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  • 2021-05-13 发布

中考数学二模试卷含解析35

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‎2016年湖南省永州市祁阳县中考数学二模试卷 一、选择题(本大题共有10小题,每小题4分,共40分,每小题只有一个正确的答案,请把答案填在答题卡中对应题号的表格内)‎ ‎1.|﹣2|的值等于(  )‎ A.2 B.﹣ C. D.﹣2‎ ‎2.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠DCE=18°,则∠B等于(  )‎ A.18° B.36° C.45° D.54°‎ ‎3.不等式2x﹣3<1的解集在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.随着人们生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则x1x2的值是(  )‎ A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3‎ ‎6.在同一平面直角坐标系中,函数y=x﹣1与函数的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.下列计算正确的是(  )‎ A.a3÷a2=a3•a﹣2 B. C.2a2+a2=3a4 D.(a﹣b)2=a2﹣b2‎ ‎8.为了考察某种小麦的长势,从中抽取了10株麦苗,测得苗高(单位:cm)为:‎ ‎16 9 14 11 12 10 16 8 17 19‎ 则这组数据的中位数和极差分别是(  )‎ A.13,16 B.14,11 C.12,11 D.13,11‎ ‎9.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是(  )‎ A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4‎ ‎10.若点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,则m的值是(  )‎ A. B.﹣ C.1 D.﹣1‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)‎ ‎11.我国南海面积约为350万平方千米,这个数用科学记数法表示为______平方千米.‎ ‎12.计算: +(﹣1)﹣1+(﹣2)0=______.‎ ‎13.某次能力测试中,10人的成绩统计如表,则这10人成绩的平均数为______.‎ 分数 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数 ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎14.如图是某个几何体的三视图,该几何体是______.‎ ‎15.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是______.‎ ‎16.若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为______.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有9小题,共86分,请把解答过程或证明步骤写在答题卡中对应题号内)‎ ‎17.解方程: =.‎ ‎18.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.‎ ‎19.垃圾的分类处理与回收利用,可以减少污染,节省资源.某城市环保部门为了提高宣传实效,抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况,其相关信息如下:‎ 根据图表解答下列问题:‎ ‎(1)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(2)在抽样数据中,产生的有害垃圾共______吨;‎ ‎(3)调查发现,在可回收物中塑料类垃圾占,每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料.假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨,且全部分类处理,那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料?‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(﹣1,1),B(﹣3,1),C(﹣1,4).‎ ‎(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).‎ ‎21.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改进行驶,试问:消防车是否需要改道行驶?请说明理由.(取1.732)‎ ‎22.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,CF.‎ ‎(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;‎ ‎(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.‎ ‎23.某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如表所示:‎ 类型 价格 进价(元/盏)‎ 售价(元/盏)‎ A型 ‎30‎ ‎45‎ B型 ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)若商场预计进货款为3500元,则这两种台灯各购进多少盏?‎ ‎(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?‎ ‎24.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.‎ ‎(1)求证:PA是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:AC2=CO•CP;‎ ‎(3)若PD=,求⊙O的直径.‎ ‎25.已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(﹣3,m),求m和k的值;‎ ‎(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,求n的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016年湖南省永州市祁阳县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共有10小题,每小题4分,共40分,每小题只有一个正确的答案,请把答案填在答题卡中对应题号的表格内)‎ ‎1.|﹣2|的值等于(  )‎ A.2 B.﹣ C. D.﹣2‎ ‎【考点】绝对值.‎ ‎【分析】直接根据绝对值的意义求解.‎ ‎【解答】解:|﹣2|=2.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠DCE=18°,则∠B等于(  )‎ A.18° B.36° C.45° D.54°‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】根据角平分线的定义求出∠BCD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠B=∠BCD.