2020年山东省枣庄市中考数学试卷(含解析） 24页

‎2020年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．‎ ‎1．（3分）‎-‎‎1‎‎2‎的绝对值是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．2‎ ‎2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．18° D．30°‎ ‎3．（3分）计算‎-‎2‎‎3‎-‎（‎-‎‎1‎‎6‎）的结果为（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎-‎‎5‎‎6‎ D．‎‎5‎‎6‎ ‎4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）‎ A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1‎ ‎5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（　　）‎ A．‎4‎‎9‎ B．‎2‎‎9‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．17‎ 第24页（共24页）‎ ‎7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）‎ A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2‎ ‎8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b‎=‎‎1‎a-‎b‎2‎，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3‎=‎1‎‎1-‎‎3‎‎2‎=-‎‎1‎‎8‎．则方程x⊗（﹣2）‎=‎2‎x-4‎-‎1的解是（　　）‎ A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7‎ ‎10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ‎＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．（‎-‎‎3‎，3） B．（﹣3，‎3‎） C．（‎-‎‎3‎，2‎+‎‎3‎） D．（﹣1，2‎+‎‎3‎）‎ ‎11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）‎ A．3‎3‎ B．4 C．5 D．6‎ ‎12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：‎ ‎①ac＜0；‎ ‎②b2﹣4ac＞0；‎ ‎③2a﹣b＝0；‎ ‎④a﹣b+c＝0．‎ 其中，正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝　 　．‎ ‎14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　．‎ 第24页（共24页）‎ ‎15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　 　．‎ ‎16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　 　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ ‎17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．‎ ‎18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a‎+‎‎1‎‎2‎b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共7小题，满分60‎ 第24页（共24页）‎ 分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（8分）解不等式组‎4(x+1)≤7x+13，‎x-4＜x-8‎‎3‎，‎并求它的所有整数解的和．‎ ‎20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．‎ ‎（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：‎ 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎　 　‎ 棱数E ‎6‎ ‎　 　‎ ‎12‎ ‎　 　‎ 面数F ‎4‎ ‎5‎ ‎　 　‎ ‎8‎ ‎（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　 　．‎ ‎21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．‎ 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 ‎1.2≤x＜1.6‎ a ‎1.6≤x＜2.0‎ ‎12‎ ‎2.0≤x＜2.4‎ b ‎2.4≤x＜2.8‎ ‎10‎ 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）表中a＝　 　，b＝　 　；‎ ‎（2）样本成绩的中位数落在　 　范围内；‎ ‎（3）请把频数分布直方图补充完整；‎ ‎（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y‎=‎kx的图象经过点A．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）设一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．‎ ‎23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．‎ ‎24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45‎ 第24页（共24页）‎ ‎°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．‎ ‎（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；‎ ‎（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；‎ ‎（3）若CD＝2，CF‎=‎‎2‎，求DN的长．‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第24页（共24页）‎ ‎2020年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．‎ ‎1．（3分）‎-‎‎1‎‎2‎的绝对值是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．2‎ ‎【解答】解：‎-‎‎1‎‎2‎的绝对值为‎1‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．18° D．30°‎ ‎【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，‎ ‎∵AB∥CF，‎ ‎∴∠ABD＝∠EDF＝45°，‎ ‎∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）计算‎-‎2‎‎3‎-‎（‎-‎‎1‎‎6‎）的结果为（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎-‎‎5‎‎6‎ D．‎‎5‎‎6‎ ‎【解答】解：‎-‎2‎‎3‎-‎（‎-‎‎1‎‎6‎）‎=-‎2‎‎3‎+‎1‎‎6‎=-‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）‎ A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1‎ ‎【解答】解：A、|a|＞1，故本选项错误；‎ 第24页（共24页）‎ B、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故本选项错误；‎ C、a+b＜0，故本选项错误；‎ D、∵a＜0，∴1﹣a＞1，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（　　）‎ A．‎4‎‎9‎ B．‎2‎‎9‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：‎ 共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，‎ ‎∴P（两次都是白球）‎=‎‎4‎‎9‎，‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．