龙岩市2016年中考数学卷 19页

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龙岩市2016年中考数学卷

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‎2016年福建省龙岩市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分 ‎1.(﹣2)3=(  )‎ A.﹣6B.6C.﹣8D.8‎ ‎2.下列四个实数中最小的是(  )‎ A. B.2C. D.1.4‎ ‎3.与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列命题是假命题的是(  )‎ A.若|a|=|b|,则a=b B.两直线平行,同位角相等 C.对顶角相等 D.若b2﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根 ‎5.如图所示正三棱柱的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是(  )‎ A.平均数为160B.中位数为158C.众数为158D.方差为20.3‎ ‎7.反比例函数y=﹣的图象上有P1(x1,﹣2),P2(x2,﹣3)两点,则x1与x2的大小关系是(  )‎ A.x1>x2B.x1=x2C.x1<x2D.不确定 ‎8.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎9.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球.为估计白球个数,小何向其中投入8个黑球,搅拌均匀后随机摸出一个球,记下颜色,再把它放入袋中,不断重复摸球400次,其中88次摸到黑球,则估计袋中大约有白球(  )‎ A.18个B.28个C.36个D.42个 ‎10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=(  )‎ A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分 ‎11.因式分解:a2﹣6a+9=      .‎ ‎12.截止2016年4月28日,电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元,数据3390000000用科学记数法表示为      .‎ ‎13.如图,若点A的坐标为,则sin∠1=      .‎ ‎14.将一矩形纸条按如图所示折叠,若∠1=40°,则∠2=      °.‎ ‎15.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC=      .‎ ‎16.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=      .‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共9小题,共92题)‎ ‎17.计算:.‎ ‎18.先化简再求值: ,其中x=2+.‎ ‎19.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.‎ ‎20.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠ACD=∠B,AD⊥CD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=1,OA=2,求AC的值.‎ ‎21.某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会.根据平时成绩,把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图:‎ ‎(1)参加复选的学生总人数为      人,扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为      °;‎ ‎(2)补全条形统计图,并标明数据;‎ ‎(3)求在跳高项目中男生被选中的概率.‎ ‎22.图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)‎ ‎(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到0.1);‎ ‎(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)‎ ‎23.某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:‎ 销售量n(件)‎ n=50﹣x 销售单价m(元/件)]‎ 当1≤x≤20时,m=20+x 当21≤x≤30时,m=10+‎ ‎(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?‎ ‎(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;‎ ‎(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎24.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.‎ ‎(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB      EC.(填“>”,“<”或“=”)‎ ‎(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.‎ ‎25.已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;‎ ‎(4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年福建省龙岩市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分 ‎1.(﹣2)3=(  )‎ A.﹣6B.6C.﹣8D.8‎ ‎【考点】有理数的乘方.‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=﹣8,‎ 故选C ‎ ‎ ‎2.下列四个实数中最小的是(  )‎ A. B.2C. D.1.4‎ ‎【考点】实数大小比较.‎ ‎【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.‎ ‎【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得 ‎1.4<<<2,‎ ‎∴四个实数中最小的是1.4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】同类二次根式.‎ ‎【分析】根据化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.‎ ‎【解答】解:A、与﹣的被开方数不同,故A错误;‎ B、与﹣的被开方数不同,故B错误;‎ C、与﹣的被开方数相同,故C正确;‎ D、与﹣的被开方数不同,故D错误;‎ 故选:C ‎ ‎ ‎4.下列命题是假命题的是(  )‎ A.若|a|=|b|,则a=b B.两直线平行,同位角相等 C.对顶角相等 D.