重庆市中考数学知识点总复习以及大题分解 87页

‎ ‎ ‎ 试卷结构 1、 内容结构与比例： 数与代数 50% 空间与图形 35% 统计与概率 15%‎ 二、考试内容与要求 数与代数 ‎ 一、有理数 1、 有理数 有理数的意义，会比较有理数的大小 ‎ 2、 借助数轴理解相反数绝对值的意义，会求相反数与绝对值 3、 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算 4、 运用有理数运算律简化运算，并解决简单问题 二、实数 1、 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根 2、 了解开方与乘方互为逆运算，知道实数与数轴上的点一一对应 3、 用有理数估计一个无理数的大致范围 4、 了解近似数的概念并会进行近似数的运算 5、 了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关的实数的简单四则运算（不要求分母有理化）‎ 三、代数式 1、 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示 2、 会求代数式的值，能根据简单的实际问题，探索所需的公式，并会进行计算 四、整式与分式 1、 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数 ‎2、了解正式的概念，会进行简单的正式加减运算，会进行简单的整式乘法运算 ‎3、会推导乘法公式：（a+b）（a—b）=a2-b2 （a+b）2=a2+2ab+b2，并能进行简单计算 ‎4、会提公因式、分式法进行因式分解 ‎5、了解分式的概念，会运用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加减乘除运算 方程与不等式 1、 能够用等式表示具体问题中的数量关系 2、 用观察、画图等的手段估计方程解的过程 3、 会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程 4、 理解配方法 5、 根据具体问题实际意义，检验结果是否合理 6、 能用不等式表示具体问题中的大小关系 7、 会解简单的一元一次方程不等式（不等式组），并能在数轴上表示出解集 8、 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题 函数 1、 了解函数的概念和3中表示方法 2、 结合图像，对简单实际问题中的函数关系进行分析 3、 能确定自变量的取值范围，并求出函数值 1、 结核函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测 2、 根据已知条件确定函数的表达式 3、 会画一次函数的图像 并理解kx+b=y（k不等于0）的性质 4、 理解正比例函数 5、 用一次函数结局实际问题 6、 会用描点法画出二次函数的图像，并从图像上认识二次函数的性质 空间与图形 1、 会比较角的大小，认识度分秒，并进行简单换算 2、 了解平行线及其性质 3、 了解补角、余角对顶角 4、 了解垂线、垂线段的概念 5、 会做垂线 6、 了解垂直平分线及其性质 7、 了解三角形的有关性质（内角、外角、中线、高、角平分线），了解三角形的稳定性质 8、 了解全等三角形的概念 9、 了解等腰三角形的相关概念 10、 了解直角三角形的概念 11、 会用勾股定理解决问题 12、 了解四边形的概念 13、 等腰梯形 14、 圆（弧、玄、圆心角），了解点与圆、直线与圆的位置关系 15、 圆心角、圆周角 16、 三角形的内心与外心 17、 了解切线 18、 计算弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 19、 会做线段、角、角平分线、线段垂直平分线 20、 做三角形 21、 作圆 22、 判断简单物体的三视图及其侧面展开图 23、 轴对称 24、 作轴对称 25、 图形的平移 26、 图形的旋转 27、 图形的相似 28、 图形与坐标 29、 证明 概率与统计 1、 统计：个体、样本 2、 扇形统计图表示数据 3、 加权平均数 4、 会计算极差、方差，并明确其意义 5、 计算简单事件发生的频率 ‎ ‎ ‎ ‎ 第一章 数与代数 ‎ ‎ ‎ 第二章 方程与不等式 ‎ 第三章 函数 第四章 空间与图形 第五章 概率与统计 ‎ 第一章 数与代数 考点一、有理数 ‎1.有理数：‎ ‎(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0‎ 即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；‎ ‎(2)有理数的分类: ① ② ‎ ‎(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；‎ ‎2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.‎ ‎3．相反数：‎ ‎(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；‎ ‎(2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；‎ ‎(3)相反数的和为‎0 Û a+b=‎0 Û a、b互为相反数.（相反数的证明）‎ ‎4.绝对值：‎ ‎(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；‎ ‎(2)绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；‎ ‎(3)；；‎ ‎(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|,.‎ ‎5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.‎ ‎6.有理数加法法则：‎ ‎（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；‎ ‎（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；‎ ‎（3）一个数与0相加，仍得这个数.‎ ‎7．有理数加法的运算律：‎ ‎（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.‎ ‎8．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.‎ ‎9.有理数乘法法则：‎ ‎（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；‎ ‎（2）任何数同零相乘都得零；‎ ‎（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.‎ ‎10.有理数乘法的运算律：‎ ‎（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；‎ ‎（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .‎ ‎11．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.‎ ‎12．有理数乘方的法则：‎ ‎（1）正数的任何次幂都是正数；‎ ‎（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n.‎ ‎13．乘方的定义：‎ ‎（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；‎ ‎（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；‎ ‎（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=‎0Ûa=0,b=0；‎ ‎14.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.‎ ‎15.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.‎ 考点二、实数 ‎ 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。‎ 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 正数a的平方根记做“”。‎ ‎2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。‎ 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎ （0） ‎ ‎ ；注意的双重非负性：‎ ‎-（<0） 0‎ ‎3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。‎ 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ ‎4、近似数 ‎（1）有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。‎ ‎（2）、科学记数法 把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。‎ 考点三、代数式 1、 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示 2、 会求代数式的值，能根据简单的实际问题，探索所需的公式，并会进行计算 考点四、整式的有关概念 ‎ ‎1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。‎ ‎2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。