中考数学一模试卷含解析18 27页

广东省广州大学附中（奥班）2016 年中考数学一模试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列命题中，正确的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 2．已知 a=+1，b=，则 a 与 b 的关系是（　　） A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣1 3．当 k＞0 时，双曲线 y=与直线 y=﹣kx 的公共点有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．有 20 名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前 10 名参加复赛． 若小新知道了自己的成绩，则由其他 19 名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能 否进入复赛的是（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 5．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关 系是（　　） A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 6．如图，圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切，且 DE 与圆 O 相切于 E 点．若圆 O 的半径 为 5，且 AB=11，则 DE 的长度为何？（　　） A．5 B．6 C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点 ，则 tan∠OBC 的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三 角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（　　） A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙 C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙 10．如图，已知抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别 为 y1、y2．若 y1≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2．例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1＜y2，此时 M=0．下列判断： ①当 x＞0 时，y1＞y2； ②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越小； ③使得 M 大于 2 的 x 值不存在； ④使得 M=1 的 x 值是或． 其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 　 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．在实数范围内因式分解：x4y﹣2x2y=　　　　　　． 12．在﹣1，1，2 这三个数中任选 2 个数分别作为 P 点的横坐标和纵坐标，过 P 点画双曲线 ，该双曲线位于第一、三象限的概率是　　　　　　． 13．已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是　　　　　　． 14．劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰 三角形加工成一个边长比是 1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三 角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为　　　　　　 ． 15．如图，在直径为 6 的半圆上有两动点 M、N，弦 AM、BN 相交于点 P，则 APAM+BPBN 的值 为　　　　　　． 16．在直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义：若 y′=，则 称点 Q 为点 P 的“可控变点”．请问：若点 P 在函数 y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上， 其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数 a 的取值范围是　　　　　　 ． 　 三、计算题（本大题共 9 小题，共 102 分） 17．计算 （1）解方程： （2）先化简，再求代数式的值，其中 a=6tan60°﹣2． 18．若关于 x 的不等式组恰有三个整数解，求实数 a 的取值范围． 19．如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2（单位：km） ．有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45° 的方向． （1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北 偏西 15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 20．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50 米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（ 二选一）和坐位体前屈、1 分钟跳绳（二选一）中选择两项． （1）毎位考生有　　　　　　种选择方案； （2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（2011 泰安）如图，一 次函数 y=k1x+b 的图象经过 A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象 限内的交点为 M，若△OBM 的面积为 2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在 x 轴上是否存在点 P，使 AM⊥MP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直 线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 点 F，连接 BE． （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）求证：PC=PF； （3）若 tan∠ABC=，AB=14，求线段 PC 的长． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象是直线 l1，l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、 B 两点．直线 l2 过点 C（a，0）且与直线 l1 垂直，其中 a＞0．点 P、Q 同时从 A 点出发，其 中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位；点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位． （1）写出 A 点的坐标和 AB 的长； （2）当点 P、Q 运动了多少秒时，以点 Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切， 求此时 a 的值． 