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杨浦区 2015-2016 学年度第二学期初三质量调研
数学
2016.04.12
一、选择题
1.下列等式成立的是( )
A. =±2 B. =π C. D.|a+b|=a+b
2.下列关于 x 的方程一定有实数解的是( )
A.2x=m B.x2=m C. =m D. =m
3.下列函数中,图象经过第二象限的是( )
A.y=2x B.y= C.y=x﹣2 D.y=x2﹣2
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.正五边形 B.正六边形 C.等腰三角形 D.等腰梯形
5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示,该选手训练成绩的中位数是( )
成绩(环) 6 7 8 9 10
次数 1 4 2 6 3
A.2 B.3 C.8 D.9
6.已知圆 O 是正 n 边形 A1A2…An 的外接圆,半径长为 18,如果弧 A1A2 的长为 π,那么边数 n
为( )
A.5 B.10 C.36 D.72
二、填空题
7.计算: = .
8.写出 的一个有理化因式: .
9.如果关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根,那么实数 m 的值是 .
10.函数 y= +x 的定义域是 .
11.如果函数 y=x2﹣m 的图象向左平移 2 个单位后经过原点,那么 m= .
12.在分别写有数字﹣1,0,2,3 的四张卡片中随机抽取一张,放回后再抽取一张,如果以第一次
抽取的数字作为横坐标,第二次抽取的数字作为纵坐标,那么所得点落在第一象限的概率
为 .
13.在△ABC 中,点 M、N 分别在边 AB、AC 上,且 AM:MB=CN:NA=1:2,如果
,那么 = (用 表示).
14.某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡向上方向前进 13 米时,在铅锤
方向上升了 5 米,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度 i=1:m,那么 m= .
15.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间,对本校全体学生进行了调查,并绘制如图所示
的频率分布直方图(不完整),则图中 m 的值是 .
16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2.写出一个函数 y= (k≠0),使
它的图象与正方形 OABC 有公共点,这个函数的表达式为 .
17.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,点 O 为边 AD 的中点,如果以点 O 为圆心,r 为半径的圆与
对角线 BD 所在的直线相切,那么 r 的值是 .
18.如图,将平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置,其中点 B、C、D 分别落
在点 E、F、G 处,且点 B、E、D、F 在一直线上,如果点 E 恰好是对角线 BD 的中点,那么 的
值是 .
三、解答题
19.计算: .
20.解不等式组: ,并写出它的所有非负整数解.
21.已知,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 M、N 分别是边 AC、AB 的中点,点 D 是线
段 BM 的中点.
(1)求证: ;
(2)求∠NCD 的余切值.
22.某山山脚的 M 处到山顶的 N 处有一条长为 600 米的登山路,小李沿此路从 M 走到 N,停留后
再原路返回,期间小李离开 M 处的路程 y 米与离开 M 处的时间 x 分(x>0)之间的函数关系如图
中折线 OABCD 所示.
(1)求上山时 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域:
(2)已知小李下山的时间共 26 分钟,其中前 18 分钟内的平均速度与后 8 分钟内的平均速度之比为 2:
3,试求点 C 的纵坐标.
23.已知:如图,在直角梯形纸片 ABCD 中,DC∥AB,AB>CD>AD,∠A=90°,将纸片沿过点 D
的直线翻折,使点 A 落在边 CD 上的点 E 处,折痕为 DF,联结 EF 并展开纸片.
(1)求证:四边形 ADEF 为正方形;
(2)取线段 AF 的中点 G,联结 GE,当 BG=CD 时,求证:四边形 GBCE 为等腰梯形.
24.已知在直角坐标系中,抛物线 y=ax2﹣8ax+3(a<0)与 y 轴交于点 A,顶点为 D,其对称轴交 x
轴于点 B,点 P 在抛物线上,且位于抛物线对称轴的右侧.
(1)当 AB=BD 时(如图),求抛物线的表达式;
(2)在第(1)小题的条件下,当 DP∥AB 时,求点 P 的坐标;
(3)点 G 在对称轴 BD 上,且∠AGB= ∠ABD,求△ABG 的面积.
