y 轴交点——（ 0，0）即原点；（与 x、y 轴交点——（ 0，c）） ③、a 的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上： 当 x﹤0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大） 当 x﹥0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小） a﹤0，开口向下： 当 x﹤0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小） 当 x﹥0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大） 二、y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k 1、画 y=a（x－h）2+k（a≠0）的图像，列表时：在对称轴 x=h 两侧对称取点. 2、y=a（x－h）2＋k（a≠0）具有以下性质： 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 y= a (x－h)2+k (a>0) x=h (h，k) 向上 y= a ( x－h)2+k (a<0) x=h (h，k) 向下 三、 y＝ax2+bx+c(a、b、c 是常数 ，a≠0) y＝ax2+bx+c 化为 y＝a (x+ )2+ ， 对照 y=a(x-h)2+k 的形式得对称轴为 x=- ,顶点坐标为（- ， ） 关于二次函数变换： 1、比较函数 y＝3x 2 与 y＝3(x-1)2 的图象的性质． 2、在同一直角坐标系中比较函数 y＝3(x-1)2 和 y＝3(x-1)2+2 的图象性质 总结： 一般地，平移二次函数 y=ax2 的图象便可得到二次函数为 y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k 的图象． (1)将 y＝ax2 的 图象上下移动便可得到函数 y=ax2+c 的图象，当 c>0 时，向上移动，当 c<0 时，向下移动． (2)将函数 y＝ax2 的图象左右移动便可得到函数 y=a(x-h)2 的图象，当 h>0 时，向右移动，当 h<0 时，向左移 动． (3)将函数 y＝ax2 的图象既上下移，又左右移，便可得到函数 y＝a(x-h)+k 的图象． 因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与 a，h，k 的值有关． 基础练习： 一、选择题 1、已知 + =y,其中 与 成反比例,且比例系数为 ,而 与 成正比例,且比例系数为 ,若 x=-1 时,y=0,则 , 的关系是( ) A. =0 B. =1 C. =0 D. =-1 a b 2 a bac 4 4 2− a b 2 a b 2 a bac 4 4 2− 1y 2y 1y 1 x 1k 2y 2x 2k 1k 2k 1 2k k+ 1 2k k 1 2k k− 1 2k k 2、已知二次函数 ， 为常数，当 y 达到最小值时，x 的值为（ ）（A） （A） ; （B） ; （C） ; （D） 3、若二次函数 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0）， 则 S=a+b+c 的变化范围是 ( ) （A）01; (C) 10,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<0 二、填空题： 5、已知方程组 的解也是二元一次方程 x-y=1 的一个解，则 a=_________。 6、已知直线 与 轴， 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 。 7、若 m＜－1，则下列函数：① ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随 x 增大而增大 的是___________。 8、已知二次函数 (a≥1）的图像上两点 A、B 的横坐标分别是－1、2，点 O 是坐标原点，如果△AOB 是 直角三角形，则△OAB 的周长为　 　。 三、解答题： 9、已知不等式 的最小整数解是方程 的解，求 a 的值。 10、已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1、x2，一元二次方程 x2＋b2x＋20＝ 0 的两实根为 x3、x4，且 x2－x3＝x1－x4＝3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。 答案： 一、C B A B 二、 5、- 6、18 7、（1）（2） 8、 10、y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4) 巩固提高： 1、(陕西中考)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2) 2 5 2 3 x ay x y + =  − = 5 2 222 )(22 baxbaxy +++−= ba, ba + 2 ba + ab2− 2 ba − 2 +y ax bx c= + 2y ax= 6+= xy x y ( )0xx my = 2y ax= 5( 2) 8 6( 1) 7x x− + < − + 2 4x ax− = 5224 + 2、（安徽中考）已知函数 的图象如图，则 的图象可能是（ ） 3、(黄冈中考)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工 作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速 度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A．12 分钟 B．15 分钟 C．25 分钟 D．27 分钟 4、（广东深圳）如图，反比例函数 的图象与直线 的交点为 A，B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则 的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5、（广西河池）如图 5，A、B 是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ 轴，AC∥ 轴，△ABC 的 面积记为 ，则（ ） A． B． C． D． 