中考数学试题按知识点分类汇编二次函数和抛物线概念描点法画二次函数图象顶点和对称轴 51页

知识点：二次函数和抛物线有关概念，描点法画出二次函数的图象， 抛物线顶点和对称轴 一、选择题 ‎1.（2008年浙江省衢州市）把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 答案：D ‎2．(08浙江温州)抛物线的对称轴是（ ）‎ A．直线 B．直线 C．直线 ‎ D．直线 答案：A ‎3.(2008年沈阳市)二次函数的图象的顶点坐标是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A ‎4.（2008年陕西省）已知二次函数（其中），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案：C ‎5.（2008年吉林省长春市）抛物线的顶点坐标是 【 】‎ A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）‎ 答案：A ‎6.(2008 湖北 荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则 ( ) ‎ ‎(A) b=3,c=7． (B) b=6,c=3． (C) b=－9,c=－5． (D) b=－9,c=21．‎ 答案：A ‎7.(2008 河北)如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ） ‎ 答案：D ‎8．（2008江西）函数化成的形式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A ‎9.（2008佳木斯市）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）‎ A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 答案：A ‎10..（2008贵州贵阳)二次函数的最小值是（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ 答案：B ‎11..（2008资阳市） 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )‎ A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2‎ 答案：B ‎12．（2008泰州市）二次函数的图像可以由二次函数的图像 平移而得到，下列平移正确的是 A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 答案：B ‎13．（2008山西省）抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）‎ A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 ‎ B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 答案：D ‎14..将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 （ ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：A ‎15.（2008湖北武汉）函数的自变量的取值范围（　　）．‎ Ａ. 　Ｂ． 　 Ｃ． Ｄ．．‎ 答案：C ‎16.（2008湖北孝感）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：D ‎17.(2008 台湾)如图坐标平面上有一透明片，透明片上有一拋物线及一点P，且拋物线为二次函数y=x2的图形，P的坐标(2,4)。若将此透明片向右、向上移动后，得拋物线的顶点座标为(7,2)，则此时P的坐标为何？( ) ‎ ‎(A) (9,4) (B) (9,6) (C) (10,4) (D) (10,6)‎ 答案：B ‎18. （2008甘肃兰州）下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）‎ ‎6.17‎ ‎6.18‎ ‎6.19‎ ‎6.20‎ A． ‎ B． C． D．‎ 答案： C ‎19. （2008江苏镇江）福娃们在一起探讨研究下面的题目：‎ 函数（为常数）的图象如左图，‎ 如果时，；那么时，函数值（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（ ）‎ 贝贝：我注意到当时，．‎ 晶晶：我发现图象的对称轴为．‎ 欢欢：我判断出．‎ 迎迎：我认为关键要判断的符号．‎ 妮妮：可以取一个特殊的值．‎ 答案：C ‎20. (2008湖北仙桃等) 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 ‎ 答案：A ‎21. （2008齐齐哈尔）．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）‎ A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 答案：A ‎22.（2008齐齐哈尔）．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）‎ A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 答案：A 二、填空题 ‎1.（2008湖北黄冈）若点在第一象限，则的取值范围是 ；直线经过点，则 ；抛物线的对称轴为直线 ． ‎ 答案：K>1;1; X=2‎ ‎2.(2008年天津市)已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是 ．‎ 答案：（4，5）‎ ‎3.(2008年天津市)已知关于x的函数同时满足下列三个条件：‎ ‎①函数的图象不经过第二象限；‎ ‎②当时，对应的函数值；‎ ‎③当时，函数值y随x的增大而增大．‎ 你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．‎ 答案： （提示：答案不惟一，如等）‎ ‎4.(2008年大庆市)抛物线的顶点坐标是 ．‎ 答案：(0,1)‎ ‎5.（2008年四川省南充市）根据下面的运算程序，若输入时，输出的结果 ． ‎ ‎ ‎ 答案：‎ ‎6.（2008年吉林省长春市）将抛物线向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是 　　 。‎ 答案：（３，１０）‎ ‎7．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时， ． ‎ 答案：‎ ‎8．