25.已知:半圆 O 的直径 AB=6,点 C 在半圆 O 上,且 tan∠ABC=2 ,点 D 为弧 AC 上一点,联
结 DC(如图)
(1)求 BC 的长;
(2)若射线 DC 交射线 AB 于点 M,且△MBC 与△MOC 相似,求 CD 的长;
(3)联结 OD,当 OD∥BC 时,作∠DOB 的平分线交线段 DC 于点 N,求 ON 的长.
2016 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.下列等式成立的是( )
A. =±2 B. =π C. D.|a+b|=a+b
【考点】实数的运算;绝对值.
【专题】推理填空题;实数.
【分析】A:根据求一个数的算术平方根的方法计算即可.
B:分别把 、π 化成小数,判断出它们的大小关系即可.
C:根据 8=23,可得 = ,据此判断即可.
D:①当 a+b 是正有理数时,a+b 的绝对值是它本身 a+b;②当 a+b 是负有理数时,a+b 的绝对值是
它的相反数﹣(a+b);③当 a+b 是零时,a+b 的绝对值是零.
【解答】解:∵ =2,
∴选项 A 不正确;
∵ ≈3.142857,π≈3.1415927,
∴ ≠π,
∴选项 B 不正确;
∵8=23,
∴ = ,
∴选项 C 正确;
当 a+b 是正有理数时,|a+b|=a+b;
当 a+b 是负有理数时,|a+b|=﹣(a+b);
当 a+b 是零时,|a+b|=0;
∴选项 D 不正确.
故选:C.
【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运
算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号
的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内
仍然适用.
(2)此题还考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①当 a 是正有
理数时,a 的绝对值是它本身 a;②当 a 是负有理数时,a 的绝对值是它的相反数﹣a;③当 a 是零
时,a 的绝对值是零.
2.下列关于 x 的方程一定有实数解的是( )
A.2x=m B.x2=mC. =m D. =m
【考点】无理方程;一元一次方程的解;根的判别式;分式方程的解.
【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进
行判断即可.
【解答】解:A.2x=m,一定有实数解;
B.x2=m,当 m<0 时,无解;
C. =m,当 m=0 或﹣ 时无解;
D. =m,当 m<0 时,无解;
故选 A.
【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程,关键是灵活运用有
关知识点进行判断.
3.下列函数中,图象经过第二象限的是( )
A.y=2x B.y= C.y=x﹣2 D.y=x2﹣2
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行
解答.
【解答】解:A、∵y=2x 的系数 2>0,
∴函数图象过一三象限,故本选项错误;
B、∵y= 中,2>0,
∴函数图象过一、三象限,故本选项错误;
C、在 y=x﹣2 中,k=1>0,b=﹣2<0,
则函数过一三四象限,故本选项错误;
D、∵y=x2﹣2 开口向上,
对称轴是 y 轴,且函数图象过(0,﹣2)点,
则函数图象过一、二、三、四象限,故本选项正确;
故选 D.
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质,
关键是根据系数的符号判断图象的位置.
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.正五边形 B.正六边形 C.等腰三角形 D.等腰梯形
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可.
【解答】解:A、是轴对称图形.不是中心对称图形,故 A 错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故 B 正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故 C 错误;
D、是轴对称图形.不是中心对称图形,故 D 错误.
故选:B.
【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形,掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是
解题的关键.
5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示,该选手训练成绩的中位数是( )
成绩(环) 6 7 8 9 10
次数 1 4 2 6 3
A.2 B.3 C.8 D.9
【考点】中位数.
【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列,找出最中间的数或中间两数的平均数即
可.
【解答】解:∵共 16 次射击,
∴中位数是第 8 和第 9 的平均数,分别为 9 环、9 环,
∴中位数为 9 环,
故选:D.
【点评】此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的
那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.
6.已知圆 O 是正 n 边形 A1A2…An 的外接圆,半径长为 18,如果弧 A1A2 的长为 π,那么边数 n 为
( )
A.5 B.10 C.36 D.72
【考点】正多边形和圆.
【分析】设正多边形的中心角的度数是 x,根据弧长公式即可求得 x 的值,然后利用 360 度除以 x
即可得到.
