- 497.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年山东省临沂市中考数学试卷
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2016•莆田)的绝对值是( )
A. B. C.2 D.﹣2
2.(3分)(2015•临沂)如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=40°,则∠3等于( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
3.(3分)(2015•临沂)下列计算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.(﹣a2b)3=﹣a6b3 C.a2•a3=a6 D.a8÷a2=a4
4.(3分)(2015•临沂)某市6月某周内每天的最高气温数据如下(单位:℃):
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.29,29 B.26,26 C.26,29 D.29,32
5.(3分)(2015•临沂)如图,该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
6.(3分)(2015•临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
7.(3分)(2015•临沂)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是( )
A. B. C. D.1
8.(3分)(2015•临沂)如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
9.(3分)(2015•临沂)多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
A.x﹣1 B.x+1 C.x2﹣1 D.(x﹣1)2
10.(3分)(2015•临沂)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是( )
A.t=20v B.t= C.t= D.t=
11.(3分)(2015•临沂)观察下列关于x的单项式,探究其规律:
x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
A.2015x2015 B.4029x2014 C.4029x2015 D.4031x2015
12.(3分)(2015•临沂)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
13.(3分)(2015•临沂)要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
14.(3分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.(3分)(2015•临沂)比较大小:2 (填“<”、“=”、“>”).
16.(3分)(2015•临沂)计算:﹣= .
17.(3分)(2015•临沂)如图,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=,则▱ABCD的面积是 .
18.(3分)(2015•临沂)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则= .
19.(3分)(2015•临沂)定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<x2时,都有y1<y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 (填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2(x>0);④y=﹣.
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.(7分)(2015•临沂)计算:(+﹣1)(﹣+1)
21.(7分)(2015•临沂)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数;
(3)计算随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率.
22.(7分)(2015•临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高?
23.(9分)(2015•临沂)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
24.(9分)(2015•临沂)新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金;
方案二:降价10%,没有其他赠送.
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式;
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
25.(11分)(2015•临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
26.(13分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(﹣1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大?并说明理由.
2015年山东省临沂市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2016•莆田)的绝对值是( )
A. B. C.2 D.﹣2
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.
【解答】解:﹣的绝对值是.
故选:A.
2.(3分)(2015•临沂)如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=40°,则∠3等于( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
【分析】根据对顶角相等和利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【解答】解:如图:
∵∠4=∠2=40°,∠5=∠1=60°,
∴∠3=180°﹣60°﹣40°=80°,
故选C.
3.(3分)(2015•临沂)下列计算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.(﹣a2b)3=﹣a6b3 C.a2•a3=a6 D.a8÷a2=a4
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方进行计算即可.
【解答】解:A、a2+a2=2a2B,故A错误;
B、(﹣a2b)3=﹣a6b3,故B正确;
C、a2•a3=a5,故C错误;
D、a8÷a2=a6,故D错误;
故选B.
4.(3分)(2015•临沂)某市6月某周内每天的最高气温数据如下(单位:℃):
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.29,29 B.26,26 C.26,29 D.29,32
【分析】根据中位数和众数的定义求解:众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【解答】解:将这组数据从小到大的顺序排列24,26,26,29,29,29,32,
在这一组数据中29是出现次数最多的,故众数是29℃.
处于中间位置的那个数是29,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是29℃;
故选A.
5.(3分)(2015•临沂)如图,该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中,从正面能看到门,不能看到窗户.
【解答】解:从正面看易得是1个长方形(中间下面有一个小长方形)和一个三角形组成.
故选B.
6.(3分)(2015•临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.
【解答】解:,
由①得,x>﹣3,
由②得,x≤2,
故不等式组的解集为:﹣3<x≤2.
在数轴上表示为:
.
故选C.
7.(3分)(2015•临沂)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是( )
A. B. C. D.1
【分析】根据概率的计算公式.颜色搭配总共有4种可能,分别列出搭配正确和搭配错误的可能,进而求出概率即可.
【解答】解:用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯;用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下:Aa、Ab、Ba、Bb
所以颜色搭配正确的概率是;
故选B.
8.(3分)(2015•临沂)如图A,B,C是⊙O上的三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
【分析】首先在上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理即可求得∠D的度数,然后由圆的内接四边形的性质,求得∠ABC的度数.
【解答】解:如图,在优弧上取点D,连接AD,CD,
∵∠AOC=100°,
∴∠ADC=∠AOC=50°,
∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°.
故选D.
9.(3分)(2015•临沂)多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
A.x﹣1 B.x+1 C.x2﹣1 D.(x﹣1)2
【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解,再寻找它们的公因式.
【解答】解:mx2﹣m=m(x﹣1)(x+1),
x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是(x﹣1).
故选:A.
10.(3分)(2015•临沂)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/小时)的函数关系式是( )
A.t=20v B.t= C.t= D.t=
【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20,再变形可得t=.
