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- 2021-05-13 发布
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2017年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)2017的倒数是( )
A.12017 B.2017 C.﹣2017 D.﹣12017
2.(3分)十八大以来,以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置,2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫,相当于一个法国的人口,将“6600万”这个数用科学记数法表示是( )
A.6.6×103 B.6.6×107 C.6.6×108 D.6.6×1011
3.(3分)甲骨文是中国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.(3分)在射击训练中,小强哥哥射击了五次,成绩(单位:环)分别为:8,9,7,10,9,这五次成绩的众数和中位数分别是( )
A.9,9 B.7,9 C.9,7 D.8,9
5.(3分)“珍爱生命,拒绝毒品”,学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题,曾浩同学答对了x道题,答错了y道题(不答视为答错),且答对题数比答错题数的7倍还多4道,那么下面列出的方程组中正确的是( )
A.&x+y=60&x-7y=4 B.&x+y=60&y-7x=4
C.&x=60-y&x=7y-4 D.&y=60-x&y=7x-4
6.(3分)如图的几何体中,主视图是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
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7.(3分)若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k=4 B.k>4 C.k≤4且k≠0 D.k≤4
8.(3分)如图,在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣1(k为常数,且k>0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.(3分)如图,将一副直角三角板按图中所示位置摆放,保持两条斜边互相平行,则∠1的度数是( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′,使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上,则点B′的坐标是( )
A.(5,0) B.(8,0) C.(0,5) D.(0,8)
11.(3分)湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的,综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%,小红姐姐的笔试成绩是82分,她的竞争对手的笔试成绩是86分,小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手,则她的面试成绩必须比竞争对手多( )
A.2.4分 B.4分 C.5分 D.6分
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12.(3分)已知x2a2﹣y2b2=1(a,b为常数,且ab≠0)表示焦点在x轴上的双曲线,若x2m+3+y22m-4=1表示焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围是( )
A.m>2 B.m>﹣3 C.m≥﹣3 D.﹣3<m<2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)要使二次根式x-2有意义,则x的取值范围是 .
14.(3分)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .
15.(3分)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 .
16.(3分)湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》,将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1:6700000表示出来,使读者能够全面、直观地认识我国版图,若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米,则我国南北的实际距离大约是 千米(结果精确到1千米)
17.(3分)刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案,用10086根火柴棒摆出的图案应该是第 个.
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18.(3分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是 (用含m的代数式表示)
三、解答题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
19.(6分)计算:8﹣(13)﹣1﹣4cos45°+(π﹣3)0.
20.(6分)先化简,再求值:
(a+b)(a﹣b)+(a﹣b)2﹣(2a2﹣ab),其中a,b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根.
四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
21.(8分)为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议,教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查,要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中,挑选出一科作为自己的首选科目,将调查数据汇总整理后,绘制出了如图的两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)被抽查的学生共有多少人?
(2)将折线统计图补充完整;
(3)我市现有九年级学生约40000人,请你估计首选科目是物理的人数.
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22.(8分)数学“综合与实践”课中,老师带领同学们来到娄底市郊区,测算如图所示的仙女峰的高度,李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案,并实施了如下操作:先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°,再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处,测得山坡BC的坡度为1:0.6,请你求出仙女峰的高度(参考数据:tan38.7°≈0.8)
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
23.(9分)坐火车从上海到娄底,高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时,已知上海到娄底的铁路长约1260千米,G1329的平均速度是K575的2.5倍.
(1)求K575的平均速度;
(2)高铁G1329从上海到娄底只需几小时?
24.(9分)如图,在▱ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
(1)求证:△ABG≌△CDE;
(2)猜一猜:四边形EFGH是什么样的特殊四边形?证明你的猜想;
(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.
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六、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
25.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是AC的中点,OE交CD于点F.
(1)若∠BCD=36°,BC=10,求BD的长;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求证:2CE2=AB•EF.
26.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(﹣4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.
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24.(9分)(2017•娄底)如图,在▱ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
(1)求证:△ABG≌△CDE;
(2)猜一猜:四边形EFGH是什么样的特殊四边形?证明你的猜想;
(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.
【考点】L5:平行四边形的性质;KD:全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据角平分线的定义以及平行四边形的性质,即可得到AB=CD,∠BAG=∠DCE,∠ABG=∠CDE,进而判定△ABG≌△CDE;
(2)根据角平分线的定义以及平行四边形的性质,即可得出∠AGB=90°,∠DEC=90°,∠AHD=90°=∠EHG,进而判定四边形EFGH是矩形;
(3)根据含30°角的直角三角形的性质,得到BG=12AB=3,AG=33=CE,BF=12BC=2,CF=23,进而得出EF和GF的长,可得四边形EFGH的面积.
