北京各区中考模拟题分类汇编 33页

一、相反数与绝对值 东城；1.计算 的结果是（ ） Ａ．-2009　 Ｂ．　 　　Ｃ．　2009　　 　Ｄ． 西城；1.-2 的相反数等于 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 海淀；1．- 的相反数是 （ ） A．-2 B．2 C． - D． 崇文；1． 的相反数是（ ） A． B． C． D． 3 宣武；1． 的相反数是( ) A．3 B． C． D． 朝阳；1． 的绝对值是（ ） A． B． C． D． 丰台；1． 的相反数是（ ） A．5 B． C． D． 石景山；1．27 的立方根是（ ） A． B． C． D． 昌平；1． 的相反数是（ ） A． B． C． D． 顺义；1. 的相反数是（ ） A． B． C． D． 通州；1． 的相反数是（ ） A． B．— C． D．— 大兴；1． 的相反数是（ ） A． B．3 C． D． 二、科学计数 东城；我国 2008 年国内生产总值超过 300000 亿元，比上一年增长 9%．将数据 300000 亿元用科学记 数法表示为 A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 西城；22009 年，全国普通高校本、专科共计划招生 6 290 000 人，将 6 290 000 用科学记数法表示应为 A. B. C. D. 海淀；2009 年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资将达到 51 800 000 000 元人民币. 将 51 800 000 000 用科学记数法表示正确的是（ ） A．51.8×10 9 B．5.18×1010 C．0.518×1011 D．518×108 崇文；根据北京移动公布的短信发送量显示，从大年三十到初六，7 天内北京移动手机用户彩信发送总 量超过了 67,000,000 条．将 67000000 用科学记数法表示应为（ ）A．67 B． 6.7 C．6.7 D．6.7 宣武；2008 年北京市经济保持较快发展，按常住人口计算，全市人均 GDP 达到 63029 元，这个数据用 科学记数法表示为（ ）A． 元 B ． 元 C ． 元 D． 元 朝阳；为积极转化奥运会、残奥会志愿者工作成果，完善和健全志愿者服务体系及长效机制，北京市将 力争实现每年提供志愿服务时间 11000 万小时. 11000 万小时用科学记数法表示为 A． 万小时 B． 万小时 C． 万小时 D． 万小时 丰台；在第十一届全国人民代表大会第二次会议上，温家宝总理在政府报告中指出：2008 年我国粮食 连续五年增产，总产量为 52850 万吨，创历史最高水平.将 52850 用科学记数法表示应为 | 2009 |− 1 2009 − 1 2009 1 2 1 2 − 1 2 1 2 1 2 3− 3 1 3 1− 3− 3 1 3− 3 1 3 1− 3− 3 3− 1 3 1 3 − 5− 5− 1 5 1 5 − 9 3 9± 3± 3− 1 3 − 1 3 3− 3 1 5 5 5− 1 5 − 1 5 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3− 1 3 1 3 − 53 10× 430 10× 60.3 10× 43 10× 56.29 10× 562.9 10× 66.29 10× 70.629 10× 610× 610× 710× 810× 363.029 10× 50.63029 10× 46.3029 10× 36.3029 10× 61011.0 × 5101.1 × 4101.1 × 31011× A． B． C． D． 石景山；北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有 8 亿 4 千万（840000000）人观看了奥运 会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．” 840000000 这个数字用科学记数法可表示为 A． B． C． D． 昌平；今年两会期间，新华网、人民网、央视网等各大网站都推出了“向总理提问”的网上互动话题， 上百万网民给总理提出了内容广泛的问题．在新华网推出的“总理，请听我说”栏目中，网民所提出的 问题就达 200 000 多条. 将 200 000 用科学记数法表示应为 A． B． C． D． 大兴； 所表示的数是（ ） A．2600000 B．260000 C．26000 D．26000 三、自变量的取值范围 东城 2.函数 的自变量 的取值范围是（ ） A. ≠-2 B. ≥-2 C. ＞-2 D. <-2 西城；1、在函数 中，自变量 x 的取值范围是 ．2、 若 ，则 的 值等于 ． 海淀；若实数 x, y 满足 ，则代数式 xy-x2 的值为 . 崇文；1、6 若 ．则 的值为（ ） A． B．8 C． 9 D． 2、在函数 中，自变量 的取值范围是 ． 丰台；9 在函数 中，自变量 的取值范围是______________． 石景山；若关于 的方程 有两个相等的实根，则 的值是 ． 昌平；1、在函数 中，自变量 的取值范围是 ．2、若 ，则 的值为 ． 顺义；若分式 的值为零, 则 的值为 . 通 州 ； 若|x+3|+ =0，则 x+2y 的值为（ ） A．0 B．－1 C．1 D．5 大兴； 函数 的自变量 x 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 四、因式分解 东城；在实数范围内分解因式： . 海淀；把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D． 崇文；分解因式： = ． 朝阳；因式分解： ． 丰台；分解因式： ____________________． 石景山；分解因式： ． aaa 44 23 +− 5285 10× 352.85 10× 35.285 10× 45.285 10× 90.84 10× 98.4 10× 784 10× 88.4 10× 60.2 10× 420 10× 42 10× 52 10× 52.6 10× 2y x= + x x x x x 1 2 4y x = + 21 ( 4) 0x y+ + − = yx 032 2 =−+− )( yx 0)3(2 2 =−++ yx yx 8− 8 1 1+= xy x 1y x= − x x 022 2 =−+− aaxx a 1 1y x = − x ( )24 2 0x y− + + = x y+ 2 4 1 x x + − x 2−y 1 1 − += x xy 1−≠x 0≠x 1≠x 1±≠x 2 6 9x y xy y− + = 22)( −aa )( 42 −aa 22)( +aa ))(( 22 −+ aaa 33 abba − =+− xxx 44 23 22 4 2x x+ + = =++ aaxax 22 昌平；把代数式 分解因式，下列结果中正确的是 （ ） A． B． C． D． 顺义；.把代数式 分解因式,下列结果中正确的是 A． B． C． D． 通州；分解因式：a3b-ab =_________________________. 大兴；分解因式 xy –x– y+1= ． 五、实数运算 东城； 计算： + 西城 13．计算： 海淀 13．计算： 崇文 13．（本小题满分 5 分）计算： + ． 宣武 13．（本小题满分 5 分） 计算： ．朝阳 13．（本小题 5 分）计算： — tan30° ÷ ＋ . 丰台 13．（本小题满分 5 分）计算： ． 石景山 13．计算： ． 昌平 13．计算： ． 顺义 13. 计算: 通州 13．计算： -2cos30°+( )-2-︱1- ︱. 大兴 13．计算： ． 六、解方程（组）或不等式（组） 0 111 (3 ) ( )2 π −− + − − 2 22a ab b− + ( )2a b− ( )2a b+ ( )( )a b a b+ − 2 2a b− 3 26 9m n m n mn− + 2( 3)mn m + 2( 3)mn m − 2( 9)mn m − ( 3)( 3)mn m m+ − 2 01( ) 4sin302 − − 2009( 1)+ − 0( 2)π − 1 0 112 (3 π) 2sin602 − + − − − °   01 5)-π(60sin212)2 1( +°−+− 12 °− 30tan3 0)4( −π 1)2 1( −− ( ) °+−−    −− − 60sin233 12 1 0 32 − 3 1 8 1 0 12sin 60 ( 2009) 12 2 − + − − +     02 )7 22(60sin41122 −+°−+−− π 027 (1 ) 2sin 60 2− − π + + − 0 21( 3.14) 2cos30 ( ) 123 π −− − °+ + 27 2 1 3 东城；解不等式组 解方程： 西城；解不等式组 在数轴上表示它的解集，求它的整数解. 解方程： . 海淀解不等式组： 计算： . 崇文；14．（本小题满分 5 分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来． 宣武；（本小题满分 5 分）解不等式组： 朝阳；（本小题 5 分）解方程： . 