17‎ ‎【解答】解：∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴△ACE的周长＝AC+CE+AE ‎＝AC+CE+BE ‎＝AC+BC ‎＝5+6‎ 第24页（共24页）‎ ‎＝11．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）‎ A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2‎ ‎【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，‎ 则面积是（a﹣b）2．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b‎=‎‎1‎a-‎b‎2‎ 第24页（共24页）‎ ‎，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3‎=‎1‎‎1-‎‎3‎‎2‎=-‎‎1‎‎8‎．则方程x⊗（﹣2）‎=‎2‎x-4‎-‎1的解是（　　）‎ A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7‎ ‎【解答】解：根据题意，得‎1‎x-4‎‎=‎2‎x-4‎-‎1，‎ 去分母得：1＝2﹣（x﹣4），‎ 解得：x＝5，‎ 经检验x＝5是分式方程的解．‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ‎＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）‎ A．（‎-‎‎3‎，3） B．（﹣3，‎3‎） C．（‎-‎‎3‎，2‎+‎‎3‎） D．（﹣1，2‎+‎‎3‎）‎ ‎【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．‎ 在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，‎ ‎∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°‎=‎‎3‎，‎ ‎∴OH＝2+1＝3，‎ ‎∴B′（‎-‎‎3‎，3），‎ 故选：A．‎ ‎11．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．3‎3‎ B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，‎ ‎∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，‎ ‎∴EF⊥AC，‎ ‎∵∠EAC＝∠ECA，‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴AF＝CF，‎ ‎∴AC＝2AB＝6，‎ 故选：D．‎ ‎12．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：‎ ‎①ac＜0；‎ ‎②b2﹣4ac＞0；‎ ‎③2a﹣b＝0；‎ ‎④a﹣b+c＝0．‎ 其中，正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x‎=-b‎2a=‎1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，‎ 于是有：ac＜0，因此①正确；‎ 由x‎=-b‎2a=‎1，得2a+b＝0，因此③不正确，‎ 第24页（共24页）‎ 抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，‎ 由对称轴x＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，‎ 综上所述，正确的结论有①②④，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．‎ ‎13．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝　1　．‎ ‎【解答】解：（a+b）2＝32＝9，‎ ‎（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．‎ ‎∵a2+b2＝7，‎ ‎∴2ab＝2，‎ ab＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎14．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝　﹣1　．‎ ‎【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，‎ ‎∵a﹣1≠0，‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　27°　．‎ ‎【解答】解：∵PA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠OAP＝90°，‎ ‎∵∠P＝36°，‎ ‎∴∠AOP＝54°，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴∠B‎=‎‎1‎‎2‎∠AOP＝27°．‎ 故答案为：27°．‎ ‎16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　1.5　m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），‎ 故答案为1.5．‎ ‎17．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　8‎5‎　．‎ ‎【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，‎ ‎∵AE＝CF＝2，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，‎ ‎∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，‎ ‎∴四边形BEDF为菱形，‎ ‎∴DE＝DF＝BE＝BF，‎ ‎∵AC＝BD＝8，OE＝OF‎=‎8-4‎‎2‎=‎2，‎ 由勾股定理得：DE‎=OD‎2‎+OE‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎5‎，‎ ‎∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4‎×2‎5‎=‎8‎5‎，‎ 故答案为：8‎5‎．‎ ‎18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a‎+‎‎1‎‎2‎b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　6　．‎ ‎【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，‎ ‎∴a＝4，b＝6，‎ ‎∴该五边形的面积S＝4‎+‎1‎‎2‎×‎6﹣1＝6，‎ 故答案为：6．‎ 三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 第24页（共24页）‎ ‎19．（8分）解不等式组‎4(x+1)≤7x+13，‎x-4＜x-8‎‎3‎，‎并求它的所有整数解的和．‎ ‎【解答】解：‎4(x+1)≤7x+13①‎x-4＜x-8‎‎3‎②‎，‎ 由①得，x≥﹣3，‎ 由②得，x＜2，‎ 所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，‎ 所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，‎ 所以，所有整数解的和为﹣5．‎ ‎20．（8分）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．‎ ‎（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：‎ 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎　6　‎ 棱数E ‎6‎ ‎　9　‎ ‎12‎ ‎　12　‎ 面数F ‎4‎ ‎5‎ ‎　6　‎ ‎8‎ ‎（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　V+F﹣E＝2　．‎ ‎【解答】解：（1）填表如下：‎ 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 第24页（共24页）‎ 顶点数V ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ 棱数E ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎12‎ 面数F ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（2）∵4+4﹣6＝2，‎ ‎6+5﹣9＝2，‎ ‎8+6﹣12＝2，‎ ‎6+8﹣12＝2，‎ ‎…，‎ ‎∴V+F﹣E＝2．