【解答】解:设正多边形的中心角的度数是 x,
根据题意得: =π,
解得:x=10.
则 n= =36.
故选 C.
【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式,正确求得中心角的度数是关键.
二、填空题
7.计算: = ﹣1 .
【考点】分式的加减法.
【分析】把原式化为 ﹣ ,再根据同分母的分式相加减进行计算即可.
【解答】解:原式= ﹣
=
=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了分式的加减法则,注意:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
8.写出 的一个有理化因式: +b .
【考点】分母有理化.
【分析】根据这种式子的特点: ﹣b 和 +b 的互为有理化因式解答即可.
【解答】解: 的一个有理化因式: +b;
故答案为: +b.
【点评】本题主要考查分母有理化的方法,分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或
与原分母组成平方差公式.
9.如果关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根,那么实数 m 的值是 4 .
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,列出 m 的方程,
求出 m 的值即可.
【解答】解:∵关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根,
∴△=(﹣m)2﹣4×m=0,且 m≠0,
解得 m=4.
故答案是:4.
【点评】本题考查了根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
10.函数 y= +x 的定义域是 x≠2 .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,2﹣x≠0,
解得 x≠2.
故答案为:x≠2.
【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
11.如果函数 y=x2﹣m 的图象向左平移 2 个单位后经过原点,那么 m= 4 .
【考点】二次函数图象与几何变换.
【专题】几何变换.
【分析】先确定抛物线 y=x2﹣m 的顶点坐标为(0,m),再利用点平移的规律得到把点(0,﹣m)
平移后的对应点的坐标为(﹣2,﹣m),接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为 y=(x+2)
2﹣m,然后把原点坐标代入可求出 m 的值.
【解答】解:函数 y=x2﹣m 的顶点坐标为(0,m),把点(0,﹣m)向左平移 2 个单位后所得对
应点的坐标为(﹣2,﹣m),所以平移后的抛物线解析式为 y=(x+2)2﹣m,
把点(0,0)代入=(x+2)2﹣m 得 4﹣m=0,解得 m=4.
故答案为 4.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故 a 不变,所以求
平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待
定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
12.在分别写有数字﹣1,0,2,3 的四张卡片中随机抽取一张,放回后再抽取一张,如果以第一次
抽取的数字作为横坐标,第二次抽取的数字作为纵坐标,那么所得点落在第一象限的概率为
.
【考点】列表法与树状图法;点的坐标.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的
情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
∵共有 16 种等可能的结果,所得点落在第一象限的有 4 种情况,
∴所得点落在第一象限的概率为: = .
故答案为: .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之
比.
13.在△ABC 中,点 M、N 分别在边 AB、AC 上,且 AM:MB=CN:NA=1:2,如果
,那么 = ﹣ (用 表示).
【考点】*平面向量.
【分析】首先根据题意画出图形,由 AM:MB=CN:NA=1:2,可表示出 与 ,再利用三角形
法则求解即可求得答案.
【解答】解:∵AM:MB=CN:NA=1:2,
∴AM= AB,AN= AC,
∵ ,
∴ = , = ,
∴ = ﹣ = ﹣ .
故答案为: ﹣ .
【点评】此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是关键.
14.某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡向上方向前进 13 米时,在铅锤
方向上升了 5 米,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度 i=1:m,那么 m= .
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】根据在一个斜面上前进13 米,铅锤方向上升了 5 米,可以计算出此时的水平距离,水平高
度与水平距离的比值即为坡度,从而可以解答本题.
【解答】解:设在自动扶梯上前进 13 米,在铅锤方向上升了 5 米,此时水平距离为 x 米,
根据勾股定理,得 x2+52=132,
解得,x=12(舍去负值),
故该斜坡坡度 i=5:12=1:m.
所以 m= .
故答案为:m= .
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是明确坡度的定义.
15.某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间,对本校全体学生进行了调查,并绘制如图所示
的频率分布直方图(不完整),则图中 m 的值是 0.05 .
【考点】频数(率)分布直方图.
【分析】利用 1 减去其它组的频率即可求得.
【解答】解:m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05.