丰台；（本小题满分 5 分）解不等式组 石景山；解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上． 解方程： ． 昌平；解分式方程： ． 顺义； 解不等式组 , 并写出不等式组的整数解. 通州；求不等式组 的整数解. 大兴；解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解． 七、全等三角形 东城；如图，已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点，FC//AB，DF 交 AC 于点 E，DE＝EF．求证：E 是 AC 的中点。 4 3 1 (1) 2( 3) 5 6 (2) x x x x < −  − ≤ + 2 11 x x x + =− 2( 1) 3 3 , 2 4 ,3 x x x x − + ≤ − + > 2 212 4 x x x − =− −    < >− . ,)( 13 1 12 x xx 2 2 1 1 1 x x x −− −    −≥− >+ .410)35(3 ,425 xx xx 2 1 2( 1) 1. x x x −  + − ≤ ≥ xx 3 2 1 =− ( ) 2 0 3 5 1 4 8 x x x − < + −  ≥ ，    +< −>− 22 413 xx x 021 2 1 1 =−++ − x x x x 2 6 11 1 x x x − =+ − 3 2 2 1 2 1 13 x x x + > − − < 2( 1) 3 1 12 x x x x − − ≤ + > ， ① ② 西城；已知：如图，△ABC 中，AB=AC，BC 为最大边，点 D、E 分别在 BC、AC 上，BD=CE，F 为 BA 延长线上一点，BF=CD . 求证：∠DEF=∠DFE . 海淀；已知：如图，点 B、E、F、C 在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠CED．求证： AF＝DC． 崇文；（本小题满分 5 分）如图，已知 ．求证： ． 宣武； （本小题满分 5 分）如图，在 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 的延长线与 CD 的延长 线相交于点 F． (1) 求证：△ABE ≌△DFE；(2) 连结 BD、AF，请判断四边形 ABDF 的形状，并证明你的结论． 朝阳；（本小题 5 分）已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，E 为 BC 上一点，且 AE＝AB.求证：DE＝ AC. 丰台；（本小题满分 5 分）已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D，且 BE＝CF， 求证：∠ACB＝∠F. 石景山；已知：如图，在菱形 中，分别延长 、 到 、 ，使得 ， 联 F E D CB A E D CB A F F E A B D C E D B C A A B C D E F AB DC AC DB= =， 1 2∠ = ∠ A D B C O 1 2 ABCD AB AD E F DFBE = 结 、 ． 求证： ． 昌平；已知：如图，在矩形 中，点 、 在 上， ，连接 、 ．求证： ． 顺义； 已知：如图，点 E 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连结 AE，过点 D 作 DG⊥AE，垂足为 G， 延长 DG 交 AB 于点 F. 求证：DF=AE. 通州；如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，延长底边 AB 到 E，使得 BE=DC. 求证：AC=CE . 大兴；已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，沿过 B 点的一条直线 BE 折叠这个三角形，使 C 点与 AB 上的一点 D 重合，如果要使 D 点恰为 AB 的中点，应添加什么条件？请在添加适当的条件后，给出你的 证明。 解：添加的条件是： . 证明： 八、先化简，再求值。 东城；已知： ，求 的值． 崇文；（本小题满分 5 分）已知 ，求 的值． 宣武；（本小题满分 5 分）先化简，再求值： ÷x，其中 x= ． 朝阳；（本小题 5 分）先化简，再求值： ，其中 ． 丰台；（本小题满分 5 分）先化简，再求值： ，其中 ． 石景山；已知 ，求代数式 的值． F C D E B A 第 16 题 A B F D C E E D C B A 2 2 2 1 2 22 1 x x x xx x − −+ −− + 2 3 EC FC FCEC = ABCD E F AD AE DF= BE CF BE CF= 2 0x y− = 2 2 2 ( )2 x y x yx xy y + • ++ + 02 =+ yx x yxyxyxxyx yx 22 22 2 44)(2 +−÷−⋅+ − 4)12 2( 2 2 − −÷+− a aa a 1−=a 23 1 4 2 2 3 a a a a + − + ÷ − −  2 4 1 0a a− + = 062 =−+ xx 7)1()1( 22 −−−+ xxxx 昌平；已知 ，求代数式 的值 ． 顺义；已知： ，求代数式 的值. 通州；已知 2x+y=0，求分式 ·(x+y)的值. 大兴；已知 ，求代数式 的值． 九、一次函数和反比例函数 东城； 如图，反比例函数 的图象过矩形 OABC 的顶点 B，OA、0C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA：0C=2：1． （1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标； （2）若直线 平分矩形 OABC 面积，求 的值． 西城；已知抛物线 经过点 ，求抛物线与 x 轴交点的坐标及顶点的坐 标． 海淀；已知直线 l 与直线 y=-2x+m 交于点（2，0）, 且与直线 y=3x 平行，求 m 的值及直线 l 的解析 式. 崇文；某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图象如 图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （I）求营销员的个人月收入 y 元与该营销员每月的销售量 x 万件(x≥0)之间的函数关系式； （II）已知该公司某营销员 5 月份的销售量为 1.2 万件，求该营销员 5 月份的收入． 宣武；（本小题满分 5 分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交 于两点，直线 分别交 轴、 轴于 两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 的值． 012 =−− xx 4 3 1 x xx ++ y kx b= + my x = ( )3,1 (2 )A B n− 、 ， AB x y D C、 3 1 0x − = 2 2( ) (3 1) 4x x x x x− + + + 1 1 5m n − = 3 12 3 6 m mn n m mn n + − + − 22 2 yx yx − + 8y x = 2y x m= + m 2 ( 2) 3 20y x m x m= − + + + − (1, 3)− AD CD x y A B OD C （第 16 题图） 朝阳；（本小题 5 分）如图，点 在反比例函数 的图象与直线 交于点 ，且 点纵 坐标为 1，求该反比例函数的解析式． 丰台；（本小题满分 5 分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 ， 两点．求反比例函数与一次函数的解析式． 石景山；已知：如图，直角三角形 的两直角边 、 分别在 轴的正半轴和 轴的负半轴上， 为线段 上一点， ，抛物线 （ 是常数，且 ）经过 、 两点． （1）求出 、 两点的坐标（可用含 的代数式表示）； （2）若 的面积为 ，求 的值． 昌平；已知方程组 的解为 又知点 在双曲线 上，求该双曲线的解 析式． 顺义；.已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 A(－2, 3 ) 、B( 1 , ) ， 求反比例函数和一次函数的解析式. 通州；已知：反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点 M（1，3），且一次函数的图象 与 y 轴交点的纵坐标是 2. 求：（1）这两个函数的解析式；（2）在第一象限内，当一次函数值 小于反比例函数值时，x 的取值范围是 . 大兴；如图所示，这个风铃分别由正三、正四、正五、正六、正八、正十和正十二边形的饰物组成， 共重 144 克，（假设绳子和横杆的重量为 0），请你计算出每个正多边形饰物的重量。 