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- 2021-05-13 发布
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2017中考数学全国试题汇编------圆
24(2017.北京)如图,是的一条弦,是的中点,过点作于点,过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,求的半径.
【解析】
试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5,再利用等角对等边可得出结论;(2)由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值,利用对应角的三角函数值相等推出结论.
试题解析:(1)证明:∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线,∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,在△DEB中, ∠4=∠5,∴DE=DB.
考点:圆的性质,切线定理,三角形相似,三角函数
27(2017甘肃白银).如图,是的直径,轴,
交于点.
(1)若点,求点的坐标;
(2)若为线段的中点,求证:直线是的切线.
解:(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2)
∴AN=4, 1分
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,
∴AB=2AN=8, 2分
∴由勾股定理可知:NB=,
∴B(,2) 3分
(2)连接MC,NC 4分
∵AN是⊙M的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°, 5分
x
y
C
D
MD
OMD
BAND
ND
AND
在Rt△NCB中,D为NB的中点,
∴CD=NB=ND,
∴∠CND=∠NCD, 6分
∵MC=MN,
∴∠MCN=∠MNC.
∵∠MNC+∠CND=90°,
∴∠MCN+∠NCD=90°, 7分
即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线. 8分
25(2017广东广州).如图14,是的直径,
,连接.
(1)求证:;
(2)若直线为的切线,是切点,在直线上取一点,使所在的直线与所在的直线相交于点,连接.
①试探究与之间的数量关系,并证明你的结论;
②是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
【解析】
试题分析:(1)直径所对的圆周角是圆心角的一半,等弧所对的圆周角是圆心角的一半;(2
)①等角对等边;②
(2)①如图所示,作 于F
由(1)可得, 为等腰直角三角形.
是 的中点. 为等腰直角三角形.
又 是 的切线,
四边形 为矩形
②当 为钝角时,如图所示,同样,
(3)当D在C左侧时,由(2)知
,
,
在 中,
当D在C右侧时,过E作 于
在 中,
考点:圆的相关知识的综合运用
25(2017贵州六盘水).如图,是的直径,,点在上,,为的中点,是直径上一动点.
(1) 利用尺规作图,确定当最小时点的位置
(2) (不写作法,但要保留作图痕迹).
(2)求的最小值.
【考点】圆,最短路线问题.
【分析】(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点
(2)利用得∠AON=∠=60°,又为弧AN的中点,∴∠BON=30°,所以∠ON=90°,再求最小值.
【解答】解:
20(2017湖北黄冈).已知:如图,MN为⊙O的直径,ME是⊙O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.
求证:(1)DE是⊙O的切线;
(2)ME2=MD•MN.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;ME:切线的判定与性质.
【分析】(1)求出OE∥DM,求出OE⊥DE,根据切线的判定得出即可;
(2)连接EN,求出∠MDE=∠MEN,求出△MDE∽△MEN,根据相似三角形的判定得出即可.
【解答】证明:(1)∵ME平分∠DMN,
∴∠OME=∠DME,
∵OM=OE,
∴∠OME=∠OEM,
∴∠DME=∠OEM,
∴OE∥DM,
∵DM⊥DE,
∴OE⊥DE,
∵OE过O,
∴DE是⊙O的切线;
(2)
连接EN,
∵DM⊥DE,MN为⊙O的半径,
∴∠MDE=∠MEN=90°,
∵∠NME=∠DME,
∴△MDE∽△MEN,
∴=,
∴ME2=MD•MN
23. (2017湖北十堰)已知AB为半⊙O的直径,BC⊥AB于B,且BC=AB,
D为半⊙O上的一点,连接BD并延长交半⊙O的切线AE于E.
(1) 如图1,若CD=CB,求证:CD是⊙O的切线;
(2) 如图2,若F点在OB上,且CD⊥DF,求的值.
∵∠3+∠EAD=90°,∠E+∠EAD=90°
∴∠3=∠E
又∵∠ADE=∠ADB=90°
∴△ADE~△ABD
∴
∴
∴
(1)证明:略;(此问简单)
(2)连接AD.
∵DF⊥DC
∴∠1+∠BDF=90°
∵AB是⊙O的直径
∴∠2+∠BDF=90°
∴∠1=∠2
又∵∠3+∠ABD=90°, ∠4+∠ABD=90°
∴∠3=∠4
∴△ADF~△BCD
21.(2017湖北武汉)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D
(1) 求证:AO平分∠BAC
(2) 若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长
【答案】(1)证明见解析;(2);.
(2)过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=,设AC=5m,则CE=3m
∴AE=4m,BE=m
在RtΔCBE中,m2+(3m)2=36
∴m=,
∴AC=
延长AO交BC于点H,则AH⊥BC,且BH=CH=3,
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.解直角三角形;3.平行线分线段成比例.
21. (2017湖北咸宁)如图,在中,,以为直径的⊙与边分别交于两点,过点作,垂足为点.
⑴求证:是⊙的切线;
⑵若,求的长
【考点】ME:切线的判定与性质;KH:等腰三角形的性质;T7:解直角三角形.
【分析】(1)证明:如图,连接OD,作OG⊥AC于点G,推出∠ODB=∠C;然后根据DF⊥AC,∠DFC=90°,推出∠ODF=∠DFC=90°,即可推出DF是⊙O的切线.
