2020中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题5 33页

专题5.3 锐角三角形 一、单选题 ‎1．2cos60°=（　　）‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【来源】黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A ‎【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.‎ ‎2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．‎ ‎【详解】如图，连接BC，‎ 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ 则tan∠BAC=1，‎ 故选B．‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．‎ ‎3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）‎ A． 800sinα米 B． 800tanα米 C． 米 D． 米 ‎【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷 ‎【答案】D ‎【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.‎ ‎4．如图，在中，，，，则等于（ ）‎ 37‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】A 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． ‎ ‎5．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．‎ ‎【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，‎ ‎∴DC=DE=4，CP=EP．‎ 在△OEF和△OBP中，，‎ ‎∴△OEF≌△OBP（AAS），‎ ‎∴OE=OB，EF=BP．‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．‎ ‎6．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）‎ A． 100sin35°米 B． 100sin55°米 C． 100tan35°米 D． 100tan55°米 ‎【来源】湖北省宜昌市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据正切函数可求小河宽PA的长度．‎ 详解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，‎ ‎∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．‎ 故选：C．‎ 37‎ 点睛：考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．‎ ‎7．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为 A． B． 2 C． D． 3‎ ‎【来源】陕西省2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【详解】∵AD⊥BC，‎ ‎∴△ADC是直角三角形，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴∠DAC=45°，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∵AC=8，‎ ‎∴AD=4，‎ 在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，‎ ‎∴DE=BD•tan30°==，‎ ‎∴AE=AD-DE=，‎ 故选C.‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.‎ ‎8．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ 设OH=x，则OD=OB=x+3，‎ 在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴OH=，‎ ‎∴AH=OA+OH=+3+=，‎ 故选B．‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键.‎ ‎9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷 ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值，求得∠ABC=60°是解本题的关键.‎ ‎10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（　　）‎ A． 3 B． C． D． ‎ ‎【来源】云南省2018年中考数学试卷 ‎【答案】A 37‎ ‎【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． ‎ 二、填空题 ‎11．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）‎ ‎【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷 ‎【答案】9.5‎ ‎【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．‎ 详解：过D作DE⊥AB，‎ ‎∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，‎ ‎∴∠ADE＝53°，‎ ‎∵BC＝DE＝6m，‎ ‎∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m，‎ 37‎ 故答案为：9.5‎ 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎12．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为__m（结果保留根号）．‎ ‎【来源】辽宁省阜新市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎13．如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．‎ ‎【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】‎ 37‎ ‎【详解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠BAC=60°，‎ ‎∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，‎ ‎∴∠ABH=∠CAH，‎ 在△ABE和△CAH中，‎ ‎∴△ABE≌△CAH，‎ ‎∴BE=AH，AE=CH，‎ 在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，‎ ‎∴sin∠AHE=，HE=AH，‎ ‎∴AE=AH•sin60°=AH，‎ ‎∴CH=AH，‎ 在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，‎ ‎∴BE=2，HE=1，AE=CH=，‎ ‎∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，‎ 在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，‎ ‎∵BF∥CH，‎ ‎∴△CHD∽△BFD，‎ 37‎ ‎∴=2，‎ ‎∴DH=HF=×=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．‎ ‎14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．‎ ‎【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】300‎ ‎【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，‎ ‎∴BD= AD•tan45° =110（m），‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，‎ ‎∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），‎ ‎∴BC=BD+CD=110+190=300（m），‎ 37‎ 即该建筑物的高度BC约为300米，‎ 故答案为：300．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=_____．‎ ‎【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题 ‎【答案】4‎ 详解：∵CE所在直线垂直平分线段AD， ∴CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． ∵CD平分∠BCE， ∴∠DCE=∠DCB． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB==4． 故答案为：4．‎ 点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_____．‎ 37‎ ‎【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，从而可得点C坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC的表达式.‎ ‎【详解】如图，‎ 设AC的解析式为y=kx+b，‎ 将A，C点坐标代入函数解析式，得，‎ 解得，‎ 37‎ 直线AC的表达式是y=﹣x+4，‎ 故答案为：y=﹣x+4．‎ ‎【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键．‎ ‎17．如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．