‎ 即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．‎ 故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．‎ ‎21．（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．‎ 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 ‎1.2≤x＜1.6‎ a ‎1.6≤x＜2.0‎ ‎12‎ ‎2.0≤x＜2.4‎ b ‎2.4≤x＜2.8‎ ‎10‎ 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）表中a＝　8　，b＝　20　；‎ ‎（2）样本成绩的中位数落在　2.0≤x＜2.4　范围内；‎ ‎（3）请把频数分布直方图补充完整；‎ ‎（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，‎ 故答案为：8，20；‎ ‎（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，‎ 故答案为：2.0≤x＜2.4；‎ ‎（3）补全频数分布直方图如图所示：‎ ‎（4）1200‎×‎10‎‎50‎=‎240（人），‎ 答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y‎=‎kx的图象经过点A．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）设一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象的另一个交点为B，OB，求△ABO的面积．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：（1）联立y‎=‎‎1‎‎2‎x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2‎y=4‎，故点A（﹣2.4），‎ 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4‎=‎k‎-2‎，解得：k＝﹣8，‎ 故反比例函数表达式为：y‎=-‎‎8‎x②；‎ ‎（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，‎ 当x＝﹣8时，y‎=‎‎1‎‎2‎x+5＝1，故点B（﹣8，1），‎ 设y‎=‎‎1‎‎2‎x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，‎ 则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC‎=‎1‎‎2‎×‎OC•AM‎-‎‎1‎‎2‎OC•BN‎=‎1‎‎2‎×4×10-‎1‎‎2‎×10×1=15‎．‎ ‎23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴∠1+∠2＝90°．‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴2∠1＝∠CAB．‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵∠BAC＝2∠CBF，‎ ‎∴∠1＝∠CBF ‎∴∠CBF+∠2＝90°‎ 即∠ABF＝90°‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：过C作CH⊥BF于H，‎ ‎∵AB＝AC，⊙O的直径为4，‎ ‎∴AC＝4，‎ ‎∵CF＝6，∠ABF＝90°，‎ ‎∴BF‎=AF‎2‎-AB‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎4‎‎2‎=‎2‎21‎，‎ ‎∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，‎ ‎∴△CHF∽△ABF，‎ ‎∴CHAB‎=‎CFAF，‎ ‎∴CH‎4‎‎=‎‎6‎‎4+6‎，‎ ‎∴CH‎=‎‎12‎‎5‎，‎ ‎∴HF‎=CF‎2‎-CH‎2‎=‎6‎‎2‎‎-(‎‎12‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎6‎‎21‎‎5‎，‎ ‎∴BH＝BF﹣HF＝2‎21‎‎-‎6‎‎21‎‎5‎=‎‎4‎‎21‎‎5‎，‎ ‎∴tan∠CBF‎=CHBH=‎12‎‎5‎‎4‎‎21‎‎5‎=‎‎21‎‎7‎．‎ ‎24．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；‎ ‎（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；‎ ‎（3）若CD＝2，CF‎=‎‎2‎，求DN的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，‎ ‎∴∠DCF＝∠DCE＝135°，‎ 在△DCF和△DCE中，‎ CF=CE‎∠DCF=∠DCEDC=DC‎，‎ ‎∴△DCF≌△DCE（SAS）‎ ‎∴DE＝DF；‎ ‎（2）证明：∵∠DCF＝135°，‎ ‎∴∠F+∠CDF＝45°，‎ ‎∵∠FDE＝45°，‎ ‎∴∠CDE+∠CDF＝45°，‎ ‎∴∠F＝∠CDE，‎ ‎∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，‎ ‎∴△FCD∽△DCE，‎ ‎∴CFCD‎=‎CDCE，‎ ‎∴CD2＝CE•CF；‎ ‎（3）解：过点D作DG⊥BC于G，‎ ‎∵∠DCB＝45°，‎ ‎∴GC＝GD‎=‎‎2‎‎2‎CD‎=‎‎2‎，‎ 第24页（共24页）‎ 由（2）可知，CD2＝CE•CF，‎ ‎∴CE‎=CD‎2‎CF=‎2‎2‎，‎ ‎∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，‎ ‎∴△ENC∽△DNG，‎ ‎∴CNNG‎=‎CEDG，即‎2‎‎-NGNG‎=‎‎2‎‎2‎‎2‎，‎ 解得，NG‎=‎‎2‎‎3‎，‎ 由勾股定理得，DN‎=DG‎2‎+NG‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎3‎．‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得‎9a-3b+4=0‎‎16a+4b+4=0‎，解得 第24页（共24页）‎ a=-‎‎1‎‎3‎b=‎‎1‎‎3‎‎，‎ 故抛物线的表达式为：y‎=-‎‎1‎‎3‎x2‎+‎‎1‎‎3‎x+4；‎ ‎（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），‎ 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；‎ 设点M（m，0），则点P（m，‎-‎‎1‎‎3‎m2‎+‎‎1‎‎3‎m+4），点Q（m，﹣m+4），‎ ‎∴PQ‎=-‎‎1‎‎3‎m2‎+‎‎1‎‎3‎m+4+m﹣4‎=-‎‎1‎‎3‎m2‎+‎‎4‎‎3‎m，‎ ‎∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，‎ ‎∴∠PQN＝∠BQM＝45°，‎ ‎∴PN＝PQsin45°‎=‎‎2‎‎2‎（‎-‎‎1‎‎3‎m2‎+‎‎4‎‎3‎m）‎=-‎‎2‎‎6‎（m﹣2）2‎+‎‎2‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵‎-‎2‎‎6‎＜‎0，故当m＝2时，PN有最大值为‎2‎‎2‎‎3‎；‎ ‎（3）存在，理由：‎ 点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，‎ ‎①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，‎ 则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，‎ 解得：m＝±‎5‎‎2‎‎2‎（舍去负值），‎ 故点Q（‎5‎‎2‎‎2‎，‎8-5‎‎2‎‎2‎）；‎ ‎②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，‎ 在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍 第24页（共24页）‎ 去0），‎ 故点Q（1，3）；‎ ‎③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m‎=‎‎25‎‎2‎（舍去）；‎ 综上，点Q的坐标为（1，3）或（‎5‎‎2‎‎2‎，‎8-5‎‎2‎‎2‎）．‎ 第24页（共24页）‎