北京市顺义区2012年6月中考二模数学试题 11页

顺义区2012届初三第二次统一练习 数学试卷 考生须知 ‎1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟．‎ ‎2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．‎ ‎4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．‎ ‎5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．9的平方根是 A．3 B．-3 C． D．‎ ‎2．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为 A． B． C． D． ‎ ‎3．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）‎ A B C D ‎4．把分解因式，结果正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．北京是严重缺水的城市，市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，小敏在某小区随机抽查了10户家庭的5月份用水量，结果如下（单位：立方米）：5，6，6，2，5，6，7，10，7，6，则关于这10户家庭的5月份用水量，下列说法错误的是 A.众数是6 B.极差是8‎ C.平均数是6 D.方差是4‎ ‎6．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的 尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．‎ 在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，‎ OF=3个单位，则圆的直径为 A．7个单位 B．6个单位 C．5个单位 D．4个单位 ‎7．从1,-2, 3，-4四个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是 A． B． C． D．‎ ‎8．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．若分式的值为0，则的值等于 ． ‎ ‎10．如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若，，则的值为 ． ‎ ‎11．将方程化为的形式，其中m，n是常数，则 ．‎ ‎12．如图，△ABC中，AB=AC=2 ，若P为BC ‎ 的中点,则的值为 ；‎ 若BC边上有100个不同的点，，…，，‎ 记，，…，，‎ 则…的值为 ．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式≤，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎15．已知：如图，E，F在BC上，且AE∥DF，AB∥CD ，AB=CD．‎ 求证：BF = CE．‎ ‎16．解分式方程：．‎ ‎17．已知2x－3=0，求代数式的值．‎ ‎18．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间（年）逐年成直线上升，y与之间的关系如图所示．‎ ‎(1)求y与之间的关系式；‎ ‎(2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE与AB相交于点F， AD=2，CD=1，求AE及DF的长．‎ ‎20．已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．‎ ‎（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若BC=2，，求PC的长及点C到PA的距离．‎ ‎ ‎ ‎21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：‎ 图书种类 频数 频率 科普常识 ‎840‎ b 名人传记 ‎816‎ ‎0.34‎ 中外名著 a ‎0.25‎ 其他 ‎144‎ ‎0.06‎ ‎（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；‎ ‎（2）求表中a，b的值；‎ ‎（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？‎ ‎ ‎ ‎ 22．阅读下列材料：[‎ 问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．‎ 小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．‎ 请你回答：图2中∠APB的度数为 ．‎ 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：‎ ‎ 如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．‎ ‎（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；‎ ‎（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC=x，四边形OCPD的面积为S．‎ ‎（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x=时，S有最大值，求直线AB的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．‎ ‎24．已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．‎ ‎（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；‎ ‎（3）若∠ACB=，直接写出∠ECF的度数（用含的式子表示）．‎ ‎ 图1 图2‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．‎ ‎（1）求二次函数的解析式； ‎ ‎（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ 顺义区2012届初三第二次统一练习 数学学科参考答案及评分细则 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 C B A D D C B A 二、填空题（本题共16分，每小题4分，）‎ ‎9．； 10．； 11．7； 12．，．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：‎ ‎ …………………………………………………… 4分 ‎ …………………………………………………………………… 5分 ‎14．解：去括号，得 ≤．…………………………………………… 1分 移项，得 ≤．…………………………………………… 2分 合并，得 ≤-2 ． ………………………………………… 3分 系数化为1，得 ≥ ． ……………………………………………… 4分 不等式的解集在数轴上表示如下： ‎ ‎ ‎ ‎……………………………………… 5分 ‎15．证明：∵ AE∥DF，‎ ‎∴∠1=∠2． ………………………… 1分 ‎∵ AB∥CD，‎ ‎∴ ∠B=∠C．………………………… 2分 在△ABE和 △DCF中，‎ ‎∴ △ABE≌△DCF．…………………………………………………… 4分 ‎∴ BE=CF．‎ ‎∴BE-EF=CF-EF．‎ 即BF=CE．……………………………………………………………… 5分 ‎16．解：去分母，得 ．…………………… 1分 ‎ 去括号，得 ．　………………………… 2分 ‎ 整理，得 ．…………………………………………………… 3分 解得 ． ……………………………………………………………… 4分 经检验，是原方程的解．……………………………………………… 5分 ‎∴ 原方程的解是．‎ ‎17．解：‎ ‎ ……………………………………………… 2分 ‎ ………………………………………………………………… 3分 ‎ …………………………………………………………… 4分 当2x－3=0时，原式．