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- 2021-05-13 发布
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2018年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(4分)在﹣3,﹣1,0,1这四个数中,最小的数是( )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1
2.(4分)2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天,参观总人数超55万人次,其中55万用科学记数法表示为( )
A.0.55×106 B.5.5×105 C.5.5×104 D.55×104
3.(4分)下列计算正确的是( )
A.a3+a3=2a3 B.a3•a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5
4.(4分)有五张背面完全相同的卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5.(4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.(4分)如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是( )
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和左视图
7.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
8.(4分)若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
9.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
10.(4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为( )
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
12.(4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )
A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(4分)计算:|﹣2018|= .
14.(4分)要使分式有意义,x的取值应满足 .
15.(4分)已知x,y满足方程组,则x2﹣4y2的值为 .
16.(4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 米(结果保留根号).
17.(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 .
18.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结
MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 .
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(6分)先化简,再求值:(x﹣1)2+x(3﹣x),其中x=﹣.
20.(8分)在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
(2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
21.(8分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求本次调查的学生人数;
(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.
22.(10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
23.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
24.(10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的每件进价;
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
25.(12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
26.(14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.
(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;
(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,
①求证:△OCE∽△OEA;
②求点E的坐标;
(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.
2018年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(4分)在﹣3,﹣1,0,1这四个数中,最小的数是( )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1
【分析】根据正数大于零,零大于负数,可得答案.
【解答】解:由正数大于零,零大于负数,得
﹣3<﹣1<0<1,
最小的数是﹣3,
故选:A.
【点评】本题考查了有理数比较大小,利用正数大于零,零大于负数是解题关键.
2.(4分)2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天,参观总人数超55万人次,其中55万用科学记数法表示为( )
A.0.55×106 B.5.5×105 C.5.5×104 D.55×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:550000=5.5×105,
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<
10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(4分)下列计算正确的是( )
A.a3+a3=2a3 B.a3•a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5
【分析】根据同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法的运算方法,合并同类项的方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,逐项判定即可.
【解答】解:∵a3+a3=2a3,
∴选项A符合题意;
∵a3•a2=a5,
∴选项B不符合题意;
∵a6÷a2=a4,
∴选项C不符合题意;
∵(a3)2=a6,
∴选项D不符合题意.
故选:A.
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法的运算方法,合并同类项的方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,解答此题的关键是要明确:①底数a≠0,因为0不能做除数;②单独的一个字母,其指数是1,而不是0;③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式,也可以是多项式,但必须明确底数是什么,指数是什么.
4.(4分)有五张背面完全相同的卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,其正面的数字是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率.
【解答】解:∵从写有数字1,2,3,4,5这5张纸牌中抽取一张,其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果,
∴正面的数字是偶数的概率为,
故选:C.
【点评】此题主要考查了概率公式的应用,明确概率的意义是解答的关键,用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.
5.(4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数.
【解答】解:正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,
则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.
故选:D.
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理,解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度.
6.(4分)如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是( )
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:从上边看是一个田字,
“田”字是中心对称图形,
故选:C.
【点评】
本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图,又利用了中心对称图形.
7.(4分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数,再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案.
【解答】解:∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°,
∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,
∴EO是△DBC的中位线,
∴EO∥BC,
∴∠1=∠ACB=40°.
故选:B.
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识,得出EO是△DBC的中位线是解题关键.
8.(4分)若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
【分析】先根据平均数为4求出x的值,然后根据中位数的概念求解.
【解答】解:∵数据4,1,7,x,5的平均数为4,
∴=4,
解得:x=3,
则将数据重新排列为1、3、4、5、7,
所以这组数据的中位数为4,
故选:C.
【点评】本题考查了中位数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
9.(4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
【分析】先根据ACB=90°,AB=4,∠A=30°,得圆心角和半径的长,再根据弧长公式可得到弧CD的长.
【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=4,∠A=30°,
∴∠B=60°,BC=2
∴的长为=,
故选:C.
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质,解题时注意弧长公式为:l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).
10.(4分)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为( )
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
【分析】设A(a,h),B(b,h),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1,bh=k2.根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,求出k1﹣k2=8.
【解答】解:∵AB∥x轴,
∴A,B两点纵坐标相同.
设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.
∵S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,
∴k1﹣k2=8.
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,点在函数的图象上,则点的坐标满足函数的解析式.也考查了三角形的面积.
11.(4分)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是( )
A. B. C.
D.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况,从而可以得到一次函数经过哪几个象限,本题得以解决.
