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- 2021-05-13 发布
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江苏省盐城市建湖县2016年中考数学一模试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1.﹣4的相反数( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=2a6 B.(﹣2a3)2=4a8 C.a2•a3=a6 D.a6÷a3=a2
3.如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.下列事件中,属于随机事件的是( )
A.测量某天的最高气温是100℃
B.度量四边形的内角和,结果是360°
C.掷一枚骰子,向上一面的数字是2
D.袋中装有5只黑球,从中摸出一个是黑球
5.将抛物线y=2x2+4x﹣5的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线解析式是( )
A.y=2(x+1)2﹣7 B.y=2(x+1)2﹣6 C.y=2(x+3)2﹣6 D.y=2(x﹣1)2﹣6
6.如果经过原点的两条不同直线与双曲线y=有四个不同交点A、B、C、D,则点A、B、C、D构成的图形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.下列说法正确的是( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.正n边形既是轴对称图形,也是中心对称图形
C.顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D.圆周角的度数等于圆心角度数的一半
8.如图,正△ABC的边长是2,分别以点B、C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,当时,S的取值范围是( )
A.﹣1≤S<﹣ B.﹣1≤S<﹣1 C.1≤S< D. ﹣1
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
9.分解因式:a3﹣4a= .
10.计算:﹣×4= .
11.某县奥体健身会所约有会员6000人,若每个会员须交纳年会费1200元,将该会所会员年会费总收入用科学记数法表示约为 元.
12.一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点坐标为 .
13.下列各组的两个图形:
①两个等腰三角形;②两个矩形;③两个等边三角形;④两个正方形;⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形.
其中一定相似的是 (只填序号)
14.某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元,求平均每次降价的百分率为 .
15.已知点P在抛物线y=x2上,以点P为圆心,1为半径的⊙P与x轴相切,则点P的坐标为 .
16.一游泳池长90米,甲、乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳,图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池一边距离随时间的变化而变化的图象,若不计转向时间,则从开始起到6分钟止,他们相遇的次数为 .
17.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,若以点D为圆心,AD为半径的圆与BC相切,则⊙D的半径为 .
18.正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG边长为2,正方形EIMN边长为4,以后的正方形边长按此规律扩大,其中点B、C、E、I…在同一条直线上,连接BF交CG于点K,连接CM交EN于点H,记△BCK的面积为S1,△CEH的面积为S2,…,依此规律,Sn= .
三、解答题:本大共10小题,共96分
19.解答下列各题:
(1)计算:()﹣1﹣(2﹣)0﹣4sin60°
(2)解不等式组:.
20.先化简,再求值:,其中a=.
21.(10分)(2011•郴州)如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000~2010年城乡居民收入统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年?
(2)十一年来,城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快?
(3)如果今年城镇居民人均收入与农民人均年收入分别以10%与8%的增长率增长,今年城镇居民人均收入与农民人均年收入各是多少?(结果保留整数)
22.某市举办“体彩杯”中学生篮球赛,初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D,E,F,G,H五个队,如果从A,B,D,E四个队与C,F,G,H四个队中抽取一个队进行首场比赛.
(1)画出树状图或列表表示所有情况;
(2)求首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是多少?
23.(10分)(2016•建湖县一模)如图,反比例函数y=的图象经过第二象限内的点A,AB⊥x轴于点B,OB=1,AB=4.
(1)求k的值;
(2)若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数y=的图象上另一点C(n,﹣2),求直线y=ax+b的解析式.
24.(10分)(2011•烟台)综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度.如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
25.(10分)(2016•建湖县一模)某市为鼓励居民节约用水,实行新的阶梯水价,即按用水量进行分段收费,阶段水价方案主要分为三档:
第一档每户每月的基准水量为26立方米,在此之内的用水量(含26立方米),按1.98元/立方米计收水费;
第二档用水量的基数为26﹣34立方米(即超过26立方米,但不超过34立方米),这部分水费按2.97元/立方米计收水费;
第三档每月超过34立方米以上部分的水费,按3.96元/立方米的标准计收水费.
图中折线反映的是实行阶梯水价后每月收取水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系.