(2)首先判断出:AG=AE=2,然后判断出四边形OGFD为矩形,即可求出DF的值是多少.
【解答】(1)证明:如图,连接OD,作OG⊥AC于点G,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠B,
又∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,
∴∠ODF=∠DFC=90°,
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:AG=AE=2,
∵cosA=,
∴OA===5,
∴OG==,
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
∴四边形OGFD为矩形,
∴DF=OG=.
23(2017湖北孝感). 如图,的直径
弦的平分线交于 过点作
交延长线于点,连接
(1)由,,围成的曲边三角形的面积是 ;
(2)求证:是的切线;(3)求线段的长.
【分析】(1)连接OD,由AB是直径知∠ACB=90°,结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°,从而知∠AOD=90°,根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案;
(2)由∠AOD=90°,即OD⊥AB,根据DE∥AB可得OD⊥DE,即可得证;
(3)勾股定理求得BC=8,作AF⊥DE知四边形AODF是正方形,即可得DF=5,由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA,即=,求得EF的长即可得.
【解答】解:(1)如图,连接OD,
∵AB是直径,且AB=10,
∴∠ACB=90°,AO=BO=DO=5,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°,
∴∠AOD=90°,
则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=+×5×5=+,
故答案为: +;
(2)由(1)知∠AOD=90°,即OD⊥AB,
∵DE∥AB,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)∵AB=10、AC=6,
∴BC==8,
过点A作AF⊥DE于点F,则四边形AODF是正方形,
∴AF=OD=FD=5,
∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC,
∴tan∠EAF=tan∠CBA,
∴=,即=,
∴,
∴DE=DF+EF=+5=.
【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义,熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键.
25(2017湖北荆州).如图在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+
3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P、Q同时从点A出发,运动时间为t秒.其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位长度,点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心,PQ长为半径作⊙Q.
(1)求证:直线AB是⊙Q的切线;
(2)过点A左侧x轴上的任意一点C(m,0),作直线AB的垂线CM,垂足为M.若CM与⊙Q相切于点D,求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围);
(3)在(2)的条件下,是否存在点C,直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切?若存在,请直接写出此时点C的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】FI:一次函数综合题.
【分析】(1)只要证明△PAQ∽△BAO,即可推出∠APQ=∠AOB=90°,推出QP⊥AB,推出AB是⊙O的切线;
(2)分两种情形求解即可:①如图2中,当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时,设切点为D,则四边形PQDM是正方形.②如图3中,当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时,设切点为D,则四边形PQDM是正方形.分别列出方程即可解决问题.
(3)分两种情形讨论即可,一共有四个点满足条件.
【解答】(1)证明:如图1中,连接QP.
在Rt△AOB中,OA=4,OB=3,
∴AB==5,
∵AP=4t,AQ=5t,
∴==,∵∠PAQ=∠BAO,
∴△PAQ∽△BAO,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∴QP⊥AB,
∴AB是⊙O的切线.
(2)解:①如图2中,当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时,
设切点为D,则四边形PQDM是正方形.
易知PQ=DQ=3t,CQ=•3t=,
∵OC+CQ+AQ=4,
∴m+t+5t=4,
∴m=4﹣t.
②如图3中,当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时,设切点为D,则四边形PQDM是正方形.
∵OC+AQ﹣CQ=4,
∴m+5t﹣t=4,
∴m=4﹣t.
(3)解:存在.理由如下:
如图4中,当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时,
3t+5t=4,t=,
由(2)可知,m=﹣或.
如图5中,当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时,5t﹣3t=4,t=2,
由(2)可知,m=﹣或.
综上所述,满足条件的点C的坐标为(﹣,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).
22.(2017湖北鄂州)如图,已知BF是⊙O的直径,A为 ⊙O上(异于B、F)一点. ⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M;P为AM上一点,PB的延长线交⊙O于点C,D为BC上一点且PA
=PD,AD的延长线交⊙O于点E.
(1)求证:= ;
(2)若ED、EA的长是一元二次方程x2-5x+5=0的两根,求BE的长;
(3)若MA =6, , 求AB的长.
(1)∵PA =PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠BAD+∠PAB=∠DBE+∠E
∵⊙O的切线MA
∴∠PAB=∠DBE
∴∠BAD=∠CBE∴=
(2) ∵ED、EA的长是一元二次方程x2-5x+5=0的两根、
∴ED·EA=5
∵∠BAD=∠CBE,∠E=∠E
∴△BDE∽△ABE
∴BE2=ED·EA=5 ∴BE=
21.(2017湖北黄石)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线.
【考点】MI:三角形的内切圆与内心;MD:切线的判定.
【分析】(1)欲证明DB=DE,只要证明∠DBE=∠DEB;
(2)欲证明直线CF为⊙O的切线,只要证明BC⊥CF即可;
【解答】(1)证明:∵E是△ABC的内心,
∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC,
∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
(2)连接CD.
∵DA平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC,
∴=,
∴BD=CD,
∵BD=DF,
∴CD=DB=DF,
∴∠BCF=90°,
∴BC⊥CF,
∴CF是⊙O的切线.
23(2017湖北恩施).如图,AB、CD是⊙O的直径,BE是⊙O的弦,且BE∥CD,过点C的切线与EB的延长线交于点P,连接BC.
