2019年湖南省娄底市中考数学试题（word版，含解析） 16页

湖南省娄底市2019年中考数学试卷 一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分，每道小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）‎ ‎1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（ ）‎ ‎ A．﹣2019 B．- ‎1‎‎2019‎ C．2019 D．‎1‎‎2019‎ ‎ 考点：相反数．‎ 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ 解答：解：2019 的相反数是﹣2019， 故选：A．‎ 点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（ ）‎ A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2‎ 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则： 底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答 案．‎ 解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；‎ B、（x3）3=x9，故原题计算正确； C、x2+x2=2x2，故原题计算错误； D、x6÷x3=x3，故原题计算错误； 故选：B．‎ 点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．‎ ‎3．（3 分）（2019•娄底）函数 y=中自变量 x 的取值范围为（ ）‎ A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2‎ 考点：函数自变量的取值范围．‎ 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．‎ 解答：解：根据题意，得 x﹣2≥0， 解得 x≥2．‎ 故选 C．‎ 点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎4．（3 分）（2019•娄底）方程组 的解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：解二元一次方程组．‎ 分析：用加减法解方程组即可． ‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎（1）+（2）得，‎ ‎3x=6， x=2，‎ 把 x=2 代入（1）得，y=﹣1，‎ ‎∴原方程组的解． 故选 D．‎ 点评：此题考查二元一次方程组的解法．‎ ‎5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．‎ ‎6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为 2cm 和 6cm，圆心距为了 8cm，则两圆的位置关系为（ ）‎ A．外切 B．相交 C．内切 D．外离 考点：圆与圆的位置关系．‎ 分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距为 d：外离，则 d＞R+r；外切，则 d=R+r；相交，则 R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则 d＜R﹣r．‎ 解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即 R+r=d，‎ ‎∴两圆外切． 故选 A．‎ 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．‎ ‎7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：‎ 组别 一 二 三 四 五 六 七 分值 ‎90‎ ‎96‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎“分值”这组数据的中位数和众数分别是（‎ ‎）‎ A．89，90 B．90，90‎ 考点：众数；中位数 C．88，95‎ D．90，95‎ 分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．‎ 解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96， 最中间的数是 90，则中位数是 90；‎ ‎90 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 90； 故选 B．‎ 点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．‎ ‎8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（ ）‎ A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等且互相垂直平分 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 考点：命题与定理．‎ 分析：根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据角平分线的性质对 D 进行判断．‎ 解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；‎ B、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误；‎ D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确． 故选 C．‎ 点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．‎ ‎9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（ ）‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ 考点：平行线的性质．‎ 分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数， 又由 AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．‎ 解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，‎ ‎∴∠3=50°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2=∠3=50°． ‎ 故选：C．‎ 点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．‎ ‎10．（3 分）（2019•娄底）一次函数 y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：一次函数的图象．‎ 分析：首先根据 k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可． ‎ 解答：解：∵k＜0，‎ ‎∴﹣k＞0，‎ ‎∴一次函数 y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限， 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了一次函数图象，直线 y=kx+b，可以看做由直线 y=kx 平移|b|个单位而得到．当 b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．‎ 二、细心填一填，一锤定音（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分）‎ ‎11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为 75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． ‎ 解答：解：将 75100000 用科学记数法表示为 7．51×107．‎ 故答案为：7．51×107．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．‎ ‎12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为 55 ．‎ 考点：代数式求值专题：图表型．‎ 分析：根据运算程序列式计算即可得解．‎ 解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．‎ 点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．‎ ‎13．（3 分）（2019•娄底）已知关于 x 的方程 2x+a﹣5=0 的解是 x=2，则 a 的值为 1 ．‎ 考点：一元一次方程的解 分析：把 x=2 代入方程即可得到一个关于 a 的方程，解方程即可求解解答：解：把 x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，‎ 解 得 ：a=1． 故答案是：1．‎ 点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．‎ ‎14．