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- 2021-05-13 发布
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中考数学共顶点旋转模型
一、题源分析
(人教版八年级上册第55页)如图, ,求证
(人教版九年级上册第63页)如图,都是等边三角形,BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?
二、共顶点旋转模型简要概述
共顶点模型,是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合,两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形ADC和三角形ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下:
(1)寻找公共的顶点
(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边
(3)将两组相等的边分别分散到两个三角形中去,证明全等或相似即可。
典例分析1:
(2014年河南)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE
填空:(1)∠AEB的度数为 ;
(2)线段AD、BE之间的数量关系是 。
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由。
思路点拨:
(1)第一问,考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C,在点C处可以找到两组相等的边,列出来即可表示为:,观察边的形式,就可以得到全等的两个三角形是:.
(2)类比第一问,可以得到,故而全等的三角形为,之后再做计算即可。
典例分析2:
(2015年安徽)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC; (2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值.
思路点拨:
(1)第一问,结合共顶点旋转全等模型即可
(2)类比第一问,全等模型的延伸,相似模型。根据,类比全等证明相似。
(3)结合前两问的相似即可得到即为相似比,亦即求解的值即可。
典例分析3:
(2011年广州中考)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:。
思路点拨:
(1)第一问,共顶点旋转模型
(2)根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。
三、共顶点旋转模型的应用
1.半角模型:所谓半角模型,是指在从角的顶点向角内部引出两条直线,这两条直线形成的夹角恰好等于原角的一半大小。
典例分析1:(2014年四川绵阳)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为 .
思路点拨:将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°即可。
典例分析2:(2016•南岗区模拟)已知△ABC是等边三角形,点D在△ABC外,连接BD、CD,且∠BDC=120°,BD=DC,点M,N分别在边AB,AC上,连接DM、DN、MN,∠MDN=60°,探究:△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1,当DM=DN时,= ;
(2)如图2,当DM≠DN时,猜想= ;并加以证明.
思路点拨:典型的半角模型,将三角形DCN绕点D逆时针旋转120°即可。
总结:
(1)半角模型的基本形式:大角包小角,小角得一半
(2)半角模型的解题方法:将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。
延伸例题:(2016春•黄岛区期中)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.
【类比引申】
如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD.
【探究应用】
如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=(40﹣40)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长为 米.
2.K字模型:所谓K字模型,与半角模型类似,实则是指构成的图形类似于“K”字。
题源:人教版课本新课标八年级下册第30页,勾股定理的证明。
典例分析1:(2014年四川南充)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点C的坐标为( )
A.(﹣,1) B. (﹣1,) C. (,1) D. (﹣,﹣1)
思路点拨:过点C作x轴的垂线即可。
典例分析2:(2015山东省德州市)
(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.
总结:
K字形模型解题基本思路是:利用角的和相等的原理,证明K的两边的三角形相似或全等。在不相似或者全等时,构造三角形使两个三角形全等相似。
例如:(2016•洛阳模拟)(1)【问题发现】小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC是等边三角形,点D为BC的中点,且满足∠ADE=60°,DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E,试探究AD与DE的数量关系.小明发现,过点D作DF∥AC,交AC于点F,通过构造全等三角形,经过推理论证,能够使问题得到解决,请直接写出AD与DE的数量关系: ;
(2)【类比探究】如图2,当点D是线段BC上(除B,C外)任意一点时(其它条件不变),试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上,且满足CD=BC(其它条件不变)时,请直接写出△ABC与△ADE的面积之比.