(1)求证:BC平分∠ABP;
(2)求证:PC2=PB•PE;
(3)若BE﹣BP=PC=4,求⊙O的半径.
【考点】MC:切线的性质;KD:全等三角形的判定与性质;S9:相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)由BE∥CD知∠1=∠3,根据∠2=∠3即可得∠1=∠2;
(2)连接EC、AC,由PC是⊙O的切线且BE∥DC,得∠1+∠4=90°,由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°,根据∠1=∠2得∠4=∠5,从而证得△PBC∽△PCE即可;
(3)由PC2=PB•PE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6,作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8,再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2,据此得出CD的长即可.
【解答】解:(1)∵BE∥CD,
∴∠1=∠3,
又∵OB=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,即BC平分∠ABP;
(2)如图,连接EC、AC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCD=90°,
又∵BE∥DC,
∴∠P=90°,
∴∠1+∠4=90°,[
∵AB为⊙O直径,
∴∠A+∠2=90°,
又∠A=∠5,
∴∠5+∠2=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠5=∠4,
∵∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCE,
即PC2=PB•PE;
(3)∵BE﹣BP=PC=4,
∴BE=4+BP,
∵PC2=PB•PE=PB•(PB+BE),
∴42=PB•(PB+4+PB),即PB2+2PB﹣8=0,
解得:PB=2,
则BE=4+PB=6,
∴PE=PB+BE=8,
作EF⊥CD于点F,
∵∠P=∠PCF=90°,
∴四边形PCFE为矩形,
∴PC=FE=4,FC=PE=8,∠EFD=∠P=90°,
∵BE∥CD,
∴DE=BC,
在Rt△DEF和Rt△BCP中,
∴Rt△DEF≌Rt△BCP(HL),
∴DF=BP=2,
则CD=DF+CF=10,
∴⊙O的半径为5.
22(2017湖北随州).如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙
O与BC相切于点D,交AB于点E.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
【考点】MC:切线的性质;KF:角平分线的性质;KW:等腰直角三角形;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接DE,OD.利用弦切角定理,直径所对的圆周角是直角,等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD,进而得出结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°,由BC相切⊙O于点D,得到∠ODB=90°,求得OD=BD,∠BOD=45°,设BD=x,则OD=OA=x,OB=x,根据勾股定理得到BD=OD=,于是得到结论.
【解答】(1)证明:连接DE,OD.
∵BC相切⊙O于点D,
∴∠CDA=∠AED,
∵AE为直径,
∴∠ADE=90°,
∵AC⊥BC,
∴∠ACD=90°,
∴∠DAO=∠CAD,
∴AD平分∠BAC;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,
∴∠B=∠BAC=45°,
∵BC相切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∴OD=BD,∴∠BOD=45°,
设BD=x,则OD=OA=x,OB=x,
∴BC=AC=x+1,
∵AC2+BC2=AB2,
∴2(x+1)2=(x+x)2,
∴x=,
∴BD=OD=,
∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=﹣=1﹣.
22(2017湖北襄阳).如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,∠BAC=∠DAC,过点C做直线EF⊥AD,交AD的延长线于点E,连接BC.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若DE=1,BC=2,求劣弧的长l.
【考点】ME:切线的判定与性质;MN:弧长的计算.
【分析】(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到
∠OAC=∠DAC,求得∠DAC=∠OCA,推出AD∥OC,
得到∠OCF=∠AEC=90°,于是得到结论;
(2)连接OD,DC,根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC,根据三角函数的定义得到∠ECD=30°,得到∠OCD=60°,得到∠BOC=∠COD=60°,OC=2,于是得到结论.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,
∵∠AEC=90°,∴∠OCF=∠AEC=90°,
∴EF是⊙O的切线;
(2)连接OD,DC,
∵∠DAC=DOC,∠OAC=BOC,
∴∠DAC=∠OAC,
∵ED=1,DC=2,
∴sin∠ECD=,
∴∠ECD=30°,
∴∠OCD=60°,
∵OC=OD,
∴△DOC是等边三角形,
∴∠BOC=∠COD=60°,OC=2,
∴l==π.
21(2017湖北宜昌).已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D.B点在⊙O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求证:四边形ABCD是菱形.
【考点】MC:切线的性质;L9:菱形的判定.
【分析】(1)先判断出∠2+∠3=90°,再判断出∠1=∠2即可得出结论;
(2)先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD,即可判断出四边形ABCD是平行四边形,最后判断出CD=AD即可.
【解答】解:(1)如图,连接OD,
∵CD是⊙O的切线,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,
∵DE=EC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠COD,
∴DE=OE;
(2)∵OD=OE,
∴OD=DE=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,
∴∠2=∠1=30°,
∵OA=OB=OE,OE=DE=EC,
∴OA=OB=DE=EC,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠1,
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,
∴△ABO≌△CDE,
∴AB=CD,
∴四边形A∴D是平行四边形,
∴∠DAE=∠DOE=30°,
∴∠1=∠DAE,
∴CD=AD,
∴▱ABCD是菱形.
24(2017江苏南通).如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以OB为半径的⊙O与AC相切于点D,交BC于点E,求弦BE的长.
【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理.