【解答】解:由题意得:vt=20,
t=,
故选:B.
11.(3分)(2015•临沂)观察下列关于x的单项式,探究其规律:
x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,…
按照上述规律,第2015个单项式是( )
A.2015x2015 B.4029x2014 C.4029x2015 D.4031x2015
【分析】系数的规律:第n个对应的系数是2n﹣1.
指数的规律:第n个对应的指数是n.
【解答】解:根据分析的规律,得
第2015个单项式是4029x2015.
故选:C.
12.(3分)(2015•临沂)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
【分析】先证明四边形ABCD为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
又∵AD=DE,
∴DE∥BC,且DE=BC,
∴四边形BCED为平行四边形,
A、∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误;
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形,不一定为矩形,故本选项正确;
C、∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误;
D、∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴▱DBCE为矩形,故本选项错误.
故选B.
13.(3分)(2015•临沂)要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为(﹣1,2),平移后抛物线顶点坐标为(0,0),由此确定平移规律.
【解答】解:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(﹣1,2),抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),
则平移的方法可以是:将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位,再向下平移2个单位.
故选:D.
14.(3分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2
【分析】联立两函数解析式消去y可得x2﹣bx+1=0,由直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,得到方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得结果.
【解答】解:解方程组得:x2﹣bx+1=0,
∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,
∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4>0,
∴b>2,或b<﹣2,
故选C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.(3分)(2015•临沂)比较大小:2 > (填“<”、“=”、“>”).
【分析】利用的取值范围进而比较得出即可.
【解答】解:∵1<<2,
∴2>.
故答案为:>.
16.(3分)(2015•临沂)计算:﹣= .
【分析】为同分母,通分,再将分子因式分解,约分.
【解答】解:=﹣==,
故答案为:.
17.(3分)(2015•临沂)如图,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=,则▱ABCD的面积是 3 .
【分析】先由三角函数求出BD,再根据勾股定理求出AD,▱ABCD的面积=AD•BD,即可得出结果.
【解答】解:∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°,
∵AB=4,sinA=,
∴BD=AB•sinA==4×=3,
∴AD===,
∴▱ABCD的面积=AD•BD=3;
故答案为:3.
18.(3分)(2015•临沂)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则= 2 .
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解.
【解答】证明:∵△ABC的中线BD、CE相交于点O,
∴点O是△ABC的重心,
∴=2.
故答案为:2.
19.(3分)(2015•临沂)定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<x2时,都有y1<y2,称该函数为增函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是增函数的有 ①③ (填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2(x>0);④y=﹣.
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案.
【解答】解:y=2x,2>0,∴①是增函数;
y=﹣x+1,﹣1<0,∴②不是增函数;
y=x2,当x>0时,是增函数,∴③是增函数;
y=﹣,在每个象限是增函数,因为缺少条件,∴④不是增函数.
故答案为:①③.
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.(7分)(2015•临沂)计算:(+﹣1)(﹣+1)
【分析】先根据平方差公式展开得到原式=[+(﹣1)][﹣(﹣1)]=()2﹣(﹣1)2,再根据完全平方公式展开后合并即可.
【解答】解:原式=[+(﹣1)][﹣(﹣1)]
=()2﹣(﹣1)2=3﹣(2﹣2+1)
=3﹣2+2﹣1
=2.
21.(7分)(2015•临沂)“保护环境,人人有责”,为了了解某市的空气质量情况,某校环保兴趣小组,随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)估计该市这一年(365天)空气质量达到“优”和“良”的总天数;
(3)计算随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率.
【分析】(1)根据良的天数除以量所占的百分比,可得样本容量,根据样本容量乘以轻度污染所占的百分比,可得答案;
(2)根据一年的时间乘以优良所占的百分比,可得答案;
(3)根据根据一年中优的天数比上一年的天数,可得答案.
【解答】解:(1)样本容量3÷5%=60,
60﹣12﹣36﹣3﹣2﹣1=6,
条形统计图如图:
(2)这一年空气质量达到“优”和“良”的总天数为:
365×=292;
(3)随机选取这一年内某一天,空气质量是“优”的概率为:=.
22.(7分)(2015•临沂)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高?
【分析】求这栋楼的高度,即BC的长度,根据BC=BD+DC,在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD,CD即可.
【解答】解:在Rt△ABD中,
∵∠BDA=90°,∠BAD=30°,AD=42m,
∴BD=ADtan30°=42×=14(m).
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
∴CD=ADtan60°=42×=42(m).
∴BC=BD+CD=14+42=56(m).
答:这栋楼的高度为56m.
23.(9分)(2015•临沂)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
【分析】(1)由Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O切BC于D,易证得AC∥OD,继而证得AD平分∠CAB.
(2)如图,连接ED,根据(1)中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形,则△AEM≌△DMO,则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积.