若b2﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根 ‎【考点】命题与定理.‎ ‎【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.‎ ‎【解答】解:A、若|a|=|b|,则a﹣b=0或a+b=0,故A错误;‎ B、两直线平行,同位角相等,故B正确;‎ C、对顶角相等,故C正确;‎ D、若b2﹣4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,故D正确;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.如图所示正三棱柱的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单几何体的三视图.‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可.‎ ‎【解答】解:如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形,故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是(  )‎ A.平均数为160B.中位数为158C.众数为158D.方差为20.3‎ ‎【考点】方差;算术平均数;中位数;众数.‎ ‎【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误.‎ ‎【解答】解:A、平均数为÷5=160,正确,故本选项不符合题意;‎ B、按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,正确,故本选项不符合题意;‎ C、数据158出现了2次,次数最多,故众数为158,正确,故本选项不符合题意;‎ D、这组数据的方差是S2= [2+2×2+2+2]=28.8,错误,故本选项符合题意.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.反比例函数y=﹣的图象上有P1(x1,﹣2),P2(x2,﹣3)两点,则x1与x2的大小关系是(  )‎ A.x1>x2B.x1=x2C.x1<x2D.不确定 ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=﹣的图象上有P1(x1,﹣2),P2(x2,﹣3)两点,‎ ‎∴每个分支上y随x的增大而增大,‎ ‎∵﹣2>﹣3,‎ ‎∴x1>x2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎【考点】菱形的性质;轴对称-最短路线问题.‎ ‎【分析】作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时,EP+FP有最小值,然后求得EF′的长度即可.‎ ‎【解答】解:作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P.‎ ‎∴EP+FP=EP+F′P.‎ 由两点之间线段最短可知:当E、P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,周长为12,‎ ‎∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,‎ ‎∵AF=2,AE=1,‎ ‎∴DF=AE=1,‎ ‎∴四边形AEF′D是平行四边形,‎ ‎∴EF′=AD=3.‎ ‎∴EP+FP的最小值为3.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球.为估计白球个数,小何向其中投入8个黑球,搅拌均匀后随机摸出一个球,记下颜色,再把它放入袋中,不断重复摸球400次,其中88次摸到黑球,则估计袋中大约有白球(  )‎ A.18个B.28个C.36个D.42个 ‎【考点】用样本估计总体.‎ ‎【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数,可以求出袋中放入黑球后总的个数,然后再减去黑球个数,即可得到白球的个数.‎ ‎【解答】解:由题意可得,‎ 白球的个数大约为:8÷﹣8≈28,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=(  )‎ A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】观察函数图象找出“a>0,c=0,﹣2a<b<0”,由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b,|2a+b|=2a+b,根据整式的加减法运算即可得出结论.‎ ‎【解答】解:观察函数图象,发现:‎ 图象过原点,c=0;‎ 抛物线开口向上,a>0;‎ 抛物线的对称轴0<﹣<1,﹣2a<b<0.‎ ‎∴|a﹣b+c|=a﹣b,|2a+b|=2a+b,‎ ‎∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分 ‎11.因式分解:a2﹣6a+9= (a﹣3)2 .‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法.‎ ‎【分析】本题是一个二次三项式,且a2和9分别是a和3的平方,6a是它们二者积的两倍,符合完全平方公式的结构特点,因此可用完全平方公式进行因式分解.‎ ‎【解答】解:a2﹣6a+9=(a﹣3)2.‎ ‎ ‎ ‎12.截止2016年4月28日,电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元,数据3390000000用科学记数法表示为 3.39×109 .‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:3390000000=3.39×109,‎ 故答案为:3.39×109‎ ‎ ‎ ‎13.如图,若点A的坐标为,则sin∠1= frac{{sqrt{3}}}{2} .‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义;坐标与图形性质.‎ ‎【分析】根据勾股定理,可得OA的长,根据正弦是对边比斜边,可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,,‎ 由勾股定理,得 OA==2.‎ sin∠1==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.将一矩形纸条按如图所示折叠,若∠1=40°,则∠2= 110 °.‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=40°,∠2+∠4=180°,由折叠的性质得到∠4=∠5,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠3=∠1=40°,∠2+∠4=180°,‎ ‎∵∠4=∠5,‎ ‎∴∠4=∠5==70°,‎ ‎∴∠2=110°,‎ 故答案为:110°.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC= 2 .‎ ‎【考点】等边三角形的性质.