（3 分）（2019•娄底）不等式组 的解集为 2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：‎ 解： ，由①得，x＞2，由②得 x≤5，‎ 故此不等式组的解集为：2＜x≤5．‎ 故答案为：2＜x≤5．‎ 点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．‎ ‎15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 ∠ABC=90°或 AC=BD（不唯一） （添加一个条件即可）．‎ 考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．‎ 分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．‎ 解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD． 故答案为：∠ABC=90°或 AC=BD．‎ 点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是 90 度的平行四边形是矩形．‎ ‎16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数 y=的图象上的一点，MA 垂直 y 轴，垂足为 A，△ MAO 的面积为 2，则 k 的值为 4 ．‎ 考点：反比例函数系数 k 的几何意义．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得到‎1‎‎2‎ |k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．‎ 解答：解：∵MA 垂直 y 轴，‎ ‎∴S△AOM= ‎1‎‎2‎|k|，‎ ‎∴|k|=2，即|k|=4， 而 k＞0，‎ ‎∴k=4．‎ 故答案为 4．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y=的图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．‎ ‎17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 9 m．‎ 考点：相似三角形的应用．‎ 分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． ‎ 解答：解：由题意得，CD∥AB，‎ ‎∴△OCD∽△OAB，‎ ‎∴=，‎ 即=， 解 得 AB=9． 故答案为：9．‎ 点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．‎ ‎18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是　　‎2‎‎5‎　．‎ 考点：概率公式．‎ 分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），‎ ‎∴该卡片上的数字是负数的概率是：． 故答案为：．‎ 点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个▲组成，第 2 个图案由 7 个▲组成，第 3 个图案由 10 个▲组成，第 4 个图案由 13 个▲组成，…，则第 n（n 为正整数）个图案由 3n+1个 ▲ 组成．‎ ‎ ‎ 考点：规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．‎ 解答：解：观察发现：‎ 第一个图形有 3×2﹣3+1=4 个三角形； 第二个图形有 3×3﹣3+1=7 个三角形； 第一个图形有 3×4﹣3+1=10 个三角形；‎ ‎…‎ 第 n 个图形有 3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形； 故答案为：3n+1．‎ 点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化 的．‎ ‎20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 9　．‎ 考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．‎ 分析：根据平行四边形的性质得出 DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出 OE=CD，求出△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．‎ 解答：解：∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，‎ ‎∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，‎ ‎∴OE= CD，‎ ‎∵△BCD 的周长为 18，‎ ‎∴BD+DC+B=18，‎ ‎∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，‎ 故答案为：9．‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出 DE=‎ ‎1‎‎2‎BC，DO= BD，OE= DC．‎ 三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 3 道小题，每小题 8 分，满分 24 分）‎ ‎21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式 2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．‎ 考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解． ‎ 专题：计算题．‎ 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到 x 的值，代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=÷=• =，‎ 不等式 2x﹣3＜7，‎ 解得：x＜5，‎ 其正整数解为 1，2，3，4，‎ 当 x=1 时，原式=．‎ 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60°，测得 B 的方位角为南偏东 45°，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向．求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：先过点 C 作 CP⊥AB 于 P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据 AB=AP+PB，即可求出答案．‎ 解答：解：过点 C 作 CP⊥AB 于 P，‎ ‎∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，‎ ‎∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，‎ ‎∵轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时，‎ ‎∴BC=90，‎ ‎∵BC2=BP2+CP2，‎ ‎∴BP=CP=45 ，‎ ‎∵∠CAP=60°，‎ ‎∴tan60°= =，‎ ‎∴AP=15 ，‎ ‎∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．‎ 答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km．‎ 点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．‎ ‎23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用 A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）共抽取了多少个学生进行调查？‎ ‎（2）将图甲中的折线统计图补充完整．‎ ‎（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．‎ 考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．‎ 分析：（1）用 C 等级的人数除以 C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；‎ ‎（2）先用总数 50 分别减去 A、C、D 等级的人数得到 B 等级的人数，然后画出折线统计图；‎ ‎（3）用 360°乘以 B 等级所占的百分比即可得到 B 等级所占圆心角的度数． 解答：解：（1）10÷20%=50，‎ 所以抽取了 50 个学生进行调查；‎ ‎（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；‎ ‎（3）图乙中 B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．‎ 点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．‎ 四．综合用一用，马到成功（本大题共 1 道小题，满分 8 分）‎ ‎24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为 180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的 1．