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  • 2021-05-13 发布

专题14相似三角形问题攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品原卷

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专题14 相似三角形问题 ‎【考点综述评价】‎ 因动点产生的相似三角形问题,常常出现在综合题中.‎ 一是以几何图形为载体,赋予动点、动线和动面,来探究相似三角形问题,进而研究面积、函数最值等问题;二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题;三是以相似三角形为背景,经历“问题情境,建立模型,求解,应用”的基本过程,设置探究性问题.问题设置常常具有开放性. ‎ 相似三角形由于对应边、对应角的不确定,或者是图形的不确定,常常需要进行分类讨论,解题时根据对应角或对应边来分类.要注意确定分类标准,按一个标准进行分类,做到“不重复,不遗漏”.‎ ‎【考点分类总结】‎ 考点1:利用三角形相似与图象的判断 ‎ ‎【典型例题】(2017湖北省黄石市)如图,直线l:y=kx+b(k<0)与函数(x>0)的图象相交于A、C两点,与x轴相交于T点,过A、C两点作x轴的垂线,垂足分别为B、D,过A、C两点作y轴的垂线,垂足分别为E、F;直线AE与CD相交于点P,连接DE,设A、C两点的坐标分别为(a,)、(c,),其中a>c>0.‎ ‎(1)如图①,求证:∠EDP=∠ACP;‎ ‎(2)如图②,若A、D、E、C四点在同一圆上,求k的值;‎ ‎(3)如图③,已知c=1,且点P在直线BF上,试问:在线段AT上是否存在点M,使得OM⊥AM?请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【方法归纳】‎ 利用相似三角形,得出比例式,代入得出函数关系式,结合图象进行判断.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2017湖北省恩施州)如图,∠AOB=90°,反比例函数(x<0)的图象过点A(﹣1,a),反比例函数(k>0,x>0)的图象过点B,且AB∥x轴.‎ ‎(1)求a和k的值;‎ ‎(2)过点B作MN∥OA,交x轴于点M,交y轴于点N,交双曲线于另一点,求△OBC的面积.‎ 考点2:相似三角形中的开放性问题 ‎ ‎【典型例题】(2017辽宁省鞍山市)如图,∠MBN=90°,点C是∠MBN平分线上的一点,过点C分别作AC⊥BC,CE⊥BN,垂足分别为点C,E,AC=,点P为线段BE上的一点(点P不与点B、E重合),连接CP,以CP为直角边,点P为直角顶点,作等腰直角三角形CPD,点D落在BC左侧.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)连接BD,请你判断AC与BD的位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)设PE=x,△PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系式.‎ ‎【方法归纳】‎ 两个三角形相似,根据不同的对应边或对应角需要分类讨论.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2017怀化)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;‎ ‎(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.‎ 考点3:相似三角形的存在性问题 ‎【典型例题】(2017山东省莱芜市)抛物线过A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)如图①,抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB交AC于点E,若满足,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图②,F为抛物线顶点,过A作直线l⊥AB,若点P在直线l上运动,点Q在x轴上运动,是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似,若存在,求P、Q的坐标,并求此时△BPQ的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【方法归纳】‎ 一是求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形,根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论;二是利用已知三角形中的对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小; 三是若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2017济宁)定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.‎ 例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.‎ 请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:‎ 在平面直角坐标系中,点M是曲线(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.‎ ‎(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(,3),点N的坐标是(,0)时,求点P的坐标;‎ ‎(2)如图3,当点M的坐标是(3,),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;‎ ‎(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【新题好题训练】‎ ‎1.(2017江苏省泰州市)如图,P为反比例函数(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B.若∠AOB=135°,则k的值是(  )‎ A.2      B.4      C.6      D.8‎ ‎2.(2017山东省潍坊市)如图,在△ABC中,AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)‎ ‎3.(2017湖北省随州市)在△ABC在,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.‎ ‎4.(2017江苏省南通市)我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.‎ ‎(1)等边三角形“內似线”的条数为 ;‎ ‎(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC的“內似线”;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.‎ ‎5.(2017河南省)如图,直线与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线经过点A,B.‎ ‎(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;‎ ‎(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.‎ ‎①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;‎ ‎②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.‎ ‎6.(2017辽宁省葫芦岛市)如图,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,点B是射线AP上一定点,点C在直线AN上运动,连接BC,将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.‎ ‎(1)如图1,当点C在射线AN上时,①请判断线段BC与BD的数量关系,直接写出结论;‎ ‎②请探究线段AC,AD和BE之间的数量关系,写出结论并证明;‎ ‎(2)如图2,当点C在射线AN的反向延长线上时,BC交射线AM于点F,若AB=4,AC=,请直接写出线段AD和DF的长.‎ ‎7.(2017新疆)如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.‎ ‎(1)试求A,B,C的坐标;‎ ‎(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.‎ ‎①求点D的坐标;‎ ‎②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;‎ ‎(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎8.(2017内蒙古赤峰市)如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.‎ ‎(1)若点C在反比例函数的图象上,求该反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点P(,m)在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,当△PAD与△OAB相似时,P点是否在(1)中反比例函数图象上?如果在,求出P点坐标;如果不在,请加以说明.‎ ‎9.(2017海南省)抛物线 经过点A(1,0)和点B(5,0).‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数解析式;‎ ‎(2)该抛物线与直线 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.‎ ‎①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;‎ ‎②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎10.(2017辽宁省抚顺市)如图,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF、ON交于点B、点C,连接AB、PB.‎ ‎(1)如图1,当P、Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系;‎ ‎(2)如图2,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图3,∠MON=60°,连接AP,设=k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值?若存在,请直接写出k的最小值;若不存在,请说明理由.‎