(1)写出M点的坐标 ;
(2)当x>34时,求y与x之间的函数关系式;
(3)市民刘阿姨家是一个四口之家,由于七月天气较热,刘阿姨家用水较多,七月份的水费为99元,问刘阿姨家七月份用水多少立方米?
26.(10分)(2016•建湖县一模)如图①,在▱ABCD中,AF平分∠BAD,交BC于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)如图②,若BE⊥EC,求证:四边形ABFE是菱形.
27.(12分)(2016•建湖县一模)在矩形ABCD中,点E在BC上,以AE为边作▱AEFG,使点D在AE的对边FG上.
(1)填空:如图1,连接DE,则△ADE的面积= 四边形AEFG的面积;
并直接写出▱AEFG的面积S1与矩形ABCD的面积S2的数量关系;
(2)如图2,EF与CD交于点P,连接PA.
①若∠F=90°,证明:A、E、P、D四点在同一个圆上;并直接说明点D、F、C、E是否在同一个圆上;
(3)如图3,在①的条件下,若AB<BC,AG=AE,且D是FG的中点,EF交CD于点P,试判断以FG为直径的圆与直线PA的位置关系,并说明理由.
28.(12分)(2016•建湖县一模)如图,抛物线经过点B(0,1),顶点A在x轴正半轴上,tan∠BAO=.
(1)求该抛物线所对应的关系式;
(2)若点C在(1)中抛物线上,以BC为直径的⊙M恰好过顶点A,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点B作BC的垂线m,若过点C的直线交直线m于点E,且△CAB∽△CBE,试求点E的坐标.
2016年江苏省盐城市建湖县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1.﹣4的相反数( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
【考点】相反数.
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.
【解答】解:﹣4的相反数4.
故选:A.
【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=2a6 B.(﹣2a3)2=4a8 C.a2•a3=a6 D.a6÷a3=a2
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及单项式除以单项式运算法则、积的乘方运算法则求出答案.
【解答】解;A、a3+a2,无法计算,故此选项错误;
B、(﹣2a3)2=4a8,正确;
C、a2•a3=a5,故此选项错误;
D、a6÷a3=a3,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算法则以及单项式乘以单项式,正确掌握运算法则是解题关键.
3.如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】俯视图是从上面看到的图形.
【解答】解:从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,
故选D.
【点评】本题考查了三视图的知识,关键是找准俯视图所看的方向.
4.下列事件中,属于随机事件的是( )
A.测量某天的最高气温是100℃
B.度量四边形的内角和,结果是360°
C.掷一枚骰子,向上一面的数字是2
D.袋中装有5只黑球,从中摸出一个是黑球
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.
【解答】解:测量某天的最高气温是100℃是不可能事件,A错误;
度量四边形的内角和,结果是360°是必然事件,B错误;
掷一枚骰子,向上一面的数字是2是随机事件,C正确;
袋中装有5只黑球,从中摸出一个是黑球是必然事件,D错误.
故选:C.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
5.将抛物线y=2x2+4x﹣5的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线解析式是( )
A.y=2(x+1)2﹣7 B.y=2(x+1)2﹣6 C.y=2(x+3)2﹣6 D.y=2(x﹣1)2﹣6
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据左移加右移减,可得答案.
【解答】解:y=2x2+4x﹣5的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线解析式是y=2(x+3)2﹣6,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
6.如果经过原点的两条不同直线与双曲线y=有四个不同交点A、B、C、D,则点A、B、C、D构成的图形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】因为,每一条直线与双曲线的交点关于原点成中心对称,则四点构成的四边形的对角线互相平分,用平行四边形的判定定理可断定其形状.
【解答】解:因为A、B、C、D四点均在双曲线y=上,
所以,四点的坐标分别为A(x1,)、B(﹣x1,﹣)、C(x2,)、D(﹣x2,﹣),
其中,点A与点B关于原点对称、点C与点D关于原点对称,即:
OA=OB,OC=OD,
所以四边形ACBD是平行四边形.
故:选A
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标特点.