5 倍．‎ ‎（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）‎ ‎（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？ ‎ 考点：分式方程的应用．‎ 分析：（1）由题意，设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；‎ ‎（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．‎ 解答：解：（1）设大货车速度为 xkm/h，则小轿车的速度为 1．5xkm/h，由题意得 解得 x=60， 则 1．5x=90，‎ 答：大货车速度为 60km/h，则小轿车的速度为 90km/h．‎ ‎（2）180﹣60×1=120km 答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km．‎ 点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．‎ 五、耐心想一想，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分）‎ ‎25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CDB；‎ ‎（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．‎ 考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质 分析：（1）根据 AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据 HL 定理得出△‎ ABD≌△CDB；‎ ‎（2）由 BE 是切线，得 AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由 OA=OD，得出 ‎∠ADC 的度数．‎ 解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD=90°，‎ 在△ABD 和△CDB 中，，‎ ‎∴△ABD 和△CDB（HL）；‎ ‎（2）解：∵BE 是切线，‎ ‎∴AB⊥BE，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∵∠DBE=37°，‎ ‎∴∠ABD=53°，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，‎ ‎∴∠ADC 的度数为 37°．‎ 点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．‎ 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分）‎ ‎26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线 y=x2+mx+（m﹣1）与 x 轴交于点 A（x1，0），B（x2，0）， x1＜x2，与 y 轴交于点 C（0，c），且满足 x12+x22+x1x2=7．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上能不能找到一点 P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点 P ‎ 的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题．‎ ‎1 2 1 2‎ 分析：（1）利用根与系数的关系，等式 x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系， 得 x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式．‎ ‎（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入 抛物线的解析式即可求得．‎ 解答：解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，‎ ‎∵x1+x2+x1x2=7，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，‎ ‎∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7， 即 m2﹣m﹣6=0，‎ 解得 m1=﹣2，m2=3，‎ ‎∵c=m﹣1＜0，∴m=3 不合题意 ‎∴m=﹣2‎ 抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）能 如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO，PC，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D． 若∠POC=∠PCO 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线 ‎∵C 的坐标为（0，﹣3）‎ ‎∴D 的坐标为（0，﹣）‎ ‎∴P 的纵坐标应是﹣‎ 令 x2﹣2x﹣3= ，解得，x1=，x2=‎ 因此所求点 P 的坐标是 ‎（，﹣），　　　　　（。﹣）‎ 点评：本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=﹣，x1x2=，以及线段的垂直平分线的性质 函数图象交点坐标的求法等知识．‎ ‎27．（10 分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：‎ ‎（1）设△APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？‎ ‎（2）如图乙，连接 PC，将△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值；′‎ ‎（3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？‎ 考点：相似形综合题分析：‎ ‎（1）过点 P 作 PH⊥AC 于 H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出 AB，再 根据=，得出 PH=3﹣t，则△AQP 的面积为：AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；‎ ‎（2）连接 PP′交 QC 于 E，当四边形 PQP′C 为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，‎ 求出 AE=﹣t+4，再根据 QE=AE﹣AQ，QE=QC 得出﹣t+4=﹣ t+2， 再求 t 即可；‎ ‎（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣ t+4，从而求出 PQ=，‎ 在△APQ 中，分三种情况讨论：①当 AQ=AP，即 t=5﹣t，②当 PQ=AQ，即 ‎=t，③当 PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可． ‎ 解答：解：（1）如图甲，过点 P 作 PH⊥AC 于 H，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴PH∥BC，‎ ‎∴△APH∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AC=4cm，BC=3cm，‎ ‎∴AB=5cm，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PH=3﹣ t，‎ ‎∴△AQP 的面积为：‎ S= ×AQ×PH= ×t×（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+，‎ ‎∴当 t 为秒时，S 最大值为cm2．‎ ‎（2）如图乙，连接 PP′，PP′交 QC 于 E，‎ 当四边形 PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分 QC，即 PE⊥AC，QE=EC，‎ ‎∴△APE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE= 　=　=﹣ t+4 QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4， QE= QC= （4﹣t）=﹣t+2，‎ ‎∴﹣t+4=﹣ t+2，‎ 解得：t=，‎ ‎∵0＜＜4，‎ ‎∴当四边形 PQP′C 为菱形时，t 的值是s；‎ ‎（3）由（1）知，‎ PD=﹣ t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4‎ ‎∴PQ=　==，‎ 在△APQ 中，‎ ‎①当 AQ=AP，即 t=5﹣t 时，解得：t1=；‎ ‎②当 PQ=AQ，即=t 时，解得：t2=，t3=5；‎ ‎③当 PQ=AP，即=5﹣t 时，解得：t4=0，t5=；‎ ‎∵0＜t＜4，‎ ‎∴t3=5，t4=0 不合题意，舍去，‎ ‎∴当 t 为s 或s 或s 时，△APQ 是等腰三角形．‎ 点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数 形结合思想进行解答．‎