‎ ‎【解答】解:∵CE平分∠BCD,∠DCE=18°,‎ ‎∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠B=∠BCD=36°.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.不等式2x﹣3<1的解集在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.‎ ‎【分析】先解不等式得到x<2,用数轴表示时,不等式的解集在2的左边且不含2,于是可判断D选项正确.‎ ‎【解答】解:2x<4,‎ 解得x<2,‎ 用数轴表示为:‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.随着人们生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】中心对称图形.‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可.‎ ‎【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项正确;‎ B、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ C、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则x1x2的值是(  )‎ A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3‎ ‎【考点】根与系数的关系.‎ ‎【分析】由“x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=”可得x1x2=,套入数据即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,‎ ‎∴x1x2===﹣3.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.在同一平面直角坐标系中,函数y=x﹣1与函数的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质可得:函数的图象在第一三象限,由一次函数与系数的关系可得函数y=x﹣1的图象在第一三四象限,进而选出答案.‎ ‎【解答】解:函数中,k=1>0,故图象在第一三象限;函数y=x﹣1的图象在第一三四象限,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.下列计算正确的是(  )‎ A.a3÷a2=a3•a﹣2 B. C.2a2+a2=3a4 D.(a﹣b)2=a2﹣b2‎ ‎【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式;负整数指数幂;二次根式的性质与化简.‎ ‎【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则,结合各选项进行判断即可.‎ ‎【解答】解:A、a3÷a2=a3•a﹣2,计算正确,故本选项正确;‎ B、=|a|,计算错误,故本选项错误;‎ C、2a2+a2=3a2,计算错误,故本选项错误;‎ D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,计算错误,故本选项错误;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.为了考察某种小麦的长势,从中抽取了10株麦苗,测得苗高(单位:cm)为:‎ ‎16 9 14 11 12 10 16 8 17 19‎ 则这组数据的中位数和极差分别是(  )‎ A.13,16 B.14,11 C.12,11 D.13,11‎ ‎【考点】极差;中位数.‎ ‎【分析】根据中位数及极差的定义,结合所给数据即可作出判断.‎ ‎【解答】解:将数据从小到大排列为:8,9,10,11,12,14,16,16,17,19,‎ 中位数为:13;‎ 极差=19﹣8=11.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是(  )‎ A.1,2,6 B.2,2,4 C.1,2,3 D.2,3,4‎ ‎【考点】三角形三边关系.‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,计算两个较小的边的和,看看是否大于第三边即可.‎ ‎【解答】解:A、1+2<6,不能组成三角形,故此选项错误;‎ B、2+2=4,不能组成三角形,故此选项错误;‎ C、1+2=3,不能组成三角形,故此选项错误;‎ D、2+3>4,能组成三角形,故此选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.若点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,则m的值是(  )‎ A. B.﹣ C.1 D.﹣1‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值.‎ ‎【解答】解:∵点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,‎ ‎∴m=﹣×(﹣2)=1,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)‎ ‎11.我国南海面积约为350万平方千米,这个数用科学记数法表示为 3.5×106 平方千米.‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将350万用科学记数法表示为:3.5×106.‎ 故答案为3.5×106‎ ‎ ‎ ‎12.计算: +(﹣1)﹣1+(﹣2)0= 2 .‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.‎ ‎【分析】分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的运算,然后合并即可得出答案.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣1+1‎ ‎=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.某次能力测试中,10人的成绩统计如表,则这10人成绩的平均数为 3.1 .‎ 分数 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数 ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎【考点】加权平均数.‎ ‎【分析】利用加权平均数的计算方法列式计算即可得解.‎ ‎【解答】解:×(5×3+4×1+3×2+2×2+1×2)‎ ‎=×(15+4+6+4+2)‎ ‎=×31‎ ‎=3.1.‎ 所以,这10人成绩的平均数为3.1.‎ 故答案为:3.1.‎ ‎ ‎ ‎14.如图是某个几何体的三视图,该几何体是 三棱柱 .‎ ‎【考点】由三视图判断几何体.‎ ‎【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状.‎ ‎【解答】解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.‎ 故答案为:三棱柱.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 18° .‎ ‎【考点】等腰三角形的性质.‎ ‎【分析】根据已知可求得两底角的度数,再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°‎ ‎∵BD是AC边上的高,‎ ‎∴BD⊥AC,‎ ‎∴∠DBC=90°﹣72°=18°.