故答案是:0.05.
【点评】本题考查了频率分布直方图,了解各组的频率的和是 1 是关键.
16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2.写出一个函数 y= (k≠0),使
它的图象与正方形 OABC 有公共点,这个函数的表达式为 y= ,y= (0<k≤4)(答案不唯一) .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】开放型.
【分析】先根据正方形的性质得到 B 点坐标为(2,2),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征
求出过 B 点的反比例函数解析式即可.
【解答】解:∵正方形 OABC 的边长为 2,
∴B 点坐标为(2,2),
当函数 y= (k≠0)过 B 点时,k=2×2=4,
∴满足条件的一个反比例函数解析式为 y= .
故答案为:y= ,y= (0<k≤4)(答案不唯一).
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数 y= (k 为常数,k≠0)的图象是
双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值 k,即 xy=k.
17.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,点 O 为边 AD 的中点,如果以点 O 为圆心,r 为半径的圆与
对角线 BD 所在的直线相切,那么 r 的值是 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据题意画出图形,当以点O 为圆心,r 为半径的圆与对角线 BD 所在的直线相切,再利用
△ODE∽△BDA,求出答案.
【解答】解:如图所示:当以点 O 为圆心,r 为半径的圆与对角线 BD 所在的直线相切,
则 OE⊥BD,且 OE=r,
∵∠OED=∠A=90°,
∠ADE=∠EDO,
∴△ODE∽△BDA,
∴ = ,
∵AB=3,AD=4,
∴BD=5,
∴ = ,
解得:EO= .
故答案为: .
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质,正确得出
△ODE∽△BDA 是解题关键.
18.如图,将平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置,其中点 B、C、D 分别落
在点 E、F、G 处,且点 B、E、D、F 在一直线上,如果点 E 恰好是对角线 BD 的中点,那么 的
值是 .
【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2,BE= BD,AB=AE,再证明∠1=∠3,则可判断
△BAE∽△BDA,利用相似比可得 = ,然后证明 AD=BD 即可得到 的值.
【解答】解:∵平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置,点 E 恰好是对角线 BD
的中点,
∴∠1=∠2,BE= BD,AB=AE,
∵EF∥AG,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵∠ABE=∠DBA,
∴△BAE∽△BDA,
∴AB:BD=BE:AB,∠AEB=∠DAB,
∴AB2= BD2,
∴ = ,
∵AE=AB,
∴∠AEB=∠ABD,
∴∠ABD=∠DAB,
∴DB=DA,
∴ = .
故答案为 .
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA,
三、解答题
19.计算: .
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题.
【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方、乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的
值是多少即可.
【解答】解:
=1+9+6× ﹣| |
=10 ﹣2
=10
【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运
算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号
的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内
仍然适用.
(2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1.
(3)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a﹣p=
(a≠0,p 为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;③当底数
是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.
(4)此题还考查了特殊角的三角函数值,要牢记 30°、45°、60°角的各种三角函数值.
20.解不等式组: ,并写出它的所有非负整数解.
【考点】解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.
【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集,然后确定非负整
数解即可.
【解答】解: ,
解①得 x<2,
解②得 x>﹣ .
则不等式组的解集是:﹣ <x<2.
则非负整数解是:0,1.
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不
等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间.
21.已知,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 M、N 分别是边 AC、AB 的中点,点 D 是线
段 BM 的中点.
(1)求证: ;
(2)求∠NCD 的余切值.
【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
【分析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论;
(2)过 M 作 MN⊥AB 于 H,由直角三角形的性质得到 CN=AN= AB,由等腰三角形的性质得到
∠ACN=∠A=30°,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:(1)∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 N 分别是边 AB 的中点,点 D 是线段 BM 的中
点,
∴ = , = ,
∴ ;
(2)过 M 作 MN⊥AB 于 H,
∵点 N 分别是边 AB 的中点,
∴CN=AN= AB,
∴∠ACN=∠A=30°,
∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA,
∴设 BC=2k,则 MA= k,MH= k,HB=4k﹣ k= k,
∴cos∠NCD= = = .
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形,直角三角形的性质,正确的作出辅
助线是解题的关键.