【解答】解:由二次函数的图象可知,
a<0,b<0,
当x=﹣1时,y=a﹣b<0,
∴y=(a﹣b)x+b的图象在第二、三、四象限,
故选:D.
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用函数的思想解答.
12.(4分)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )
A.2a B.2b C.2a﹣2b D.﹣2b
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2,然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【解答】解:S1=(AB﹣a)•a+(CD﹣b)(AD﹣a)=(AB﹣a)•a+(AB﹣b)(AD﹣a),
S2=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a),
∴S2﹣S1=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a)﹣(AB﹣a)•a﹣(AB﹣b)(AD﹣a)=(AD﹣a)(AB﹣AB+b)+(AB﹣a)(a﹣b﹣a)=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b(AD﹣AB)=2b.
故选:B.
【点评】本题考查了整式的混合运算:整体”思想在整式运算中较为常见,适时采用整体思想可使问题简单化,并且迅速地解决相关问题,此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.也考查了正方形的性质.
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(4分)计算:|﹣2018|= 2018 .
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案.
【解答】解:|﹣2018|=2018.
故答案为:2018.
【点评】此题主要考查了绝对值,正确把握绝对值的定义是解题关键.
14.(4分)要使分式有意义,x的取值应满足 x≠1 .
【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零,进而得出答案.
【解答】解:要使分式有意义,则:x﹣1≠0.
解得:x≠1,故x的取值应满足:x≠1.
故答案为:x≠1.
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,正确把握分式的定义是解题关键.
15.(4分)已知x,y满足方程组,则x2﹣4y2的值为 ﹣8 .
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
【解答】解:原式=(x+2y)(x﹣2y)
=﹣3×5
=﹣15
故答案为:﹣15
【点评】本题考查因式分解,解题的关键是熟练运用平方差公式,本题属于基础题型.
16.(4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 1200(﹣1) 米(结果保留根号).
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中,利用锐角三角函数,用CH表示出AH、BH的长,然后计算出AB的长.
【解答】解:由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中,∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米,
在Rt△HCB,∵tan∠B=
∴HB==
==1200(米).
∴AB=HB﹣HA
=1200﹣1200
=1200(﹣1)米
故答案为:1200(﹣1)
【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题.题目难度不大,解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH.
17.(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 3或4 .
【分析】分两种情形分别求解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时;如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形;
【解答】解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=m.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,
∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB==4.
综上所述,BP的长为3或4.
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.
18.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结
MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 .
【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.
【解答】解:延长DM交CB的延长线于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,
∴∠ADM=∠H,
∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,
∴△ADM≌△BHM,
∴AD=HB=2,
∵EM⊥DH,
∴EH=ED,设BE=x,
∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,
∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,
∴x=﹣1或﹣﹣1(舍弃),
∴cosB==,
故答案为.
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
三、解答题(本大题有8小题,共78分)
19.(6分)先化简,再求值:(x﹣1)2+x(3﹣x),其中x=﹣.
【分析】首先计算完全平方,再计算单项式乘以多项式,再合并同类项,化简后再把x的值代入即可.
【解答】解:原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1,
当x=﹣时,原式=﹣+1=.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值,关键是先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.
20.(8分)在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
(2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
【分析】(1)将线段AC沿着AB方向平移2个单位,即可得到线段BD;
(2)利用2×3的长方形的对角线,即可得到线段BE⊥AC.
【解答】解:(1)如图所示,线段BD即为所求;
(2)如图所示,线段BE即为所求.
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质,首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.
21.(8分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥
4分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求本次调查的学生人数;
(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数.
【分析】(1)由条形图、扇形图中给出的级别A的数字,可计算出调查学生人数;
(2)先计算出C在扇形图中的百分比,用1﹣[(A+D+C)在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比,再计算出B在扇形的圆心角.
(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t<4的百分比即得所求.
【解答】解:(1)由条形图知,A级的人数为20人,
由扇形图知:A级人数占总调查人数的10%
所以:20÷10%=20×=200(人)
即本次调查的学生人数为200人;
(2)由条形图知:C级的人数为60人
所以C级所占的百分比为:×100%=30%,
B级所占的百分比为:1﹣10%﹣30%﹣45%=15%,
B级的人数为200×15%=30(人)
D级的人数为:200×45%=90(人)
B所在扇形的圆心角为:360°×15%=54°.
(3)因为C级所占的百分比为30%,
所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为:1200×30%=360(人)
答:全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人.
【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识.题目难度不大.扇形图中某项的百分比=×100%,扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比.
22.(10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(1,0),(0,).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=﹣x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可;
(2)指出满足题意的平移方法,并写出平移后的解析式即可.