十、梯形 东城； 如图，梯形 中， ， ， ， ，求 的 长． A A A ky x = y mx b= + (13)A ， ( 1)B n −， x ky = 2−= xy AOB OA OB x y C OA OBOC = mxmxy ++−= )1(2 m 1>m A C A B m AOB∆ 2 m 2 4, 5 x y x y + =  − = , . x m y n =  = ( ),A m n ( )0ky kx = ≠ ky x = y ax b= + m ABCD AD BC∥ 45B = ∠ 120D = ∠ 4 3cmCD = AB 西城；已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，求 CD 的长． 海淀；如图，在梯形 ABCD 中, AB//DC, ∠D=90, ∠ACD=30 ,AB=12, BC=10, 求 AD 的长. 崇 文 ； （ 本 小 题 满 分 5 分 ） 如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， ． 若 AC ⊥ BD ， AD+BC= ， 且 ， 求 CD 的长． 宣武；（本小题满分 5 分）如图，在梯形 中， ∥ ， ⊥ ， ， = ， ．求（1） 的值；（2）线段 的长． 朝阳； （本小题 5 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝90°，CD＝4，∠ACB＝∠D， ，求梯形 ABCD 的面积. 丰台；（本小题满分 5 分）如图 1，矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，BC＝4 ，将矩形纸片沿对角线 AC 向下翻折，点 D 落在点 D’处，联结 B D’，如图 2，求线段 BD’ 的长． A B CD B D C A A B C D CDAB = 310 °=∠ 60ABC CB DA ABCD AD BC AC AB AD CD= cosB 13 5 26BC = cos DAC∠ AD CB A D 3 2tan =∠B 3 石景山；如图，等腰梯形 中， ， ，翻折梯形 ，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点 、 ，若 ， ． （1）求 的长；（2）求 的正切值． 昌 平 ； 图 ， 在 梯 形 中 ， ， ， ， 是 的 中 点 ， ，求 的长． 顺义； 已知：如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， 为等腰梯形 底边 上一点， ， . (1) 求等腰梯形 OBCD 的周长；(2) 求点 的坐标． 通州；如图，在三角形 ABC 中，AC=BC，若将△ABC 沿 BC 方向向右平移 BC 长的距离，得到△CEF， 连结 AE. （1）试猜想，AE 与 CF 有何位置上的关系？并对你的猜想给予证明；（2）若 BC=10，tan∠ACB= 时，求 AB 的长. 大兴； 已知：如图，在△ABC 中，∠BAD=∠ACB,∠ABC 的平分线交 AD 于 E,AE=CF,连接 EF. 求证 BC=AB+EF . 十一、圆和直线型 东城；已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是边 BC 的中点．以 BD 为直径作圆 O，交边 AB 于 点 P，联结 PC，交 AD 于点 E． （1）求证：AD 是圆 O 的切线；（2）若 PC 是圆 O 的切线，BC = 8，求 DE 的长． CB DA 图1 图2 A D' B C 第 18 题 B C A D E FE D CB A ABCD BCAD // °=∠ 45DBC ABCD B D AB BC F E 2=AD 8=BC BE CDE∠ ABCD AD BC∥ 90A∠ = ° °=∠ 45C E CD 2 4AB AD= = BE O (5 0)B ， M OBCD OB 2OD BC= = 60DMC DOB= = °∠ ∠ M 4 3 西城；已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点 O 作 AB 的平行线，交 ⊙O 于点 C，直线 OC 上一点 D 满足∠D=∠ACB. （1）判断直线 BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O 的半径等于 4， ， 求 CD 的长. 海淀；如图，已知 AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C=∠BAD，且 BD⊥AB 于 B. （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长. 崇文；（本小题满分 5 分）如图，以等腰 中的腰 为直径作⊙ ，交底边 于点 ．过点 作 ， 垂 足 为 ．（ I ） 求 证 ： 为 ⊙ 的 切 线 ； （ II ） 若 ⊙ 的 半 径 为 5 ， ，求 的长 ． 宣武；（本小题满分 4 分）如图，⊙O 的直径 =6cm，点 是 延长线上的动点，过点 作⊙O 的切线，切点为 ，连结 ．若 的平分线交 于点 ，你认为∠ 的大小是否发生变 化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ 的度数． 朝阳； （本小题 7 分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC 于点 E，过点 C 作直线 FC，使∠FCA＝∠AOE，交 AB 的延长线于点 D. （1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设 OC 与 BE 相交于点 G，若 OG＝2，求⊙O 半径的长； （3）在（2）的条件下，当 OE＝3 时，求图中阴影部分的面积. 丰台；如图，点 D 是⊙O 直径 CA 的延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且 AB＝AD＝AO． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，弦 AE 与 BC 相交于点 F，且 CF＝9， A B C D O F B D E OA C A B CD P E ．O （第 21 题） 4tan 3ACB∠ = ABC∆ AB O BC D D DE AC⊥ E DE O O 60BAC∠ =  DE AB P AB P C AC CPA∠ AC M CMP CMP A O B P C M cos∠BFA＝ ，求 EF 的长． 石景山 19．已知：如图，点 是⊙ 上一点，半径 的延长线与过点 的直线交于点 ， ， ． （1）求证： 是⊙ 的切线；（2）若 ， ，求弦 的长． 昌平；如图，点 在 上， ， 的延长线交直线 于点 ，过点 作 于 ， ，连接 .（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，求阴 影部分的面积. 顺义；已知：如图，⊙O 的直径 =8cm， 是 延长线上的一点，过点 作⊙O 的切线，切点为 ，连接 ． (1) 若 ，求阴影部分的面积；(2)若点 在 的延长线上运动， 的平分线交 于点 ，∠ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ 的度数． 通州；如图，△ABC 中，AB=AE，以 AB 为直径作⊙O 交 BE 于 C，过 C 作 CD⊥AE 于 D，DC 的延长 线与 AB 的延长线交于点 P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AE=5，BE=6，求 DC 的长. 大兴；已知：如图，△ABC 内接于⊙O，点 D 是 AB 边的中点，且∠BAC+∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明. 24、已知：如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC⊥BD 于点 P，OE⊥AB 于点 E，F 为 BC 延长线上一 点. A C E O B D F A D C B O 第 19 题 A B C D F O OD CB A 3 2 A O OC A B BCOC = OBAC 2 1= AB O °=∠ 45ACD 2=OC CD A B F、 、 O 30AFB∠ = ° OB AD D B BC AD⊥ C 60CBD∠ = ° AB AD O 6AB = AB P AB P C AC 120ACP∠ = ° P AB CPA∠ AC M CMP CMP （1） 求证：∠DCF=∠DAB;求证： ； （2） 当图 1 中点 P 运动到圆外时，即 AC、BD 的延长线交于点 P,且∠P=90°时（如图 2 所示）， （2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由. 十二、概率和统计 东城；阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的 4 月 23 日被联合国 教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级 人数为 350 人，表（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问 题： （1）求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．