（2008 江西南昌）将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 　　 ．‎ 答案：y=-3x2+1‎ ‎9．（2008山西省）二次函数的图象的对称轴是直线 。‎ 答案：‎ ‎10. （2008山西太原）抛物线的顶点坐标是 。‎ 答案：（1，1）‎ ‎11.（2008湖北襄樊）如图7，一名男生 男生铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=－,则他将3将推出的距离是________ . ‎ 答案：10‎ ‎12.(2008 河南实验区)如图是二次函数图像的一部分，该图在轴右侧与轴交点的坐标是 ‎ 答案：（1，0）‎ ‎13．（2008湖北省咸宁）抛物线与轴只有一个公共点，则的 值为 ．‎ 答案：8‎ ‎13.（2008年白银）抛物线 y=x2+x-4与y轴的交点坐标为 ．‎ 答案：(0，-4)‎ ‎14. （2008甘肃兰州）在同一坐标平面内，下列4个函数①，②，③，④的图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 （填序号）．‎ 答案：④‎ 三、 简答题 ‎1.(2008淅江宁波)如图，中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点．‎ ‎（1）求点的坐标．‎ ‎（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．‎ 解：（1）在中，且，‎ 点的坐标为 1分 设抛物线的对称轴与轴相交于点，‎ 则， 2分 点的坐标为． 4分 ‎（2）由抛物线的顶点为，‎ 可设抛物线的解析式为， 5分 把代入上式，‎ 解得． 6分 设平移后抛物线的解析式为 把代入上式得 7分 平移后抛物线的解析式为． 8分 即．‎ ‎2．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.‎ 如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.‎ (1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；‎ ‎(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.‎ 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；‎ 则设抛物线的解析式为(a≠0) ‎ 又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 ‎ ‎ ∴y=x2-2x-3 3分 自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ 解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)‎ ‎ 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ‎ ∴，解之得：‎ ‎∴y=x2-2x-3 3分 自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，‎ ‎ 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=‎ ‎ 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4‎ ‎ ∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分∴切线CE的解析式为 8分 ‎(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) 9分 ‎ 由题意可知方程组只有一组解 ‎ 即有两个相等实根，∴k=-2 11分 ‎ ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 12分 ‎3.（2008浙江杭州）在直角坐标系中，设点，点．平移二次函数的图象，得到的抛物线满足两个条件：①顶点为；②与轴相交于 两点（）．连接．‎ ‎（1）是否存在这样的抛物线，使得？请你作出判断，并说明理由；‎ ‎（2）如果，且，求抛物线对应的二次函数的解析式．‎ 解：（1）这样的抛物线F是不存在的。‎ 假定这样的抛物线F存在，因为顶点为Q，而且F是由平移的得到的，所以F的关系式为，化简得 根据二次函数和一元二次方程的关系，函数y图像与x轴的交点B,C的横坐标等于方程的两个根，设这两个根为x1 ，x2 ，则x1·x2===，‎ ‎∣OA∣2 =t2, ∣OB∣·∣OC∣=，若二者相等的话，b=0，这样Q就在x轴上，抛物线F不可能与x轴有两个交点B，C.和假定产生矛盾，所以这样的抛物线F是不存在的。‎ ‎（2）∵AQ∥BC ‎ ∴Q点纵坐标和A点纵坐标相同。‎ ‎ 即Q(t，t)‎ ‎ ∵tan∠ABO=.OA=t ‎ ∴OB==‎ ‎ F是由平移得到，顶点为Q(t，t)，所以关系式为 ‎ 把B点坐标（，0）代入关系式得，，解得t1=0（舍去），‎ t2=-3（舍去），t3=3，把t=3代入原关系式得抛物线F的关系式为 ‎4.(2008年浙江省绍兴市)定义为一次函数的特征数．‎ ‎（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；‎ ‎（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．‎ 解：（1）特征数为的一次函数为，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）抛物线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为．‎ 若，则，；‎ 若，则，．‎ 当时，满足题设条件．‎ 此时抛物线为．‎ 它与轴的交点为，‎ 与轴的交点为，‎ 一次函数为或，‎ 特征数为或．‎ ‎5.（2008年四川巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．‎ ‎（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．‎ ‎（2）请求出球飞行的最大水平距离．‎ ‎（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．‎ ‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ 1分 抛物线开口向下，顶点为，对称轴为 3分 ‎（2）令，得：‎ ‎ 4分 解得：， 5分 球飞行的最大水平距离是8m． 6分 ‎（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为，顶点为 7分 设此时对应的抛物线解析式为 8分 又点在此抛物线上，‎ ‎ 9分 ‎ 10分 ‎6．