‎ 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。‎ 考点五、多项式 【重庆近几年中考必考试题，该类题型主要考察考生的综合运用能力。非常简单，但必须细心和把该记住的知识点记牢】‎ ‎1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。‎ 单项式和多项式统称整式。‎ 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。‎ 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。‎ ‎ （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。‎ ‎2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。‎ ‎3、去括号法则 ‎（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。‎ ‎（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。‎ ‎4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。‎ 整式的乘法：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整式的除法：‎ 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。‎ ‎（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。‎ ‎（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。‎ ‎（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。‎ ‎（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。‎ ‎（6）‎ ‎（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。‎ 考点六、因式分解 ‎1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。‎ ‎2、因式分解的常用方法 ‎（1）提公因式法：‎ ‎（2）运用公式法：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）分组分解法：‎ ‎3、因式分解的一般步骤：‎ ‎（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。‎ ‎（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 ‎（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。‎ 考点七、分式 ‎ ‎1、分式的概念 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。‎ ‎2、分式的性质 ‎（1）分式的基本性质：‎ 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。‎ ‎（2）分式的变号法则：‎ 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。‎ ‎3、分式的运算法则 考点八、二次根式 ‎ ‎1、二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。‎ ‎2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。‎ 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：‎ ‎（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。‎ ‎（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。‎ ‎3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。‎ ‎4、二次根式的性质 ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。‎ ‎ ‎ ‎ 第二章 方程（组）与不等式（组）‎ 考点一、一元一次方程的概念 ‎ ‎1、方程 含有未知数的等式叫做方程。‎ ‎2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。‎ ‎3、等式的性质 ‎（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。‎ ‎（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。‎ ‎4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数，x的系数，b是常数项。‎ 考点二、一元二次方程 ‎ ‎1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。‎ ‎2、一元二次方程的一般形式 ‎，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。‎ 考点三、一元二次方程的解法 【2012年重庆市中考只要求能用求根公式解题】‎ ‎1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。‎ ‎2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。‎ ‎3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。‎ 一元二次方程的求根公式：‎ ‎4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。‎ 考点四、一元二次方程根的判别式 ‎ ‎ 1、根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 ‎ 考点五、分式方程 ‎ ‎1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。‎ ‎2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：‎ ‎（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 ‎（2）解所得的整式方程 这是同学们考试是最容易忽略的，解分式方程一定注意要验根 ‎（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 ‎ ‎3、分式方程的特殊解法 换元法：‎ 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。‎ 考点六、二元一次方程组 ‎ ‎1、二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。‎ ‎2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。‎ ‎3、二元一次方程组 两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。‎ ‎4二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。‎ ‎5、二元一次方正组的解法 ‎（1）代入法（2）加减法 ‎6、三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。‎ ‎7、三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。‎ ‎ 考点七、不等式的概念 ‎ ‎ 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。‎ ‎2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。‎ 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。‎ 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。‎ ‎3、用数轴表示不等式的方法 （注意：在数轴上表示不等式时，有等于用实心小圆点表示，没有等于用空心小圆点表示）‎ 考点八、不等式基本性质 ‎ ‎ 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。‎ ‎2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。‎ ‎3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。‎ 考点九、一元一次不等式 ‎ ‎ 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。‎ ‎2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤：‎ ‎（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1‎ 考点十、一元一次不等式组 ‎ ‎ 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。