6、函数 在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 7、已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 2 所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a ＜0；④ abc＞0 .其中所有正确结论的序号是（　　） A. ③④ B. ②③ 　C. ①④ 　　D. ①②③ 2y x = x y S 2S = 4S = 2 4S< < 4S > 2 +y ax b y ax bx c= + = +与 y kx b= + 2y kx b= + 4y x = − 1 3y x= − ABC△ A O BC x y 第 4 题图 O B x y C A 图 5 图 图 x-1 1 y O 图 2 8、二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（　　） A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 解答： 解：∵抛物线和 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，∴①正确； ∵对称轴是直线 x﹣1，和 x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和 x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，∴②错误； ∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1，∴y=a﹣b+c 的值最大， 即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm+b＜a，即 m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有 3 个， 9、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下 列结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2． 其中，正确结论的个数是（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解答： 解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确； ②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴 x=﹣ ＞0， ∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确； ③∵一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根， ∴y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选 D． 10、当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y=﹣（x﹣m）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（　　） 　A． B． 或 C． 2 或 D． 2 或﹣ 或 解答：解：二次函数的对称轴为直线 x=m， ①m＜﹣2 时，x=﹣2 时二次函数有最大值， 11、抛物线 y=ax2+bx+c 的 顶点为 D（﹣1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（　C　） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 12、（钦州中考）一次函数的图象过点（0，2），且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大，请写出一个符合条件 的函数解析式：_ _． 13、（绍兴中考）如图，已知函数 和 的图象交点为 ， 则不等式 的解集为 ． 14、（湖北黄石）如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……Pn（xn，yn）在函数 y= （x＞0）的图象上，△ OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An……都是等腰直角三角形，斜边 OA1，A1A2……An-1An，都在 x 轴上， 则 y1+y2+…yn= 。 15．（天津市）已知图中的曲线是反比例函数 （ 为常数）图象的一支． （Ⅰ） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 的取值范围是什么？ （Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数 的图象在第一象内限的交点为 ，过 点作 轴的垂线，垂足为 ，当 的面积为 4 时，求点 的坐标及反比例函数的解析式． 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4， 解得 m=﹣，与 m＜﹣2 矛盾，故 m 值不存在； ②当﹣2≤m≤1 时，x=m 时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=4，解得 m=﹣ ，m= （舍去）； ③当 m＞1 时，x=1 时，二次函数有最大值， 此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得 m=2， 综上所述，m 的值为 2 或﹣ ．故选 C． y x b= + 3y ax= + P 3x b ax+ > + O x y 1 P y=x+b y=ax+3 x 9 5my x −= m m 2y x= A A x B OAB△ A x y O 第 14 题 图 16、（浙江嘉兴）如图，曲线 C 是函数 在第一象限内的图象，抛物线是函数 的图象．点 （ ）在曲线 C 上，且 都是整数． （1）求出所有的点 ； （2）在 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数； （3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率． 17.