【分析】连接OD,首先证明四边形OECD是矩形,从而得到BE的长,然后利用垂径定理求得BF的长即可.
【解答】解:连接OD,作OE⊥BF于点E.
∴BE=BF,
∵AC是圆的切线,
∴OD⊥AC,
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°,
∴四边形ODCF是矩形,
∵OD=OB=EC=2,BC=3,
∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1,
∴BF=2BE=2.
26(2017江苏镇江).如图,中,,点在上,,过两点的圆的圆心在上.(1)利用直尺和圆规在图1中画出⊙(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚);
(2)判断所在直线与(1)中所作的⊙的位置关系,并证明你的结论;
(3)设⊙交于点,连接,过点作,为垂足.若点是线段的黄金分割点(即,)如图2,试说明四边形是正方形.
25(2017江苏扬州).如图,已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆O于点F,连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)①求证:CF=OC;
②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.
【考点】MB:直线与圆的位置关系;L5:平行四边形的性质;MN:弧长的计算.
【分析】(1)结论:DE是⊙O的切线.首先证明△ABO,△BCO都是等边三角形,再证明四边形BDCG是矩形,即可解决问题;
(2)①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题;
②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题.
【解答】解:(1)结论:DE是⊙O的切线.
理由:∵四边形OABC是平行四边形,
又∵OA=OC,
∴四边形OABC是菱形,
∴OA=OB=AB=OC=BC,
∴△ABO,△BCO都是等边三角形,
∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°,
∵OB=OF,
∴OG⊥BF,
∵AF是直径,CD⊥AD,
∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°,
∴四边形BDCG是矩形,
∴∠OCD=90°,
∴DE是⊙O的切线.
(2)①由(1)可知:∠COF=60°,OC=OF,
∴△OCF是等边三角形,
∴CF=OC.
②在Rt△OCE中,∵OC=12,∠COE=60°,∠OCE=90°,
∴OE=2OC=24,EC=12,
∵OF=12,
∴EF=12,
∴的长==4π,
∴阴影部分的周长为4π+12+12.
24(2017江苏盐城).如图,△ABC是一块直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部.
(1) 如图①,当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时,
(2) 试用直尺与圆规作出射线CO;
(3) (不写作法与证明,保留作图痕迹)
(2)如图②,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周,
回到起点位置时停止,若BC=9,圆形纸片的半径为2,
求圆心O运动的路径长.
【考点】O4:轨迹;MC:切线的性质;N3:作图—复杂作图.
【分析】(1)作∠ACB的平分线得出圆的一条弦,再作此弦的中垂线可得圆心O,作射线CO即可;
(2)添加如图所示辅助线,圆心O的运动路径长为,先求出△ABC的三边长度,得出其周长,证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形,得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°,从而知△OO1O2∽△CBA,利用相似三角形的性质即可得出答案.
【解答】解:(1)如图①所示,射线OC即为所求;
(2)如图,圆心O的运动路径长为,
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB,垂足分别为点D、F、G,
过点O作OE⊥BC,垂足为点E,连接O2B,
过点O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC,垂足分别为点H、I,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°、∠A=30°,
∴AC===9,AB=2BC=18,∠ABC=60°,
∴C△ABC=9+9+18=27+9,
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB,
∴D、G为切点,
∴BD=BG,
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中,
∵,
∴△O1BD≌△O1BG(HL),
∴∠O1BG=∠O1BD=30°,
在Rt△O1BD中,∠O1DB=90°,∠O1BD=30°,
∴BD===2,
∴OO1=9﹣2﹣2=7﹣2,
∵O1D=OE=2,O1D⊥BC,OE⊥BC,
∴O1D∥OE,且O1D=OE,
∴四边形OEDO1为平行四边形,
∵∠OED=90°,
∴四边形OEDO1为矩形,
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形,
又OE=OF,
∴四边形OECF为正方形,
∵∠O1GH=∠CDO1=90°,∠ABC=60°,
∴∠GO1D=120°,
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°,
∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC,
同理,∠O1OO2=90°,
∴△OO1O2∽△CBA,
∴=,即=,
∴=15+,即圆心O运动的路径长为15+.
25(2017江苏盐城).如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙
F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是⊙F的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),
D(2,0),求⊙F的半径;
试探究线段AG、AD、CD三者之间满足
的等量关系,并证明你的结论.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)连接EF,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC,得到FE∥AC,根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°,证明结论;
(2)连接FD,设⊙F的半径为r,根据勾股定理列出方程,解方程即可;
(3)作FR⊥AD于R,得到四边形RCEF是矩形,得到EF=RC=RD+CD,根据垂径定理解答即可.
【解答】(1)证明:连接EF,
∵AE平分∠BAC,
∴∠FAE=∠CAE,
∵FA=FE,
∴∠FAE=∠FEA,
∴∠FEA=∠EAC,
∴FE∥AC,
∴∠FEB=∠C=90°,即BC是⊙F的切线;
(2)解:连接FD,
设⊙F的半径为r,
则r2=(r﹣1)2+22,
解得,r=,即⊙F的半径为;
(3)解:AG=AD+2CD.
证明:作FR⊥AD于R,
则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°,
∴四边形RCEF是矩形,
∴EF=RC=RD+CD,
∵FR⊥AD,
∴AR=RD,
∴EF=RD+CD=AD+CD,
∴AG=2FE=AD+2CD.