【解答】(1)证明:∵⊙O切BC于D,
∴OD⊥BC,
∵AC⊥BC,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴∠OAD=∠CAD,
即AD平分∠CAB;
(2)设EO与AD交于点M,连接ED.
∵∠BAC=60°,OA=OE,
∴△AEO是等边三角形,
∴AE=OA,∠AOE=60°,
∴AE=AO=OD,
又由(1)知,AC∥OD即AE∥OD,
∴四边形AEDO是菱形,则△AEM≌△DMO,∠EOD=60°,
∴S△AEM=S△DMO,
∴S阴影=S扇形EOD==.
24.(9分)(2015•临沂)新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售,某楼盘共23层,销售价格如下:第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案:
方案一:降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金;
方案二:降价10%,没有其他赠送.
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式;
(2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
【分析】(1)根据题意分别求出当1≤x≤8时,每平方米的售价应为4000﹣(8﹣x)×30元,当9≤x≤23时,每平方米的售价应为4000+(x﹣8)×50元;
(2)根据购买方案一、二求出实交房款的关系式,然后分情况讨论即可确定那种方案合算.
【解答】解:(1)当1≤x≤8时,每平方米的售价应为:
y=4000﹣(8﹣x)×30=30x+3760 (元/平方米)
当9≤x≤23时,每平方米的售价应为:
y=4000+(x﹣8)×50=50x+3600(元/平方米).
∴y=
(2)第十六层楼房的每平方米的价格为:50×16+3600=4400(元/平方米),
按照方案一所交房款为:W1=4400×120×(1﹣8%)﹣a=485760﹣a(元),
按照方案二所交房款为:W2=4400×120×(1﹣10%)=475200(元),
当W1>W2时,即485760﹣a>475200,
解得:0<a<10560,
当W1<W2时,即485760﹣a<475200,
解得:a>10560,
∴当0<a<10560时,方案二合算;当a>10560时,方案一合算.
25.(11分)(2015•临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 相等 ,位置关系是 互相垂直 ;
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
【分析】(1)易证△ADE≌△DCF,即可证明AF与BE的数量关系是:AF=BE,位置关系是:AF⊥BE.
(2)证明△ADE≌△DCF,然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF,然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°,从而求证;
(3)与(2)的解法完全相同.
【解答】解:(1)AF与BE的数量关系是:AF=BE,位置关系是:AF⊥BE.
答案是:相等,互相垂直;
(2)结论仍然成立.
理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD,
∴在△ADE和△DCF中,,
∴△ADE≌△DCF,
∴∠DAE=∠CDF,
又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∴在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF,
∴BE=AF,∠ABM=∠DAF,
又∵∠DAF+∠BAM=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°,
∴BE⊥AF;
(3)第(1)问中的结论都能成立.
理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD,
∴在△ADE和△DCF中,,
∴△ADE≌△DCF,
∴∠DAE=∠CDF,
又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∴在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF,
∴BE=AF,∠ABM=∠DAF,
又∵∠DAF+∠BAM=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°,
∴BE⊥AF.
26.(13分)(2015•临沂)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(﹣1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大?并说明理由.
【分析】(1)联立两直线解析式可求得B点坐标,由关于原点对称可求得C点坐标,由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标,再利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)①当四边形PBQC为菱形时,可知PQ⊥BC,则可求得直线PQ的解析式,联立抛物线解析式可求得P点坐标;②过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E,由∠PED=∠AOC,可知当PE最大时,PD也最大,用t可表示出PE的长,可求得取最大值时的t的值.
【解答】解:
(1)联立两直线解析式可得,解得,
∴B点坐标为(﹣1,1),
又C点为B点关于原点的对称点,
∴C点坐标为(1,﹣1),
∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,
∴A点坐标为(0,﹣1),
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1;
(2)①当四边形PBQC为菱形时,则PQ⊥BC,
∵直线BC解析式为y=﹣x,
∴直线PQ解析式为y=x,
联立抛物线解析式可得,解得或,
∴P点坐标为(1﹣,1﹣)或(1+,1+);
②当t=0时,四边形PBQC的面积最大.
理由如下:
如图,过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E,
则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC•PD=BC•PD,
∵线段BC长固定不变,
∴当PD最大时,四边形PBQC面积最大,
又∠PED=∠AOC(固定不变),
∴当PE最大时,PD也最大,
∵P点在抛物线上,E点在直线BC上,
∴P点坐标为(t,t2﹣t﹣1),E点坐标为(t,﹣t),
∴PE=﹣t﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+1,
∴当t=0时,PE有最大值1,此时PD有最大值,即四边形PBQC的面积最大.
参与本试卷答题和审题的老师有:星期八;1987483819;张其铎;HJJ;HLing;ZJX;sjzx;2300680618;sd2011;CJX;dbz1018;王学峰;wkd;wdzyzmsy@126.com;1286697702;gsls;caicl;sdwdmahongye;zhjh;522286788(排名不分先后)
菁优网
2016年8月27日