（2008年江苏省南通市）已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标.‎ 解：由抛物线与y轴交点的纵坐标为－6，得c＝－6.‎ ‎∴A（－2，6），点A向右平移8个单位得到点A′（6，6）‎ ‎∵A与A′两点均在抛物线上，‎ ‎∴，解这个方程组，得 故抛物线的解析式是 ‎∴抛物线顶点坐标为（2，－10）‎ ‎7.（2008年山东省枣庄市）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且．‎ ‎（1）求点A与点B的坐标；‎ ‎（2）求此二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．‎ 解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）． ……………………1分 ‎∵，∴BO=3． ‎ ‎∴点B的坐标为（-3，0）． ………………………………２分 ‎（2）把点B的坐标（-3，0）代入，得 ‎． 解得． …………………4分 ‎∴所求二次函数的解析式为． …………………5分 ‎（3）因为△ABP是等腰三角形，所以 ‎①当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）． ………………………………6分 ‎②当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）． ………………………8分 ‎③当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）．根据题意，得．‎ 解得 ．∴点P的坐标为（，0）． ……………………………10分 综上所述，点P的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．‎ ‎ ‎ ‎8.(2008 河南)如图，直线y=和x轴、y轴的交点分别为B，C。点A的坐标是（－2,0）‎ （1） 试说明△ABC是等腰三角形；‎ （2） 动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t秒时，△MON的面积为s。‎ ① 求s与t的函数关系式；‎ ② 当点M在线段OB上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；‎ ③ 在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值。‎ 解：（1）将y=0代入y=,得到x=3,∴点B的坐标为（3,0）；‎ 将x=0,代入y=,得到y=4, ∴点C的坐标为（0,4） …………2分 在Rt△OBC中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。‎ 又A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形。………………4分 ‎（2）∵AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动。‎ 过点N作ND⊥x轴于D　，‎ 则ND＝NB●sin∠OBC＝，‎ ① 当0＜t＜2时（如图甲）‎ OM＝2－t,‎ ‎∴s==‎ ‎= ……………………7分 当2＜t≤5时（如图乙），OM＝t－2,‎ ‎∴s==‎ ‎= …………………………8分 ‎（注：若将t的取值范围分别写为0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分）‎ ② 存在s＝4的情形。‎ 当s＝4时，＝4‎ 解得t1=1+, t2=1-秒。　　…………………………10分 ③ 当MN⊥x轴时，△MON为直角三角形，‎ MB＝NB●COS∠MBN＝，又MB＝5－t.‎ ‎∴=5-t, ∴t= ………………11分 当点M，N分别运动到点B，C时，△MON为直角三角形，t=5.‎ 故△MON为直角三角形时，t=秒或t＝5秒　　…………12‎ ‎9.(2008 湖北 十堰)已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；‎ ‎⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)．‎ ‎⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，‎ ‎∴AB＝4．∴‎ 在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，‎ ‎∴‎ ‎∴b＝ ‎ 当时，‎ ‎∴　‎ ‎∴ ‎ ‎⑶存在．‎ 理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．‎ ‎①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．‎ 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．‎ ‎∴x＝±4．∴点M的坐标为．‎ ‎②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．‎ 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．‎ ‎∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．‎ ‎∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．‎ ‎∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．‎ ‎∴点M的坐标为． ‎ 综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为 ‎10.(2008 湖南 怀化)如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．‎ ‎（1）求出直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设AB的函数表达式为 ‎∵∴∴ ‎ ‎∴直线AB的函数表达式为．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，‎ 因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．‎ 设所求的抛物线为 则 ‎∴所求抛物线为 ‎ ‎（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．‎ 又AC=直角三角形的面积 假设抛物线上存在点．‎ 当故满足条件的存在．它们是．‎ ‎11.(2008 四川 广安)如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式．