‎ 故答案为:18°.‎ ‎ ‎ ‎16.若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 0或﹣1 .‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】令y=0,则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根,所以k=0或根的判别式△=0,借助于方程可以求得实数k的值.‎ ‎【解答】解:令y=0,则kx2+2x﹣1=0.‎ ‎∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,‎ ‎∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根.‎ ‎①当k=0时,2x﹣1=0,即x=,∴原方程只有一个根,∴k=0符合题意;‎ ‎②当k≠0时,△=4+4k=0,‎ 解得,k=﹣1.‎ 综上所述,k=0或﹣1.‎ 故答案为:0或﹣1.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有9小题,共86分,请把解答过程或证明步骤写在答题卡中对应题号内)‎ ‎17.解方程: =.‎ ‎【考点】解分式方程.‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:2x﹣6+6=x+3,‎ 解得:x=3,‎ 经检验x=3是增根,原方程无解.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.‎ ‎【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论.‎ ‎【解答】证明:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ 在△ABD与△ACE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS),‎ ‎∴AD=AE.‎ ‎ ‎ ‎19.垃圾的分类处理与回收利用,可以减少污染,节省资源.某城市环保部门为了提高宣传实效,抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况,其相关信息如下:‎ 根据图表解答下列问题:‎ ‎(1)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(2)在抽样数据中,产生的有害垃圾共 3 吨;‎ ‎(3)调查发现,在可回收物中塑料类垃圾占,每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料.假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨,且全部分类处理,那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料?‎ ‎【考点】条形统计图;扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)根据D类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数,然后乘以其所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图;‎ ‎(2)求得C组所占的百分比,即可求得C组的垃圾总量;‎ ‎(3)首先求得可回收垃圾量,然后求得塑料颗粒料即可;‎ ‎【解答】解:(1)观察统计图知:D类垃圾有5吨,占10%,‎ ‎∴垃圾总量为5÷10%=50吨,‎ 故B类垃圾共有50×30%=15吨,‎ 故统计表为:‎ ‎(2)∵C组所占的百分比为:1﹣10%﹣30%﹣54%=6%,‎ ‎∴有害垃圾为:50×6%=3吨;‎ ‎(3)(吨),‎ 答:每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(﹣1,1),B(﹣3,1),C(﹣1,4).‎ ‎(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).‎ ‎【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.‎ ‎【分析】(1)根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可;‎ ‎(2)根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积,求出即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示,画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;‎ ‎(2)如图所示,画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2,‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S==.‎ ‎ ‎ ‎21.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改进行驶,试问:消防车是否需要改道行驶?请说明理由.(取1.732)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.‎ ‎【分析】首先过点A作AH⊥CF于点H,易得∠ACH=60°,然后利用三角函数的知识,求得AH的长,继而可得消防车是否需要改进行驶.‎ ‎【解答】解:如图:过点A作AH⊥CF于点H,‎ 由题意得:∠MCF=75°,∠CAN=15°,AC=125米,‎ ‎∵CM∥AN,‎ ‎∴∠ACM=∠CAN=15°,‎ ‎∴∠ACH=∠MCF﹣∠ACM=75°﹣15°=60°,‎ ‎∴在Rt△ACH中,AH=AC•sin∠ACH=125×≈108.25(米)>100米.‎ 答:消防车不需要改道行驶.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,CF.‎ ‎(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;‎ ‎(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.‎ ‎【考点】平行四边形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.‎ ‎【分析】(1)由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC,且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四边形CEDF是平行四边形;‎ ‎(2)如图,过点D作DH⊥BE于点H,构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE.通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度.‎ ‎【解答】证明:(1)在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.‎ ‎∵F是AD的中点,‎ ‎∴DF=.‎ 又∵CE=BC,‎ ‎∴DF=CE,且DF∥CE,‎ ‎∴四边形CEDF是平行四边形;‎ ‎(2)解:如图,过点D作DH⊥BE于点H.‎ 在▱ABCD中,∵∠B=60°,‎ ‎∴∠DCE=60°.‎ ‎∵AB=4,‎ ‎∴CD=AB=4,‎ ‎∴CH=CD=2,DH=2.