中考数学中的折叠问题26088 30页

中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。‎ 例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）‎ A、85° B、90° C、95° D、100°‎ 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。‎ 由题意可知：∠BME=∠，∠CMF=∠，°，又与重合， ‎ 则∠EMF=∠+∠=°= 90°，故选B。‎ 例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E、D分别落在、。已知∠AFC=76°，则等于（ ）‎ A、31° B、28° C、24° D、22°‎ 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：180°-76°=104°，则=104°-76°=28°，故选B。‎ G E F 例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点的位置，若OB=，，则点的坐标为 。‎ 分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。‎ ‎ 例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶‎ ‎1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。‎ 例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。‎ ‎(1) 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；(2) 如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。‎ M N O 分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=。 ∴DF=AD-AF= ，在Rt△DEF中,由勾股定理得 。‎ ‎（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO， 取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MO∥DC。设，则 ，在矩形ABCD中，‎ ‎∠C=∠D=90° ∴AE为△AED的外接圆的直径， O为圆心。延长MO交BC 于 点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形。‎ ‎∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO= ∵ △AED的外接圆与BC相切，∴ ON是△AED的外接圆的半径。 ∴ OE=ON=，AE=2ON=4-。在Rt△AED中， ∴ 解这个方程，得。∴，。 根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴ ∠FOE=∠D=90°。‎ ‎ 又 ∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，∴， ∴ 可得 又AB∥CD， ∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO ∴△FEO≌△GAO ‎ ‎ ∴FO=GO ∴， ∴折痕FG的长是。‎ ‎ ‎ 中考实战一:‎ 一、选择题 ‎1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）‎ A．4　　　　　 B．3‎ C．4　　　　 　D．8‎ ‎2.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）‎ A．6个　　　 　 　　　B．5个　　 　　　　　‎ C．4个　　　 　　　 　D．3个 ‎3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（　　）‎ Ａ．20　　　　　　　 Ｂ．22　　　　　　　 Ｃ．24　　　　　　　 Ｄ．30‎ ‎4.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（　）‎ A．60° 　　B．67.5° 　　C．72° 　　D．75°‎ ‎5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）.‎ 从图中可知，小敏画平行线的依据有（　）‎ ‎①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；‎ ‎③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．‎ A．①②　　　 　　　　 B．②③　　　　　　　 C．③④ 　　　　　　　D．①④‎ ‎ ‎ ‎6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）‎ A．34cm2 　　　　　　　B．36 cm2 　　　　　　　‎ C．38 cm2 　　　　 　D．40 cm2‎ 二、填空题 ‎7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG　　　　　 °．‎ ‎　　　　‎ ‎8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．‎ 三、解答题 ‎9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ 如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ ‎10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.‎ 求证：△PBE∽△QAB；‎ 你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；‎ 如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？‎ ‎11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥‎ CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．‎ ‎（1）求证：EF∥BD；‎ ‎（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．‎ ‎12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：‎ 如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：‎ 为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．‎ ‎(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．‎ ‎13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△AD′F；‎ ‎（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．‎ ‎14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：‎ 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；‎ 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.‎ 请解答以下问题：‎ ‎（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．‎ ‎（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？‎ ‎（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？‎ ‎15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图 ‎②）．‎ ‎（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）‎ ‎（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）‎ ‎16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.‎ ‎（１）求证：△PBE∽△QAB；‎ ‎（２）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；‎ ‎（３）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？‎ ‎17.（临安市）如图，△OAB是边长为 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.‎ ‎（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；‎ ‎（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；‎ ‎（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.‎ ‎18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△‎ ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．‎ ‎（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ ‎19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：‎ ‎（1）BF=DF；‎ ‎（2）AE∥BD．‎ 中考实战二:‎ 一、选择题 ‎1.（山东日照4分）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在轴上，则点C的坐标是 ‎ A、（0，） B、（0，） C、（0，3） D、（0，4）‎ ‎2.（天津3分）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（ ）‎ ‎ (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°‎ ‎3.（重庆４分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是( )‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎4.（浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是 ‎ A、3 B、4 C、 D、‎ ‎5.（浙江省3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于( )‎ ‎ A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21‎ ‎6.（吉林省3分）如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“”的图形，将纸片展开，得到的图形是 ‎7.（江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 ①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是 (　　　　　　)‎ ‎ A、①②都对 B、①②都错 ‎ ‎ C、①对②错 D、①错②对 ‎8.（山东菏泽3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　　）‎ ‎ A、6 B、3 C、2 D、‎ ‎9．（山东济宁3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（　　　）‎ A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm ‎ ‎10.（山东泰安3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、6‎ ‎11.（广东广州3分）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12．（河北省3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 （　　　）‎ ‎ A、 B、‎2 ‎ C、3 D、4‎ ‎13.（四川宜宾3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在 点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 （　　　）‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎14.（四川泸州2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎15.（四川内江3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 （　　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎16.（甘肃天水4分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（　　　） ‎ ‎ A、6 B、4 C、2 D、1‎ ‎17.