山东省淄博市中考数学试卷含答案解析 26页

‎2017年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎1．（4分）（2017•淄博）﹣的相反数是（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】14：相反数．‎ ‎【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵﹣与是只有符号不同的两个数，‎ ‎∴﹣的相反数是．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2017•淄博）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（　　）‎ A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将100万用科学记数法表示为：1×106．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2017•淄博）下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U1：简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，‎ ‎∴A不符合题意；‎ B、正方体的主视图为正方形，‎ ‎∴B不符合题意；‎ C、球体的主视图为圆形，‎ ‎∴C不符合题意；‎ D、圆锥的主视图为三角形，‎ ‎∴D符合题意．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2017•淄博）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5‎ C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2‎ ‎【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；‎ B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误；‎ C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确；‎ D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2017•淄博）若分式的值为零，则x的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．2‎ ‎【考点】63：分式的值为零的条件．‎ ‎【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵分式的值为零，‎ ‎∴|x|﹣1=0，x+1≠0，‎ 解得：x=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2017•淄博）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【考点】4C：完全平方公式．‎ ‎【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解．‎ ‎【解答】解：∵a+b=3，‎ ‎∴（a+b）2=9，‎ ‎∴a2+2ab+b2=9，‎ ‎∵a2+b2=7，‎ ‎∴7+2ab=9，‎ ‎∴ab=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2017•淄博）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　）‎ A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2‎ ‎【考点】H6：二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．‎ ‎【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，‎ ‎∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1﹣2）2﹣2=（x﹣1）2﹣2，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0‎ ‎【考点】AA：根的判别式．‎ ‎【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，‎ 解得k＞﹣1且k≠0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2017•淄博）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π ‎【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形．‎ ‎【分析】如图，连接CD，OD，根据已知条件得到OB=2，∠B=45°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：如图，连接CD，OD，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴OB=2，‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴∠COD=90°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=2×2+=2+π，‎ 故选A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2017•淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；15：绝对值．‎ ‎【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：画树状图如下：‎ 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，‎ ‎∴两人“心领神会”的概率是=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2017•淄博）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】E6：函数的图象．‎ ‎【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．‎ ‎【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，‎ 当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=，据此得出EF=DF﹣DE=．‎ ‎【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，‎ ‎∵EF∥BC、∠ABC=90°，‎ ‎∴FD⊥AB，‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴四边形BDEG是矩形，‎ ‎∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，‎ ‎∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，‎ ‎∴四边形BDEG是正方形，‎ 在△DAE和△HAE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DAE≌△HAE（SAS），‎ ‎∴AD=AH，‎ 同理△CGE≌△CHE，‎ ‎∴CG=CH，‎ 设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，‎ ‎∵AC===10，‎ ‎∴6﹣x+8﹣x=10，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴BD=DE=2，AD=4，‎ ‎∵DF∥BC，‎ ‎∴△ADF∽△ABC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：DF=，‎ 则EF=DF﹣DE=﹣2=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13．（4分）（2017•淄博）分解因式：2x3﹣8x=　2x（x﹣2）（x+2）　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．‎ ‎【解答】解：2x3﹣8x，‎ ‎=2x（x2﹣4），‎ ‎=2x（x+2）（x﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．‎ 运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　0　．‎ ‎【考点】AB：根与系数的关系．‎ ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，‎ 所以原式=a（α+β）﹣3α ‎=3α﹣3α ‎=0．‎ 故答案为0．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•淄博）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：‎ 则计算器显示的结果是　﹣959　．‎ ‎【考点】1M：计算器—基础知识．‎ ‎【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：（3.5﹣4.5）×312+=﹣959，‎ 故答案为：﹣959．‎ ‎【点评】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　2　．‎ ‎【考点】KK：等边三角形的性质．‎ ‎【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2．‎ ‎【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴AG=AB=2，‎ 连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，‎ ‎∴AB•DE+AC•DF=BC•AG，‎ ‎∵AB=AC=BC=4，‎ ‎∴DE+DF=AG=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2017•淄博）设△ABC的面积为1．‎ 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．‎ 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；‎ 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；‎ ‎…‎ 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=　　．‎ ‎【考点】38：规律型：图形的变化类；K3：三角形的面积．‎ ‎【分析】先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1∥AB，D1E1=AB，可得△CD1E1∽△CBA，且==，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=S△ABC=，依据E1是BC的中点，即可得出S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，据此可得S1=；运用相同的方法，依次可得S2=，S2=‎ ‎；根据所得规律，即可得出四边形CDnEnFn，其面积Sn=+×n×，最后化简即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，‎ ‎∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，‎ ‎∴D1E1∥AB，D1E1=AB，‎ ‎∴△CD1E1∽△CBA，且==，‎ ‎∴S△CD1E1=S△ABC=，‎ ‎∵E1是BC的中点，‎ ‎∴S△BD1E1=S△CD1E1=，‎ ‎∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，‎ ‎∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=，‎ 同理可得：‎ 图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2=+=，‎ 图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3=+=，‎ 以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn，‎ 其面积Sn=+×n×=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共52分）‎ ‎18．