某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg； 销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式； (3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？ 31, 解：(1) 按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg。现在单价 定为每千克 55 元，即涨了 5 元，所以月销售量减少 50kg，所以月销售量为 500-50=450kg，月销售利润为 （55-40）×450=6750 元。 (2) 设销售单价为每千克 x 元，则上涨了 x-50 元，月销售量减少（x-50）×10kg，即月销售量为 500-10 （x-50），所以利润为 y=[500-10（x-50）] ×（x-40）， 即 (3)月销售利润达到 8000 元，即 ，解得 x=60 或 x=80 当 x=60 时，销售量为 500-10（60-50）=400， 当 x=80 时，销售量为 500-10（80-50）=200 而月销售量不超过 10000 元，即销售量不超过 ，而 400>250，所以 x=60 应舍去，所以销售单价应 定于 80 元。 18、（重庆市江津区）抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？若存 在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标 xy 6= 422 +−−= xxy ),( yxPn nP 210( 140 4000)y x x= − + − 28000 10( 140 4000)x x= − + − 10000 25040 = cbxxy ++−= 2 1 2n = ，， x y， ( )nP x y， （第 12 题） 6 4 2 2 4 6 y xO 及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 19、（湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（ ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为 C，且 AC⊥BC． （1）若 m 为常数，求抛物线的解析式； （2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值； 若不存在，请说明理由． 20.已知经过原点的抛物线 y=-2x2+4x（如图所示）与 x 的另一交点为 A 现将它向右平移 m（m＞0）位，所得抛 物线与 x 轴交于 C、D 点，与原抛物线交于点 P （1）求点 P 的坐标（可用含 m 式子表示） （2）设△PCD 的面积为 s，求 s 关于 m 关系式． （3）过点 P 作 x 轴的平行线交原抛物线于点 E，交平移后的抛物线于点 F．请问是否存在 m，使以点 E、O、A、 F 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案； （2）求出抛物线与 x 轴的交点坐标，根据当 0＜m＜2，当 m=2，即点 P 在 x 轴时，当 m＞2 即点 P 在第四象限时， 分别得出即可； （3）根据 E、O、A、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 EF=OA=2 由轴对称可知 PE=PF，表示出 E 点的坐标， 再把点 E 代入抛物线解析式得出即可． 解答： 解： 2m − O BA C D x y 第 15 题图 （1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2， 则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2， 由题得 ， 解得 ， ∴点 P 的坐标为（ ， ）； （2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2） ∴抛物线与 x 轴的交点为 O（0，0）A（2，0）， ∴AC=2， ∵C、D 两点是抛物线 y=-2x2+4x 向右平移 m（m＞0）个， 单位所得抛物线与 x 轴的交点∴CD=OA=2， ①当 0＜m＜2，即点 P 在第一象限时，如图 1，作 PH⊥x 轴于 H． ∵P 的坐标为（ ， ）， ∴PH= ， ∴S= CD•2•（- m2+2）=- m2+2， ②当 m=2，即点 P 在 x 轴时，△PCD 不存在， ③当 m＞2 即点 P 在第四象限时，如图 2，作 PH⊥x 轴于 H． ∵P 的坐标为（ ， ）， ∴PH= ， ∴S= CD•HP= ×2× = m2-2； （3）如图 3 若以 E、O、A、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 EF=OA=2 由轴对称可知 PE=PF， ∴PE= ， ∵P（ ， ）， ∴点 E 的坐标为（ ， ）， 把点 E 代入抛物线解析式得： ， 第三讲：二次函数应用 一、动点问题 （一）、因动点产生的面积关系 例 1、在平面直角坐标系中，△BCD 的边长为 3cm 的等边三角形, 动点 P、Q 同时从点 A、O 两点出发，分别沿 AO、OB 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s, 当点 P 到达点 O 时,P、Q 两点停止运动. 设点 P 的运动时间为 t(s), 解答下列问题: (1) 求 OA 所在直线的解析式; (2) 当 t 为何值时, △POQ 是直角三角形; (3) 是否存在某一时刻 t，使四边形 APQB 的面积是△AOB 面积的三分之二? 若存 在, 求出相应的 t 值; 若不存在，请说明理由． 解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm． △ABC 中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm． △PBQ 中，BP＝3－t，BQ＝t， 若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP． 即 t＝ (3－t )， t＝1 (秒)． 当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ． 3－t＝ t， t＝2 (秒)． 答：当 t＝1 秒或 t＝2 秒时，△PBQ 是直角三角形． …………………4′ ⑵ 过 P 作 PM⊥BC 于 M ．