（云南昭通3分）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝1250，那么∠ABE的度数为（　　　） ‎ ‎ A．150 B．200 C．250 D．300‎ ‎18.（福建三明4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（　　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎19.（福建莆田4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 （　　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎20.（黑龙江省绥化3分）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎21.（湖南岳阳3分）‎ 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③；④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是 ‎ ‎ A、①② B、②③ C、①④ D、③④‎ 二、填空题 ‎1．（重庆潼南4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=‎5cm，则点D到斜边AB的距离是　 　 　cm．‎ ‎2.（浙江绍兴5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长 之比为　　　　‎ ‎3.（浙江台州5分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CGE＝ ．‎ ‎ ‎ ‎4.（广西贺州3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是_ ．‎ ‎5.（广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部 分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的 面积等于_ cm2．‎ ‎6.（湖北荆州4分）如图，双曲线(＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，‎ ‎∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折 后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .‎ ‎7.（湖南衡阳3分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 　 ．‎ ‎8.（湖南怀化3分）如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A'B'C'关于直线对称，则∠B= ‎ ‎9.（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在 BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1‎ 重合，则AC＝ 　　　 cm．‎ ‎10.（山东滨州4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED的大小是　 ．‎ ‎11.（内蒙古包头3分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的横坐标是　 　．‎ ‎12.（内蒙赤峰3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为　 ．‎ ‎13.（四川广元5分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中点，将 纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1‎ ‎＝40º，则∠BMC的度数为 ．‎ ‎14.（四川绵阳4分）如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于 cm．‎ ‎16.（贵州安顺4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是　 　．‎ ‎17.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．‎ ‎（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是　 　　　 　；‎ ‎（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是　 　　　　 　．‎ ‎18.（重庆江津4分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是　　　 　．‎ 三、解答题 ‎1.（贵州遵义10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．‎ ‎2.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．‎ ‎(1)求∠DA1E的大小；‎ ‎(2)求△A1BE的面积．‎ ‎3.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．‎ ‎（1）求∠BDF的度数；‎ ‎（2）求AB的长．‎ ‎4.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.‎ ‎（1）求证：AG=C′G；‎ ‎（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长.‎ ‎5. （四川南充8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DFE ‎（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值。‎ ‎6.（江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。‎ （1） 求图②中∠BCB' 的大小;‎ （2） 图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由. ‎ ‎7.（山东莱芜9分）已知：矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝3。操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。探究：（1）如图①，若点B与A重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图②，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。‎ ‎7.（山东威海11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取A B C D D A M N C B K ‎1‎ 一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。‎ ‎⑴若∠1=70°，求∠MKN的度数；‎ ‎⑵△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；‎ ‎⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。‎A B C D A B C D 备用图 ‎8.（湖北十堰8分）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。‎ ‎（1）求证：DE是半圆的切线；‎ ‎（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。‎ ‎9. （甘肃兰州12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎10.（辽宁抚顺14分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1，0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB.‎ ‎(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；‎ ‎(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是(,0)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎①当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值； ‎ ‎②在点E运动过程中，求S与的函数关系式．‎ 备用图 ‎11.（黑龙江牡丹江10分）如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=．若线段OA的长是一元二次方程2—7一8=0的一个根，又2AB=3OA．请解答下列问题：‎ ‎ (1)求点B、F的坐标：‎ ‎ (2)求直线ED的解析式：‎ ‎ (3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎12.（湖南怀化10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．‎ ‎（1）求证：AE•AO=BF•BO；‎ ‎（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．‎ ‎14.（广东珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．‎ ‎（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；‎ ‎（2）记∠EPM＝，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．‎ ‎ ① 求证：＝ PA2．‎ ‎ ② 设AN＝x，y＝，试求出以为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．‎ O A B C D P E F M N ‎ ‎ ‎15.（湖北孝感14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中轴上，折叠边AD，使点D落在轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（），其中.‎ ‎（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；（5分）‎ ‎（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；（4分）‎ ‎（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求、、的值.（5分）‎ 图（1） 图（2）‎ ‎16. （陕西省12分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”‎ ‎（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　 　三角形 ‎（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；‎ ‎（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？‎ 图① 图② 图③ 图④‎ ‎18.（辽宁辽阳14分）如图，已知Rt△ABO，∠BAO＝90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO＝3，∠AOB＝30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．‎ ‎(1)求D点坐标；‎ ‎(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过B、D两点，求此抛物线的表达式；‎ ‎(3)若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M.是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是.‎ ‎21.（福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。‎ ‎(1) 求CD的长及∠1的度数；‎ ‎(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；‎ ‎(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?‎ ‎22.（福建宁德13分）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F.将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为秒．‎ ‎⑴①直线与坐标轴交点坐标是A（___，___），B（___，___）；‎ ‎②画出t＝2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；‎ ‎⑵若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；‎ ‎⑶设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最大值．‎