‎ ‎（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．‎ ‎（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意得 解得b＝－2，c＝－4 ‎ ‎∴此抛物线的解析式为：y＝x2－2x－4‎ ‎2（2）由题意得 解得　　　‎ ‎∴点Ｂ的坐标为(4，4)‎ 将x＝m代入　y＝x条件得y＝m ‎∴点Ｎ的坐标为（m , m）‎ 同理点Ｍ的坐标为（m , m2－<2m>－4 ），点Ｐ的坐标为(m , 0 )‎ ‎∴PN＝｜m｜ ,MP＝| m2－<2m>－4 |‎ ‎∵‎ ‎∴MN＝PN＋MP＝‎ ‎(3)作BC⊥MN于点C ，则BC＝4－m ，OP＝m ‎==‎ ‎∵－2＜0‎ ‎∴当时，Ｓ有最大值 ‎12.(2008 湖北 荆门)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－<4ac>．‎ ‎ (1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；‎ ‎(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?‎ 解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1．‎ ‎ ‎ ‎ 又b=<-4ac>, 顶点A(-,0),‎ ‎ ∴-==<2c>=2．∴A(2,0)． ‎ ‎ 将A点坐标代入抛物线解析式，得<4a>+2b+1=0 ， ‎ ‎ ∴ 　解得a =,b =-1.‎ ‎ 故抛物线的解析式为y=x2-x+1． ‎ ‎ 另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b2<-4ac>=0, b=<-4ac>，∴b=-1． ‎ ‎ ∴a=,故y=x-x+1． ‎ ‎ (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．‎ ‎　　∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°．‎ ‎ ∴ △AOB∽△CDA．‎ ‎ ∴OB·CD=OA·AD．‎ ‎ 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　‎ ‎ 由　‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得x1=10,x2=2．‎ ‎ 　　 ‎ ‎∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． ‎ ‎ ∵P为圆心，∴P为BC中点．‎ ‎ 　 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 ,　则PP1为梯形OBCD中位线．‎ ‎∴PP1=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P1 (5,0),　∴P (5, )． ‎ ‎ 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 ,　则PP2为△OAB的中位线．‎ ‎∴PP2=OB=．∵A (2,0),　∴P2(1,0), ∴P (1,)．　‎ 故点P坐标为(5, ),或(1,)．　 　　　‎ ‎(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),　P(x2,y2),　C(x3,y3)，由(2)可知：‎ ‎ ‎ ‎13．(2008北京)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．‎ ‎（1）求直线及抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；‎ ‎（3）连结，求与两角和的度数．‎ 解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．‎ 设直线的解析式为．在直线上，‎ ‎．解得．直线的解析式为． ‎ 抛物线过点，解得 抛物线的解析式为．‎ ‎（2）由．可得．，，，．‎ 可得是等腰直角三角形．，．‎ 如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，．‎ 过点作于点．．‎ 可得，．‎ 在与中，，，‎ ‎．，．解得．‎ 点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或．‎ ‎（3）如图2，作点关于轴的对称点，则．‎ 连结，可得，．‎ 由勾股定理可得，．又，是等腰直角三角形，，‎ ‎．．．‎ 即与两角和的度数为．‎ ‎14．（08厦门市）已知：抛物线经过点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；‎ ‎（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）‎ 解：（1）依题意得：， 2分 ‎． 3分 ‎（2）当时，， 4分 抛物线的顶点坐标是． 6分 ‎（3）当时，抛物线对称轴，‎ 对称轴在点的左侧．‎ 因为抛物线是轴对称图形，且．‎ ‎ 9分 ‎．‎ ‎． 10分 又，． 11分 抛物线所对应的二次函数关系式． 12分 解法2：（3）当时，，‎ 对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，‎ ‎，且 9分 ‎． 10分 又，解得： 11分 这条抛物线对应的二次函数关系式是． 12分 解法3：（3），，‎ ‎ 7分 轴， 8分 即：．‎ 解得：，即 10分 由，．‎ ‎ 11分 这条抛物线对应的二次函数关系式 12分 ‎15.（2008佛山） 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为<6米>，底部宽度为<12米>. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.‎ ‎(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；‎ ‎(2) 求出这条抛物线的函数解析式；‎ ‎(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？‎ 解：(1) M(12，0)，P(6，6). ………………………………………………………………………………………2分 ‎(2) 设此函数关系式为：. ………………………………………………………3分 ‎∵函数经过点(0，3)，‎ ‎∴，即. ………………4分 ‎∴此函数解析式为：‎ ‎.