7.下列说法正确的是( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.正n边形既是轴对称图形,也是中心对称图形
C.顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D.圆周角的度数等于圆心角度数的一半
【考点】圆周角定理;中点四边形;圆心角、弧、弦的关系;轴对称图形;中心对称图形.
【分析】根据圆周角定理,以及圆心角、弧、弦之间的关系即可作出判断.
【解答】解:A、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等,故选项错误;
B、边数是偶数的正n边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,边数是奇数的正多边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项错误;
C、顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,正确;
D、圆周角的度数等于同弧所对的圆心角度数的一半,选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了圆周角定理,注意定理的条件,圆周角的度数等于同弧所对的圆心角度数的一半.
8.如图,正△ABC的边长是2,分别以点B、C为圆心,以r为半径作两条弧,设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S,当时,S的取值范围是( )
A.﹣1≤S<﹣ B.﹣1≤S<﹣1 C.1≤S< D. ﹣1
【考点】扇形面积的计算.
【分析】首先求出S关于r的函数表达式,分析其增减性;然后根据r的取值,求出S的最大值与最小值,从而得到S的取值范围.
【解答】解:如右图所示,过点D作DG⊥BC于点G,易知G为BC的中点,CG=1.
在Rt△CDG中,由勾股定理得:DG==.
设∠DCG=θ,则由题意可得:
S=2(S扇形CDE﹣S△CDG)=2(﹣×1×)=﹣,
∴S=﹣.
当r增大时,∠DCG=θ随之增大,故S随r的增大而增大.
当r=时,DG==1,∵CG=1,故θ=45°,
∴S=﹣=﹣1;
若r=2,则DG==,∵CG=1,故θ=60°,
∴S=﹣=﹣.
∴S的取值范围是:﹣1≤S<﹣.
故答案为:﹣1≤S<﹣.
【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点.解题关键是求出S的函数表达式,并分析其增减性.
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
9.分解因式:a3﹣4a= a(a+2)(a﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=a(a2﹣4)
=a(a+2)(a﹣2).
故答案为:a(a+2)(a﹣2)
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
10.计算:﹣×4= 0 .
【考点】二次根式的混合运算.
【分析】先把二次根式化为最简二次根式,再进行乘法运算,最后算减法即可.
【解答】解:原式=2﹣2
=0,
故答案为0.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,掌握二次根式的化简、乘法运算是解题的关键.
11.某县奥体健身会所约有会员6000人,若每个会员须交纳年会费1200元,将该会所会员年会费总收入用科学记数法表示约为 7.2×106 元.
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.
【解答】解:6000×1200=7200000=7.2×106.
故答案为:7.2×106.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
12.一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点坐标为 (3,0) .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点的纵坐标等于零,所以把y=0代入已知函数解析式即可求得相应的x的值.
【解答】解:令y=0得:2x﹣6=0,解得:x=3.
则函数与x轴的交点坐标是(3,0).
故答案是:(3,0).
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.
13.下列各组的两个图形:
①两个等腰三角形;②两个矩形;③两个等边三角形;④两个正方形;⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形.
其中一定相似的是 ③④ (只填序号)
【考点】相似图形.
【分析】根据相似图形的定义,形状相同的图形是相似图形.具体的说就是对应的角相等,对应边的比相等,对每个命题进行判断.
【解答】解:①两个等腰三角形的对应角不一定相等,故错误;
②两个矩形对应角相等,但对应边的比不一定相等,故错误;
③两个等边三角形一定相似;
④两个正方形一定相似;
⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似,故错误,
故答案为:③④.
【点评】本题考查的是相似图形,根据相似图形的定义进行判断.对多边形主要是判断对应的角和对应的边.
14.某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元,求平均每次降价的百分率为 20% .
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设降价的百分率为x,降价一次后的价格是2500(1﹣x),第二次降价后的价格是2500(1﹣x)2,由“降为每台1600元”作为相等关系可列方程,解方程即可求解.
【解答】解:设降价的百分率为x,由题意得2500(1﹣x)2=1600,
解得x1=0.2,x2=﹣1.8(舍).
所以平均每次降价的百分率为20%.