‎ ‎【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷 ‎【答案】‎ ‎【详解】延长DM交CB的延长线于点H，‎ 四边形ABCD是菱形，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎≌，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ ‎，‎ 37‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或舍弃，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.‎ ‎18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．‎ ‎【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷 ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．‎ 米，‎ 故答案为：.‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．‎ ‎19．计算：﹣|2﹣2|+2tan45°=_____．‎ ‎【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】4‎ ‎【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式混合运算的法则是解题的关键.‎ ‎20．如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为_____．‎ ‎【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】3‎ ‎【解析】【分析】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值即可.‎ ‎【详解】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∵tan∠AOC==，∴设点A的坐标为（3a，a），‎ ‎∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，‎ 37‎ ‎∴a=3a﹣2，得a=1，‎ ‎∴1=，得k=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎21．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．‎ ‎【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题 ‎【答案】15或10‎ 详解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，‎ ‎①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，‎ 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，‎ ‎∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，‎ 在Rt△ACD中，∵AC=2，‎ ‎∴CD=，‎ 则BC=BD+CD=6，‎ 37‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；‎ ‎②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，‎ 点睛：本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． ‎ ‎22．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）‎ ‎【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷 ‎【答案】100（1+）‎ ‎【解析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．‎ 详解：如图，‎ ‎∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，‎ 37‎ 点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．‎ ‎23．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.‎ ‎【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题 ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．‎ 详解：如图，连接BE，‎ ‎∵四边形BCEK是正方形，‎ ‎∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，‎ ‎∴BF=CF，‎ 根据题意得：AC∥BK，‎ ‎∴△ACO∽△BKO，‎ 37‎ ‎∴KO：CO=BK：AC=1：3，‎ ‎∴KO：KF=1：2，‎ ‎∴KO=OF=CF=BF，‎ 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，‎ ‎∵∠AOD=∠BOF，‎ ‎∴tan∠AOD=2．‎ 故答案为：2‎ 点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．‎ ‎24．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达．（结果保留根号）‎ ‎【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试卷 ‎【答案】‎ ‎【详解】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，‎ 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），‎ 所以 BQ=PQ﹣90．‎ 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），‎ 所以 PQ﹣90=PQ，‎ 所以 PQ=45（3+）（海里），‎ 37‎ 所以 MN=PQ=45（3+）（海里），‎ 在直角△BMN中，∠MBN=30°，‎ 所以 BM=2MN=90（3+）（海里），‎ 所以（小时），‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ 三、解答题 ‎25．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A处与灯塔B相距109海里．‎ 37‎ ‎∵∠ECB=15°，‎ ‎∴∠BCF=90°﹣15°=75°，‎ ‎∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，‎ 在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即，‎ ‎∴BM=40，‎ ‎∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），‎ 答：A处与灯塔B相距109海里．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎26．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．‎ ‎【来源】湖北省十堰市2018年中考数学试卷 ‎【答案】船距灯塔的距离为193海里．‎ ‎【解析】【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．‎ ‎【详解】过C作CD⊥AB，‎ 在Rt△ACD中，∠A=45°，‎ ‎∴△ACD为等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=CD=AC=50海里，‎ 在Rt△BCD中，∠B=30°，‎ ‎∴BC=2CD=100海里，‎ 37‎ 根据勾股定理得：BD=50海里，‎ 则AB=AD+BD=50+50≈193海里，‎ 则此时船锯灯塔的距离为193海里．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确添加辅助线，熟练应用直角三角形中边角关系是解题的关键.‎ ‎27．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）‎ ‎【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷 ‎【答案】山顶A到地面BC的高度AC是米.‎ ‎【解析】【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC=，构建方程即可解决问题即可.‎ ‎【详解】作DH⊥BC于H，设AE=x，‎ ‎∵DH：BH=1：3，‎ 在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查解直角三角形——仰角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，熟练应用数形结合思想与方程思想解答问题是关键.‎ ‎28．两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．‎ ‎（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？‎ ‎（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．‎ ‎【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．‎ ‎【解析】分析：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；‎ ‎（2）连接BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．‎ 详解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，‎ 37‎ 点睛：本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答． ‎ ‎29．