27、(2017•苏州)如图,已知 内接于 , 是直径,点 在 上, ,过点 作 ,垂足为 ,连接 交 边于点 .
(1)求证: ∽ ;
(2)求证: ;
(3)连接 ,设 的面积为 ,
四边形 的面积为 ,若 ,求 的值.
(1)证明:∵AB是圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEO=90°,
∴∠DEO=∠ACB,
∵OD//BC,
∴∠DOE=∠ABC,
∴△DOE~△ABC,
(2)证明:∵△DOE~△ABC,
∴∠ODE=∠A,
∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角,
∴∠A=∠BDC,
∴∠ODE=∠BDC,
∴∠ODF=∠BDE。
(3)解:因为△DOE~△ABC ,
所以,
即=4=4
因为OA=OB,
所以=,即=2,
因为=,S2=++=2S1+S1+,
所以=,
所以BE=OE,即OE=OB=OD,
所以sinA=sin∠ODE==
【考点】圆周角定理,相似三角形的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)易证∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC,根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定△DOE~△ABC;
(2)由△DOE~△ABC,可得∠ODE=∠A,由∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角,则∠A=∠BDC,从而通过角的等量代换即可证得;
(3)由∠ODE=∠A,可得sinA=sin∠ODE==;而由△DOE~△ABC ,可得, 即=4=4=, 即=2,又因为=,S2=++=2S1+S1+,则可得=, 可求得OE与OB的比值.
27(2017江苏无锡).如图,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC:CE=1:2.
(1)求点P的坐标;
(2)求过点A和点E,且顶点在
直线CD上的抛物线的函数表达式.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)如图,作EF⊥y轴于F,DC的延长线交EF于H.设H(m,n),则P(m,0),PA=m+3,PB=3﹣m.首先证明△ACP∽△ECH,推出===,推出CH=2n,EH=2m=6,再证明△DPB∽△DHE,推出===,可得=,求出m即可解决问题;
(2)由题意设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣5),求出E点坐标代入即可解决问题;
【解答】解:(1)如图,作EF⊥y轴于F,DC的延长线交EF于H.设H(m,n),则P(m,0),PA=m+3,PB=3﹣m.
∵EH∥AP,
∴△ACP∽△ECH,
∴===,
∴CH=2n,EH=2m=6,
∵CD⊥AB,
∴PC=PD=n,
∵PB∥HE,
∴△DPB∽△DHE,
∴===,
∴=,
∴m=1,
∴P(1,0).
(2)由(1)可知,PA=4,HE=8,EF=9,
连接OP,在Rt△OCP中,PC==2,
∴CH=2PC=4,PH=6,
∴E(9,6),
∵抛物线的对称轴为CD,
∴(﹣3,0)和(5,0)在抛物线上,设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣5),把E(9,6)代入得到a=,
∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x﹣5),即y=x2﹣x﹣.
23.(2017山东济南)
()如图,在矩形中,,于点,求证:.
()如图,是⊙的直径,,求的度数.
【答案】见解析
【解析】()证明:在矩形中,
∵,
∴.
在和中,
∴≌,
∴.
()解:∵,
∴,
∵是⊙的直径,
∴.
在中,.
22(2017山东潍坊).如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)求证:EF为半圆O的切线;
(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.
(结果保留根号和π)
【考点】ME:切线的判定与性质;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF,即可得出答案;
(2)直接利用得出S△ACD=S△COD,再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD,求出答案.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵D为的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF为半圆O的切线;
(2)解:连接OC与CD,
∵DA=DF,
∴∠BAD=∠F,
∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,
∴∠F=30°,∠BAC=60°,
∵OC=OA,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,∠COB=120°,
∵OD⊥EF,∠F=30°,
∴∠DOF=60°,
在Rt△ODF中,DF=6,
∴OD=DF•tan30°=6,
在Rt△AED中,DA=6,∠CAD=30°,
∴DE=DA•sin30,EA=DA•cos30°=9,
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°,
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π.
23(2017山东威海).已知:AB为⊙O的直径,AB=2,弦DE=1,直线AD与BE相交于点C,弦DE在⊙O上运动且保持长度不变,⊙O的切线DF交BC于点F.
(1)如图1,若DE∥AB,求证:CF=EF;
(2)如图2,当点E运动至与点B重合时,试判断CF与BF是否相等,并说明理由.
【分析】(1)如图1,连接OD、OE,证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形,进一步证得DF⊥CE即可证得结论;
(2)根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论.
【解答】证明:如图1,连接OD、OE,
∵AB=2,
∴OA=OD=OE=OB=1,
∵DE=1,
∴OD=OE=DE,
∴△ODE是等边三角形,
∴∠ODE=∠OED=60°,
∵DE∥AB,
∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,
∴△AOD和△△OE是等边三角形,
∴∠OAD=∠OBE=60°,
∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∵DF是⊙O的切线,
∴OD⊥DF,
∴∠EDF=90°﹣60°=30°,
∴∠DFE=90°,
∴DF⊥CE,
∴CF=EF;
(2)相等;
如图2,点E运动至与点B重合时,BC是⊙O的切线,
∵⊙O的切线DF交BC于点F,
∴BF=DF,
∴∠BDF=∠DBF,
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴∠FDC=∠C,
∴DF=CF,
∴BF=CF.