22.某山山脚的 M 处到山顶的 N 处有一条长为 600 米的登山路,小李沿此路从 M 走到 N,停留后
再原路返回,期间小李离开 M 处的路程 y 米与离开 M 处的时间 x 分(x>0)之间的函数关系如图
中折线 OABCD 所示.
(1)求上山时 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域:
(2)已知小李下山的时间共 26 分钟,其中前 18 分钟内的平均速度与后 8 分钟内的平均速度之比为
2:3,试求点 C 的纵坐标.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)由 OA 过原点 O,故设上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx,将点 A 的坐标代入函
数解析式得出关于 k 的一元一次方程,解方程即可得出函数解析;
(2)根据比例关系设下山前 18 分钟内的平均速度为 2am/min,后 8 分钟内的平均速度为 3am/min,
结合路程=速度×时间,得出关于 a 的一元一次方程,解方程可求出 a 的值,再根据路程=速度×时间
可得出 C 点的纵坐标.
【解答】解:(1)设上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx,
根据已知可得:600=20k,
解得:k=30.
故上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=30x(0≤x≤20).
(2)设下山前 18 分钟内的平均速度为 2am/min,后 8 分钟内的平均速度为 3a/min,
由已知得:18×2a+8×3a=600,
解得:a=10.
故 8×3a=8×3×10=240(米).
答:点 C 的纵坐标为 240.
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用,解题的
关键是:(1)待定系数法求函数解析式;(2)根据数量关系列出关于 a 的一元一次方程.本题属
于基础题,难度不大,(1)没有难度;(2)巧用比例关系设未知数,解该类型题目时,由数量关
系列出方程(或方程组)是关键.
23.已知:如图,在直角梯形纸片 ABCD 中,DC∥AB,AB>CD>AD,∠A=90°,将纸片沿过点 D
的直线翻折,使点 A 落在边 CD 上的点 E 处,折痕为 DF,联结 EF 并展开纸片.
(1)求证:四边形 ADEF 为正方形;
(2)取线段 AF 的中点 G,联结 GE,当 BG=CD 时,求证:四边形 GBCE 为等腰梯形.
【考点】翻折变换(折叠问题);正方形的判定;等腰梯形的判定.
【分析】(1)由题意知,AD=DE,易证四边形 AFED 是矩形,继而证得四边形 AFED 是正方形;
(2)由 BG 与 CD 平行且相等,可得四边形 BCDG 是平行四边形,即证得 CB=DG,在正方形 AFED
中,易证△DAG≌△EFG,则可得 DG=EG=BC,即四边形 GBCE 是等腰梯形.
【解答】(1)证明:∵DC∥AB,∠A=90°,
∴∠ADE=90°,
由折叠的性质可得:∠A=∠DEF=90°,AD=ED,AF=EF,
∵四边形 ADEF 为矩形,
∴四边形 ADEF 为正方形;
(2)连接 EG,DG,
∵BG∥CD,且 BG=CD,
∴四边形 BCDG 是平行四边形.
∴CB=DG.
∵四边形 ADEF 是正方形,
∴EF=DA,∠EFG=∠A=90°.
∵G 是 AF 的中点,
∴AG=FG.
在△DAG 和△EFG 中,
,
∴△DAG≌△EFG(SAS),
∴DG=EG,
∴EG=BC.
∴四边形 GBCE 是等腰梯形.
【点评】此题考查了直角梯形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质以及等腰三角
形的判定.注意证得四边形 BCDG 是平行四边形与△DAG≌△EFG 是关键.
24.已知在直角坐标系中,抛物线 y=ax2﹣8ax+3(a<0)与 y 轴交于点 A,顶点为 D,其对称轴交 x
轴于点 B,点 P 在抛物线上,且位于抛物线对称轴的右侧.
(1)当 AB=BD 时(如图),求抛物线的表达式;
(2)在第(1)小题的条件下,当 DP∥AB 时,求点 P 的坐标;
(3)点 G 在对称轴 BD 上,且∠AGB= ∠ABD,求△ABG 的面积.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标,对称轴,利用两点间距离,即可;
(2)先确定出直线 AB 解析式,再由 DP∥AB 确定出直线 DP 解析式,利用方程组确定出交点坐标;
(3)利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决,(选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线
段作为底).
