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- 2021-05-13 发布
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2014高考数学快速命中考点7
一、选择题
1．函数y＝x3与y＝x－2图象的交点为(a，b)，则a所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】 设f(x)＝x3－x－2，则f(1)＝1－－1＝1－2＝－1＜0，
f(2)＝23－0＝7＞0，从而f(1)f(2)＜0，故选B.
【答案】 B
2．已知函数f(x)＝()x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且00时，f(x)＝()x－log3x是减函数，
又x0是方程f(x)＝0的根，即f(x0)＝0.
∴当0f(x0)＝0.
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)．其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【解析】 ∵2a＝3,3b＝2，
∴a>1,00，
∴f(x)在(－1,0)内有唯一零点，取n＝－1.
【答案】 B
4．已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈时，f(x)＝sin πx，f＝0，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )
A．3 B．5
C．7 D．9
【解析】 对R上的奇函数f(x)，有f(0)＝0；又f(1)＝sin π＝0；
再由T＝3，∴f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0；f(6)＝f(3＋3)＝f(3)＝0；f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0；f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0；f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0.因为f＝0，所以f＝f＝f
＝0.综上可知f(x)在区间[0,6]上的零点为0,1，，2,3,4，，5,6，共9个，故选D.
【答案】 D
5．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝n(n－1)
C．an＝n－1 D．an＝2n－2
【解析】 g(x)＝f(x)－x＝
当－1＜x≤0时，由x3－x＝0得x＝0，则x＝0是函数g(x)的一个零点．
当0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，则g(x)＝f(x－1)－x＋1＝(x－1)3－x＋1
令g(x)＝0，即(x－1)3－(x－1)＝0得x＝1，即x＝1是函数g(x)的一个零点
当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，－1＜x－2≤0，g(x)＝f(x－1)－x＋1＝f(x－2)－x＋2＝(x－2)3－(x－2)
令g(x)＝0，即(x－2)3－(x－2)＝0得x＝2，即x＝2是函数g(x)的一个零点
同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．若函数f(x)＝2－|x－1|－m有零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 令f(x)＝0，得m＝()|x－1|，
∵|x－1|≥0，∴0<()|x－1|≤1，即00，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
(2)由f(2)<0，f(3)>0.
∴f(x)的零点x0∈(2,3)．
取x1＝，∵f()＝ln －1＝ln －ln e<0，
∴f·f(3)<0，∴x0∈(，3)．
取x2＝，∵f＝ln －＝ln －ln e>0，
∴f·f<0，
∴x0∈且|－|＝≤，
∴即为符合条件的区间．
10．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
【解】 (1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，
当且仅当x＝时取等号．
∴当x＝e时，g(x)有最小值2e.
因此g(x)＝m有零点，只需m≥2e.
∴当m∈[2e，＋∞)时，g(x)＝m有零点．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．
如图所示，作出函数g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其对称轴x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.
若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．
必须有m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1.
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.
(1)请分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)若该公司采用函数模型y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【解】 (1)对于模型y＝f(x)＝＋2，
当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数．
f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9，
∴f(x)≤9恒成立．
但当x＝10时，f(10)＝＋2>，不满足f(x)≤.
故函数模型y＝＋2不符合公司要求．
(2)对于模型y＝g(x)＝＝10－.
当3a＋20>0，即a>－时函数递增，
为使g(x)≤9对于x∈[10,1 000]恒成立，
即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，即a≥.
为使g(x)≤对于x∈[10,1 000]恒成立，
即要≤，即x2－48x＋15a≥0恒成立．
即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立．
又24∈[10,1 000]，
故只需15a－576≥0即可，所以a≥.
综上，a≥，故最小的正整数a的值为39.
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