………5分 ‎(3) 设A(m，0)，则 B(12-m，0)，C，D . …………7分 ‎∴“支撑架”总长AD+DC+CB = ‎ ‎= . …………………………………………………………………………………………………9分 ‎ ∵ 此二次函数的图象开口向下.‎ ‎∴ 当m = 0时，AD+DC+CB有最大值为18. …………………………………………………10分 ‎16.08江苏盐城）如图，直线经过点，且与轴交于点，将抛物线沿轴作左右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）抛物线与轴交于点，与直线交于两点，其中一个交点为，当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（3）在抛物线平移过程中，将沿直线翻折得到，点能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点的坐标；如不能，说明理由．‎ 解：(1)∵点B在直线AB上,求得b=3,‎ ‎∴直线AB：, ‎ ‎∴A（，0），即OA=．‎ 作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=．‎ ‎∴ ．　‎ ‎(2)设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，　‎ ‎∴E（0，）‎ ‎∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称, ∴F（2t，）． ‎ ‎∵点F在直线AB上, ‎ ‎∴抛物线C为. ‎ ‎ (3)假设点D落在抛物线C上，‎ 不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C:，AP=+ t，‎ 连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，‎ 又∠BAO＝30°，∴△PAD为等边三角形．PM=AM＝，‎ ‎∴ ‎ ‎∵点D落在抛物线C上，‎ ‎∴ ‎ 当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P为（，0） ‎ ‎∴当点D落在抛物线C上顶点P为（，0）.　　　‎ ‎17.(2008年镇江)推理运算 二次函数的图象经过点，，．‎ ‎（1）求此二次函数的关系式；‎ ‎（2）求此二次函数图象的顶点坐标；‎ ‎（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．‎ 解：（1）设， （1分）‎ 把点，代入得 （2分）‎ 解方程组得 ． （3分）‎ ‎（也可设）‎ ‎（2）． （4分）‎ 函数的顶点坐标为． （5分）‎ （5）5 ‎18.（2008泰州市）已知二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，－）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）‎ ‎（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内交于点A(x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）‎ ‎（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．（5分）‎ 解：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分 ‎（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）‎ 将（0，—）代入，解得a=.‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x- …………………………………3分 ‎（无论解析式是什么形式只要正确都得分）‎ 画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 ‎（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分 由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 ‎（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，‎ 对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），‎ y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，‎ 即＞×22+2-，解得K＞5。…………………………………11分 同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，‎ 即×32+3—＞，解得K＜18。…………………………………13‎ 所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分 ‎19. （2008江苏盐城）‎ 如图，直线经过点，且与轴交于点，将抛物线沿轴作左右平移，记平移后的抛物线为，其顶点为．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）抛物线与轴交于点，与直线交于两点，其中一个交点为，当线段轴时，求平移后的抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（3）在抛物线平移过程中，将沿直线翻折得到，点能否落在抛物线上？如能，求出此时抛物线顶点的坐标；如不能，说明理由．‎ 解：(1)∵点B在直线AB上,求得b=3,‎ ‎∴直线AB：, ‎ ‎∴A（，0），即OA=．‎ 作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=．‎ ‎∴ ．　‎ ‎(2)设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，　‎ ‎∴E（0，）‎ ‎∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称, ∴F（2t，）． ‎ ‎∵点F在直线AB上, ‎ ‎∴抛物线C为. ‎ ‎ (3)假设点D落在抛物线C上，‎ 不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C:，AP=+ t，‎ 连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，‎ 又∠BAO＝30°，∴△PAD为等边三角形．PM=AM＝，‎ ‎∴ ‎ ‎∵点D落在抛物线C上，‎ ‎∴ ‎ 当时，此时点P，点P与点A 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P为（，0） ‎ ‎∴当点D落在抛物线C上顶点P为（，0）.　　　