‎ 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。‎ 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。‎ 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。‎ ‎2、一元一次不等式组的解法 ‎（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 ‎（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。（常见题型）‎ ‎ 第三章 函数 ‎ 一次函数、反比例函数、二次函数 考点一、平面直角坐标系 ‎ 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。‎ 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。‎ 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。‎ 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。‎ ‎2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。‎ 考点二、不同位置的点的坐标的特征 ‎ ‎ 1、各象限内点的坐标的特征 ‎ 点P(x,y)在第一象限 点P(-x,y)在第二象限 点P(-x,-y)在第三象限 点P(x,-y)在第四象限 ‎2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）‎ ‎3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ‎4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。‎ 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。‎ ‎5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 ‎6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：‎ ‎（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 ‎（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 ‎（3）点P(x,y)到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念 ‎ ‎ 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。‎ 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。‎ ‎2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。‎ 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。‎ ‎3、函数的三种表示法及其优缺点 ‎（1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。‎ ‎（2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。‎ ‎（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。‎ ‎4、由函数解析式画其图像的一般步骤 ‎（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 ‎（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 ‎（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。‎ 考点四、正比例函数和一次函数 ‎ 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。‎ 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。‎ ‎2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 ‎3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：‎ 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。‎ ‎4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；‎ ‎（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。‎ ‎5、一次函数和正比例函数的性质 一般地，一次函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，y随x的增大而增大 ‎（2）当k<0时，y随x的增大而减小 ‎6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。‎ 考点五、反比例函数 ‎ ‎ 1、反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。‎ ‎2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。‎ ‎3、反比例函数的性质 ‎4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。‎ ‎5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。‎ ‎。‎ 考点六、二次函数的概念和图像 ‎ ‎ 1、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。‎ 叫做二次函数的一般式（或标准式）。‎ ‎2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。‎ 抛物线的主要特征：‎ ‎①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。‎ ‎3、二次函数图像的画法 五点法：‎ ‎（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 ‎（2）求抛物线与坐标轴的交点：‎ 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。‎ 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。‎ 考点七、二次函数的解析式 ‎ 二次函数的解析式有三种形式：‎ ‎（1）一般式：‎ ‎（2）顶点式：‎ ‎（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程 有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。‎ 考点八、二次函数的最值 ‎ 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。‎ 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。‎ 考点九、二次函数的性质 ‎ ‎1、二次函数的性质 ‎2、二次函数标准式中a 、b、 c与图像的关系 ‎ ‎ ‎ 3、二次函数的解析式有三种形式：‎ ‎ （1）、一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)‎ ‎ （2）顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0)‎ ‎ （3）两根式：y= a(x-x1)(x-x2) (a, x1，, x2是常数,a≠0) ‎ ‎ 【链接】 ‎ ‎（1）当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一般式，列出三元一次方程组求出待定系数。‎ ‎（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求出待定系数。‎ ‎（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设解析式为两根式，求出待定系数。‎ ‎4、二次函数与一元二次方程的关系 ‎【注意】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。‎ 当>0时，图像与x轴有两个交点；‎ 当=0时，图像与x轴有一个交点；‎ 当<0时，图像与x轴没有交点。‎ ‎ 5、函数平移规律：左加右减、上加下减 ‎ ‎ ‎ 第四章 空间与图形 考点一、直线、射线和线段 ‎ ‎ 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。‎ 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。‎ 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。‎ ‎2、点、线、面、体 ‎（1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。‎ 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。