‎ ‎【分析】先证明BC=2CD,证明△CDE是等腰三角形即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBC=∠E=30°,BD⊥AC,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ ‎∴BC=2DC,‎ ‎∵∠ACB=∠E+∠CDE,‎ ‎∴∠CDE=∠E=30°,‎ ‎∴CD=CE=1,‎ ‎∴BC=2CD=2,‎ 故答案为2‎ ‎ ‎ ‎16.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心;规律型:图形的变化类.‎ ‎【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;‎ ‎(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π;‎ ‎(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π;‎ 综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π.‎ ‎【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°‎ ‎∵∠C=90°‎ ‎∴四边形OECF为矩形 ‎∵OE=OF ‎∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r ‎∴3﹣r+4+r=5,r==1‎ ‎∴S1=π×12=π ‎(2)图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD ‎∴CD=‎ 由勾股定理得:AD==,BD=5﹣=‎ 由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径==‎ ‎∴S1+S2=π×+π×=π ‎(3)图3,由S△CDB=××=×4×MD ‎∴MD=‎ 由勾股定理得:CM==,MB=4﹣=‎ 由(1)得:⊙O的半径=,:⊙E的半径==,:⊙F的半径==‎ ‎∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ‎∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为:π.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共9小题,共92题)‎ ‎17.计算:.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,零指数幂法则,以及平方根定义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=2+3﹣﹣﹣3+1=1.‎ ‎ ‎ ‎18.先化简再求值: ,其中x=2+.‎ ‎【考点】分式的化简求值.‎ ‎【分析】直接将括号里面进行通分运算,进而利用分式乘法运算法则求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=‎ ‎=‎ ‎=x+2,‎ 当时,‎ 原式=2++2=4+.‎ ‎ ‎ ‎19.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.‎ ‎【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.‎ ‎【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集.‎ ‎【解答】解:由①得x≥4,‎ 由②得x<1,‎ ‎∴原不等式组无解,‎ ‎ ‎ ‎20.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠ACD=∠B,AD⊥CD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=1,OA=2,求AC的值.‎ ‎【考点】切线的判定.‎ ‎【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得出∠ACB=90°,由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO,证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,即可得出结论;‎ ‎(2)证明△ACB∽△ADC,得出AC2=AD•AB,即可得出结果.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OC,如图所示:‎ ‎∵AB是⊙O直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴∠B=∠BCO,‎ 又∵∠ACD=∠B,‎ ‎∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,‎ 即OC⊥CD,‎ ‎∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵AD⊥CD,‎ ‎∴∠ADC=∠ACB=90°,‎ 又∵∠ACD=∠B,‎ ‎∴△ACB∽△ADC,‎ ‎∴AC2=AD•AB=1×4=4,‎ ‎∴AC=2.‎ ‎ ‎ ‎21.某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会.根据平时成绩,把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图:‎ ‎(1)参加复选的学生总人数为 25 人,扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 72 °;‎ ‎(2)补全条形统计图,并标明数据;‎ ‎(3)求在跳高项目中男生被选中的概率.‎ ‎【考点】概率公式;扇形统计图;条形统计图.‎ ‎【分析】(1)利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例,即可得出参加复选的学生总人数;用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比,再乘以360°即可求出短跑项目所对应圆心角的度数;‎ ‎(2)先求出长跑项目的人数,减去女生人数,得出长跑项目的男生人数,根据总人数为25求出跳高项目的女生人数,进而补全条形统计图;‎ ‎(3)用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可.‎ ‎【解答】解:(1)由扇形统计图和条形统计图可得:‎ 参加复选的学生总人数为:(5+3)÷32%=25(人);‎ 扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为:×360°=72°.‎ 故答案为:25,72;‎ ‎(2)长跑项目的男生人数为:25×12%﹣2=1,‎ 跳高项目的女生人数为:25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4=5.‎ 如下图:‎ ‎(3)∵复选中的跳高总人数为9人,‎ 跳高项目中的男生共有4人,‎ ‎∴跳高项目中男生被选中的概率=.‎ ‎ ‎ ‎22.图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)‎ ‎(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到0.1);‎ ‎(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理的应用.