‎ ‎20.（2008年庆阳市）一条抛物线经过点与．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；‎ ‎（2）现有一半径为1、圆心在抛物线上运动的动圆，当与坐标轴相切时，求圆心的坐标；‎ ‎（3）能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线使与两坐标轴都相切（要说明平移方法）．‎ 解：（1）∵ 抛物线过两点， ‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎ ‎　　∴ 抛物线的解析式是，顶点坐标为． ‎ ‎　　（2）设点的坐标为，‎ ‎　　当与轴相切时，有，∴． ‎ 由，得；‎ 由，得．‎ ‎　　此时，点的坐标为． ‎ ‎　　当与轴相切时，有，∴ ． ‎ ‎　　由，得，解得；‎ ‎　　由，得，解得．‎ 此时，点的坐标为，． ‎ 综上所述，圆心的坐标为：，，．‎ 注：不写最后一步不扣分．‎ ‎（3） 由（2）知，不能． ‎ 设抛物线上下平移后的解析式为,‎ 若能与两坐标轴都相切，则,‎ 即x0=y0=1；或x0=y0=-1；或x0=1，y0=-1；或x0=-1，y0=1． ‎ 取x0=y0=1，代入，得h=1．‎ ‎∴ 只需将向上平移1个单位，就可使与两坐标轴都相切．‎ ‎21.（2008年陕西省）如图，矩形的长、宽分别为和1，且，点，连接．‎ ‎（1）求经过三点的抛物线的表达式；‎ ‎（2）若以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．请在下图网格中画出放大后的五边形；‎ ‎（3）经过三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．‎ 解：（1）设经过三点的抛物线的表达式为．‎ ‎． ‎ ‎， ‎ 解之，得． ‎ 过三点的抛物线的表达式为． ‎ ‎（3）不能．理由如下：‎ 设经过三点的抛物线的表达式为．‎ ‎，‎ ‎，解之，得．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，，．‎ ‎ ‎ 经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到． （‎ ‎22. （2008上海市）如图12，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；‎ ‎（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）二次函数的图像经过点，‎ ‎，得， （2分）‎ 所求二次函数的解析式为． （1分）‎ 则这个二次函数图像顶点的坐标为； （2分）‎ ‎（2）过点作轴，垂足为点．在中，，，，‎ ‎．在中，，又，‎ 可得．． （2分）‎ 过点作轴，垂足为点．由题意知，点在点的右侧，‎ 易证．．‎ 其中，．设点的坐标为，则，，‎ ‎①若点在的延长线上，则．‎ 得，，，所以点的坐标为；‎ ‎②若点在线段上，则．‎ 得，，，所以点的坐标为．‎ 综上所述，点的坐标为或． （5分）‎ ‎23. (2008湖南株洲)如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为. ‎ ‎（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.‎ ‎（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.‎ ‎（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.‎ ‎（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 解:（1）等 （满足条件即可） ‎ ‎（2）设的解析式为，联立方程组，‎ 解得：，则的解析式为， ‎ 点C的坐标为（） ‎ ‎（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.‎ 得：. ‎ 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）‎ ‎①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）. …… 6分 ‎②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.‎ 综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，） ‎ ‎(4) 作图痕迹如答图23-2所示.‎ 由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置. ‎ ‎ ‎ ‎24.（2008年江苏省无锡市）已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设直线交轴于是线段上一动点（点异于），过作轴交直线于，过作轴于，求当四边形的面积等于时点的坐标．‎ ‎ ‎ 解：（1）由题意，知点是抛物线的顶点，‎ ‎ （2分）‎ ‎ ‎ ‎，，抛物线的函数关系式为． （3分）‎ ‎  ‎ ‎（2）由（1）知，点的坐标是．设直线的函数关系式为，‎ 则，，‎ 由，得，，点的坐标是．‎ 设直线的函数关系式是，‎ 则解得，．‎ 直线的函数关系式是． ‎ 设点坐标为，则．‎ 轴，点的纵坐标也是．‎ 设点坐标为，‎ 点在直线上，，．‎ ‎ 轴，点的坐标为，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎ ，，，当时，，‎ 而，，‎ 点坐标为和． （9分）‎ ‎25. （2008 四川 泸州）如图11，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。‎ ‎⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；‎ ‎⑵已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；‎ ‎⑶当时，求四边形PCMB的面积的最小值。‎ ‎【参考公式：已知两点，，则线段DE的中点坐标为】‎ 解：（1）由，则得 ‎，解得 故函数解析式是：。‎ 由知，‎ 点M（1，4）。‎ ‎（2）由点E在正比例函数的图像上得，‎ ‎，故，‎ 由解得D点坐标为（），‎ 由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量的取值范围是。‎ ‎（3）‎ 解得，点D、E坐标为D（）、‎ E（），‎ 则点P坐标为P（）由，知点P在第一象限。‎ 由点B，C，M（1，4），得 ‎，‎ 则 整理，配方得 ‎。‎ 故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是。