Rt△BPM 中，sin∠B＝ ， 1 2 1 2 1 2 1 2 PM PB Q P P A x y BO ∴PM＝PB·sin∠B＝ (3－t )． ∴S△PBQ＝ BQ·PM＝ · t · (3－t )． ∴y＝S△ABC－S△PBQ ＝ ×32× － · t · (3－t ) ＝ ． ∴y 与 t 的关系式为： y＝ ． …………………6′ 假设存在某一时刻 t，使得四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的 ， 则 S 四边形 APQC＝ S△ABC ． ∴ ＝ × ×32× ． ∴t 2－3 t＋3＝0． ∵(－3) 2－4×1×3＜0， ∴方程无解． ∴无论 t 取何值，四边形 APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的 ．……8′ 例 2、 如图，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴 上．动点 D 在线段 BC 上移动(不与 B，C 重合)，连接 OD，过点 D 作 DE⊥OD，交边 AB 于点 E，连接 OE．记 CD 的长为 t． (1) 当 t＝ 时，求直线 DE 的函数表达式； (2) 如果记梯形 COEB 的面积为 S，那么是否存在 S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时 t 的值； 若不存在，请说明理由； 解：(1)易知△CDO∽△BED， 所以 ，即 ，得 BE= ，则点 E 的坐标为 E(1， )．……………………………(2 分) 设直线 DE 的一次函数表达式为 y=kx+b ，直线经过两点 D( ，1) 和E(1 ， ) ， 代 入 y=kx+b 得 ， ，故 所 求 直 线 DE 的 函 数 表 达 式 为 y= ．…………………………(2 分) 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 23 3 3 9 3 4 4 4 t t− + 23 3 3 9 3 4 4 4 t t− + 2 3 2 3 23 3 3 9 3 4 4 4 t t− + 2 3 1 2 3 2 2 3 3 1 BD CO BE CD = 3 11 13 1 − = BE 9 2 9 7 3 1 9 7 3 1−=k 9 10=b 9 10 3 1 +− x M A CQB P 　　　　(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分) (2) 存在 S 的最大值．………………………………………………1 分 求最大值：易知△COD∽△BDE，所以 ，即 ，BE=t－t2，……1 分 ×1×(1＋t－t2) ．………………………1 分 故当 t= 时，S 有最大值 ．……………………………2 分 （二）因动直线产生的面积关系 例 3．如图所示，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，－5）和（－2，4）． （1）求这条抛物线的解析式． （2）设此抛物线与直线 y=x 相交于点 A，B（点 B 在点 A 的右侧），平行于 x轴的直线 x=m（00,－y 表示点 E 到 OA 的距离． ∵OA 是 的对角线， ∴ ． 因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的 取值范围是 1＜ ＜6． ① 根据题意，当 S = 24 时，即 ． 化简，得 解之，得 故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，－4），E2（4，－4）． 点 E1（3，－4）满足 OE = AE，所以 是菱形； 7 2x = x y x x 7 2x = 27( )2y a x k= − + 2 2 7(6 ) 0,2 7(0 ) 4.2 a k a k  − + =  − + = 2 25, .3 6a k= = − 22 7 25( )3 2 6y x= − − 7 25( , ).2 6 − ( , )E x y 22 7 25( )3 2 6y x= − − OEAF 21 72 2 6 4( ) 252 2OAES S OA y y= = × × ⋅ = − = − − +  x x x 274( ) 25 242x− − + = 27 1( ) .2 4x − = 1 23, 4.x x= = OEAF 7 2x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 点 E2（4，－4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形． ② 当 OA⊥EF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E， 使 为正方形． 例 5. 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, 矩形 OABC 的边长 OA、OC 的长分剔为 12cm、6 cm, 点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上, 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B, 且 18a+c=0. (1)求抛物线的解析式； (2)如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向点 B 移动, 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速 度向点 C 移动. ①移动开始后第 t 秒时, 设△PBQ 的面积为 S, 试写出 S 与 t 之间的函数关系式, 并写出 t 的取值范围; ②当 S 取得最小值时, 在抛物线上是否存在点 R, 使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果 存在, 求出 R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 解: (1)据题意知: A(0, －12), B(6, －12) ∵A 点在抛物线上, ∴C=－12 ∵18a+c=0, ∴a= ………(1 分) 由 AB=6 知抛物线的对称轴为: x=3 即: ∴抛物线的解析式为: …(3 分) (2)①由图象知: PB=6－t, BQ=2t ∴S== ……(4 