‎ 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。‎ 体：几何体也简称体。‎ ‎（2）点动成线，线动成面，面动成体。‎ ‎3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。‎ ‎4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。‎ ‎5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。‎ ‎6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。‎ 一个点可以用一个大写字母表示。‎ 一条直线可以用一个小写字母表示。‎ 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。‎ 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。‎ ‎ 【注意：】‎ ‎（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。‎ ‎（2）直线和射线无长度，线段有长度。‎ ‎（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。‎ ‎（4）点和直线的位置关系有线面两种：‎ ‎①点在直线上，或者说直线经过这个点。‎ ‎②点在直线外，或者说直线不经过这个点。‎ ‎7、直线的性质 ‎（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。‎ ‎（2）过一点的直线有无数条。‎ ‎（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。‎ ‎（4）直线上有无穷多个点。‎ ‎（5）两条不同的直线至多有一个公共点。‎ ‎8、线段的性质 ‎（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。‎ ‎（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ ‎（3）线段的中点到两端点的距离相等。‎ ‎（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。‎ ‎9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。‎ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。‎ 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ 考点二、角 ‎ ‎1、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。‎ 当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。‎ 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。‎ 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。‎ 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。‎ ‎2、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：‎ ‎①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。‎ ‎②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。‎ ‎③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。‎ ‎④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。‎ 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。‎ ‎3、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。‎ 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。‎ 把‎1’‎ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。‎ ‎1°=‎60’‎=‎‎60”‎ ‎4、角的性质 ‎（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。‎ ‎（2）角的大小可以度量，可以比较 ‎（3）角可以参与运算。‎ ‎5、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。‎ 角的平分线有下面的性质定理：‎ ‎（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。‎ 考点三、相交线 ‎ ‎1、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。‎ 临补角互补，对顶角相等。‎ 直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。‎ ‎2、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。‎ 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。‎ 垂线的性质：‎ 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。‎ 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。‎ 考点四、平行线 ‎ ‎ 1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。‎ 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。‎ ‎【注意：】‎ ‎（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。‎ ‎（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。‎ ‎2、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ ‎3、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。‎ 平行线的两条判定定理：‎ ‎（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。‎ ‎（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。‎ 补充平行线的判定方法：‎ ‎（1）平行于同一条直线的两直线平行。‎ ‎（2）垂直于同一条直线的两直线平行。‎ ‎（3）平行线的定义。‎ ‎4、平行线的性质 ‎（1）两直线平行，同位角相等。‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等。‎ ‎（3）两直线平行，同旁内角互补。‎ 考点五、命题、定理、证明 ‎ ‎ 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 理解：命题的定义包括两层含义：‎ ‎（1）命题必须是个完整的句子；‎ ‎（2）这个句子必须对某件事情做出判断。‎ ‎2、命题的分类（按正确、错误与否分）‎ ‎ 真命题（正确的命题）‎ 命题 ‎ 假命题（错误的命题）‎ 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。‎ 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。‎ ‎3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。‎ ‎4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。‎ ‎5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。‎ ‎6、证明的一般步骤 ‎（1）根据题意，画出图形。‎ ‎（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。‎ ‎（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。‎ 考点六、投影与视图 ‎ ‎ 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。‎ 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。‎ 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。‎ ‎2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。‎ 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。‎ 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。‎ 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。‎ ‎3、物体三视图摆放位置： 上左：主视图 上右：左视图 下左：俯视图。