‎ ‎26. (2008 湖北 荆门)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－<4ac>．‎ ‎ (1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；‎ ‎(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?‎ 解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1．‎ ‎ 又b=<-4ac>, 顶点A(-,0),‎ ‎ ∴-==<2c>=2．∴A(2,0)． ‎ ‎ 将A点坐标代入抛物线解析式，得<4a>+2b+1=0 ， ‎ ‎ ∴ 　解得a =,b =-1.‎ ‎ 故抛物线的解析式为y=x2-x+1． ‎ ‎ ‎ ‎ 另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b2<-4ac>=0, b=<-4ac>，∴b=-1． ‎ ‎ ∴a=,故y=x-x+1． ‎ ‎ (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．‎ ‎　　∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°．‎ ‎ ∴ △AOB∽△CDA．‎ ‎ ∴OB·CD=OA·AD．‎ ‎ 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　‎ ‎ 由　‎ 解得x1=10,x2=2．‎ ‎ 　　 ‎ ‎∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． ‎ ‎ ∵P为圆心，∴P为BC中点．‎ ‎ 　 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 ,　则PP1为梯形OBCD中位线．‎ ‎∴PP1=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P1 (5,0),　∴P (5, )． ‎ ‎ 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 ,　则PP2为△OAB的中位线．‎ ‎∴PP2=OB=．∵A (2,0),　∴P2(1,0), ∴P (1,)．　‎ 故点P坐标为(5, ),或(1,)．　　　　‎ ‎(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),　P(x2,y2),　C(x3,y3)，由(2)可知：‎ ‎ ‎ ‎27. (2008北京)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．‎ ‎（1）求直线及抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；‎ ‎（3）连结，求与两角和的度数 解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．‎ 设直线的解析式为．在直线上，‎ ‎．解得．直线的解析式为． ‎ 抛物线过点，解得 抛物线的解析式为．‎ ‎（2）由．可得．，，，．‎ 可得是等腰直角三角形．，．‎ 如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，．‎ 过点作于点．．‎ 可得，．‎ 在与中，，，‎ ‎．，．解得．‎ 点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或．‎ ‎（3）如图2，作点关于轴的对称点，则．‎ 连结，可得，．‎ 由勾股定理可得，．又，是等腰直角三角形，，‎ ‎．．．‎ 即与两角和的度数为．‎ ‎28.（2008 山东 临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;‎ ‎⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。‎ 解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎⑵存在。‎ 由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。‎ ‎①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，‎ 得，即y＝4－x。‎ 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即 解得，，应舍去。∴。‎ ‎∴，即点P坐标为。‎ ‎②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。‎ ‎∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。‎ ‎⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,‎ 得CB＝,CD＝,BD＝,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠BCD＝90°,‎ 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，‎ ‎∵CF＝DF＝1,‎ ‎∴∠CDF＝45°,‎ 由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），‎ ‎∴DM∥BC,‎ ‎∴四边形BCDM为直角梯形, ‎ 由∠BCD＝90°及题意可知，‎ 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;‎ 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。‎ 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……‎ ‎29. （2008年大连）如图10，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)．‎ ‎⑴求m的值和抛物线的解析式；‎ ‎⑵求不等式的解集(直接写出答案)．‎ ‎30. （2008年赤峰）在平面直角坐标系中给定以下五个点．‎ ‎（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；‎ ‎（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；‎ ‎（3）已知点在抛物线的对称轴上，直线过点且垂直于对称轴．验证：以为圆心，为半径的圆与直线相切．请你进一步验证，以抛物线上的点为圆心为半径的圆也与直线相切．由此你能猜想到怎样的结论．‎ 解：（1）设抛物线的解析式为，‎ 且过点，‎ 由在H ．