（2）求出表（1）中 的值． （3）该校学生平均每人读多少本课外书？ 图书种类 频数 频率 科普常识 B 0.2 名人传记 500 0.25 漫画丛书 800 A 其它 300 0.15 西城；有三个完全相同的小球，上面分别标有数字 1、 2、 3，将其放入一个不透明的盒子中摇匀， 再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），设第一次摸到的球上所标的数字为 m，第二次摸到 的球上所标的数字为 n，依次以 m、n 作为点 M 的横、纵坐标． （1）用树状图（或列表法）表示出点 M 的坐标所有可能的结果；（2）求点 M 在第三象 限的概率． 海淀；某种子培育基地用 A、B、C、D 四种型号的小麦种子共 2 000 粒进行发芽实验，从中选出发芽 率高的种子进行推广．通过实验得知，C 型号种子的发芽率为 94%. 根据实验数据绘制了图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图．请你根据所给信息，解答下列问题：（1）D 型号种子数是 粒； （2）请你将图 2 的统计图补充完整； （3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种子共有 200 000 粒， 估计能有多少粒种子会发芽. 图 1 图 2 崇文；九年级一班的两位学生对本班的一次数学成绩（分数取整数，满分为 100 分）进行了一次初步 统计，80 分以上（含 80 分）有 17 人，但没有满分，也没有低于 30 分的．为更清楚了解本班的考试情 况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图 1 和图 2 所示．请根据图中提供的信息回答下列问题： （I）该班 60 分以下（不含 60 分）的有 人；（II）该班共有 名学生参加 了考试； （III）补全两个图中三个空缺的部分． 图2 P DC BA O CDOE 2 1= A B， − − ( , )m n ( , )m n 八年级 35％ 九年级 七年级 25％ 朝阳；通常情况居民一周时间可以分为常规工作日 （周一至周五）和常规休息日（周六和周日）. 居民一天的时间可以划分为工作时间、个人生活必须时间、家务劳动时间和可以自由支配时间等四部分. 2008 年 5 月，北京市统计局在全市居民家庭中开展了时间利用调查，并绘制了统计图： 图② （1）由图①，调查表明，我市居民人均常规工作日工作时间占一天时间的百分比为 ； （2）调查显示，看电视、上网、健身游戏、读书看报是居民在可自由支配时间中的主要 活动方式，其中平均每天上网占可自由支配时间的 12%，比读书看报的时间多 8 分钟. 请根据以 上信息补全图②； （3）由图②，调查表明，我市居民在可自由支配时间中看电视的时间最长. 根据这一信息，请你在可 自由支配时间的利用方面提出一条建议：___ ____________. 丰台；某校学生会准备调查本校初中三年级同学每天（除课间操外）课外锻炼的平均时间． （1）确定调查方式时，①甲同学说：“我到 1 班去调查全体同学”；②乙同学说：“我到体育场上去 询问参加锻炼的同学”；③丙同学说：“我到初中三年级每个班去随机调查一定数量的同学”．上面同 学说的三种调查方式中最为合理的是___________（填写序号）； （2）他们采用了最为合理的调查方式收集数据，并绘制出如图 1 所示的条形统计图和如图 2 所示的扇 形统计图，请将图 1 补充完整； （3）若该校初中三年级共有 240 名同学，则其中每天（除课间操外）课外锻炼平均时间不大于 20 分钟的人数约为__________人． (注：图 2 中相邻两虚线形成的圆心角为 30°) 石景山；在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我 们带来了很多的欢乐．为了统计观众对 2009 年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009 年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列 人 数 分 数 23 5 1 0 1 1 29.5 39.5 49.559.569.579.5 89.599.5 （图 1） （图 2） 85 分 ~100 分60 分 以 下60 分~85 分 62％ 20 ％ ％ 图中的各部分都 只含 最低分不含最高 分 北京市居民每天可自由支配时间利用情况 104 22 30 19 15 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 看电视 读书看报 上网 健身游戏 学习参观 社会交往 交通时间 其他 （单位：分） 北京市居民人均常规工作日 时间利用情况 问题： （1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比； 2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图； （3）若北京市共有 1200 万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》 的观众约有多少 人？ （说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》； F：《不差钱》） 昌平；某校欲从甲、乙、丙三名候选人中挑选一名作为学生会主席，根据设定的录用程序，首先，随 机抽取校内 200 名学生对三名候选人进行投票选举，要求每名学生最多推荐一人. 投票结果统计如下： 200 名 学 生投票结果统计图 三名候选人得票情况统计图 其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，成绩如下表所示： 测试成绩（分）测试项目 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图 1 和图 2； （2）若每名候选人得一票记 1 分，根据投票、笔试、面试三项得分按 的比例确定个人综合成绩， 综合成绩高的被录用，请你分析谁将被录用. 顺义；在学校组织的“我的家乡知多少？”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 100 分，90 分，80 分，70 分，学校将某年级 的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在 级以上（包括 级）的人数为 ；（2）请你将表格补充完整： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） “2009 年春晚我最喜爱的小品节目” 调查结果条形统计图（单位：人） “2009 年春晚我最喜爱的小品节目” 调查结果扇形统计图 A B C D， ， ， C C 弃权2% 乙 38% 丙 % 甲 25% 图 1 图 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 甲 乙 丙 得票数 3: 4:3 A B C D 等级 12 10 8 6 4 2 0 人数 6 12 2 5 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 16% D 级 36% C 级 44% A 级 B 级 4% 一班 87.6 90 二班 87.6 100 （3）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩；②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成 绩； ③从 级以上（包括 级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩． 通州；在“六一”儿童节来临之际，初中某校开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动，全校 1000 名学生每人都捐赠了一定数量的图书.已知各年级人数分布的扇形统计图如 图（1）所示.学校为了了解各年级捐赠图 书情况，从各年级中随机抽查了 200 名学 生，进行捐赠图书情况的统计，绘制成如 图（2）的频数分布直方图.根据以上信息 解答下列问题： （1） （2） （1）本次调查的样本是 ；（2）从图（2）中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是 ； （3）随机抽查的 200 名学生中初三年级学生共捐赠图书多少册？4）估计全校共捐赠图书多少册？ 大兴；某中学团委为汶川地震灾区组织献爱心捐献活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，其 中捐 元的人数占全班总人数的 ．小明还绘制了频数分布直方图． (1)请求出小明所在班级同学的人数；(2)本次捐款的中位数是____元；(3)请补齐频数分布直方图． 十三、应用题 东城；某商场用 36 万元购进 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 （注：获利 售价 进价） 求该商场购进 两种商品各多少件． 