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- 2021-05-13 发布
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一、选择题
1.(2010山东烟台)手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是
【答案】D
2.(2010山东烟台)如图,△ ABC中,点D在线段BC上,且△ ABC∽△ DBA,则下列结论一定正确的是
A、AB2=BC·BD B、AB2=AC·BD C、AB·AD=BD·BC D、AB·AD=AD·CD
【答案】A
3.(2010台湾) 图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置,其中与
交于H点。若ÐABC=ÐEFC=70°,ÐACB=60°,ÐDGB=40°,则下列哪
一组三角形相似?(A) △BDG,△CEF (B) △ABC,△CEF
(C) △ABC,△BDG (D) △FGH,△ABC 。
A
B
C
D
E
F
G
H
图(一)
【答案】B
4.(2010浙江嘉兴)如图,已知AD为△ABC的角平分线,交AC于E,如果,那么( ▲ )
(A) (B)
(C) (D)
(第7题)
【答案】B
5.(2010 福建德化)下列各组线段(单位:㎝)中,成比例线段的是( )
A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3
【答案】B
6.(2010江苏泰州)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( )
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
【答案】B
7.(2010年上海)下列命题中,是真命题的为( )
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
【答案】D
8.(2010山东潍坊)如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的,矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依次类推,若各种开本的矩形都相似,那么等于( ).
A.0.618 B. C. D.2
【答案】B
9.(2010北京) 如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于( )
A
B
C
D
E
A.3 B.4 C.6 D. 8
【答案】D
10.(2010年上海)下列命题中,是真命题的为( )
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
【答案】D
11.(2010云南楚雄)下列说法不正确的是( )
A.在选举中,人们通常最关心的数据是众数.
B.掷一枚骰子,3点朝上是不确定事件.
C.数据3,5,4,1,-2的中位数是3.
D.有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似.
【答案】D
12.(2010河南)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③.其中正确的有
(A)3个 (B)2个
(C)1个 (D)0个
【答案】A
13.(2010 四川绵阳)如图,梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O,G是BD的中点.
若AD = 3,BC = 9,则GO : BG =( ).
A.1 : 2 B.1 : 3
C.2 : 3 D.11 : 20
G
A
B
D
C
O
【答案】A
14.(2010广西桂林)如图,已知△ADE与△ABC的相似比为1:2,则△ADE
与△ABC的面积比为( ).
A. 1:2 B. 1:4
C. 2:1 D. 4:1
【答案】B
15.(2010辽宁沈阳)如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,
BD=3,CE=2,则△ABC的边长为
A.9 B.12 C.15 D.18
【答案】A
16.(2010福建省南平)下列说法中,错误的是( )
A.等边三角形都相似 B.等腰直角三角形都相似
C.矩形都相似 D.正方形都相似
【答案】C
17.(2010吉林)如图,在△ABC中,∠C=900,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
18.(2010内蒙赤峰)如图,有一矩形纸片ABCD,AB=6,AD=8,将纸片折叠,使AB落在AD边上,折痕为AE,再将△AEB以BE为折痕向右折叠,AE与DC交于点F,则的值是 ( )
【答案】C
19.(2010广西百色)下列命题中,是假命题的是( )
A.全等三角形的对应边相等 B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等
C.对应角相等的两个三角形全等 D.相似三角形的面积比等于相似比的平方
【答案】C
20.(2010广西百色)如图,△中,、分别为、边上的点,
∥,为边上的中线,若=5,=3,=4,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题
1.(2010江苏南通)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF
的周长比为 ▲ .
【答案】1∶2
2.(2010 嵊州市)如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D,若CD=CF,则 。
【答案】
3.(2010年上海)如图2,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD =∠ABC,若AC = 2,AD = 1,则DB = __________.
图2
【答案】DB=3
4.(2010山东临沂) 如图,,添加一个条件使得∽ .
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【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,等
5.(2010江苏淮安)在比例尺为1:200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为 m.
【答案】9
6.(2010陕西西安)如图,在中,D是AB边上一点,连接CD,要使与
相似,应添加的条件是 。
(只需写出一个条件即可)
【答案】∠ACD=∠B(∠ADC=∠ACB或)
7.(2010四川内江)如图,在△ABC中,AB=AC,点E、F分别在AB和AC上,CE与BF相交于点D,若AE=CF,D为BF的中点,则AE∶AF的值为 .
A
B
D
E
F
C
【答案】
8.(2010云南昭通)如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm。且较小三角形的周长为15cm,则较大三角形周长为______cm.
【答案】25
9.(2010福建南平)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,且AD=AB,则△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________.
第17题
A
B
C
D
E
【答案】:
10.(2010四川达州) 如图7,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.下列条件中,能证明△ABC是直角三角形的有 (多选、错选不得分).
①∠A+∠B=90° ②
③ ④
图7
【答案】①②④
三、解答题
1.(2010江苏南京)(8分)学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”。类似地,你可以等到:“满足 ,或 ,两个直角三角形相似”。
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程。
已知:如图, 。
试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.