故答案为20%.
【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“﹣”).
15.已知点P在抛物线y=x2上,以点P为圆心,1为半径的⊙P与x轴相切,则点P的坐标为 (﹣,1)或(,1) .
【考点】切线的性质;二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】设点P的坐标为(x, x2),由1为半径的⊙P与x轴相切可得到x2=1,故此可求得x的值,于是可求得点P的坐标.
【解答】解:设点P的坐标为(x, x2).
∵1为半径的⊙P与x轴相切,
∴x2=1.
解得:x1=﹣,x2=.
∴点P的坐标为(﹣,1)或(,1).
【点评】本题主要考查的是切线的性质,二次函数图象上点的坐标特征,由圆P的半径为1得到点P的纵坐标为1是解题的关键.
16.一游泳池长90米,甲、乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳,图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池一边距离随时间的变化而变化的图象,若不计转向时间,则从开始起到6分钟止,他们相遇的次数为 10 .
【考点】函数的图象.
【分析】分析题意,可知两人第一次相遇时,到游泳池两端的距离和为90米,用时18秒,从第二次开始,两人相遇,所游路程之和为180米,则从第二次开始,两人相遇需用时36秒.
【解答】解:∵90÷(3+2)=18(秒),180÷(3+2)=36(秒),
60×3﹣18=162(秒),
162÷36=4.5≈4(次),
4+1=5(次).
因此在6分钟内,可以相遇10次.
故答案为:10
【点评】此题是变相的相遇问题,只要从整体出发,考虑两人单程所用的时间,再结合全局所用的时间,即可解答.
17.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,若以点D为圆心,AD为半径的圆与BC相切,则⊙D的半径为 .
【考点】切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
【分析】先画图,过点D作DE⊥BC,则△BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质,可求得⊙D的半径.
【解答】解:过点D作DE⊥BC,
∵∠C=90°,
∴DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴=,
设⊙D的半径为r,
∵AC=6,BC=8,∴AB=10,
即,
解得r=,
故答案为.
【点评】本题考查了勾股定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质,是基础知识要熟练掌握.
18.正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG边长为2,正方形EIMN边长为4,以后的正方形边长按此规律扩大,其中点B、C、E、I…在同一条直线上,连接BF交CG于点K,连接CM交EN于点H,记△BCK的面积为S1,△CEH的面积为S2,…,依此规律,Sn= .
【考点】正方形的性质.
【分析】首先证明△BCK∽△CEH,得=()2,求出S1、S2、S3、…探究规律后即可解决问题.
【解答】解:如图,∵CK∥EF,
∴=,
∴=,
∴CK=,
同理可得:EH=,
∴=,
∵∠BCK=∠CEH=90°,
∴△BCK∽△CEH,
∴=()2,
∵S1=•1•=,
∴S2=•4,
S3=•(4)2,
…
Sn=•(4)n﹣1=.
故答案为.
【点评】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用相似三角形的性质,记住相似三角形的面积比定义相似比的平方,属于中考常考题型.
三、解答题:本大共10小题,共96分
19.解答下列各题:
(1)计算:()﹣1﹣(2﹣)0﹣4sin60°
(2)解不等式组:.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解一元一次不等式组;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:(1)原式=3﹣1﹣4×=2﹣2;
(2)由①得:x≥1,
由②得:x<4,
则不等式组的解集为1≤x<4.
【点评】此题考查了实数的运算,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.先化简,再求值:,其中a=.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=+•
=+
=,
当a=1+时,原式===.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用.
21.(10分)(2011•郴州)如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000~2010年城乡居民收入统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年?
(2)十一年来,城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快?
(3)如果今年城镇居民人均收入与农民人均年收入分别以10%与8%的增长率增长,今年城镇居民人均收入与农民人均年收入各是多少?(结果保留整数)
【考点】折线统计图.
【分析】(1)从折线统计图上可看出有三年在12000以上,从而可得解.
(2)折线统计图表现变化趋势,从图上可看出城镇居民上升的快.
(3)从图上可得到2010年的城镇居民和农村居民的人均收入,从而可求出今年的.