西城；某运输公司用 10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装 8 吨甲种苹果，或 10 吨乙 种苹果，或 11 吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须 满载．已知公司运送了甲、 乙、丙三种苹果共 100 吨，且每种苹果不少于一车． （ 1 ） 设 用 x 辆 车 装 甲 种 苹 果 ， y 辆 车 装 乙 种 苹 果 ， 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出自变量 x 的取值范围； （2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示： 苹果品种 甲 乙 丙 每吨苹果所获利润（万元） 0.2 2 0.21 0.2 设此次运输的利润为 W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润 W 最大，并求 出最大利润． B B 10 %40 A B， = − A B， 海淀；甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清 点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点 10 本，求甲同学平均每分钟清点 图书的数量． 崇文；将进价为 40 元的商品按 50 元售出时，能卖出 500 个，经市场调查得知，该商品每涨价 1 元， 其销售量就减少 10 个，为了赚取 8000 元的利润，售价应定为多少元？ 宣武；列方程（组）或不等式（组）某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元， 其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 （注：获利 = 售价 — 进价） （1）该商场购进 A、B 两种商品各多少件； （2）商场第二次以原进价购进 A、B 两种商品．购进 B 种商品的件数不变，而购进 A 种商品的件数 是第一次的 2 倍，A 种商品按原售价出售，而 B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第 二次经营活动获利不少于 81600 元，B 种商品最低售价为每件多少元？ 朝阳；1、改革开放 30 年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，1978 年 全国两馆共约有 1550 个，至 2008 年已发展到约 4650 个. 2008 年公共图书馆的数量比 1978 年公共图书 馆数量的 2 倍还多 350 个，博物馆的数量是 1978 年博物馆数量的 5 倍. 2008 年全国公共图书馆和博物 馆各有多少个？ 2、响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择乘地铁出行，为保证市民方便出行， 我市新建了多条地铁线路，与旧地铁线路相比，新建地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加，已知原 楼梯 BD 长 20 米，在楼梯水平长度（BC）不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由 30°增大到 45°， 那么新修建的楼梯高度将会增加多少米？ （结果保留整数，参考数据： ， ） 丰台；列方程或方程组解应用题：2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分在我国四川省汶川地区发生了里氏 8.0 级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工 1500 顶帐篷支援灾区， 在加工了 300 顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的 1.5 倍， 结果提前 4 天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷． 昌平；列方程或方程组解应用题： 为保证学生有足够的睡眠，政协委员于今年两会向大会提出一个议案，即“推迟中小学生早晨上课时 间”，这个议案当即得到不少人大代表的支持. 根据北京市教委的要求，学生小强所在学校将学生到校 时间推迟半小时.小强原来 7 点从家出发乘坐公共汽车，7 点 20 分到校；现在小强若由父母开车送其上 学，7 点 45 分出发，7 点 50 分就到学校了. 已知小强乘自家车比乘公交车平均每小时快 36 千米，求从 小强家到学校的路程是多少千米？ 顺义；某商店用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 120 100 售价（元/件） 138 120 （1）该商店购进甲、乙两种商品各多少件； （2）商店第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是 第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营 活动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 45° 30° D B A C 414.12 ≈ 732.13 ≈ 通州；列方程解应用题：一列火车从车站开出，预计行程 450 千米，当他开出 3 小时后，因抢救一位 病危旅客而多停了一站，耽误了 30 分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了 0.2 倍，结 果准时到达目的地，求这列火车原来的速度？ 十四、含字母系数的一元二次方程 东城；（本题满分 7 分）已知：关于 的一元二次方程 （1）若 求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若 12＜m＜40 的整数，且方程有两个整数根，求 的值． 海淀；已知: 关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc （c≠0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1. （1）若方程①的根为正整数，求整数 k 的值； （2）求代数式 的值； （3）求证: 关于 x 的一元二次方程 ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 崇文；已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+（2k－3)x+k－3 = 0 有两个不相等实数根（k<0）． （I）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是 ， （其中 ），若 一次函数 y=(3k－1)x+b 与反比例函数 y = 的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解 析式． 宣武； 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，则 的取值范 围是 ___ 昌平；已知：关于 的一元二次方程 ．（1）若原方程有 实数根，求 的取值范围；2）设原方程的两个实数根分别为 ， ．①当 取哪些整数时， ， 均为整数； ②利用图象，估算关于 的方程 的解． 顺义； 已知：关于 的一元二次方程 ．（1）求证：不论 取何值，方 程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足 ，求 的值． 通州； 若关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m-3)x＋1=0 的两实数根为 x1 、x2 ，且 x1＋x2= , x1·x2= ,两实数根的倒数和是 S.求：（1）m 的取值范围；（2）S 的取值范围. 十五、新定义 东城；请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图 1,若弦 AB、CD 交于点 P 则 PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题. x 2 22(2 3) 4 14 8 0x m x m m− − + − + = 0,m > m akc abbkc +− 22)( 1x 2x 21 xx > x b x ( ) 21 2 1 0k x x+ + − = k x 2 2 2 0kx x k+ + − = k 1x 2x k 1x 2x k 1 2 1 0x x k+ + − = x 2 2(2 1) 2 0x m x m m− + + + − = m 1 2 21 1 mx x m +− = + − m 2 2 3m m − 2 1 m D CB A 已知⊙O 的半径为 2，P 是⊙O 内一点，且 OP=1，过点 P 任作一弦 AC，过 A、C 两点分别作⊙O 的切 线 m 和 n，作 PQ⊥m 于点 Q，PR⊥n 于点 R.