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  • 2021-05-13 发布

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析一

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‎2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(一)‎ 例1 ‎ 如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.‎ ‎(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);‎ ‎(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;‎ ‎(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).‎ 图1 图2‎ 解析 ‎(1)因为PC//DB,所以.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以AD=4-m.于是得到点D的坐标为(2,4-m).‎ ‎(2)在△APD中,,,.‎ ‎①当AP=AD时,.解得(如图3).‎ ‎②当PA=PD时,.解得(如图4)或(不合题意,舍去).‎ ‎③当DA=DP时,.解得(如图5)或(不合题意,舍去).‎ 综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为,或.‎ 图3 图4 图5‎ ‎(3)点H所经过的路径长为.‎ 考点伸展 第(2)题解等腰三角形的问题,其中①、②用几何说理的方法,计算更简单:‎ ‎①如图3,当AP=AD时,AM垂直平分PD,那么△PCM∽△MBA.所以.因此,.‎ ‎②如图4,当PA=PD时,P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此.解得.‎ 第(2)题的思路是这样的:‎ 如图6,在Rt△OHM中,斜边OM为定值,因此以OM为直径的⊙G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P与O重合时,是点H运动的起点,∠COH=45°,∠CGH=90°.‎ 图6 图7‎ 例2 ‎ 如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.‎ ‎(1)求点A和点B的坐标;‎ ‎(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 图1 ‎ 解析 ‎(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).‎ 令,得.所以点B的坐标是(7,0).‎ ‎(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由 ‎,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.‎ 因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.‎ 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.‎ 如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.‎ 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.‎ 在△APQ中, 为定值,,.‎ 如图5,当AP=AQ时,解方程,得.‎ 如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.‎ 如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.‎ 综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形. ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.‎