【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质,作出辅助线构建等边三角形是解题的关键.
21(2017山东东营).如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交⊙O于点F.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若DE+EA=8,⊙O的半径为10,求AF的长度.
【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,
矩形的判定与性质.解题时,利用了方程思想,属于中档题.
【分析】(1)欲证明DE⊥AC,只需推知OD∥AC即可;
(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,构建矩形ODEH,设AH=x.则由矩形的性质推知:AE=10﹣x,OH=DE=8﹣(10﹣x)=x﹣2.在Rt△AOH中,由勾股定理知:x2+(x﹣2)2=102,通过解方程得到AH的长度,结合OH⊥AF,得到AF=2AH=2×8=16.
【解答】(1)证明:∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC.
∵DE是⊙O的切线,OD是半径,
∴DE⊥OD,∴DE⊥AC;
(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,
∴四边形ODEH是矩形,
∴OD=EH,OH=DE.
设AH=x.
∵DE+AE=8,OD=10,
∴AE=10﹣x,OH=DE=8﹣(10﹣x)=x﹣2.
在Rt△AOH中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2,即x2+(x﹣2)2=102,
解得x1=8,x2=﹣6(不合题意,舍去).
∴AH=8.
∵OH⊥AF,
∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.
24(2017山东烟台)
.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出发,沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动,同时动点M从点B出发,沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止,设运动时间为t(s)(t>0),以点M为圆心,MB长为半径的⊙M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示),并求出t的取值范围;
(2)当t为何值时,线段EN与⊙M相切?
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点,求t的取值范围.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)连接MF.只要证明MF∥AD,可得=,即=,解方程即可;
(2)当线段EN与⊙M相切时,易知△BEN∽△BOA,可得=,即=,解方程即可;
(3)①由题意可知:当0<t≤时,⊙M与线段EN只有一个公共点.②当F与N重合时,则有t+2t=16,解得t=,观察图象即可解决问题;
【解答】解:(1)连接MF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,OA=OC=6,OB=OD=8,
在Rt△AOB中,AB==10,
∵MB=MF,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=∠MFB,
∴MF∥AD,
∴=,
∴=,
∴BF=t(0<t≤8).
(2)当线段EN与⊙M相切时,易知△BEN∽△BOA,
∴=,
∴=,
∴t=.
∴t=s时,线段EN与⊙M相切.
(3)①由题意可知:当0<t≤时,⊙M与线段EN只有一个公共点.
②当F与N重合时,则有t+2t=16,解得t=,
关系图象可知,<t<8时,⊙M与线段EN只有一个公共点.
综上所述,当0<t≤或<t<8时,⊙M与线段EN只有一个公共点.
24(2017山东聊城).如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:△PBD∽△DCA;
(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;ME:切线的判定与性质.
【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角,再由AD为角平分线,得到一对角相等,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角,与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到OD与PD垂直,即可得证;
(2)由PD与BC平行,得到一对同位角相等,再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证;
(3)由三角形ABC为直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,再由OD垂直平分BC,得到DB=DC,根据(2)的相似,得比例,求出所求即可.
【解答】(1)证明:∵圆心O在BC上,
∴BC是圆O的直径,
∴∠BAC=90°,
连接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAC,
∵∠DOC=2∠DAC,
∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC,
∵PD∥BC,
∴OD⊥PD,
∵OD为圆O的半径,
∴PD是圆O的切线;
(2)证明:∵PD∥BC,
∴∠P=∠ABC,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠P=∠ADC,
∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠PBD=∠ACD,
∴△PBD∽△DCA;
(3)解:∵△ABC为直角三角形,
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100,
∴BC=10,
∵OD垂直平分BC,
∴DB=DC,
∵BC为圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100,
∴DC=DB=5,
∵△PBD∽△DCA,
∴=,
则PB===.
23(2017山东临沂).如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E,(1)求证:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.
【考点】MA:三角形的外接圆与外心.
【分析】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,
得出,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,证出∠DBC=∠BAE,
再由三角形的外角性质得出
∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB;
(2)由(1)得:,得出CD=BD=4,由圆周角定理得出BC是直径,∠BDC=90°,由勾股定理求出BC==4,即可得出△ABC外接圆的半径.
【解答】(1)证明:∵BE平分∠BAC,AD平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,
∴,
∴∠DBC=∠CAD,
∴∠DBC=∠BAE,
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DE=DB;
(2)解:连接CD,如图所示:
由(1)得:,
∴CD=BD=4,
∵∠BAC=90°,
∴BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∴BC==4,
∴△ABC外接圆的半径=×4=2.
20(2017山东德州).如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;ME:切线的判定与性质.
【分析】(1)求出∠OED=∠BCA=90°,根据切线的判定得出即可;
(2)求出△BEC∽△BCA,得出比例式,代入求出即可.
【解答】(1)证明:
连接OE、EC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°,
∵D为BC的中点,
∴ED=DC=BD,
∴∠1=∠2,
∵OE=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠OED=∠ACB,
∵∠ACB=90°,
∴∠OED=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:由(1)知:∠BEC=90°,
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B=∠B,∠BEC=∠BCA,
∴△BEC∽△BCA,
∴=,
∴BC2=BE•BA,
∵AE:EB=1:2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x,
∵BC=6,
∴62=2x•3x,
解得:x=,
即AE=.