24．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连接 BD ，F 为 BD 中点． （1）若过点 D 作 DE⊥AB 于 E，连接 CF、EF、CE，如图 1． 设 CF=kEF，则 k=　　　　　　； （2）若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示．求证：BE﹣DE=2CF； （3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点， 求线段 CF 长度的最大值． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c（b，c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三 角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过 A，B 两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q． （i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以 M、P、Q 三点为顶 点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； （ii）取 BC 的中点 N，连接 NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若 不存在，请说明理由． 　 2016 年广东省广州大学附中（奥班）中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列命题中，正确的是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【分析】根据平行线的性质进行逐一判断即可． 【解答】解：对顶角相等，正确； 在两平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D 才正确． 故选 A． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命 题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 　 2．已知 a=+1，b=，则 a 与 b 的关系是（　　） A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣1 【分析】先把 b 化简，再判断 a 与 b 的关系． 【解答】解：∵b==， ∴a=b． 故选 A． 【点评】此题的关键是对 b 的化简，即分母有理化． 　 3．当 k＞0 时，双曲线 y=与直线 y=﹣kx 的公共点有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【分析】此题可以由 k＞0 判断函数 y=与 y=﹣kx 所处的象限，由交点判断函数的公共点个 数． 【解答】解：根据函数 y=﹣kx 与 y=（k≠0）的图象特点： ∵k＞0 时，﹣k＜0， ∴y=﹣kx 的图象过二、四象限，y=（k≠0）的图象在一、三象限， ∴两图象无交点． 故选 A． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握其性质才能灵活解题． 　 4．有 20 名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前 10 名参加复赛． 若小新知道了自己的成绩，则由其他 19 名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能 否进入复赛的是（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 【分析】由于有 20 名同学参加比赛，按成绩取前 10 名参加复赛，小新知道了自己的成绩， 而中位数是一组数据排序后中间的一个数或中间两个数的平均数，所以判断小新能否进入复 赛的应该是中位数，极差和方差是反映数据波动大小的量，平均数不能准确判断小新能否进 入复赛，由此即可求解． 【解答】解：∵有 20 名同学参加比赛，按成绩取前 10 名参加复赛，小新知道了自己的成绩 ， 而极差和方差是反映数据波动大小的量，平均数不能准确判断小新能否进入复赛， 又中位数是一组数据排序后中间的一个数或中间两个数的平均数， ∴判断小新能否进入复赛的应该是中位数． 故选 C． 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据 集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选 择和恰当的运用． 　 5．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关 系是（　　） A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 【分析】由三个图分别可以得到，由①式可得 Q+S＞Q+P，代入③式得到 P+R＞Q+P，所以 R＞ Q．所以它们的大小关系为 S＞P＞R＞Q． 【解答】解：观察前两幅图易发现 S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现 R＞Q， 所以 S＞P＞R＞Q． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系， 体现了“数形结合”的数学思想． 　 6．如图，圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切，且 DE 与圆 O 相切于 E 点．若圆 O 的半径 为 5，且 AB=11，则 DE 的长度为何？（　　） A．5 B．6 C． D． 【分析】求出正方形 ANOM，求出 AM 长和 AD 长，根据 DE=DM 求出即可． 【解答】解： 连接 OM、ON， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB=11，∠A=90°， ∵圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切， ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A， ∵OM=ON， ∴四边形 ANOM 是正方形， ∴AM=OM=5， ∵AD 和 DE 与圆 O 相切，圆 O 的半径为 5， ∴AM=5，DM=DE， ∴DE=11﹣5=6， 故选 B． 【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键 是求出 AM 长和得出 DE=DM． 　 7．在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定 a、b 的符号，进而运用二次函数的性质 判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【解答】解：A、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，对称轴 x=﹣＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象开口向下，对称轴 x=﹣位于 y 轴的右侧，故符合题意， D、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根 据其中一次函数图象确定 a、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的 关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 　 8．