（如图 2）(1)若 AC 恰经过圆心 O,请你在图 3 中画出符合 题意的图形，并计算： 的值；(2)若 OP⊥AC, 请你在图 4 中画出符合题意的图形，并计算： 的值； (3)若 AC 是过点 P 的任一弦（图 2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想： 的值， 并给出证明． 海淀；我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶 点叫做这个 四边形的一对等高点.例如：如图 1,平行四边形 ABCD 中，可证点 A、C 到 BD 的距离相等，所以点 A、 C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可知点 B、D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点 图 1 （1）如图 2，已知平行四边形 ABCD, 请你在图 2 中画出一个只有一对等高点的四边形 ABCE（要求： 画出必要的辅助线）；2）已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 点重合），请分别 探究图 3、图 4 中 S1, S2, S3, S4 四者之间的等量关系(S1, S2, S3, S4 分别表示△ABP, △CBP, △CDP, △ADP 的面积)： ① 如图 3，当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、C 时，你得到的一个结论是 ； ② 如图 4，当四边形 ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是 . 图 2 图 3 图 4 图 1 宣武 ； 对 于 三 个 数 ， 表 示 这 三 个 数 的 平 均 数 ， 表 示 这三个数中最小的数，如： ， ； ， ． 解 决 下 列 问 题 ： （ 1 ） 填 空 ： ； 若 ， 则 的 取 值 范 围 是 ； （ 2 ） ① 若 ，那么 ＝ ； ②根据①，你发现结论“若 ，那么 ”（填 大小关系）； ③ 运 用 ② ， 填 空 ： 若 ， 则 ＝ ；（3）在同一直角坐标系中作出函数 ， ， 的图象（不需 P O A B D C （图 1） PRPQ 11 + PRPQ 11 + PRPQ 11 + P O （图 3） P O （图 4） R Q n m C A P O （图 2） A B C D S2 S1 S4 S3 S4 S3S2 A B C P D A B C P D S1 a b c、 、 { }, ,M a b c , ,a b c { }min , ,a b c a b c、 、 { } 1 2 3 41,2,3 3 3M − + +− = = { }min 1,2,3 1− = − { } 1 2 11,2, 3 3 a aM a − + + +− = = { } ( ) ( ) 1 min 1,2, 1 1 a a a a ≤ −− = − > − { }min sin30 ,cos45 ,tan30° ° ° = { }min 2,2 2,4 2 2x x+ − = x { } { }2, 1,2 min 2, 1,2M x x x x+ = + x { } { }, , min , ,M a b c a b c= , ,a b c { } { }2 2, 2 ,2 min 2 2, 2 ,2M x y x y x y x y x y x y+ + + − = + + + − x y+ 1y x= + ( )21y x= − 2y x= − 列表，描点），通过图象，得出 最大值为 ． 朝阳；将图①，将一张直角三角形纸片 ABC 折叠，使点 A 与点 C 重合，这时 DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴 EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其 中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形 为“叠加矩形”. 图① 图② 图③ （1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕； （2）如图③，在正方形网格中，以给定的 BC 为一边，画出一个斜三角形 ABC，使其顶点 A 在格点上， 且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形； （3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ； （4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 . 十六、抛物线 东城；（本题满分 7 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠 在两坐标轴上，且点 A（0，2），点 C（-1，0），如图所示，抛物线 经过点 B． （1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 西城；已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将∠ OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.（1）直接写出点 C 的坐标，并求 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四 边形 ODAP 为平行四 边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称 轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 的取值范围. O -1 -3 -2 -1 54321-4 4 3 2 1 y x ( ){ }2min 1, 1 ,2x x x+ − − C B A A CB 2 2y ax ax= + − 3 64y x= − + QA QO− 海淀；已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与 x 轴正半轴交于点 D. （1）求此抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）在 x 轴上求一点 E, 使得△BCE 是以 BC 为底边的 等腰三角形； （3）在（2）的条件下，过线段 ED 上动点 P 作直线 PF//BC, 与 BE、CE 分别交于点 F、G，将△EFG 沿 FG 翻折得到△E′FG. 设 P（x, 0）, △E′FG 与四边形 FGCB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 的函数 关系式及自变量 x 的取值范围. 崇 文 ； 如 图 ， 抛 物 线 ， 与 轴 交 于 点 ， 且 ． （I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形为直角 三角形？若存在，求出 点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线 交 轴于 点， 为抛物线顶点．若 ， 的值． 宣武；小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容 补充完整： 例题：求一元二次方程 的两个解．解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、 分解因式法）求解． 解方程： ．解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解． 两点轴交于与 BAxbxaxy ,32 −+= y C OAOCOB 3== P CAP ,, P 13 1 +−= xy y D E α=∠DBC βαβ −=∠ 求,CBE 2 1 0x x− − = 2 1 0x x− − = 如图 1 所示，把方程 的解看成是二次 函数 的图象与 轴交点的 横坐标，即 就是方程的解． （题图 1） 解法三：利用两个函数图象的交点求解． （1）把方程 的解看成是一个二次函数 的图象与一个一次函数 的图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用 在 轴上标出方程的解． （题图 2） 朝阳；抛物线与 x 轴交于 A（－1，0）、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，－3），抛物线顶点为 M，连接 AC 并延长 AC 交抛物线对称轴于点 Q，且点 Q 到 x 轴的距离为 6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，求出点 D 的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得 S△PAM=3S△ACM，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由. 