‎ 考点七、三角形 【近几年重庆市中考重点加难点】 ‎ ‎ 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。‎ ‎2、三角形中的主要线段 ‎（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。‎ ‎4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性：‎ ‎（1）三角形有三条线段 ‎（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 ‎（3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。‎ ‎5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：‎ ‎ 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 ‎ 等腰三角形 ‎ 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：‎ ‎ 直角三角形（有一个角为直角的三角形）‎ 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）‎ ‎ 斜三角形 ‎ 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）‎ 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。‎ ‎6、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎【注意：】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ ‎8、三角形的面积 三角形的面积=×底×高 考点八、全等三角形 【近几年重庆市中考易得分点，注意证题、解题格式】‎ ‎ 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。‎ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。‎ ‎2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。‎ 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。‎ ‎3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：‎ ‎（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）‎ ‎（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。‎ 直角三角形全等的判定：‎ 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）‎ ‎4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。‎ 全等变换包括一下三种：‎ ‎（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。‎ ‎（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。‎ ‎（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。‎ 考点九、等腰三角形 ‎ ‎ 1、等腰三角形的性质 ‎（1）等腰三角形的性质定理及推论：‎ 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）‎ 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。‎ 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。‎ ‎（2）等腰三角形的其他性质：‎ ‎①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°‎ ‎②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。‎ ‎③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则r点P在⊙O外。‎ 考点二十七、过三点的圆 ‎ ‎ 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。‎ ‎2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。‎ ‎3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。‎ ‎4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）‎ ‎ 圆内接四边形对角互补。‎ 考点二十八、反证法 ‎ 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 ‎ ‎【注意：答题模式：先否定结论】‎ 考点二十九、直线与圆的位置关系 ‎ 直线和圆有三种位置关系，具体如下：‎ ‎（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；‎ ‎（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，‎ ‎（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。‎ 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：‎ 直线l与⊙O相交dr；‎ 考点三十、切线的判定和性质 ‎ ‎ 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ 考点三十一、切线长定理 ‎ ‎ 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。‎ ‎2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ 考点三十二、三角形的内切圆 ‎ ‎ 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。‎ ‎2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。‎ 考点三十三、圆和圆的位置关系 ‎ ‎ 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。‎ 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。‎ 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。‎ ‎2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。‎ ‎3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rr）‎ 两圆内含dr）‎ ‎4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。‎ 考点三十五、正多边形和圆 ‎ ‎ 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。‎ ‎2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。‎ 考点三十六、与正多边形有关的概念 ‎ 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。‎ ‎2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。‎ ‎3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。‎ ‎4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。‎ 考点三十七、正多边形的对称性 ‎ ‎ 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。‎ ‎2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。‎ ‎3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。‎ 考点三十八、弧长和扇形面积 ‎ ‎ 1、弧长公式 n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 ‎2、扇形面积公式 其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。‎ ‎3、圆锥的侧面积 其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。‎ 考点三十九、平移 ‎ ‎ 1、定义 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。‎ ‎2、性质 ‎（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动 ‎（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。‎ 考点四十、轴对称 ‎ ‎ 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。