【解答】解:(1)把(1,0),(0,)代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+;
(2)抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为y=﹣x2.
【点评】
此题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,以及待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.
23.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
【分析】(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知:∠A=∠CBE=45°,BE=BF,从而可求出∠BEF的度数.
【解答】解:(1)由题意可知:CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
由(1)可知:∠A=∠CBE=45°,
∵AD=BF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=67.5°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质,本题属于中等题型.
24.(10分)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的每件进价;
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
【分析】(1)设甲种商品的每件进价为x元,乙种商品的每件进价为y元.根据“某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元.购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程;
(2)设甲种商品按原销售单价销售a件,则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式.
【解答】解:(1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.
根据题意,得,=,
解得 x=40.
经检验,x=40是原方程的解.
答:甲种商品的每件进价为40元,乙种商品的每件进价为48元;
(2)甲乙两种商品的销售量为=50.
设甲种商品按原销售单价销售a件,则
(60﹣40)a+(60×0.7﹣40)(50﹣a)+(88﹣48)×50≥2460,
解得 a≥20.
答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.
【点评】本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用.本题属于商品销售中的利润问题,对于此类问题,隐含着一个等量关系:利润=售价﹣进价.
25.(12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
【分析】(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得;
(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得;
(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB,即AB•BC=BD2,结合AB•BC=AC2知BD2=AC2,据此可得答案.
【解答】解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、AC=3,
①当AB2=BC•AC时,得:4=3AC,解得:AC=;
②当BC2=AB•AC时,得:9=2AC,解得:AC=;
③当AC2=AB•BC时,得:AC=6,解得:AC=(负值舍去);
所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;
(2)∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,
∴△ABC∽△DCA,
∴=,即CA2=BC•AD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴CA2=BC•AB,
∴△ABC是比例三角形;
(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,
∴BH=BD,
∵AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠BCD=90°,
∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC,
∴=,即AB•BC=BH•DB,
∴AB•BC=BD2,
又∵AB•BC=AC2,
∴BD2=AC2,
∴=.
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题,解题的关键是理解比例三角形的定义,并熟练掌握相似三角形的判定与性质.
26.(14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.
(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;
(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,
①求证:△OCE∽△OEA;
②求点E的坐标;
(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.
【分析】(1)利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式,即可求出OA,OB,即可得出结论;
(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论;
②设出EM=3m,AM=4m,进而得出点E坐标,即可得出OE的平方,再根据①的相似得出比例式得出OE的平方,建立方程即可得出结论;
(3)利用面积法求出OG,进而得出AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.
【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),
∴﹣×4+b=0,
∴b=3,
∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,
∴B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,tan∠BAO==;
(2)①如图2,连接DF,∵CE=EF,
∴∠CDE=∠FDE,
∴∠CDF=2∠CDE,
∵∠OAE=2∠CDE,
∴∠OAE=∠ODF,
∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形,
∴∠OEC=∠ODF,
∴∠OEC=∠OAE,
∵∠COE=∠EOA,
∴△COE∽△EOA,
②过点E⊥OA于M,
由①知,tan∠OAB=,
设EM=3m,则AM=4m,
∴OM=4﹣4m,AE=5m,
∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴
OC=4﹣5m,
由①知,△COE∽△EOA,
∴,
∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,
∵E(4﹣4m,3m),
∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,
∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,
∴m=0(舍)或m=,
∴4﹣4m=,3m=,
∴(,),
(3)如图,设⊙O的半径为r,过点O作OG⊥AB于G,
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=5,
∴AB×OG=OA×OB,
∴OG=,
∴AG==×=,
∴EG=AG﹣AE=﹣r,
连接FH,
∵EH是⊙O直径,
∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,
∵∠OEG=∠HEF,
∴△OEG∽△HEF,
∴,
∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,
∴r=时,OE•EF最大值为.
【点评】
此题是圆的综合题,主要考查了待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键.
工程部维修工的岗位职责 1、 严格遵守公司员工守则和各项规章制度,服从领班安排,除完成日常维修任务外,有计划地承担其它工作任务; 2、 努力学习技术,熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3、 积极协调配电工的工作,出现事故时无条件地迅速返回机房,听从领班的指挥; 4、 招待执行所管辖设备的检修计划,按时按质按量地完成,并填好记录表格; 5、 严格执行设备管理制度,做好日夜班的交接班工作; 6、 交班时发生故障,上一班必须协同下一班排队故障后才能下班,配电设备发生事故时不得离岗; 7、 请假、补休需在一天前报告领班,并由领班安排合适的替班人.