【解答】解:(1)2008年,2009年,2010年三年的城镇居民收入在12000以上.
(2)城镇居民增长速度快一些.
(3)15342×(1+10%)=16876.2≈16876(元).
5208×(1+8%)=5624.64≈5625(元).
【点评】本题考查折线统计图,折线统计图表现变化情况,也可看出每年所对的数据,从而根据变化率求出今年的人均收入.
22.某市举办“体彩杯”中学生篮球赛,初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D,E,F,G,H五个队,如果从A,B,D,E四个队与C,F,G,H四个队中抽取一个队进行首场比赛.
(1)画出树状图或列表表示所有情况;
(2)求首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是多少?
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)利用树状图展示所有16种等可能的结果数;
(2)找出首场比赛出场的两个队都是县区学校队的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)画树状图为:
共有16种等可能的结果数;
(2)首场比赛出场的两个队都是县区学校队的结果数为6,
所以首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率==.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
23.(10分)(2016•建湖县一模)如图,反比例函数y=的图象经过第二象限内的点A,AB⊥x轴于点B,OB=1,AB=4.
(1)求k的值;
(2)若直线y=ax+b经过点A,并且经过反比例函数y=的图象上另一点C(n,﹣2),求直线y=ax+b的解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据题意易得点A的坐标为(﹣1,4),将其代入函数解析式即可求得k的值;
(2)利用反比例函数图象上点的坐标特点求得点C的坐标,然后结合点A、C的坐标来求直线方程即可.
【解答】解:(1)∵OB=1,AB=4,
∴A(﹣1,4),
∵反比例函数y=的图象经过第二象限内的点A,
∴k=xy=﹣4;
(2)∵反比例函数y=﹣的图象经过点C(n,﹣2),
∴﹣2=﹣,
解得n=2,
∴C(2,﹣2),
∵直线y=ax+b经过点A,C,
∴,
解得,
则该直线方程为:y=﹣2x+2.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题.解题时,需要掌握函数图象上点的坐标特征.
24.(10分)(2011•烟台)综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度.如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】过点F作FG∥EM交CD于G.则MG=EF=10米,根据∠FGN=∠α=36°即可求出∠GFN的度数,进而可得出FN的长,利用FR=FN×sinβ即可得出答案.
【解答】解:过点F作FG∥EM交CD于G,则MG=EF=10米.
∵∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β﹣∠FGN=72°﹣36°=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50﹣10=40(米).
在Rt△FNR中,
FR=FN×sinβ=40×sin72°=40×0.95≈38(米).
答:河宽FR约为38米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
25.(10分)(2016•建湖县一模)某市为鼓励居民节约用水,实行新的阶梯水价,即按用水量进行分段收费,阶段水价方案主要分为三档:
第一档每户每月的基准水量为26立方米,在此之内的用水量(含26立方米),按1.98元/立方米计收水费;
第二档用水量的基数为26﹣34立方米(即超过26立方米,但不超过34立方米),这部分水费按2.97元/立方米计收水费;
第三档每月超过34立方米以上部分的水费,按3.96元/立方米的标准计收水费.
图中折线反映的是实行阶梯水价后每月收取水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系.
(1)写出M点的坐标 (26,51.48) ;
(2)当x>34时,求y与x之间的函数关系式;
(3)市民刘阿姨家是一个四口之家,由于七月天气较热,刘阿姨家用水较多,七月份的水费为99元,问刘阿姨家七月份用水多少立方米?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)用第一档水费单价乘以用水量26可得点M的纵坐标,可得答案;
(2)当x>34时,水费=前34立方米的水费+超出34立方米部分的水费,据此可得函数解析式;
(3)由图象得99>75.24,可知用水量x>34,从而可得关于x的方程,解方程求得x的值.
【解答】解:(1)26×1.98=51.48,
∴点M的坐标为(26,51.48),
故答案为:(26,51.48).
(2)当x>34时,y=75.24+3.96×(x﹣34)=3.96x﹣59.4.