【解答】解:(1)∵y=ax2﹣8ax+3=a(x﹣4)2+3﹣16a,
∴对称轴为 x=4,B(4,0),A(0,3),
∴AB=5,
∵AB=BD,
∴BD=5,
∵抛物线的顶点为 D,其对称轴交 x 轴于点 B,
∴3﹣16a=BD=5,
∴a=﹣ ,
∴y= x2+x+3,
(2)∵B(4,0),A(0,3),
∴直线 AB 解析式为 y=﹣ x+3,
∵DP∥AB,
设直线 DP 解析式为 y=﹣ x+b,
∵D(4,5)在直线 DP 上,
∴b=8,
∴直线 DP 解析式为 y=﹣ x+8,
由 ,
∴x1=10,x2=4(舍),
∴P(10, );
(3)如图
①以 B 为圆心,BA 为半径作圆,交 DB 延长线于 G1,
∵BG=AB,
∴∠BAG1=∠BG1A,
∴∠AGB= ∠ABD,
∵AB=5,点 G 在对称轴 BD 上 x=4,
∴G1(4,﹣5),
∴S△ABG1= ×BG1×AH= ×5×4=10;
②以 A 为圆心,AG1 为半径作圆,交 BD 延长线于 G2,
过点 A 作 AH⊥BD 于 H,
∴HG2=HG1=BH+BG1=8,
∴BG2=11,
∴G2(4,11),
S△ABG2= ×BG2×AH= ×11×4=22;
即:S△ABG=10 或 22,
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法,图象交点坐
标的确定,两直线平行的特点,坐标系中确定三角形面积的常用方法,解本题的关键是确定出抛物
线的解析式.
25.已知:半圆 O 的直径 AB=6,点 C 在半圆 O 上,且 tan∠ABC=2 ,点 D 为弧 AC 上一点,联
结 DC(如图)
(1)求 BC 的长;
(2)若射线 DC 交射线 AB 于点 M,且△MBC 与△MOC 相似,求 CD 的长;
(3)联结 OD,当 OD∥BC 时,作∠DOB 的平分线交线段 DC 于点 N,求 ON 的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)如图 1 中,根据 AB 是直径,得△ABC 是直角三角形,利用勾股定理即可解决问
题.
(2)如图 2 中,只要证明△OBC≌△OCD 得 BC=CD,即可解决问题.
(3)如图 3 中,延长 ON 交 BC 的延长线于 G,作 GH⊥OB 于 H,先求出 BG,根据
tan∠HBG=2 ,利用勾股定理求出线段 HB、HG,再利用 CG∥DO 得 ,由此即可解决.
【解答】解;(1)如图 1 中,连接 AC,
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∵tan∠ABC=2 ,
∴可以假设 AC=2 k,BC=k,
∵AB=6,AB2=AC2+BC2,
∴36=8k2+k2,
∴k2=4,
∵k>0,
∴k=2,BC=2.
(2)如图 2 中,
∵△MBC 与△MOC 相似,
∴∠MBC=∠MCO,
∵∠MBC+∠OBC=180°,∠MCO+∠OCD=180°,
∴∠OBC=∠OCD,
∵OB=OC=OD,
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC,
在△OBC 和△OCD 中,
,
∴△OBC≌△OCD,
∴BC=CD=2.
(3)如图 3 中,延长 ON 交 BC 的延长线于 G,作 GH⊥OB 于 H.
∵BC∥OD,
∴∠DOG=∠OGB=∠GOB,
∴BO=BG=3,
∵tan∠HBG= ,设 GH=2 a,HB=a,
∵BG2=GH2+HB2,
∴8a2+a2=9,
∴a2=1,
∵a>0,
∴a=1,HB=1,GH=2 ,OH=2,OG= =2 ,
∵GC∥DO,
∴ = ,
∴ON= × = .
【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识,
灵活应用这些知识解决问题是解题的关键,第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理,属
于中考压轴题.