分) 即 (0≤t≤1) ………………(5 分) ②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形. ∵ (0≤t≤1) ∴当 t= 时, S 取得最小值 9. ………………………………………(6 分) 这时 PB=6-3=3, BQ=6, P(3, －12), Q(6, －6) ………(7 分) 分情况讨论: A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, ∵P(3, －12)，PB=3, Q(6, －6) R 的横坐标为 9, R 的纵坐标为－6, 即(9, －6) 代入 , 左右两边不相等 ∴这时 R(9, －6) 不在抛物线上. ……………………………………(8 分) B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则: R 的横坐标为 3, 纵坐标为－6, 即(3, －6) 代入 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. …………(9 分) C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则: R(6, －18)代入 , 左右两边相等, R(6, －18)在抛物线上. 综上所述, 存点一点 R(6, －18)满足题意. …………………………(10 分) 同步练习 OEAF OEAF OEAF 3 2 432 −=⇒=− ba b 1243 2 2 −−= xxy ttttBQPB 62)6(2 1 2 1 2 +−=⋅−=⋅ tts 62 +−= 9)3(6 22 +−−=+−= ttts 3 1243 2 2 −−= xxy 1243 2 2 −−= xxy 1243 2 2 −−= xxy Q P C A x y B O 1、已知抛物线 与 轴相交于 两点（ 点在 点的左边），与 轴的负半轴相交于点 , （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 ，使 ？如果存在，请确定点 的位置，并求出点 的坐标： 如果不存在，请说明理由． 2、如图,抛物线 与 轴交于点 、B 两点，抛物线的对称 轴为直线 x=1, (1)求 的值及抛物线的解析式； (2) 过 A 的直线与抛物线的另一交点 C 的横坐标为 2. 直线 AC 的解析式； (3)点 Q 是抛物线上的一个动点, 在 x 轴上是否存在点 F ,使得以点 A、C、F、 Q 为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 3、如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与 轴 交 于 点 ， 其 顶 点 为 ， 直 线 的 函 数 关 系 式 为 ， 又 ． （1）求二次函数的解析式和直线 的函数关系式； （2）抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 以 BC 为直角边的直角三角形？若存， 求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的对称轴为直线 x=2, 该抛物线与 x 轴交干 A、B 两点（B 在 A 的 右侧）, 与 y 轴交于点 C, 且 B、C 的坐标分别为（3,0）、(0,3). 2 4y x x m= − + x A B， B A y C 6AB = P AOP COP△ ≌△ P P 63)1(2 −−−−= mxmxy x A m 2 2 3y ax ax= − + x A B y C D DC 3y kx= + tan 1OBC∠ = DC y x D C A O B Q C A x y BO B O x y A A C （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点 P，使△PAC 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． (三)、因动点产生的三角形相似问题 例 6．如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，经过 两 点的抛物线 与 轴的另一交点为 ，顶点为 ，且对称轴是直线 ． （1）求 点的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）连结 ．请问在 轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角 形与 相似，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1） 直线 与 轴相交于点 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ．…………………………（1 分） 又 抛物线过 轴上的 两点，且对称轴为 ， 根据抛物线的对称性， 点 的坐标为 ．…………………………（2 分） （2） 过点 ，易知 ， ．-----（3 分） 3y x= − + x y B C B C， 2y ax bx c= + + x A P 2x = A AC x Q P B Q， ， ABC△ Q  3y x= − + x B ∴ 0y = 3x = ∴ B (3 0)，  x A B， 2x = ∴ A (1 0)， 3y x= − + C (0 3)C ， 3c∴ = y xO B C A A A B C P O x y 2x = A B C P O x y 2x = 1Q 2QM 又 抛物线 过点 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4 分） 解，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5 分） ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6 分） （3）连结 ，由 ，得 ， 设抛物线的对称轴交 轴于点 ，在 中， ， ． 由点 易得 ，在等腰直角三角形 中， ， 由勾股定理，得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7 分） 假设在 轴上存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似． ①当 ， 时， ． 