(3)∵99>75.24,
∴刘阿姨家七月份用水量x>34,
根据题意,当y=99时,得:3.96x﹣59.4=99,
解得:x=40,
答:刘阿姨家七月份用水40立方米.
【点评】本题主要考查一次函数的图象、一次函数的解析式及一元一次方程的应用,根据题意抽象出关于x的函数解析式是解题的关键.
26.(10分)(2016•建湖县一模)如图①,在▱ABCD中,AF平分∠BAD,交BC于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)如图②,若BE⊥EC,求证:四边形ABFE是菱形.
【考点】菱形的判定;平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)直接利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出AF∥EC,即可得出答案;
(2)直接利用全等三角形的判定与性质得出AO=FO,BO=EO,进而得出答案.
【解答】证明:(1)如图①,
∵AF平分∠BAD,CE平分∠BCD,
∴∠FAE=∠BAE,∠FCE=∠FCD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAE=∠FCD,AD∥BC,
∴∠FAE=∠FCE,∠FCE=∠CED,
∴∠FAE=∠CED,
∴AF∥EC,
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE为平行四边形;
(2)如图②,
由①得,AF∥EC,
∵∠BEC=90°,
∴∠BOA=90°,
在△ABO和△AEO中,,
∴△ABO≌△AEO(ASA),
∴BO=EO,
同理可得:△ABO≌△FBO,
∴AO=FO,
∴四边形ABFE是平行四边形,
又∵AF⊥BE,
∴平行四边形ABFE是菱形.
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识,正确掌握菱形的判定方法是解题关键.
27.(12分)(2016•建湖县一模)在矩形ABCD中,点E在BC上,以AE为边作▱AEFG,使点D在AE的对边FG上.
(1)填空:如图1,连接DE,则△ADE的面积= 四边形AEFG的面积;
并直接写出▱AEFG的面积S1与矩形ABCD的面积S2的数量关系;
(2)如图2,EF与CD交于点P,连接PA.
①若∠F=90°,证明:A、E、P、D四点在同一个圆上;并直接说明点D、F、C、E是否在同一个圆上;
(3)如图3,在①的条件下,若AB<BC,AG=AE,且D是FG的中点,EF交CD于点P,试判断以FG为直径的圆与直线PA的位置关系,并说明理由.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)作出AE边上的高,分别得出长方形和平行四边形的面积表达式,可得其结果相同,从而说明平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等.
(2)先求出∠ADC=∠FEA=90°,再根据圆内接四边形的判定定理:“如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆”解答.
(3)过D作DH⊥AP于H,根据∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90°,可得∠3=∠1,可求出△ADG∽△AEB;再根据D是FG的中点可求出其相似比为2,再由△ADG与△AEB相似可得其对应边成比例,可求出△ADG∽△AEB∽△APD;最后根据相似三角形的性质可得AD是∠GAH的平分线,可求出DG=DH,故DG=DF,即可解答.
【解答】解:(1)如图1,
过D点作DP垂直AE于点P;
∵SABCD=AB×AD,
SAEFG=AE×DP=×(AD×cos∠ADP),
∠BAE=∠ADP,
∴SAEFG=AB×AD,
∴SAEFG=SABCD.
∵S△ADE=AE×DO,S四边形AEFG=AE×DP,
∴S△ADE=S四边形AEFG
(2)如图2,
因为平行四边形AEFG是矩形,四边形ABCD也是矩形;
所以∠ADC=∠FEA=90°,
则∠ADC+∠FEA=180°,
所以A、E、P、D四点在同一个圆上.
(3)相切.
如图3,
过D作DH⊥AP于H;
∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠3=∠1,∠2=∠4,
∴△ADG∽△AEB,
∵D是FG的中点,
∴=2,
在△ADG与△APD中,
∵DF=GD,
∴=2,
∵∠ADP=∠AGD=90°,
∴△ADG∽△AEB∽△APD,
∴∠1=∠DAP,即AD是∠GAH的平分线,
∴DG=DH=DF,
∵DP=DP,∠DHP=∠DFP=90°,
∴以FG为直径的圆与直线PA相切.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了将四边形面积的求法和三角函数相结合.圆内接四边形的判定定理,只要判断出一组对角互补即可.相似三角形的判定定理、角平分形的判定定理及性质,解答此题的关键是作出AE边上的高,作出辅助线.
