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- 2021-05-13 发布
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第四讲
例1如图,已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
(备用图)
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
.
解:(1)根据题意,得,解得 ,∴A(3,4) .
令y=-x+7=0,得x=7.∴B(7,0).
(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4.
由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6(舍)
当P在CA上运动,4≤t<7.
由S△APR= ×(7-t) ×4=8,得t=3(舍)
∴当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时,0≤t<4.
∴AP=,AQ=t,PQ=7-t
当AP =AQ时, (4-t)2+32=2(4-t)2,
整理得,t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时,(4-t)2+32=(7-t)2,
整理得,6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时,2(4-t)2=(7-t)2
整理得,t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时,4≤t<7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t.
由cos∠OAC= = ,得AQ = (t-4).
当AP=AQ时,7-t = (t-4),解得t = .
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE= AP
得t-4= (7-t),解得t =5.
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ于F
AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中,由cos∠PAF= = ,得AF= AP
即 ×(t-4)= ×(7-t),解得t= .
∴综上所述,t=1或 或5或 时,△APQ是等腰三角形.
例2如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0<t<时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
解:(1),令得,
∴或∴;
在中,令得即;
由于BC∥OA,故点C的纵坐标为-10,由得或
即且易求出顶点坐标为
于是,,顶点坐标为。
(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA。故只要QC=PA即可,而故得;
(3)设点P运动秒,则,,说明P在线段OA上,且不与点OA、重合,
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO,故
∴∴
又点Q到直线PF的距离,∴,
于是△PQF的面积总为90。
(4)由上知,,。构造直角三角形后易得
,
① 若FP=PQ,即,故,
∵∴∴
② 若QP=QF,即,无的满足条件;
① 若PQ=PF,即,得,∴或都不满足,故无的满足方程;
综上所述:当时,△PQR是等腰三角形。
例3.如图,已知直线与轴交于点A,与轴交于点D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使的值最大,求出点M的坐标。
解
(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入得解得
∴抛物线的解折式为
(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为
即 E点的坐标(,)又∵点E在直线上
∴ 解得(舍去),
∴E的坐标为(4,3)
(Ⅰ)当A为直角顶点时
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点,设P1(a,0) 易知D点坐标为(-2,0) 由Rt△AOD∽Rt△POA得
即,∴a= ∴P1(,0)
(Ⅱ)同理,当E为直角顶点时,P2点坐标为(,0)
(Ⅲ)当P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(、)由∠OPA+∠FPE=90°,得∠OPA=∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE
由得 解得,
∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0)
综上所述,满足条件的点P的坐标为(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0)
(Ⅲ)抛物线的对称轴为
∵B、C关于x=对称 ∴MC=MB
要使最大,即是使最大
由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时的值最大.
易知直线AB的解折式为∴由 得 ∴M(,-)
例4如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2。动点M、N分别
从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),
当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动。连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,
可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的
时间为x秒。试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段)。试问x为何值时,△PQW为直角三角形?
当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
第22题图(2)
A
B
C
D
F
M
N
W
P
Q
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值。
第22题图(1)
A
B
M
C
F
D
N
W
P
Q
(1)提示:∵PQ∥FN,PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF,∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF
同理可得:∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP
(2)当时,△PQW为直角三角形;
当0≤x<,