‎ 则． （2分）‎ 得方程组，‎ 解得．‎ 抛物线的解析式为 （4分）‎ ‎（2）由 （6分）‎ 得顶点坐标为，对称轴为． （8分）‎ ‎（3）①连结，过点作直线的垂线，垂足为，‎ 则．‎ 在中，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 以点为圆心，为半径的与直线相切． （10分）‎ ‎②连结过点作直线的垂线，垂足为．过点作垂足为，‎ 则．‎ 在中，，．‎ ‎．‎ 以点为圆心为半径的与直线相切． （12分）‎ ‎③以抛物线上任意一点为圆心，以为半径的圆与直线相切． （14分）‎ 说明：解答题只提供了一种答案，如有其他解法只要正确，可参照本评分标准按步骤赋分 ‎31.（2008年福建南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片，为原点，点分别在轴，轴上，点坐标为（其中），在边上选取适当的点和点，将沿翻折，得到；再将沿翻折，恰好使点与点重合，得到，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点的坐标（不要求写出求解过程）．‎ ‎【提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是】‎ ‎（1）解法一：，‎ 由题意可知，， 2分 ‎， 3分 ‎．又， 4分 解法二：，‎ 由题意可知，， 2分 ‎， 3分 ‎ 4分 ‎（2）解法一：过作直线轴于，‎ 则，，故． 5分 又由（1）知，‎ 设过三点的抛物线解析式为 抛物线过原点，． 6分 又抛物线过两点， 解得 所求抛物线为 8分 它的对称轴为． 9分 解法二：过作直线轴于，‎ 则，，故． 5分 又由（1）知，点关于直线对称，点为抛物线的顶点 6分 于是可设过三点的抛物线解析式为 抛物线过点，，解得 所求抛物线为 8分 它的对称轴为． 9分 ‎（3）答：存在 10分 满足条件的点有，，，．（每空1分） 14分 ‎32.(2008年广东梅州市)如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．‎ ‎（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）‎ 解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分 ‎ ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分 ‎∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分 ‎ ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分 RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分 A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分 ‎（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），‎ 故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．‎ 所求抛物线的解析式为 = 7分 其对称轴L为直线=1． 8分 ‎（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：‎ ‎①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， ‎ P1DB为等腰三角形； 9分 ‎②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；‎ ‎③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．‎ ‎33.（08海南）如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；‎ ‎（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，‎ ‎∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分）‎ ‎∴ B(-2,3)‎ ‎∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，‎ ‎∴ 点A的坐标为(4,0) . ‎ 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）‎ 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .‎ ‎∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分）‎ ‎ （2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，‎ ‎ 则BG⊥直线x=2，BG=4.‎ ‎ 在Rt△BGC中，BC=.‎ ‎∵ CE=5，‎ ‎∴ CB=CE=5. ……………………（9分）‎ ‎②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，‎ 则点H的坐标为H(0,-5).‎ 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，‎ ‎∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎ ∴ △DFB≌△DHE （SAS），‎ ‎∴ BD=DE.‎ 即D是BE的中点. ………………………………（11分）‎ ‎ ‎ ‎（3） 存在. ………………………………（12分）‎ ‎ 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，‎ ‎∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ ‎ 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.‎ ‎ 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .‎ ‎ ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.‎ ‎∵ 动点P的坐标为(x，)，‎ ‎∴ x-1=. ………………………………（13分）‎ 解得 ，. ∴ ，.‎ ‎∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）‎ ‎(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)‎