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点 ，则 tan∠OBC 的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先设⊙A 与 x 轴的另一个交点为 D，连接 CD，根据直角对的圆周角是直径，即可 得 CD 是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC=∠ODC，继 而可求得答案． 【解答】解：设⊙A 与 x 轴的另一个交点为 D，连接 CD， ∵∠COD=90°， ∴CD 是直径，即 CD=10， ∵C（0，5）， ∴OC=5， ∴OD==5， ∵∠OBC=∠ODC， ∴tan∠OBC=tan∠ODC===． 故选 C． 【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．注意掌握辅助线的作法， 注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 　 9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三 角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（　　） A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙 C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙 【分析】首先过点 B 作 BH⊥GF 于点 H，则 S乙=ABAC，易证得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA， 可求得 GF，DB，DE，DF 的长，继而求得答案． 【解答】解：如图：过点 B 作 BH⊥GF 于点 H， 则 S 乙=ABAC， ∵AC∥DE， ∴△ABC∽△DBE， ∴， ∵BC=7，CE=3， ∴DE=AC，DB=AB， ∴AD=BD﹣BA=AB， ∴S 丙=（AC+DE）AD=ABAC， ∵AD∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB， ∴BH∥AC， ∴四边形 BDFH 是矩形， ∴BH=DF，FH=BD=AB， ∴△GBH∽△BCA， ∴， ∵GB=2，BC=7， ∴GH=AB，BHAC， ∴DF=AC，GF=GH+FH=AB， ∴S 甲=（BD+GF）DF=ABAC， ∴甲＜乙，乙＜丙． 故选 D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此 题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 　 10．如图，已知抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别 为 y1、y2．若 y1≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2．例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1＜y2，此时 M=0．下列判断： ①当 x＞0 时，y1＞y2； ②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越小； ③使得 M 大于 2 的 x 值不存在； ④使得 M=1 的 x 值是或． 其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【分析】利用图象与坐标轴交点以及 M 值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案． 【解答】解：∵当 x＞0 时，利用函数图象可以得出 y2＞y1；∴①错误； ∵抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y2．若 y1 ≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M； ∴当 x＜0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大，M 值越大；∴②错误； ∵抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，与 y 轴交点坐标为：（0，2），当 x=0 时，M=2，抛物 线 y1=﹣2x2+2，最大值为 2，故 M 大于 2 的 x 值不存在； ∴使得 M 大于 2 的 x 值不存在，∴③正确； ∵当﹣1＜x＜0 时， 使得 M=1 时，可能是 y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣， 当 y2=2x+2=1，解得：x=﹣， 由图象可得出：当 x=＞0，此时对应 y1=M， ∵抛物线 y1=﹣2x2+2 与 x 轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜0，此时对应 y2=M， 故 M=1 时，x1=，x2=﹣， 使得 M=1 的 x 值是或．∴④正确； 故正确的有：③④． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解 题关键． 　 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．在实数范围内因式分解：x4y﹣2x2y=　x2y（x+）（x﹣）　． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=x2y（x2﹣2）=x2y（x+）（x﹣）， 故答案为：x2y（x+）（x﹣） 【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 　 12．在﹣1，1，2 这三个数中任选 2 个数分别作为 P 点的横坐标和纵坐标，过 P 点画双曲线 ，该双曲线位于第一、三象限的概率是　　． 【分析】根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标，再根据只有（1，2），（2，1） 符合 xy=k＞0，得出答案即可． 【解答】解：∵在﹣1，1，2 这三个数中任选 2 个数分别作为 P 点的横坐标和纵坐标， ∴符合要求的点有（﹣1，1），（﹣1，2），（1，2），（1，﹣1），（2，1），（2，﹣1 ）， ∴该双曲线位于第一、三象限时，xy=k＞0， 只有（1，2），（2，1）符合 xy=k＞0， ∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：2÷6=， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及反比例函数的性质，根据概率公式得出符合要 求的点的坐标是解决问题的关键． 　 13．已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是　15°或 75°　． 【分析】当 E 在正方形 ABCD 内时，根据正方形 ABCD，得到 AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△ CDE，得到 CD=DE，∠CDE=60°，推出 AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理 求出即可； 当 E 在正方形 ABCD 外时，根据等边三角形 CDE，推出∠ADE=150°，求出即可． 