【答案】
2.(2010 浙江省温州市)(本题l4分)如图,在RtAABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BBl∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF上AC交射线BB1于F,G是EF中点,连结DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;
(3)以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′.
①当t>时,连结C′C,设四边形ACC′A ′的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②当线段A ′C ′与射线BB,有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).
【答案】
3.(2010 四川南充)如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连结BD并延长与CE交于点E.
(1)求证:△ABD∽△CED.
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
A
D
E
B
F
C
【答案】A
D
E
B
F
C
M
(1)证明:∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠BAC=∠ACB=60°.∠ACF=120°.
∵ CE是外角平分线, ∴ ∠ACE=60°.
∴ ∠BAC=∠ACE.
又∵ ∠ADB=∠CDE,
∴ △ABD∽△CED.
(2)解:作BM⊥AC于点M,AC=AB=6.
∴ AM=CM=3,BM=AB·sin60°=.
∵ AD=2CD,∴ CD=2,AD=4,MD=1.
在Rt△BDM中,BD==.
由(1)△ABD∽△CED得,,,
∴ ED=,∴ BE=BD+ED=.
4.(2010 浙江衢州)(本题10分)如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF
的顶点都在方格纸的格点上.
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC
相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由).
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
P5
【答案】解:(1) △ABC和△DEF相似.
根据勾股定理,得 ,,BC=5 ;
,,.
∵ ,
∴ △ABC∽△DEF.
(2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
(第22题)
P5
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,
△P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
5.(2010 河北)(本小题满分10分)在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交
于点O,∠1 = ∠2 = 45°.
(1)如图15-1,若AO = OB,请写出AO与BD
的数量关系和位置关系;
(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2,其中AO = OB.
求证:AC = BD,AC ⊥ BD;
(3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3,求的值.
图15-2
A
D
O
B
C
2
1
M
N
图15-1
A
D
B
M
N
1
2
图15-3
A
D
O
B
C
2
1
M
N
O
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【答案】
解:(1)AO = BD,AO⊥BD;
(2)证明:如图4,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO = ∠BEO.
图4
A
D
O
B
C
2
1
M
N
E
F
又∵AO = OB,∠AOC = ∠BOE,
∴△AOC ≌ △BOE.∴AC = BE.
又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°.
∴∠DEB = 45°.
∵∠2 = 45°,∴BE = BD,∠EBD = 90°.
∴AC = BD.
延长AC交DB的延长线于F,如图4.∵BE∥AC,∴∠AFD = 90°.
∴AC⊥BD.
(3)如图5,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO = ∠ACO.
A
O
B
C
1
D
2
图5
M
N
E
又∵∠BOE = ∠AOC ,
∴△BOE ∽ △AOC.
∴.
又∵OB = kAO,
由(2)的方法易得 BE = BD.
∴.
6.(2010 广东珠海)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1) 求证:△ADF∽△DEC
(2) 若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中,DE=
∵△ADF∽△DEC
∴ ∴ AF=
7.(2010湖北武汉)已知线段OA⊥OB,C为OB上中点,D为AO上一点,连AC、BD交于P点.
(1)如图1,当OA=OB且D为AO中点时,求的值;
(2)如图2,当OA=OB,=时,求tan∠BPC;
(3)如图3,当AD∶AO∶OB=1∶n∶时,直接写出tan∠BPC的值.
【答案】(1)过C作CE∥OA交BD于E,证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD;再证△ECP∽△DAP得; (2)过C作CE∥OA交BD于E,设AD=x,AO=OB=4x,则OD=3x,证△BCE∽△BOD得CE=OD=x,再证△ECP∽△DAP得
;由勾股定理可知BD=5x,DE=x,则,可得PD=AD=x,则∠BPC=∠DPA=∠A,tan∠BPC=tan∠A=; (3).
8.(2010江苏淮安)如题28(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周.
(1)点C坐标是( , ),当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( , );
(2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时,S最大;
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如题28(b)图,若点E与点D同时
出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A.O为对应顶点的情况):
题28(a)图 题28(b)图
【答案】解:(1)C(3,4)、D(9,4)
(2)当D在OA上运动时,(0<t<6);
当D在AB上运动时,过点O作OE⊥AB,过点C作CF⊥AB,垂足分别为E和F,过D作DM⊥OA,过B作BN⊥OA,垂足分别为M和N,如图:
设D点运动的时间为t秒,所以DA=2t-12,BD=22-2t,
又因为C为OB的中点,
所以BF为△BOE的中位线,
所以,
又因为,
所以,
所以,
因为BN⊥OA,DM⊥OA,
所以△ADM∽△ABN,
所以,
所以,
又因为,
所以,
即(6≤t<11),
所以当t=6时,△OCD面积最大,为;
当D在OB上运动时,O、C、D在同一直线上,S=0(11≤t≤16).
(3)设当运动t秒时,△OCD∽△ADE,则,即,所以t=3.5;
设当运动t秒时,△OCD∽△AED,则,即,所以,所以,(舍去),
所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.
9.(2010 山东滨州)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线);
(2)请分别说明两对三角形相似的理由.