（5分）（2017•淄博）解不等式：≤．‎ ‎【考点】C6：解一元一次不等式．‎ ‎【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．‎ ‎【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．‎ ‎【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），‎ 去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，‎ 移项合并得：5x≤20，‎ 解得：x≤4．‎ ‎【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）（2017•淄博）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．‎ ‎【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AB=DC．‎ ‎∴∠BAE=∠DCF．‎ 在△AEB和△CFD中，，‎ ‎∴△AEB≌△CFD（SAS）．‎ ‎∴BE=DF．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2017•淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用．‎ ‎【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．‎ ‎【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，‎ 根据题意得：﹣=2，‎ 解得：x=70‎ 经检验：x=70是原方程的解．‎ 答：汽车原来的平均速度70km/h．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2017•淄博）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：‎ 空气污染指数（ω）‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎ 70‎ ‎ 80‎ ‎ 90‎ ‎ 110‎ ‎ 120‎ ‎ 140‎ ‎ 天数（t）‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ ‎ 7‎ ‎ 6‎ ‎ 4‎ ‎ 2‎ 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…‎ 根据上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数　90　，中位数　90　；‎ ‎（2）请补全空气质量天数条形统计图：‎ ‎（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；‎ ‎（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？‎ ‎【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数．‎ ‎【分析】（1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90，由30各数据中排在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90；‎ ‎（2）根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可；‎ ‎（3）由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；‎ ‎（4）先求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；‎ 故答案为：90，90．‎ ‎（2）由题意，得 轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．‎ ‎（3）由题意，得 优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，‎ 良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，‎ 轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°‎ ‎（4）该市居民一年（以365天计）中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．‎ ‎【点评】本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2017•淄博）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）‎ ‎（1）求这个反比例函数的表达式；‎ ‎（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△‎ EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．‎ ‎①求OF的长；‎ ‎②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．‎ ‎【考点】GB：反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由D点坐标可求得k的值，可求得反比例函数的表达式；‎ ‎（2）①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，则可求得E点坐标，从而可求得OF的长；②由条件可证得△AOF≌△FGE，则可证得AF=EF=AB，且∠EFA=∠FAB=90°，则可证得四边形ABEF为正方形．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D（3，1），‎ ‎∴k=3×1=3，‎ ‎∴反比例函数表达式为y=；‎ ‎（2）①∵D为BC的中点，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∵△ABC与△EFG成中心对称，‎ ‎∴△ABC≌△EFG，‎ ‎∴GF=BC=2，GE=AC=1，‎ ‎∵点E在反比例函数的图象上，‎ ‎∴E（1，3），即OG=3，‎ ‎∴OF=OG﹣GF=1；‎ ‎②如图，连接AF、BE，‎ ‎∵AC=1，OC=3，‎ ‎∴OA=GF=2，‎ 在△AOF和△FGE中 ‎∴△AOF≌△FGE（SAS），‎ ‎∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，‎ ‎∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，‎ ‎∴EF∥AB，且EF=AB，‎ ‎∴四边形ABEF为平行四边形，‎ ‎∴AF=EF，‎ ‎∴四边形ABEF为菱形，‎ ‎∵AF⊥EF，‎ ‎∴四边形ABEF为正方形．‎ ‎【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得E点坐标是解题的关键，在（2）②中证得△AOF≌△FGE是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2017•淄博）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．‎ ‎（1）求证：△BFN∽△BCP；‎ ‎（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；‎ ‎②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．‎ ‎【考点】MR：圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；‎ ‎（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；‎ ‎②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．‎ ‎【解答】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，‎ ‎∴MN垂直平分线段BP，‎ ‎∴∠BFN=90°．‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠C=90°．‎ ‎∵∠FBN=∠CBP，‎ ‎∴△BFN∽△BCP．‎ ‎（2）解：①‎ 在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．‎ ‎②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．‎ ‎∵△MDP为直角三角形，‎ ‎∴AP为⊙O的直径，‎ ‎∵BM与⊙O相切，‎ ‎∴MP⊥BM．‎ ‎∵MB=MP，‎ ‎∴△BMP为等腰直角三角形．‎ ‎∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，‎ ‎∴∠PMD=∠MBA．‎ 在△ABM和△DMP中，，‎ ‎∴△ABM≌△DMP（AAS），‎ ‎∴DM=AB=4，DP=AM．‎ 设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，‎ BM==2．‎ ‎∵BM=MP=2OE，‎ ‎∴2=2×（4﹣a），‎ 解得：a=，‎ ‎∴DP=2a=3．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻折的性质，找出∠C=90°=∠BFN；（2）①利用尺规作图，画出⊙O；②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2017•淄博）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；‎ ‎（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；‎ ‎（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；‎ ‎（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵B（2，t）在直线y=x上，‎ ‎∴t=2，‎ ‎∴B（2，2），‎ 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；‎ ‎（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，‎ ‎∵点C是抛物线上第四象限的点，‎ ‎∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），‎ ‎∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，‎ ‎∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，‎ ‎∵△OBC的面积为2，‎ ‎∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，‎ ‎∴C（1，﹣1）；‎ ‎（3）存在．‎ 设MB交y轴于点N，如图1，‎ ‎∵B（2，2），‎ ‎∴∠AOB=∠NOB=45°，‎ 在△AOB和△NOB中 ‎∴△AOB≌△NOB（ASA），‎ ‎∴ON=OA=，‎ ‎∴N（0，），‎ ‎∴可设直线BN解析式为y=kx+，‎ 把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，‎ ‎∴直线BN的解析式为y=x+，‎ 联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴M（﹣，），‎ ‎∵C（1，﹣1），‎ ‎∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），‎ ‎∴OB=2，OC=，‎ ‎∵△POC∽△MOB，‎ ‎∴==2，∠POC=∠BOM，‎ 当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，‎ ‎∵∠COA=∠BOG=45°，‎ ‎∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，‎ ‎∴△MOG∽△POH，‎ ‎∴===2，‎ ‎∵M（﹣，），‎ ‎∴MG=，OG=，‎ ‎∴PH=MG=，OH=OG=，‎ ‎∴P（，）；‎ 当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，‎ 同理可求得PH=MG=，OH=OG=，‎ ‎∴P（﹣，）；‎ 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