【解答】解：有两种情况： （1）当 E 在正方形 ABCD 内时，如图 1 ∵正方形 ABCD， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵等边△CDE， ∴CD=DE，∠CDE=60°， ∴∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴AD=DE， ∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°； （2）当 E 在正方形 ABCD 外时，如图 2 ∵等边三角形 CDE， ∴∠EDC=60°， ∴∠ADE=90°+60°=150°， ∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°． 故答案为：15°或 75°． 【点评】本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的 内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 　 14．劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰 三角形加工成一个边长比是 1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三 角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为　 2.4cm 或 cm　． 【分析】设平行四边形的短边为 xcm，分两种情况进行讨论，①若 BE 是平行四边形的一个 短边，②若 BD 是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出 x 的值． 【解答】解：如图 AB=AC=8cm，BC=6cm， 设平行四边形的短边为 xcm， ①若 BE 是平行四边形的一个短边， 则 EF∥AB， =， 解得 x=2.4 厘米， ②若 BD 是平行四边形的一个短边， 则 EF∥AB， =， 解得 x=， 综上所述短边为 2.4cm 或 cm． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图 形，结合图形很容易解答． 　 15．如图，在直径为 6 的半圆上有两动点 M、N，弦 AM、BN 相交于点 P，则 APAM+BPBN 的值 为　36　． 【分析】连接 AN、BM，根据圆周角定理，由 AB 是直径，可证∠AMB=90°，由勾股定理知， BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，APPM=BPPN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN） =AP2+APPM+BP2+BPPN=AP2+BP2+2APPM=AP2+MP2+BM2+2APPM=AP2+（AP+PM）2=AP2+AM2=AB2=36． 【解答】解：连接 AN、BM， ∵AB 是直径， ∴∠AMB=90°． ∴BP2=MP2+BM2 ∵APPM=BPPN 原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+APPM+BP2+BPPN =AP2+BP2+2APPM =AP2+MP2+BM2+2APPM =BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36． 【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解． 　 16．在直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义：若 y′=，则 称点 Q 为点 P 的“可控变点”．请问：若点 P 在函数 y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上， 其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数 a 的取值范围是　 0≤a≤4　． 【分析】根据新定义，分析函数 y=﹣x2+16 在新定义下点 P 的“可孔变点”横坐标与纵坐标 的对应关系，在分析 a 的取值范围． 【解答】解：由定义可知： ①当 0≤x≤a 时，y′=y=﹣x2+16，而﹣16≤y≤16， 即：﹣16≤﹣x2+16≤16， 所以，0≤x≤4． ②当﹣5≤x＜0 时，y′=﹣y=x2﹣16，而此时﹣16＜y≤9， 综合以上分析： 在函数 y=﹣x2+16 图象上的点 P，当﹣5≤x≤4 时，其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范 围是﹣16≤y′≤16， 所以，实数 a 的取值范围是：0≤a 【点评】本题考查了在新定义下二次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况， 解题的关键是理解在新定义下 x 与 y′的相应区间． 　 三、计算题（本大题共 9 小题，共 102 分） 17．计算 （1）解方程： （2）先化简，再求代数式的值，其中 a=6tan60°﹣2． 【分析】（1）分式方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），化为整式方程，求出方程的解，再 验根； （2）先把除法运算转化为乘法运算，约分后进行同分母分式相减，最后代值计算． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）=3， 解得 x=1， 检验 x=1 是方程的增根， 方程无解； （2）原式=， ， 原式=． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及解分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方 程要验根． 　 18．若关于 x 的不等式组恰有三个整数解，求实数 a 的取值范围． 【分析】首先利用 a 表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有 3 个，即可确定 a 的 值． 【解答】解：解+＞0，得 x＞﹣； 解 3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得 x＜2a， ∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a． ∵关于 x 的不等式组恰有三个整数解， ∴2＜2a≤3， 解得 1＜a≤． 【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 　 19．如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2（单位：km） ．有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45° 的方向． （1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北 偏西 15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 【分析】（1）过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，设 PD=xkm，先解 Rt△PBD，用含 x 的代数式表示 BD ，再解 Rt△PAD，用含 x 的代数式表示 AD，然后根据 BD+AD=AB，列出关于 x 的方程，解方 程即可； （2）过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，先解 Rt△ABF，得出 BF=AB=1km，再解 Rt△BCF，得出 BC=BF=km ． 【解答】解：（1）如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D．设 PD=xkm． 