‎ ‎2、性质 ‎（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。‎ ‎（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。‎ ‎（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。‎ ‎3、判定 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。‎ ‎4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。‎ 考点四十五、旋转 【最新考纲不要求深程度掌握此知识点，考试也不会出现分值较大的题型】‎ ‎ 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。‎ ‎2、性质 ‎（1）对应点到旋转中心的距离相等。‎ ‎（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。‎ 考点四十六、中心对称 ‎ ‎ 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。‎ ‎2、性质 ‎（1）关于中心对称的两个图形是全等形。‎ ‎（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。‎ ‎（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。‎ ‎3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。‎ ‎4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。‎ 考点五、坐标系中对称点的特征 （3分）‎ ‎ 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）‎ ‎2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）‎ ‎3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）‎ ‎ ‎ ‎ 第五章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 ‎ ‎ 1、平均数的概念 ‎（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。‎ ‎（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。‎ ‎2、平均数的计算方法 ‎（1）定义法 当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：‎ ‎（2）加权平均数法：‎ 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。‎ ‎（3）新数据法：‎ 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。‎ 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，‎ ‎，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。‎ 考点二、统计学中的几个基本概念 ‎ ‎ 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。‎ ‎2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。‎ ‎3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。‎ ‎4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 【注意：在统计中只有样本容量不能带单位，其他量均要带单位】‎ ‎5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。‎ ‎6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。‎ 考点三、众数、中位数 ‎ ‎ 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。‎ ‎2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。‎ 考点四、方差 ‎ ‎ 1、方差的概念 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 ‎ ‎ ‎2、方差的计算 ‎（1）基本公式：‎ ‎（2）简化计算公式（Ⅰ）：‎ 也可写成 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。‎ ‎（3）简化计算公式（Ⅱ）：‎ 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，‎ 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。‎ ‎（4）新数据法：‎ 原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。‎ ‎3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 考点五、频率分布 ‎ ‎ 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。‎ ‎2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 ‎（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：‎ ‎①计算极差（最大值与最小值的差）‎ ‎②决定组距与组数 ‎③决定分点 ‎④列频率分布表 ‎⑤画频率分布直方图 ‎（2）频率分布的有关概念 ‎①极差：最大值与最小值的差 ‎②频数：落在各个小组内的数据的个数 ‎③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。‎ 考点六、确定事件和随机事件 ‎ ‎ 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。‎ 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。‎ ‎2、随机事件：‎ 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。‎ 考点七、随机事件发生的可能性 ‎ 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。‎ 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。‎ 考点八、概率的意义与表示方法 ‎ ‎ 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。‎ ‎2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 ‎ ‎ 1、确定事件概率 ‎（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1‎ ‎（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0‎ ‎2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 ‎0 1概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、古典概型 ‎ ‎ 1、古典概型的定义 某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。‎ ‎2、古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=‎ 考点十一、列表法求概率 ‎ ‎ 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。‎ ‎2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。‎ 考点十二、树状图法求概率 ‎ ‎ 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。‎ ‎2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。‎ 考点十三、利用频率估计概率 ‎ 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。‎ ‎2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。‎ ‎3、随机数 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。‎ ‎2012重庆中考复习第24题训练 ‎1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎ ‎ ‎2. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．‎ ‎（1）当CE=1时，求△BCE的面积；‎ ‎（2）求证：BD=EF+CE．