即 ， ， 又 ， 点 与点 重合， 的坐标是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9 分） ②当 ， 时， ． 即 ， ． ， 的坐标是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11 分） ． 点 不可能在 点右侧的 轴上（无此判断，亦不扣分）． 综上所述，在 轴上存在两点 ，能使得以点 为顶点的三角形与 相似．（12 分） 同步练习 1、如图，在直角坐标系中， 为原点，抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，与 轴的正半轴交  2y ax bx c= + + (1 0) (3 0)A B，， ， 3 0 9 3 3 0 a b a b + = =∴ + + = ， ． 1 4 a b =  = − ， ． 2 4 3y x x∴ = − + PB 2 24 3 ( 2) 1y x x x= − + = − − (2 1)P −， x M Rt PBM△ 1PM MB= = 45 2PBM PB∴ = =，∠ (3 0) (0 3)B C，， ， 3OB OC= = OBC 45ABC = ∠ 3 2BC = x Q P B Q， ， ABC△ BQ PB BC AB = 45PBQ ABC= = ∠ ∠ PBQ ABC△ ∽△ 2 23 2 BQ = 3BQ∴ = 3BO = ∴ Q O 1Q∴ (0 0)， QB PB AB BC = 45QBP ABC= = ∠ ∠ QBP ABC△ ∽△ 2 2 3 2 QB = 2 3QB∴ = 2 73 3 3 3OB OQ OB QB= ∴ = − = − = ， 2Q∴ 7 03     ， 180 45 135 135PBx BAC PBx BAC= − = < ∴ ≠    ， ，∠ ∠ ∠ ∠ ∴ Q B x x 1 2 7(0 0) 03Q Q     ，， ， P B Q， ， ABC△ O 2 3y x bx= + + x A y 于点 B，tan∠ACO= ． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式 及点 的坐标；若不存在，请说明理由. (五)、其它二次函数的综合问题 例 7、如图，一元二次方程 的二根 （ ）是抛物线 与 轴的两个交 点 的横坐标，且此抛物线过点 ． （1）求此二次函数的解析式． （2）设此抛物线的顶点为 ，对称轴与线段 相交于点 ，求点 和点 的坐标． （3）在 轴上有一动点 ，当 取得最小值时，求 点的坐标． 解：（1）解方程 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 抛物线与 轴的两个交点坐标为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 设抛物线的解析式为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 在抛物线上 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 抛物线解析式为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）由 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 抛物线顶点 的坐标为： ，对称轴方程为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 3 1 : ( 0)l y kx k= ≠ BC D B C， l B O D， ， BAC△ D 2 2 3 0x x+ − = 1 2x x， 1 2x x< 2y ax bx c= + + x B C， (3 6)A ， P AC Q P Q x M MQ MA+ M 2 2 3 0x x+ − = 1 23 1x x= − =， ∴ x ( 3 0) (1 0)C B− ，， ， ( 3)( 1)y a x x= + − (3 6)A∵ ， 6 (3 3) (3 1)a= + −∴ · 1 2a =∴ ∴ 21 3 2 2y x x= + − 2 21 3 1 ( 1) 22 2 2y x x x= + − = + − ∴ P ( 1 2)− −， 1x = − A O B C x y x y A（3，6） Q C O B P 设直线 的方程为： 在该直线上 解得 直线 的方程为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 将 代入 得 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 （3）作 关于 轴的对称点 ，连接 ； 与 轴交于点 即为所求的点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 设直线 方程为 解得 直线 ： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 令 ，则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 同步练习 1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为 D，求△BCD 的面积； （3）在抛物线的对称轴上有一个动点 P，当△0CP 是腰长为 5 的等腰三角形时， 求点 P 的坐标. AC y kx b= + (3 6) ( 3 0)A C −∵ ，， ， 3 6 3 0 k b k b + = − + = ∴ 3 1 b k =  = ∴ AC 3y x= + 1x = − 3y x= + 2y = Q∴ ( 1 2)− ， A x (3 6)A′ −， A Q′ A Q′ x M A Q′ y kx b= + 3 6 2 k b k b + = − − + = ∴ 0 2 b k =  = − ∴ A C′ 2y x= − 0x = 0y = M∴ (0 0)， 2y ax bx c= + + x y A（3，6） Q C O B P (3 6)A −， AO B C x y 2、如图，已知抛物线 与 x 轴的一个交点 A（3，0）. (1)分别求出这条抛物线与 x 轴的另一个交点 B 及与 y 轴的交点 C 的坐标； 　（2）设抛物线的顶点为 D，求直线 CD 的解析式； 　 (3)求 tan∠DAC 的值. 32 ++−= mxxy x1 2 3 4-1-2 -1 -2 -3 1 2 3 y O A C D B