在 Rt△PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°， ∴BD=PD=xkm． 在 Rt△PAD 中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°， ∴AD=PD=xkm． ∵BD+AD=AB， ∴x+x=2， x=﹣1， ∴点 P 到海岸线 l 的距离为（﹣1）km； （2）如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F． 根据题意得：∠ABC=105°， 在 Rt△ABF 中，∠AFB=90°，∠BAF=30°， ∴BF=AB=1km． 在△ABC 中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°． 在 Rt△BCF 中，∠BFC=90°，∠C=45°， ∴BC=BF=km， ∴点 C 与点 B 之间的距离为 km． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直 角三角形是解题的关键． 　 20．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50 米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（ 二选一）和坐位体前屈、1 分钟跳绳（二选一）中选择两项． （1）毎位考生有　4　种选择方案； （2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．先列举出毎位考生可选 择所有方案：50 米跑、立定跳远、坐位体前屈（用 A 表示）；50 米跑、实心球、坐位体前 屈（用 B 表示）；50 米跑、立定跳远、1 分钟跳绳（用 C 表示）；50 米跑、实心球、1 分钟 跳绳（用 D 表示）；共用 4 种选择方案． （2）利用数形图展示所有 16 种等可能的结果，其中选择两种方案有 12 种，根据概率的概 念计算即可． 【解答】解：（1）毎位考生可选择：50 米跑、立定跳远、坐位体前屈（用 A 表示）；50 米 跑、实心球、坐位体前屈（用 B 表示）；50 米跑、立定跳远、1 分钟跳绳（用 C 表示）；50 米跑、实心球、1 分钟跳绳（用 D 表示）；共用 4 种选择方案． 故答案为 4． （2）用 A、B、C、D 代表四种选择方案．（其他表示方法也可） 解法一：用树状图分析如下： 解法二：用列表法分析如下： 小刚 小明 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 两人选择的方案共有 16 种等可能的结果，其中选择同种方案有 4 种， 所以小明与小刚选择同种方案的概率==． 【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数 n，找出某事件所占有 的结果数 m，则这件事的发生的概率 P=． 　 21．如图，一次函数 y=k1x+b 的图象经过 A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的 图象在第一象限内的交点为 M，若△OBM 的面积为 2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在 x 轴上是否存在点 P，使 AM⊥MP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据一次函数 y=k1x+b 的图象经过 A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于 b、k1 的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设 M（m，n）作 MD⊥x 轴于点 D，由△OBM 的面 积为 2 可求出 n 的值，将 M（m，4）代入 y=2x﹣2 求出 m 的值，由 M（3，4）在双曲线上即 可求出 k2 的值，进而求出其反比例函数的解析式； （2）过点 M（3，4）作 MP⊥AM 交 x 轴于点 P，由 MD⊥BP 可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由 锐角三角函数的定义可得出 OP 的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线 y=k1x+b 过 A（0，﹣2），B（1，0）两点 ∴， ∴ ∴一次函数的表达式为 y=2x﹣2．，作 MD⊥x 轴于点 D ∵S△OBM=2， ∴， ∴ ∴n=4（5 分） ∴将 M（m，4）代入 y=2x﹣2 得 4=2m﹣2， ∴m=3 ∵M（3，4）在双曲线上， ∴， ∴k2=12 ∴反比例函数的表达式为 （2）过点 M（3，4）作 MP⊥AM 交 x 轴于点 P， ∵MD⊥BP， ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO ∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8 分） ∴在 Rt△PDM 中，， ∴PD=2MD=8， ∴OP=OD+PD=11 ∴在 x 轴上存在点 P，使 PM⊥AM，此时点 P 的坐标为（11，0）（10 分） 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法 求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键． 　 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，直 线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 点 F，连接 BE． （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）求证：PC=PF； （3）若 tan∠ABC=，AB=14，求线段 PC 的长． 【分析】（1）由 PD 切⊙O 于点 C，AD 与过点 C 的切线垂直，易证得 OC∥AD，继而证得 AC 平分∠DAB； （2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得 PC=PF； （3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，又因为 tan∠ABC=，所以可得，进 而可得到，设 PC=4k，PB=3k，则在 Rt△POC 中，利用勾股定理可得 PC2+OC2=OP2，进而可建 立关于 k 的方程，解方程求出 k 的值即可求出 PC 的长． 【解答】（1）证明：∵PD 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥PD， 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD， ∴∠ACO=∠DAC． ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即 AC 平分∠DAB； （2）证明：∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB． ∵CE 平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF； （3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB， ∴． 又∵tan∠ABC=， ∴， ∴， 设 PC=4k，PB=3k，则在 Rt△POC 中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC2+OC2=OP2， ∴（4k）2+72=（3k+7）2， ∴k=6 （k=0 不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24． 