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：‎ ‎（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；‎ ‎（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．‎ ‎（3）如图3，若k=，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．‎ ‎【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.‎ 37‎ 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，‎ ‎∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，‎ ‎∴BD=AF，BF=AD．‎ ‎∵AC=BD，CD=AE，‎ ‎∴AF=AC．‎ ‎∵∠FAC=∠C=90°，‎ ‎∴△FAE≌△ACD，‎ ‎∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．‎ ‎∵∠ADC+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．‎ ‎∵AD∥BF，‎ ‎∴∠EFB=90°．‎ ‎∵EF=BF，‎ ‎∴∠FBE=45°，‎ ‎∴∠APE=45°． ‎ ‎（2）（1）中结论不成立，理由如下：‎ 如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，‎ 37‎ ‎∵∠FAC=∠C=90°，‎ ‎∴△FAE∽△ACD，‎ ‎∴，∠FEA=∠ADC．‎ ‎∵∠ADC+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．‎ ‎∵AD∥BF，‎ ‎∴∠EFB=90°．‎ 在Rt△EFB中，tan∠FBE=，‎ ‎∴∠FBE=30°，‎ ‎∴∠APE=30°，‎ ‎（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，‎ 37‎ ‎∴，∠ADC=∠HAE．‎ ‎∵∠CAD+∠ADC=90°，‎ ‎∴∠HAE+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠HAD=90°．‎ 在Rt△DAH中，tan∠ADH=，‎ ‎∴∠ADH=30°，‎ ‎∴∠APE=30°．‎ 点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．‎ ‎30．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎【来源】四川省广安市2018年中考数学试题 ‎【答案】此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．‎ ‎【解析】分析：根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．‎ 详解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，‎ 37‎ 点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．‎ ‎31．我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）‎ ‎【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷 ‎【答案】隧道最短为1093米．‎ ‎【解析】【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．‎ ‎【详解】如图，作BD⊥AC于D，‎ 由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），‎ ‎∠BAC=30°，∠BCA=45°，‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵tan30°=，即，‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.‎ ‎32．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．‎ 如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）‎ ‎【来源】河南省2018年中考数学试卷 ‎【答案】高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．‎ ‎【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．‎ 详解：在Rt△ACE中，‎ ‎∵tan∠CAE=，‎ 37‎ 点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．‎ ‎33．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：‎ ‎∵sinA=，sinB=，‎ ‎∴c=，c=，‎ ‎∴=，‎ 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．‎ ‎【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】==，理由见解析.‎ ‎【解析】【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． ‎ ‎34．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．‎ ‎（1）求证：△MED∽△BCA；‎ ‎（2）求证：△AMD≌△CMD；‎ ‎（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=S1时，求cos∠ABC的值．‎ ‎【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=.‎ 37‎ ‎【详解】（1）∵MD∥BC，‎ ‎∴∠DME=∠CBA，‎ ‎∵∠ACB=∠MED=90°，‎ ‎∴△MED∽△BCA；‎ ‎（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，‎ ‎∴MB=MC=AM，‎ ‎∴∠MCB=∠MBC，‎ ‎∵∠DMB=∠MBC，‎ ‎∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，‎ ‎∵∠AMD=180°﹣∠DMB，‎ ‎∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，‎ ‎∴∠AMD=∠CMD，‎ 在△AMD与△CMD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMD≌△CMD（SAS）；‎ ‎（3）∵MD=CM，‎ ‎∴AM=MC=MD=MB，‎ ‎∴MD=2AB，‎ 由（1）可知：△MED∽△BCA，‎ 37‎ ‎∴，‎ ‎∴S△ACB=4S1，‎ ‎∵CM是△ACB的中线，‎ ‎∴S△MCB=S△ACB=2S1，‎ ‎∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.‎ ‎35．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．‎ ‎（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；‎ ‎（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．‎ 37‎ ‎【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）风筝线AD的长度为12米；（2）风筝原来的高度C1D为米．‎ ‎【详解】（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，‎ ‎∴AD==（米），‎ 答：此时风筝线AD的长度为12米；‎ ‎（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），‎ 在Rt△BEF中，BE===18+x（米），‎ 由题意知AD=BE=18+x（米），‎ ‎∵CF=10，‎ ‎∴AC=AF+CF=10+x，‎ 由cos∠CAD=可得，‎ 解得：x=3+2，‎ 则AD=18+×（3+2）=24+3，‎ ‎∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，‎ 则C1D=CD+C1C=+=，‎ 答：风筝原来的高度C1D为米．‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义、‎ 37‎ 根据题意找到两直角三角形间的关联是解决本题的关键. ‎ ‎36．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．‎ ‎（1）求边AC的长；‎ ‎（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．‎ ‎【来源】上海市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）AC=；（2）．‎ ‎【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，‎ 在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，‎ ‎∴AE=3，BE=4，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，‎ 在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；‎ ‎（2）∵DF垂直平分BC，‎ ‎∴BD=CD，BF=CF=，‎ ‎∵tan∠DBF=，‎ ‎∴DF=，‎ 在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，‎ ‎∴AD=5﹣=，‎ 则．‎ 37‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.‎ 37‎