‎ ‎ ‎ ‎3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥‎ BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AG=BF；‎ ‎（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．‎ ‎4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．（1）求证：BE=BF；‎ ‎（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．‎ ‎5.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．‎ ‎ ‎ ‎6.（重庆一中2011五月）如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 点E在BC上，AE＝BE，且AF⊥AB，连接EF.(1) 若EF⊥AF，AF＝4，AB＝6，求AE的长．(2) 若点F是CD的中点, 求证：CE=BEAD ‎7.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.⑴求证：△ABE≌△CFB;⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.‎ A B D E C F ‎8.（2011育才中学）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．‎ ‎⑴求证：AB=BE；⑵延长BE，交CD于F．若CE=，tan∠CDE=，求BF的长．‎ ‎9.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．‎ ‎10直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值． ‎ ‎11.已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．‎ ‎12. (2011永州)探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，‎ 图①‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．‎ 即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎⑵方法迁移：‎ 图②‎ 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ 图③‎ ‎13．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：‎ ‎（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．‎ ‎（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．‎ ‎14.（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；‎ ‎（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN2=BM2+DN2．‎ ‎15.已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．‎ ‎（1）求证：∠DAE=∠DCE；‎ ‎（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．‎ ‎16.（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．‎ ‎17.（2011巴蜀一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE=12∠BCD．‎ ‎（1）求证：BF=EF-ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ ‎ ‎ ‎18.如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．‎ ‎（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；‎ ‎（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎19.已知，如图，，点E是AB上的点，，连接ED，过D作于F. ‎ ‎(1)若，求梯形ABCD的周长.‎ ‎(2)求证：；‎ ‎20.已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED=FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分GBC交FC于H，连接DH。‎ ‎（1）求证：ED⊥FC；‎ ‎（2）求证：是等腰直角三角形 ‎21.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎22.如图，四边形ABCD与四边形AEGF均为正方形，点E、F分别在AB、CD上．延长EG交CD于点M．连接BG、FM．‎ ‎（1）请你确定BG与FM的关系，并说明你的理由；‎ ‎（2）若点H在AB上，且BH=EA，连接MH，交BG于点P，求∠MPG的度数．‎ ‎2012年重庆中考复习第24题训练 ‎1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE。（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；‎ ‎（2）证明：延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°∴∠EBF+‎ ‎∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEF=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，‎ 又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．‎ ‎ 2.(2011重庆中考) 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF。‎ ‎【答案】(1)解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，‎ ‎∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，‎ ‎∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝．‎ ‎(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，‎ ‎∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，‎ ‎∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，‎ DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，‎ ‎∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，‎ ‎∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，‎ 又CF＝BH＝BA＋AH，∴CF＝AB＋AF．‎ 证法二：在线段DH上截取CH=BA，连结DH．‎ ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．‎ 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．‎ 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．‎ ‎∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．‎ 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．‎ ‎∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．‎ ‎∴∠ADB＝∠HDB．‎ 又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．‎ ‎∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．‎ ‎ ‎ ‎3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．‎ 解：（1）∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，‎ ‎∴ ∠DAC=∠CAB=12∠DAB=30°，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°-∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2， BC=BE2-CE2=3，∴ S△BCE=1/2BC•CE=12×1×3=32 （2）过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，‎ ‎∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE ‎4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=300．