【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的 判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适 中，是一道不错的中考题题目． 　 23．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象是直线 l1，l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、 B 两点．直线 l2 过点 C（a，0）且与直线 l1 垂直，其中 a＞0．点 P、Q 同时从 A 点出发，其 中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位；点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位． （1）写出 A 点的坐标和 AB 的长； （2）当点 P、Q 运动了多少秒时，以点 Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切， 求此时 a 的值． 【分析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； （2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时，当⊙ Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，分别分析得出答案． 【解答】解：（1）∵一次函数的图象是直线 l1，l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， ∴y=0 时，x=﹣4， ∴A（﹣4，0），AO=4， ∵图象与 y 轴交点坐标为：（0，3），BO=3， ∴AB=5； （2）由题意得：AP=4t，AQ=5t， ==t， 又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∵点 P 在 l1 上， ∴⊙Q 在运动过程中保持与 l1 相切， ①当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时，设 l2 与⊙Q 相切于 F，由△APQ∽△AOB，得： ∴， ∴PQ=6； 故 AQ=10，则运动时间为： =2（秒）； 连接 QF，则 QF=PQ， ∵直线 l2 过点 C（a，0）且与直线 l1 垂直，FQ⊥l2， ∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ， ∴∠PAQ=∠FQC， ∴△QFC∽△APQ， ∴△QFC∽△APQ∽△AOB， 得：， ∴， ∴， ∴QC=， ∴a=OQ+QC=OC=， ②如图 2，当⊙Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，设 l2 与⊙Q 相切于 E，由△APQ∽△AOB 得： = ， ∴PQ=， 则 AQ=4﹣=2.5， ∴则运动时间为： =（秒）； 故当点 P、Q 运动了 2 秒或秒时，以点 Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切， 连接 QE，则 QE=PQ， ∵直线 l2 过点 C（a，0）且与直线 l1 垂直，⊙Q 在运动过程中保持与 l1 相切于点 P， ∴∠AOB=90°，∠APQ=90°， ∵∠PAO=∠BAO， ∴△APQ∽△AOB， 同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB 得： =， ∴=， =， ∴QC=，a=QC﹣OQ=， 综上所述，a 的值是：和， 【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析 注意分类讨论才能得出正确答案． 　 24．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连接 BD ，F 为 BD 中点． （1）若过点 D 作 DE⊥AB 于 E，连接 CF、EF、CE，如图 1． 设 CF=kEF，则 k=　1　； （2）若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示．求证：BE﹣DE=2CF； （3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点， 求线段 CF 长度的最大值． 【分析】（1）由 F 为 BD 中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 可得到 CF=EF； （2）过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G，设 BD 与 AC 的交点为 Q．由 tan∠BAC=，得到．证明△ BCG∽△ACE，得到．得到 GB=DE，得到 F 是 EG 中点．于是，即可得到 BE﹣DE=EG=2CF； （3）分类讨论：当 AD=时，取 AB 的中点 M，连接 MF 和 CM，tan∠BAC=，且 BC=6，计算出 AC=12 ，AB=．M 为 AB 中点，则 CM=，FM==2．当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最 大，此时 CF=CM+FM=；当 AD=时，取 AB 的中点 M，连接 MF 和 CM，类似于情况 1，可知 CF 的 最大值为．即可得到线段 CF 长度的最大值． 【解答】解：（1）∵F 为 BD 中点，DE⊥AB， ∴CF=BD，EF=BD， ∴CF=EF， ∴k=1； 故答案为 1． （2）如图，过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G，设 BD 与 AC 的交点为 Q． 由题意，tan∠BAC=， ∴． ∵D、E、B 三点共线， ∴AE⊥DB． ∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°， ∴∠QBC=∠EAQ． ∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴∠ECA=∠BCG． ∴△BCG∽△ACE． ∴ ∴GB=DE． ∵F 是 BD 中点， ∴F 是 EG 中点． 在 Rt△ECG 中，， ∴BE﹣DE=EG=2CF； （3）情况 1：如图，当 AD=时，取 AB 的中点 M，连接 MF 和 CM， ∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且 BC=6， ∴AC=12，AB=． ∵M 为 AB 中点， ∴CM=， ∵AD=， ∴AD=4．∵M 为 AB 中点，F 为 BD 中点， ∴FM==2． 如图：∴当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大， 此时 CF=CM+FM=． 