………………………………… 5分 ‎18．解：（1）设y与之间的关系式为y=kx+b．……………………………………… 1分 由题意，得 解得 …………………… 3分 ‎∴y与之间的关系式为y＝x－2004（2008≤x≤2012）． …………… 4分 ‎（2）当x＝2012时，y＝2012－2004＝8．‎ ‎∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．……… 5分 ‎19．解：∵四边形ABCD是矩形，且AD=2，CD=1，‎ ‎∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB∥DC．‎ ‎∴EB=AB=1． ………………………………………………………………… 1分 在Rt△ABE中，．………………………………… 2分 在Rt△DCE中，．………………… 3分 ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴． …………………………………………………………… 4分 设，则．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．………………………………………………………… 5分 ‎20．解：（1）直线PC与⊙O相切．‎ 证明：连结OC，‎ ‎∵BC∥OP，‎ ‎∴∠1 =∠2，∠3=∠4．‎ ‎∵OB=OC， ‎ ‎∴∠1=∠3．‎ ‎∴∠2=∠4．‎ 又∵OC=OA，OP=OP，‎ ‎∴△POC≌△POA． ……………………………………………… 1分 ‎∴∠PCO =∠PAO．‎ ‎∵PA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠PAO =90°．‎ ‎∴∠PCO =90°．‎ ‎∴PC与⊙O相切． ……………………………………………… 2分 ‎ （2）解：∵△POC≌△POA，‎ ‎∴∠5=∠6=．‎ ‎∴．‎ ‎∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．‎ ‎∴．‎ ‎∵∠3=∠1 =∠2，‎ ‎∴．‎ 连结AC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB =90°．‎ ‎∴．………………………………………… 3分 ‎∴OA=OB=OC=3，．‎ ‎∴在Rt△POC中，．‎ ‎∴．…………………………………… 4分 过点C作CD⊥PA于D，‎ ‎∵∠ACB =∠PAO =90°，‎ ‎∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°．‎ ‎∴∠3=∠8．‎ ‎∴．‎ 在Rt△CAD中，．‎ ‎∴．……………………………………… 5分 ‎21．解：（1）∵1-28%-38%=34%．‎ ‎∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．……… 1分 ‎ （2）∵，‎ ‎∴， ……………………………………………… 2分 ‎． ……………………………………………… 3分 ‎ （3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，‎ ‎∴全校学生总人数为． ……………………………… 4分 ‎∴该校学生平均每人读课外书：．‎ 答：该校学生平均每人读4本课外书． ………………………………… 5分 ‎22．解：图2中∠APB的度数为 135° ．……………… 1分 ‎ （1）如图3，以PA、PB、PC的长度为三边长的 一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分 ‎（2）以PA、PB、PC的长度为三边长的]‎ 三角形的各内角的度数分别等于 ‎ 60°、65°、55° ．……………… 5分 ‎23．解：（1）设直线AB的解析式为，‎ 由A（4，0），B（0，6），得 ‎ 解得 ‎∴直线AB的解析式为．……………………………… 1分 ‎∵OC=x，∴．‎ ‎∴．‎ 即（0< x <4）． …………………………………… 2分 ‎ （2）设直线AB的解析式为，‎ ‎∵OC=x，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵当x=时，S有最大值，‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线AB的解析式为．………………………………… 3分 ‎∴A（，0），B（0，3）．‎ 即，．……………………………………………………… 5分 ‎（3）设点M的坐标为（，），‎ 由点M在（2）中的直线AB上，‎ ‎∴．‎ ‎∵点M到x轴、y轴的距离相等，‎ ‎∴或．‎ 当时，M点的坐标为（1，1）．‎ 过M点的反比例函数的解析式为．‎ ‎∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，‎ ‎∴点N的坐标为．……………………………………………… 6分 当时，M点的坐标为（3，-3），‎ 过M点的反比例函数的解析式为．‎ ‎∵点N在的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形，‎ ‎∴点N的坐标为．……………………………………………… 7分 综上，点N的坐标为或．‎ ‎24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF．‎ 证明：∵D是AB中点，‎ ‎ ∴AD=BD，‎ 又∵AE=BD，BF=AD，‎ ‎∴AE=BF． ‎ ‎∵CD⊥AB，AD=BD，‎ ‎∴CA=CB．‎ ‎∴∠1 =∠2．‎ ‎∵AE⊥AB，BF⊥AB，‎ ‎∴∠3 =∠4=90°．‎ ‎∴∠1+∠3 =∠2+∠4．‎ 即∠CAE=∠CBF．‎ ‎∴△CAE ≌△CBF．‎ ‎∴∠ACE=∠BCF．……………………………………………… 2分 ‎（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．‎ 证明：连结BE、AF．‎ ‎∵CD⊥AB，AE⊥AB，‎ ‎∴∠CDB=∠BAE=90°．‎ 又∵BD = AE，CD = AB ，‎ ‎△CDB≌△BAE．……………… 3分 ‎∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．‎ 在Rt△CDB中，∵∠CDB =90°，‎ ‎∴∠BCD+∠CBD =90°．‎ ‎∴∠EBA+∠CBD =90°．‎ 即∠CBE =90°．‎ ‎∴△BCE是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠BCE=45°． ……………………………………………… 4分 同理可证：△ACF是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠ACF=45°． ……………………………………………… 5分 ‎∴∠ACF=∠BCE． ‎ ‎∴∠ACF-∠ECF =∠BCE-∠ECF．‎ 即∠ACE=∠BCF．……………………………………………… 6分 ‎ （3）∠ECF的度数为90°-．……………………………………………… 7分 ‎25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入中，得 ‎ 解得 ‎ ‎∴二次函数的解析式为．…………………………… 2分 ‎（2）令，得，解得 ，．‎ ‎∴点C的坐标为（3，0）．‎ ‎∵，‎ ‎∴顶点P的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分 过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F．‎ 易得 ．‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎∴△ACB∽△PCD．…………………… 4分 ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴点D的坐标为．……………………………………………… 5分 ‎　　　 （3）当BD为一边时，由于，‎ ‎∴点M的坐标为或． ………………………… 7分 当BD为对角线时，点M的坐标为． …………………… 8分