‎ ‎【分析】(1)先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值;‎ ‎(2)根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可.‎ ‎【解答】解:(1)根据图1可得:,,CD=3‎ ‎∴A站到B站的路程=≈9.7;‎ ‎(2)从A站到D站的路线图如下:‎ ‎ ‎ ‎23.某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:‎ 销售量n(件)‎ n=50﹣x 销售单价m(元/件)‎ 当1≤x≤20时,m=20+x 当21≤x≤30时,m=10+‎ ‎(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?‎ ‎(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;‎ ‎(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)分两种情形分别代入解方程即可.‎ ‎(2)分两种情形写出所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式即可.‎ ‎(3)分两种情形根据函数的性质解决问题即可.‎ ‎【解答】解:(1)分两种情况 ‎①当1≤x≤20时,将m=25代入m=20+x,解得x=10‎ ‎②当21≤x≤30时,25=10+,解得x=28‎ 经检验x=28是方程的解 ‎∴x=28‎ 答:第10天或第28天时该商品为25元/件.‎ ‎(2)分两种情况 ‎①当1≤x≤20时,y=(m﹣10)n=(20+x﹣10)(50﹣x)=﹣x2+15x+500,‎ ‎②当21≤x≤30时,y=(10+﹣10)(50﹣x)=‎ 综上所述:‎ ‎(3)①当1≤x≤20时 由y=﹣x2+15x+500=﹣(x﹣15)2+,‎ ‎∵a=﹣<0,‎ ‎∴当x=15时,y最大值=,‎ ‎②当21≤x≤30时 由y=﹣420,可知y随x的增大而减小 ‎∴当x=21时,y最大值=﹣420=580元 ‎∵‎ ‎∴第15天时获得利润最大,最大利润为612.5元.‎ ‎ ‎ ‎24.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.‎ ‎(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB = EC.(填“>”,“<”或“=”)‎ ‎(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.‎ ‎【考点】几何变换综合题.‎ ‎【分析】(1)由DE∥BC,得到,结合AB=AC,得到DB=EC;‎ ‎(2)由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC,得到DB=CE;‎ ‎(3)由旋转构造出△CPB≌△CEA,再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形,在简单计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵DE∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴DB=EC,‎ 故答案为=,‎ ‎(2)成立.‎ 证明:由①易知AD=AE,‎ ‎∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC,‎ 在△DAB和△EAC中 得 ‎∴△DAB≌△EAC,‎ ‎∴DB=CE,‎ ‎(3)如图,‎ 将△CPB绕点C旋转90°得△CEA,连接PE,‎ ‎∴△CPB≌△CEA,‎ ‎∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°,‎ ‎∴∠CEP=∠CPE=45°,‎ 在Rt△PCE中,由勾股定理可得,PE=2,‎ 在△PEA中,PE2=(2)2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,‎ ‎∵PE2+AE2=AP2,‎ ‎∴△PEA是直角三角形 ‎∴∠PEA=90°,‎ ‎∴∠CEA=135°,‎ 又∵△CPB≌△CEA ‎∴∠BPC=∠CEA=135°.‎ ‎ ‎ ‎25.已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;‎ ‎(4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.‎ ‎(2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.‎ ‎(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;‎ ‎(2)存在.‎ 当x=0,y═﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),‎ ‎∴OC=2,‎ ‎∵A(﹣4,0),B(1,0),‎ ‎∴OA=4,OB=1,AB=5,‎ 当∠PCB=90°时,‎ ‎∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25‎ ‎∴AC2+BC2=AB2‎ ‎∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,‎ ‎∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);‎ 当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n,‎ 把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2,‎ ‎∵BP∥AC,‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x+p,‎ 把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x﹣,‎ 解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);‎ 综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);‎ ‎(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)‎ ‎①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),‎ ‎②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),‎ 根据中点坐标公式得到: =或=,‎ 解得m=或,‎ 此时E2(,0),E3(,0),‎ ‎③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),‎ 综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,﹣2)或(,﹣2).‎ ‎ ‎