情况 2：如图，当 AD=时，取 AB 的中点 M，连接 MF 和 CM， 类似于情况 1，可知 CF 的最大值为， 综合情况 1 与情况 2，可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了旋转的性质和三角函数的定义以及 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 　 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c（b，c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三 角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过 A，B 两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q． （i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以 M、P、Q 三点为顶 点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； （ii）取 BC 的中点 N，连接 NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若 不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）i）首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度，作为后续计算的基础． 若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为．此时，将直线 AC 向右平移 4 个单位后所得直线（ y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之 M 点； ②当 PQ 为斜边时：点 M 到 PQ 的距离为．此时，将直线 AC 向右平移 2 个单位后所得直线（ y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之 M 点． ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当 NP+BQ 取最小值时，有最大值． 如答图 2 所示，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′，由分析可知，当 B′、Q、F（AB 中点） 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为线段 B′F 的长度． 【解答】解：（1）∵等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4， 3） ∴点 B 的坐标为（4，﹣1）． ∵抛物线过 A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点， ∴，解得：b=2，c=﹣1， ∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1． （2）方法一： i）∵A（0，﹣1），C（4，3）， ∴直线 AC 的解析式为：y=x﹣1． 设平移前抛物线的顶点为 P0，则由（1）可得 P0 的坐标为（2，1），且 P0 在直线 AC 上． ∵点 P 在直线 AC 上滑动，∴可设 P 的坐标为（m，m﹣1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1． 解方程组：， 解得， ∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）． 过点 P 作 PE∥x 轴，过点 Q 作 QF∥y 轴，则 PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2． ∴PQ==AP0． 若以 M、P、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为（即为 PQ 的长）． 由 A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知， △ABP0 为等腰直角三角形，且 BP0⊥AC，BP0=． 如答图 1，过点 B 作直线 l1∥AC，交抛物线 y=x2+2x﹣1 于点 M，则 M 为符合条件的点． ∴可设直线 l1 的解析式为：y=x+b1， ∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得 b1=﹣5， ∴直线 l1 的解析式为：y=x﹣5． 解方程组，得：， ∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）． ②当 PQ 为斜边时：MP=MQ=2，可求得点 M 到 PQ 的距离为． 如答图 2，取 AB 的中点 F，则点 F 的坐标为（2，﹣1）． 由 A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知： △AFP0 为等腰直角三角形，且点 F 到直线 AC 的距离为． 过点 F 作直线 l2∥AC，交抛物线 y=x2+2x﹣1 于点 M，则 M 为符合条件的点． ∴可设直线 l2 的解析式为：y=x+b2， ∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得 b2=﹣3， ∴直线 l2 的解析式为：y=x﹣3． 解方程组，得：， ∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）． 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为： M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）． 方法二： ∵A（0，1），C（4，3）， ∴lAC：y=x﹣1， ∵抛物线顶点 P 在直线 AC 上，设 P（t，t﹣1）， ∴抛物线表达式：， ∴lAC 与抛物线的交点 Q（t﹣2，t﹣3）， ∵一 M、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1）， ①当 M 为直角顶点时，M（t，t﹣3），， ∴t=1±， ∴M1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣）， ②当 Q 为直角顶点时，点 M 可视为点 P 绕点 Q 顺时针旋转 90°而成， 将点 Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点 Q′（0，0），则点 P 平移后 P′（2，2）， 将点 P′绕原点顺时针旋转 90°，则点 M′（2，﹣2）， 将 Q′（0，0）平移至点 Q（t﹣2，t﹣3），则点 M′平移后即为点 M（t，t﹣5）， ∴， ∴t1=4，t2=﹣2， ∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）， ③当 P 为直角顶点时，同理可得 M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）， 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为： M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）． ii）存在最大值．理由如下： 由 i）知 PQ=为定值，则当 NP+BQ 取最小值时，有最大值． 如答图 2，取点 B 关于 AC 的对称点 B′，易得点 B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q． 连接 QF，FN，QB′，易得 FN∥PQ，且 FN=PQ， ∴四边形 PQFN 为平行四边形． ∴NP=FQ． ∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==． ∴当 B′、Q、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为． ∴的最大值为=． 【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函 数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知 识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．