22(2017山东枣庄).如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
【考点】MB:直线与圆的位置关系;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接OD,证明OD∥AC,即可证得∠ODB=90°,从而证得BC是圆的切线;
(2)在直角三角形OBD中,设OF=OD=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为圆的半径,求出圆心角的度数,直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积.
【解答】解:(1)BC与⊙O相切.
证明:连接OD.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA.
∴∠CAD=∠ODA.
∴OD∥AC.
∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D,
∴BC与⊙O相切.
(2)设OF=OD=x,则OB=OF+BF=x+2,
根据勾股定理得:OB2=OD2+BD2,即(x+2)2=x2+12,
解得:x=2,即OD=OF=2,
∴OB=2+2=4,
∵Rt△ODB中,OD=OB,
∴∠B=30°,
∴∠DOB=60°,
∴S扇形AOB==,
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣.
故阴影部分的面积为2﹣.
23.(2017山东滨州) 如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)求证:DE2=DF·DA.
思路分析:(1)①连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;②证明∠BAD=∠DAC;③证明∠G=∠BAD;④证明∠MDB=∠G;⑤证明∠GDM=90°;(2)①利用相似证明BD2=DF·DA;②利用等角对等边证明DB=DE.
证明:(1)如答图1,连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;
∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.[
∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G,
A
G
∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.
A
G
∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;
AA
答图1 答图2
(2)如答图2,连接BE.
∵点E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD.
∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.
∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴BD2=DF·DA.
∴DE2=DF·DA.
24(2017浙江温州).如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.
(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;
(2)求证:AC=AB.
(3)在点P的运动过程中
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)根据三角形ABP是等腰三角形,可得∠B的度数,再连接MD,根据MD为△PAB的中位线,可得∠MDB=∠APB=28°,进而得到=2∠MDB=56°;
(2)根据∠BAP=∠ACB,∠BAP=∠B,即可得到∠ACB=∠B,进而得出AC=AB;
(3)①记MP与圆的另一个交点为R,根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,即可得到PR=,MR=,再根据Q为直角三角形锐角顶点,分四种情况进行讨论:当∠ACQ=90°时,当∠QCD=90°时,当∠QDC=90°时,当∠AEQ=90°时,即可求得MQ的值为或或;
②先判定△DEG是等边三角形,再根据GMD=∠GDM,得到GM=GD=1,过C作CH⊥AB于H,由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG,即可得到CG=MH=﹣1,进而得出S△ACG=CG×CH=,再根据S△DEG=,即可得到△ACG和△DEG的面积之比.
【解答】解:(1)∵MN⊥AB,AM=BM,
∴PA=PB,
∴∠PAB=∠B,
∵∠APB=28°,
∴∠B=76°,
如图1,连接MD,
∵MD为△PAB的中位线,
∴MD∥AP,
∴∠MDB=∠APB=28°,
∴=2∠MDB=56°;
(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB,
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B,
∴∠BAP=∠ACB,
∵∠BAP=∠B,
∴∠ACB=∠B,
∴AC=AB;
(3)①如图2,记MP与圆的另一个交点为R,
∵MD是Rt△MBP的中线,
∴DM=DP,
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD,
∴RC=RP,
∵∠ACR=∠AMR=90°,
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,
∴12+MR2=22+PR2,
∴12+(4﹣PR)2=22+PR2,
∴PR=,
∴MR=,
Ⅰ.当∠ACQ=90°时,AQ为圆的直径,
∴Q与R重合,
∴MQ=MR=;
Ⅱ.如图3,当∠QCD=90°时,
在Rt△QCP中,PQ=2PR=,
∴MQ=;
Ⅲ.如图4,当∠QDC=90°时,
∵BM=1,MP=4,
∴BP=,
∴DP=BP=,
∵cos∠MPB==,
∴PQ=,
∴MQ=;
Ⅳ.如图5,当∠AEQ=90°时,
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°,
∴MQ=;
综上所述,MQ的值为或或;
②△ACG和△DEG的面积之比为.
理由:如图6,∵DM∥AF,
∴DF=AM=DE=1,
又由对称性可得GE=GD,
∴△DEG是等边三角形,
∴∠EDF=90°﹣60°=30°,
∴∠DEF=75°=∠MDE,
∴∠GDM=75°﹣60°=15°,
∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°,
∴GMD=∠GDM,
∴GM=GD=1,
过C作CH⊥AB于H,
由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG,AH=,
∴CG=MH=﹣1,
∴S△ACG=CG×CH=,
∵S△DEG=,
∴S△ACG:S△DEG=.
22(2017浙江台州).如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.
【考点】MA:三角形的外接圆与外心;KW:等腰直角三角形.
【分析】(1)只要证明∠AEP=∠ABP=45°,∠PAB=90°即可解决问题;
(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,则四边形PMAN是矩形,可得PM=AN,由△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,推出PC=PM,PB=PN,可得PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4;
【解答】(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠AEP=∠ABP=45°,
∵PE是直径,
∴∠PAB=90°,
∴∠APE=∠AEP=45°,
∴AP=AE,
∴△PAE是等腰直角三角形.