【解答】解:(1)∵GA平分∠BAD,EC平分∠BCD,
∴∠BAG=12∠BAD,∠DCE=12∠DCB,
∵▱ABCD中,∠BAD=∠DCB,AB=CD,
∴∠BAG=∠DCE,
同理可得,∠ABG=∠CDE,
∵在△ABG和△CDE中,
&∠BAG=∠DCE&AB=CD&∠ABG=∠CDE,
∴△ABG≌△CDE(ASA);
(2)四边形EFGH是矩形.
证明:∵GA平分∠BAD,GB平分∠ABC,
∴∠GAB=12∠BAD,∠GBA=12∠ABC,
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∵▱ABCD中,∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠GAB+∠GBA=12(∠DAB+∠ABC)=90°,
即∠AGB=90°,
同理可得,∠DEC=90°,∠AHD=90°=∠EHG,
∴四边形EFGH是矩形;
(3)依题意得,∠BAG=12∠BAD=30°,
∵AB=6,
∴BG=12AB=3,AG=33=CE,
∵BC=4,∠BCF=12∠BCD=30°,
∴BF=12BC=2,CF=23,
∴EF=33﹣23=3,GF=3﹣2=1,
∴矩形EFGH的面积=EF×GF=3.
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用,解题时注意:有三个角是直角的四边形是矩形.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
六、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
25.(10分)(2017•娄底)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是AC的中点,OE交CD于点F.
(1)若∠BCD=36°,BC=10,求BD的长;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求证:2CE2=AB•EF.
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【考点】S9:相似三角形的判定与性质;MB:直线与圆的位置关系.
【分析】(1)在Rt△BCD中,解直角三角形即可;
(2)欲证明DE是切线,只要证明OD⊥DE即可;
(3)首先证明EF是△ADC的中位线,再证明△ACD∽△ABC即可解决问题;
【解答】解:(1)∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
在Rt△BCD中,∵BC=10,∠BCD=36°,
∴BD=BC•sin36°=10•sin36°≈5.9.
(2)连接OD.
∵AE=EC,OB=OC,
∴OE∥AB,
∵CD⊥AB,
∴OE⊥CD,
∵OD=OC,
∴∠DOE=∠COE,
在△EOD和△EOC中,
&OD=OC&∠DOE=∠COE&OE=OE,
∴△EOD≌△EOC,
∴∠EDO=∠ECO=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
(3)∵OE⊥CD,
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∴DF=CF,∵AE=EC,
∴AD=2EF,
∵∠CAD=∠CAB,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC,
∴AC2=AD•AB,
∵AC=2CE,
∴4CE2=2EF•AB,
∴2CE2=EF•AB.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
26.(10分)(2017•娄底)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(﹣4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.
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【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)即可得到结论;
(2)由题意得AD=2t,DF=AD=2t,OF=4﹣4t,由于直线AC的解析式为:y=12x+2,得到E(2t﹣4,t),①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,根据相似三角形的性质得到结论;②当∠FEC=90°,根据等腰直角三角形的性质得到结论;③当∠ACF=90°,根据勾股定理得到结论;
(3)求得直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,当D在y轴的左侧时,当D在y轴的右侧时,如图2,根据梯形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)代入y=ax2+bx+c得,&16a-4b+c=0&a+b+c=0&c=2,
∴&a=-12&b=-32&c=2,
∴抛物线的解析式为:y=﹣12x2﹣32bx+2,
对称轴为:直线x=﹣32;
(2)存在,
∵AD=2t,
∴DF=AD=2t,
∴OF=4﹣4t,
∴D(2t﹣4,0),
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∵直线AC的解析式为:y=12x+2,
∴E(2t﹣4,t),
∵△EFC为直角三角形,
①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,
∴DEOF=DFOC,即t4-4t=2t2,
解得:t=34,
②当∠FEC=90°,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴DE=12AF,即t=2t,
∴t=0,(舍去),
③当∠ACF=90°,
则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t﹣4)2]=(4t)2,
解得:t=54,
∴存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形,此时,t=34或54;
(3)∵B(1,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,
当D在y轴的左侧时,S=12(DE+OC)•OD=12(t+2)•(4﹣2t)=﹣t2+4 (0<t<2),
当D在y轴的右侧时,如图2,
∵OD=4t﹣4,DE=﹣8t+10,
S=12(DE+OC)•OD=12(﹣8t+10+2)•(4t﹣4)=﹣16t2+40t﹣24 (2<t<52).
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【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式,梯形的面积公式,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,正确的理解题意是解题的关键.
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