‎ 在▱CEDF中,CE=DF=AD=3,则EH=1.‎ ‎∴在Rt△DHE中,根据勾股定理知DE==.‎ ‎ ‎ ‎23.某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如表所示:‎ 类型 价格 进价(元/盏)‎ 售价(元/盏)‎ A型 ‎30‎ ‎45‎ B型 ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)若商场预计进货款为3500元,则这两种台灯各购进多少盏?‎ ‎(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?‎ ‎【考点】一次函数的应用;一元一次方程的应用.‎ ‎【分析】(1)设商场应购进A型台灯x盏,表示出B型台灯为盏,然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可;‎ ‎(2)设商场销售完这批台灯可获利y元,根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理,再求出x的取值范围,然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)设商场应购进A型台灯x盏,则B型台灯为盏,‎ 根据题意得,30x+50=3500,‎ 解得x=75,‎ 所以,100﹣75=25,‎ 答:应购进A型台灯75盏,B型台灯25盏;‎ ‎(2)设商场销售完这批台灯可获利y元,‎ 则y=(45﹣30)x+(70﹣50),‎ ‎=15x+2000﹣20x,‎ ‎=﹣5x+2000,‎ 即y=﹣5x+2000,‎ ‎∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,‎ ‎∴100﹣x≤3x,‎ ‎∴x≥25,‎ ‎∵k=﹣5<0,y随x的增大而减小,‎ ‎∴x=25时,y取得最大值,为﹣5×25+2000=1875(元)‎ 答:商场购进A型台灯25盏,B型台灯75盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为1875元.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.‎ ‎(1)求证:PA是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:AC2=CO•CP;‎ ‎(3)若PD=,求⊙O的直径.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;切线的判定.‎ ‎【分析】(1)连结OA、AD,如图,利用圆周角定理得到∠CAD=90°,∠ADC=∠B=60°,则∠ACD=30°,再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°,接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°,然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°,于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切;‎ ‎(2)通过△ACO∽△PCA,得到=,由于AC=AP于是得到结论;‎ ‎(3)连接AD,证得△AOD是等边三角形,得到∠OAD=60°,求得AD=PD=,得到OD=,即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)证明:连结OA、AD,如图,‎ ‎∵CD为直径,‎ ‎∴∠CAD=90°,‎ ‎∵∠ADC=∠B=60°,‎ ‎∴∠ACD=30°,‎ ‎∵AP=AC,‎ ‎∴∠P=∠ACD=30°,‎ ‎∵∠AOD=2∠ACD=60°,‎ ‎∴∠OAP=180°﹣60°﹣30°=90°,‎ ‎∴OA⊥PA,‎ ‎∴AP与⊙O相切;‎ ‎(2)证明:∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°,‎ ‎∴△ACO∽△PCA,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AC=AP ‎∴AC2=CO.CP;‎ ‎(3)解:连接AD,‎ ‎∵AO=DO,∠ADC=60°,‎ ‎∴△AOD是等边三角形,‎ ‎∴∠OAD=60°,‎ ‎∴∠PAD=30°,‎ ‎∴∠P=∠PAD,‎ ‎∴AD=PD=,‎ ‎∴OD=,‎ ‎∴⊙O的直径CD=2.‎ ‎ ‎ ‎25.已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(﹣3,m),求m和k的值;‎ ‎(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,求n的取值范围.‎ ‎【考点】二次函数综合题;解一元一次方程;根的判别式;一次函数图象上点的坐标特征;平移的性质.‎ ‎【分析】(1)把x=0和x=2代入得出关于t的方程,求出t即可;‎ ‎(2)把A的坐标代入抛物线,即可求出m,把A的坐标代入直线,即可求出k;‎ ‎(3)求出点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣(x﹣3)(x+1),得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣(x﹣3+n)(x+1+n),﹣n﹣1≤x≤3﹣n,直线平移后的解析式是y=4x+6+n,若两图象有一个交点时,得出方程4x+6+n=﹣(x﹣3+n)(x+1+n)有两个相等的实数解,求出判别式△=6n=0,求出的n的值与已知n>0相矛盾,得出平移后的直线与抛物线有两个公共点,‎ 设两个临界的交点为(﹣n﹣1,0),(3﹣n,0),代入直线的解析式,求出n的值,即可得出答案.‎ ‎【解答】(1)解:∵二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等,‎ ‎∴代入得:0+0+=4(t+1)+4(t+2)+,‎ 解得:t=﹣,‎ ‎∴y=(﹣+1)x2+2(﹣+2)x+=﹣x2+x+,‎ ‎∴二次函数的解析式是y=﹣x2+x+.‎ ‎(2)解:把A(﹣3,m)代入y=﹣x2+x+得:m=﹣×(﹣3)2﹣3+=﹣6,‎ 即A(﹣3,﹣6),‎ 代入y=kx+6得:﹣6=﹣3k+6,‎ 解得:k=4,‎ 即m=﹣6,k=4.‎ ‎(3)解:由题意可知,点B、C间的部分图象的解析式是y=﹣x2+x+=﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣3)(x+1),﹣1≤x≤3, ‎ 则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=﹣(x﹣3+n)(x+1+n),﹣n﹣1≤x≤3﹣n,‎ 此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n,‎ 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切,‎ 则方程4x+6+n=﹣(x﹣3+n)(x+1+n)有两个相等的实数解,‎ 即﹣x2﹣(n+3)x﹣n2﹣=0有两个相等的实数解,‎ 判别式△=[﹣(n+3)]2﹣4×(﹣)×(﹣n2﹣)=6n=0,‎ 即n=0,‎ ‎∵与已知n>0相矛盾,‎ ‎∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切,‎ ‎∴结合图象可知,如果平移后的直线与抛物线有公共点,‎ 则两个临界的交点为(﹣n﹣1,0),(3﹣n,0),‎ 则0=4(﹣n﹣1)+6+n,‎ n=,‎ ‎0=4(3﹣n)+6+n,‎ n=6,‎ 即n的取值范围是:≤n≤6.‎