(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,则四边形PMAN是矩形,
∴PM=AN,
∵△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,
∴PC=PM,PB=PN,
∴PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.
23(2017浙江杭州).如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
ɑ
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:
(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.
【分析】(1)由圆周角定理即可得出β=α+90°,然后根据D是BC的中点,DE⊥BC,可知∠EDC=90°,由三角形外角的性质即可得出∠CED=α,从而可知O、A、E、B四点共圆,由圆内接四边形的性质可知:∠EBO+∠EAG=180°,即γ=﹣α+180°;
(2)由(1)及γ=135°可知∠BOA=90°,∠BCE=45°,∠BEC=90°,由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,所以,根据勾股定理即可求出AE、AC的长度,从而可求出AB的长度,再由勾股定理即可求出⊙O的半径r;
【解答】解:(1)猜想:β=α+90°,γ=﹣α+180°
连接OB,
∴由圆周角定理可知:2∠BCA=360°﹣∠BOA,
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB=α,
∴∠BOA=180°﹣2α,
∴2β=360°﹣(180°﹣2α),
∴β=α+90°,
∵D是BC的中点,DE⊥BC,
∴OE是线段BC的垂直平分线,
∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED,
∴β=90°+∠CED,
∴∠CED=α,
∴∠CED=∠OBA=α,
∴O、A、E、B四点共圆,
∴∠EBO+∠EAG=180°,
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°,
∴γ+α=180°;
(2)当γ=135°时,此时图形如图所示,
∴α=45°,β=135°,
∴∠BOA=90°,∠BCE=45°,
由(1)可知:O、A、E、B四点共圆,
∴∠BEC=90°,
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,
∴,
∴,
设CE=3x,AC=x,
由(1)可知:BC=2CD=6,
∵∠BCE=45°,
∴CE=BE=3x,
∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62,
x=,
∴BE=CE=3,AC=,
∴AE=AC+CE=4,
在Rt△ABE中,
由勾股定理可知:AB2=(3)2+(4)2,
∴AB=5,
∵∠BAO=45°,
∴∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,设半径为r,
由勾股定理可知:AB2=2r2,
∴r=5,
∴⊙O半径的长为5.
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
26、(2017•宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.
(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B= ∠D,
∠C= ∠A,求∠B与∠C的度数之和;
(1) 如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,
(2) 使得BD=BO.∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE
(3) 并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.
(4)
(5) 求证:四边形DBCF是半对角四边形;
(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,
交BC于点G.当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.
(1)解:在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴3∠B+3∠C=360°.
∴∠B+∠C=120°.
即∠B与∠C的度数之和120°.
(2)证明:在△BED和△BEO中,
.
∴△BED≌△BEO(SAS).
∴∠BDE=∠BOE.
又∵∠BCF=∠BOE.
∴∠BCF=∠BDE.
如下图,连结OC.
设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=.
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.
∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.
∴四边形DBCF是半对角四边形.
(3)解:如下图,作过点OM⊥BC于点M.
∵四边形DBCF是半对角四边形,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∴∠BAC=60°.
∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°.
∴BC=2BM=BO=BD.
∵DG⊥OB,
∴∠HGB=∠BAC=60°.
∵∠DBG=∠CBA,
∴△DBG△CBA.
∴=2=.
∵DH=BG,BG=2HG.
∴DG=3HG.
∴=
∴=.
【考点】三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A;根据四边形的内角和为360°,得出∠B与∠C的度数之和.
(2)如图连接OC,根据条件先证△BED≌△BEO,再根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠BOE=∠BDE;设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2;再根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA=, 根据三角形内角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2;从而得证.
(3)如下图,作过点OM⊥BC于点M,由四边形DBCF是半对角四边形,得出∠ABC+∠ACB=120°,∠BAC=60°.∠BOC=2∠BAC=120°;再由OB=OC,得出∠OBC=∠OCB=30°.BC=2BM=BO=BD;根据△DBG~△CBA得出答案.
22、(2017·金华)(本题10分) 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ,求线段EF的长.
(1)解:∵直线与⊙O相切,
∴OC⊥CD;
又∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC平分∠DAO.
(2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,
∵OC=2,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT△OGE中,∠E=30°,
∴GE=2,
∴EF=GE-FG=2-2.
【考点】平行线的判定与性质,三角形内角和定理,角平分线的性质,等腰三角形的性质,切线的性质
【解析】【分析】(1)利用了切线的性质,平行线的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定即可得证。
(2)①根据(1)得出的AD//OC,从而得出同位角相等,再利用三角形的内角和定理即可求出答案;②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE,从而求出EF=GE-FG.
19(2017浙江衢州).如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.
(1)求证:△COD∽△CBE.
(2)求半圆O的半径r的长.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;MC:切线的性质.
【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO,再由∠C=∠C,得出△COD∽△CBE.
(2)由勾股定理求出BC==15,由相似三角形的性质得出比例式,即可得出答案.
【解答】(1)证明:∵CD切半圆O于点D,
∴CD⊥OD,
∴∠CDO=90°,
∵BE⊥CD,
∴∠E=90°=∠CDO,
又∵∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2)解:在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,
∴BC==15,
∵△COD∽△CBE.
∴,即,
解得:r=.