丰台；已知抛物线 与 x 轴交于不同的两点 和 ，与 y 轴交于点 C， 且 是方程 的两个根（ ）． （1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 作 AD∥CB 交抛物线于点 D，求四边形 ACBD 的面积； （3）如果 P 是线段 AC 上的一个动点（不与点 A、C 重合），过点 P 作平行于 x 轴的直线 l 交 BC 于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由． 石景山；已知：如图，直角三角形 的两直角边 、 分别在 轴的正半轴和 轴的负半轴 上， 为线段 上一点， ，抛物线 （ 是常数，且 ）经过 、 两点． （1）求出 、 两点的坐标（可用含 的代数式表示）； （2）若 的面积为 ，求 的值． 2 1 0x x− − = 1x 2x y 1 2 3 -1 1o 2 3 -1 -2 y = x x 1 2,x x 2 1 0x x− − = y = y = 1 2,x x x x y O-1 321 3 -1 -2 1 2 4 -2-3 22 3y x bx c= − + + ( )1 0A x， ( )2 0B x ， 1 2x x， 2 2 3 0x x− − = 1 2x x< AOB OA OB x y C OA OBOC = mxmxy ++−= )1(2 m 1>m A C A B m AOB∆ 2 m 昌平；在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左 侧），过点 的直线 交抛物线于点 ． （1）求直线 及抛物线的解析式；（2）若直线 与抛物线的对称轴交于点 ，以点 为中 心将直线 顺时针旋转 得到直线 ，设直线 与 轴的交点为 ，求 的面积； （3）若 为抛物线上一点，是否存在 轴上的点 ，使以 为顶点的四边形为平行四边 形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 顺义；已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过 A(2,0)，B(1,n) ， C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）求线段 BC 的长；（3）求 的度数． 通州；下表给出了代数式 x2+bx+c 与 x 的一些对应值： x … … -1 0 1 2 3 4 … … x2+ bx+c … … 3 -1 3 … … （1）根据表格中的数据，确定 b、c 的值，并填齐表格空白处的对应值； （2）设 y=x2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点为 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y 轴交于点 C，P 为线段 AB 上一动点，过 P 点作 PE∥AC 交 BC 于 E，连结 PC，当△PEC 的面积最大时，求 P 点的坐标. 大兴；已知抛物线 的顶点在 x 轴上，且与 y 轴交于 A 点. 直线 xOy 2y x bx c= − + + x A B、 A B A 1y kx= + ( )2 , 3C AC 1y kx= + E E 1y kx= + 90° l l y P APE∆ G x F B E F G、 、 、 F 2 (1 2 3)y ax x c= + + + OAB∠ 12 ++= bxxy mkxy += 经过 A、B 两点，点 B 的坐标为（3，4）。 （1）求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在抛物线上；（2）如果点 B 在抛物线上，P 为线段 AB 上 的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E，设线段 PE 的 长为 ，点 P 的横坐标为 ，当 为何值时，h 取得最大值，求出这时的 h 值 十七、几何变换 西城；已知： ， ，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求 AB 及 PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应∠APB 的大小. 海淀；在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图 1，已知△ ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分别以 AB、BC 为边向外作△ABD 与△BCE, 且 DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠ BEC=90°，连接 DE 交 AB 于点 F. 探究线段 DF 与 EF 的数量关系.小慧同学的思路是：过点 D 作 DG⊥AB 于 G,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小明同学经过合情推理，提 出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出 的问题： （1）写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系； （2）如图 2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在 （1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图 3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中 得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 图 1 图 2 图 3 崇文；在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系． 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出 x h x x B EC A D F D A C E F B E F C B A D 2PA = 4PB = ABC∆ ABC°=∠ 60MDN °=∠ 120BDC AMN∆ ABC∆ = L Q ≠ 你的猜想以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示）． 宣武；如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）． （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结 EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否 在直线 NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由． （第 23 题图 1） （第 23 题图 2） （第 23 题图 3） 朝阳 图① 图② （1）已知：如图①，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D、E 在斜边 AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件， 使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1） 的条件下，如果 AB=10，求 BD·AE 的值． 丰台；把两个三角形按如图 1 放置，其中 ， ， ，且 ， ．把△DCE 绕点 C 顺时针旋转 15°得到△D1CE1，如图 2，这时 AB 与 CD1 相交于点 ，与 D1E1 相交于点 F． （1）求 的度数；（2）求线段 AD1 的长；（3）若把△D1CE1 绕点 顺时针再旋转 30°得到 △D2CE2，这时点 B 在△D2CE2 的内部、外部、还是边上？请说明理由． 如图 1，在 中， 为锐角，点 为射线 上一点，联结 ，以 为一边且在 的右侧作正方形 ．（1）如果 ， ， ①当点 在线段 上时（与点 不重合），如图 2，线段 所在直线的位置关系为 __________ ，线段 的数量关系为 ； x x N F ED C B A M F ED CB A N M E A E F D B N CM 90ACB DEC= = °∠ ∠ 45A = °∠ 30D = °∠ 6AB = 7DC = O 1ACD∠ C 图 1 A C E D B B 图 2 A E1 1 C D1 1 O F ABC△ ACB∠ D BC AD AD AD ADEF AB AC= 90BAC = ∠ D BC B CF BD、 CF BD、 ②当点 在线段 的延长线上时，如图 3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （ 2 ） 如 果 ， 是 锐 角 ， 点 在 线 段 上 ， 当 满 足 什 么 条 件 时 ， （点 不重合），并说明理由． 石景山；已知：如图（1），射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别在 、 上运动（点 与点 不重合、点 与点 不重合）， 是 边上的动点（点 与 、 不 重合），在运动过程中始终保持 ，且．（1）求证： ∽；（2）如图（2），当点 为 边的中点时，求证： ；（3）设 ，请探究： 的周长是否与 值 有关？