28.(12分)(2016•建湖县一模)如图,抛物线经过点B(0,1),顶点A在x轴正半轴上,tan∠BAO=.
(1)求该抛物线所对应的关系式;
(2)若点C在(1)中抛物线上,以BC为直径的⊙M恰好过顶点A,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点B作BC的垂线m,若过点C的直线交直线m于点E,且△CAB∽△CBE,试求点E的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)在Rt△ABO中利用正切的定义可计算出OA,从而得到A点坐标,然后设顶点式,利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)设C(t, t2﹣t+1),作CH⊥x轴与H,如图,讨论:以BC为直径的⊙M恰好过顶点A,当点C在A点时,易得P点坐标为(2,0);当C点不在A点时,利用圆周角定理得到∠BAC=90°,然后证明Rt△ABO∽△RtCAH,利用相似比得到关于t的方程,再解方程求出t即可;
(3)显然点C(2,0)不符合要求,C点坐标取(10,16),作CG⊥y轴于G,直线m交x轴于D,如图,则通过证明Rt△CBG∽Rt△BDO,利用相似比计算出OD得到D(,0),再利用待定系数法求出直线m的解析式为y=﹣x+1;延长CA交直线m于点E,如图,易得△CAB∽△CBE,此时E点满足条件,于是利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=2x﹣4,然后解方程组得E点坐标为(,﹣);作∠E′CB=∠ECB交直线m于E′,如图,则点E′与点E关于B点对称,显然△CAB∽△CBE′,点E′的横坐标为﹣,利用直线m的解析式可确定E′点的坐标,从而得到满足条件的E点坐标.
【解答】解:(1)在Rt△ABO中,∵∠BAO==,
∴OA=2OB=2,
∴A(2,0),
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2,
把B(0,1)代入得a(0﹣2)2=1,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2,即y=x2﹣x+1;
(2)设C(t, t2﹣t+1),作CH⊥x轴与H,如图,
以BC为直径的⊙M恰好过顶点A,当点C在A点时,此时P点坐标为(2,0),
当C点不在A点时,则∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAH=90°,
而∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠AB0=∠CAH,
∴Rt△ABO∽△RtCAH,
∴OB:AH=OA:CH,即1:(t﹣2)=2:( t2﹣t+1),
整理得t2﹣12t+20=0,解得t1=2(舍去),t2=10,此时P点坐标为(10,16),
综上所述,满足条件的P点坐标为(2,0)或(10,16);
(3)点C(2,0)不符合要求,C点坐标取(10,16),
作CG⊥y轴于G,直线m交x轴于D,如图,
∵BD⊥BC,
∴∠GBC+∠OBD=90°,
∵∠GBC+∠BCG=90°,
∴∠OBD=∠BCG,
∴Rt△CBG∽Rt△BDO,
∴CG:OB=BG:OD,即10:1=15:OD,解得OD=,
∴D(,0),
设直线m的解析式为y=kx+b,
把B(0,1),D(,0)代入得,解得,
∴直线m的解析式为y=﹣x+1,
延长CA交直线m于点E,如图,
∵∠BAC=90°,CB⊥BE,
∴∠CBE=∠BAC,
而∠BCA=∠ECB,
∴△CAB∽△CBE,
设直线AC的解析式为y=px+q,
把A(2,0),C(10,16)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=2x﹣4,
解方程组得,此时E点坐标为(,﹣);
作∠E′CB=∠ECB交直线m于E′,如图,
∵CB⊥EE′,
∴BE′=BE,
∴点E′与点E关于B点对称,△CAB∽△CBE′,
∴点E′的横坐标为﹣,
当x=﹣时,y=﹣x+1=﹣×(﹣)+1=,此时E′的坐标为(﹣,),
综上所述,满足条件的E点坐标为(,﹣)或(﹣,).
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;学会构建相似三角形,利用相似比计算线段的长;能运用分类讨论的思想解决数学问题.