【答案】解: (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE......................2分
(2)①证△ABC∽△ADE.
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE................................................4分
又∵∠ABC=∠ADE,
∴△ABC∽△ADE.............................................5分
②证△ABD∽△ACE.
∵△ABC∽△ADE,∴........................7分
又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE............................8分
10.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点.且满足AD=AB,∠ADE=∠C.
(1)求证:∠AED=∠ADC,∠DEC=∠B;
(2)求证:AB2=AE•AC.
【答案】
证明:(1)在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C,∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE
∠ADC=180°-∠DAE-∠C
∴∠AED=∠ADC
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B
(2)在△ADE和△ACD中
由(1)知∠ADE=∠C,∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2=AE•AC
又∵AB=AD
∴AB2=AE•AC
11.(2010江苏南京)学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”。类似地,你可以等到:“满足 ,或 ,两个直角三角形相似”。
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程。
已知:如图, 。
试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.
【答案】
12.(2010辽宁大连)如图12,ACB=,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=kEA,探索线段EF与EG的数量关系,并证明你的结论 全品中考网
说明:如果你反复探索没有解决问题,可以选取(1)或(2)中的条件,选(1)中的条件完成解答满分为7分;选(2)中的条件完成解答满分为5分
(1) m=1(如图13)
(2) m=1,k=1(如图14)
F
D
E
G
B
C
A
图12
B
D
F
G
E
C
A
图13
F
D
B
G
E
C
A
图14
【答案】
13.(2010广东佛山)
一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看,如图,是一个参加空姐选拨的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看?(精确到1cm)
参考数据:黄金分割比为。
【答案】解:设应穿xcm高的鞋子,
根据题意,得,
解得x≈10cm,
14.(2010广东佛山)一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:
如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC。
(1) 若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD~△ABC(不包括全等)?
(2) 请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD~△ABC(不包括全等)的点D的个数。
【答案】(1)(i)如图,若点D在线段AB上,
由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,
使得△ACD∽△ABC。………………………………………1分
(ii)如图①,若点D在线段AB的延长线上,
则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,
因此,这样的点D不存在。…………………………2分
(iii)如图②,若点D在线段AB的反向延长线上,
15.(2010黑龙江绥化)已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,且∠MPN=90°.
当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证△PME∽△PNF,得出PN=PM.(不需证明)
当PC=PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选其一给予证明.
【答案】解:如图2,如图3中都有结论:PN=PM……………………………2分
选如图2: 在Rt△ABC中,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F
∴四边形BFPE是矩形 ∴∠EPF=90º,
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90º
可知∠EPM=∠FPN ∴△PFN∽△PEM ……………………2分
∴= …………………………………………………………1分
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中:∠A=30º,∠C=60º
∴PF=PC,PE=PA……………………………………………1分
∴== ……………………………………………1分
∵PC=PA ∴= 即:PN=PM ………………1分
若选如图3,其证明过程同上(其他方法如果正确,可参照给分)
16.(2010内蒙呼和浩特)如图,等边△ABC的边长为12㎝,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=4㎝,若点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
(1)设△EGA的面积为S(㎝2),求S与t的函数关系式;
(2)在点F运动过程中,试猜想△GFH的面积是否改变,若不变,求其值;若改变,请说明理由.
(3)请直接写出t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点.
【答案】解:(1)作EM⊥GA,垂足为M
∵等边△ABC ∴∠ACB=60°
∵GA∥BC ∴∠MAE=60°
∵AE=4 ∴ME=AE·sin60°=2…………1分
又GA∥BH ∴△AGD∽△BFD
∴= ∴AG=t
∴S=t…………3分
(2) 猜想:不变…………4分
∵AG∥BC
∴△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE
∴=,=
∴=
∴=
∴BF=CH……………………5分
情况①:0<t<6时,
∵BF=CH
∴BF+CF=CH+CF,即:FH=BC……………………6分
情况②:t=6时,有FH=BC……………………7分
情况③:t>6时
∵BF=CH
∴BF-CF=CH-CF,即:FH=BC
∴S△GFH=S△ABC=36
综上所述,当点F在运动过程中,△GFH的面积为36㎝2……………………8分
(1) t=3s或12s……………………10分(每种情况各1分)
17.(2010四川攀枝花)如图9,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连结EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若△ABD的面积是6.求四边形BDFE的面积
图9
F
E
D
C
B
A
(1)证明: ∵DC=AC ∴△ACD为等腰三角形 …………1分
∵CF平分∠ACD ∴F为AD的中点………………2分
∵E为AB的中点
∴EF为△ABD的中位线
∴EF∥BC……………3分
(2)由(1)得EF∥BC
∴=……………4分
∴S△AEF:S△ABD=1:4
∴S四边形BDEF:S△ABD = 3:4 ………………5分
∵S△ABD=6 ∴S四边形BDEF=………………6分【答案】
由于∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD,
不可能有△ACD∽△ABC.
因此,这样的点D不存在。……………………………………6分
综上所述,这样的点D有一个。………………………………7分