若有关，请用含有 的代数式表示 的周长；若无关，请说明理由． 昌平；已知 ， 是 的平分线．将一个直角 的直角顶点 在射线 上移 动，点 不与点 重合.（1）如图，当直角 的两边分别与射线 、 交于点 、 时，请判 断 与 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设 与 的交点为点 ，且 ，求 的值； （3）若直角 的一边与射线 交于点 ，另一边与直线 、直线 分别交于点 、 ，且 以 、 、 为顶点的三角形与 相似，请画出示意图；当 时，直接写出 的长. 顺义；取一副三角板按图①拼接，固定三角板 ，将三角板 绕点 依顺时针方向旋转一个 大小为 的角 得到 ，如图所示． 试问：（1）当 为多少度时，能使得图②中 ？ （2）连结 ，当 时，探寻 值的大小变化情况，并给 出你的证明． ADE∆ 第 25 题（1） 第 25 题（2） R B P C A DO G S M D BC AB AC≠ BAC∠ D BC ACB∠ CF BC⊥ C F、 图 1 A B D F E C F D 图 3 A B DC E //AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B ECDE ⊥ E AB CDBCAD =+ mAE = BEC∆ m m BEC∆ 90AOB∠ = ° OM AOB∠ RPS P OM P O RPS OA OB C D PC PD CD OP G 3 2PG PD= GD OD RPS OB D OA OB C E P D E OCD∆ 1OD = OP ADC ABC A α (0 45 )α< ≤ ABC′△ α AB DC∥ BD 0 45α< ≤ DBC CAC BDC′ ′∠ + ∠ + ∠ 图 2 A B D E C F 25. 已知：在 Rt△ABC 中，AB=BC，在 Rt△ADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM． （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图①，探索 BM、DM 的关系并给予证 明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成 立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． 通州；已知：如图（1）在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB = AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点， 若∠DAE=45°.探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC 绕点 A 顺时针旋 转 90°，得到△ABE′，连结 E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （ 1 ） 猜 想 BD 、 DE 、 EC 三 条 线 段 之 间 存 在 的 数 量 关 系 式 ， 并 对 你 的 猜 想 给 予 证 明 ； 图（1） （2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变， （1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 大兴；．如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO．将纸片翻折后，点 B 恰好 落在 x 轴上，记为 B′，折痕为 CE，已知 tan∠OB′C＝ ． （1）求 B′ 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式． 十八、面积问题 西城；已知：反比例函数 和 在平面直角坐标系 xOy 第一象限中的图象如图所示，点 A 在 的图象上，AB∥y 轴，与 的图象交于点 B，AC、BD 与 x 轴平行，分别与 、 的图 图② MD B A C E 图① M D B A C E 3 4 B′ A BC E O x y 2y x = 8y x = 8y x = 2y x = 2y x = 8y x = 象交于点 C、D. （1）若点 A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标； （2）若点 A 的横坐标为 m，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由； （3）若△ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点 A 的坐标. 通州；已知：如图，一等边三角形 ABC 纸片的边长为 2a，E 是 AB 边上一动点，（点 E 与点 A、B 不重 合），过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F，设 EF=x. （1）用 x 的代数式表示△AEF 的面积； （2）将△AEF 沿 EF 折叠，折叠后与四边形 BCFE 重叠部分的面积为 y，求出 y 关于 x 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围. 十九、最值和定值 宣武；如图，矩形 OABC 的边 OC、OA 分别与 轴、 轴重合，点 B 的坐标是 ，点 D 是 AB 边上一个动点（与点 A 不重合），沿 OD 将△OAD 翻折，点 A 落在点 P 处． （1）若点 P 在一次函数 的图象上，求点 P 的坐标；（2）若点 P 在抛物线 图象上，并满足△PCB 是等腰三角 形，求该抛物线解析式； （3）当线段 OD 与 PC 所在直线垂直时，在 PC 所在直线上作出一点 M，使 DM+BM 最小，并求出 这个最小值． （图） （备用图 1） （备用图 2） 昌平；问题：如图 1，点 在直线 的同侧，在直线 上找一点 ，使得 的值最小. 小明的思路是：如图 2，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点 即为所求. 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图 3，在图 2 的基础上，设 与直线 的 交点为 ，过点 作 ，垂足为 . 若 ， ， ，写出 的值； （2）将（1）中的条件“ ”去掉，换成“ ”，其它条件不变，写出此时 的值； y x O P D C BA A B CO x y A B CO x y A' P B A ll 图2图1 A B x y )1,3( 2 1y x= − 2y ax= ,A B l l P AP BP+ A l A′ A B′ A B′ l P AA′ l C B BD ⊥ l D 1CP = 2PD = 1AC = AP BP+ 1AC = 4BD AC= − AP BP+ （3）请结合图形，直接写出 的最小值. 二十、动点问题 丰台；如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于 两点．点 、 ，以 为一边在 轴上方作矩形 ，且 ．设矩形 与 重叠部分的面积为 ． （1）求点 、 的坐标；（2）当 值由小到大变化时，求 与 的函数关系式；3）若在直线 上存在点 ，使 等于 ，请直接写出 的取值范围． 大兴；在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 B、C 两点． （1）直接写出 B、C 两点的坐标； （2）直线 与直线 交于点 A，动点 P 从点 O 沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动， 设运动时间为 t 秒（即 OP = t）.过点 P 作 PQ∥ 轴交直线 BC 于点 Q． ① 若点 P 在线段 OA 上运动时（如图 1），过 P、Q 分别作 轴的垂线，垂足分别为 N、M，设矩形 PQMN 的面积为 S ，写出 S 和 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值． ② 若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间 t 为何值时,过 P、Q、O 三点的圆与 轴相切. 二十一、选择题 东城；在正方体的表面上画有如图⑴中所示的粗线，图⑵是其展开图的示意图，但只在 A 面上画有 图3 lC A B P A' D x y B C E A F DO ( ) ( )2 22 3 1 8 2 4m m− + + − + 1 ( 0)2y x b b= − + > x y A B、 (4 0)C ， (8 0)D ， CD x CDEF : 1: 2CF CD = CDEF ABO△ S E F b S b 1 ( 0)2y x b b= − + > Q OQC∠ 90 b 62 1 +−= xy x y xy = 62 1 +−= xy x x x xO C B A P Q 图（1） MN y xO C B A 备用图 y 粗线，那么将图⑴中剩余两个面中的粗线画入图⑵中，画法正确的是 西城；若 m、n（m