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．（1）求证：BE=BF；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．‎ ‎（1）证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∴∠DAB=90°，且∠DAC=30°，∴∠BAC=60°．∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形．∴AB=BC，又∵∠ABC=∠FBE，∴∠ABE=∠CBF，‎ 在△ABE和△CBF中 ∠EAB=∠FCB AB=CB ∠ABE=∠CBF ∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF； （2）连接EF．由（1）知△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．又∵∠ABC=∠FBE，∴∠FBE=60°，‎ ‎∵BE=BF，∴△EBF为等边三角形，∴∠BEF=60°，EF=BF，∵∠CEB=30°，∴∠‎ CEF=90°，‎ ‎∴在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2，∵CE=5，BF=4，∴CF= ．又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，∴AE= ．‎ ‎5.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA= 12EF，PC= 1/2EF，∴PA=PC．又 AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；‎ ‎（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH= 12EC．设EC=x．‎ 由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，∴EF=2x，FC= 3x，BE=2-x．在Rt△ABE中，22+（2-x）2=（x）2解得 x1=-2-2（舍去），x2=-2+2．∴PH=-1+，FD= （-2+2 ）-2=-2+4．∴S△DPF= 1/2（-2 +4）× (-1+)=3-5．‎ ‎6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AG=BF；（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．‎ ‎（1）证明：∵D是AB的中点，∴AD=BD．∵AG∥BC，∴∠GAD=∠FBD．∵∠ADG=∠BDF，（3分）∴△ADG≌△BDF．∴AG=BF． （2）解：连接EG，∵△ADG≌△BDF，∴GD=FD．∵DE⊥DF，∴EG=EF．∵AG ‎∥BC，∠ACB=90°，∴∠EAG=90°．在Rt△EAG中，∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∴EF2=AE2+BF2且AE=9BF=18．∴EF=9 ．‎ ‎7.（重庆一中2011五月）如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 点E在BC上，AE＝BE，且AF⊥AB，连接EF.(1) 若EF⊥AF，AF＝4，AB＝6，求AE的长．(2) 若点F是CD的中点, 求证：CE=BEAD 解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=1/2×6=3；‎ ‎∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；‎ 在Rt△AFE中，（2）延长AF、BC交于点N．‎ ‎∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；‎ ‎∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，‎ ‎∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE-AD．‎ A B D E C F ‎8. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.⑴求证：△ABE≌△CFB;⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.‎ 解.⑴证明：在△BAE与△FCB中，∵ ∴△BAE≌△FCB ‎ ‎⑵延长BC交EF点G，作AH⊥BG于H，∵△BAE≌△FCB∴∠AEB=∠FBG，BE=BF 又∵AE∥BC∴△BEF为等腰三角形∴∠AEB=∠EBG ∴∠EBG=∠FBG ∴BG⊥EF ‎ 在Rt△EGB中，EG=AB·Sin60o=6×=3 BG=6×2+6×Cos60o=15∴tan∠EBC= ‎ ‎9.(2010-2011南开九上期末)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E、F分别为AD、AB中点，G为BC边上一点，且GE=GF．（1）求证：∠AEG=∠AFG；（2）猜想：当AB= GC时，四边形GCDE为平行四边形，并说明理由．‎ 证明：（1）连接AG，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．∵E、F分别为AD、AB中点，∴AF=AE又∵GE=GF，AG=AG，‎ ‎∴AEG≌△AFG（SSS）．∴∠AEG=∠AFG．‎ ‎（2）当AB=2GC时，四边形GCDE为平行四边形．‎ 理由如下：∵AB=AD，E为AD中点，∴AB=2ED．∵AB=2GC，∴ED=GC．又AD∥BC，即是ED∥GC，‎ ‎∴四边形GCDE为平行四边形 ‎10.如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD． ⑴求证：点F是CD边的中点； ⑵求证：∠MBC＝2∠ABE．‎ ‎ ‎ 证明：⑴∵正方形ABCD中AD=AB，∠ADC=∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90°‎ ‎∵AF⊥BE ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ‎ ‎ 在△ADF和△BAE中 ‎ ‎ ∴△ADF≌△BAE ∴DF=AE ‎ ‎∵AE=DE=AD AD=AB ∴DF=CF=AB ‎ ‎ ∴点F是CD边的中点 ‎ ‎ ⑵连结BF，并延长交AD的延长线于点N ∵正方形ABCD中AD∥BC ∴∠4=∠N ‎ 在△NDF和△BCF中 ‎ ∴△NDF≌△BCF ∴DN=CB ∵正方形ABCD中AD=BC=CD ∴DN=CD ‎ ∵BM=DM+CD ∴BM=DM+DN=MN ∴∠5=∠N=∠4 即∠MBC=2∠4 ‎ ‎ 在△ADF和△BCF中 ‎ ∴△ADF≌△BCF ∴∠1=∠4 ∵∠1=∠3 ∴∠3=∠4 ∴∠MBC=2∠3=2∠ABE ‎ ‎11.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长． ‎ 证明：‎ ‎（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．‎ ‎（2）GE=BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．‎ ‎（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCD为正方形．∴AG=BC=12． 已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x-4，∴AD=16-x． 在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82解得：x=10．∴DE=10．‎ ‎12.（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．‎ 解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，‎ ‎∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；‎ ‎（2）过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠‎ DAC=30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°，∴CH=BC=×8=4，∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3，∴PQ=6．‎ ‎13. （2011育才中学）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．‎ ‎⑴求证：AB=BE；⑵延长BE，交CD于F．若CE=，tan∠CDE=，求BF的长．‎ ‎⑴证明：延长DE，交BC于G．∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°又AD∥BC， ∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，‎ 而∠ECB=45°, ∴△EGC是等腰直角三角形，∴EG=CG 在△BEG和△DCG中， ∴△BEG≌△DCG(AAS) ∴BE=CD=AB ‎⑵连结BD．∵∠EBC=∠CDE，∴∠EBC+∠BCD =∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90°∵CE=，∴EG=CG=1又tan∠CDE=，∴，∴DG=3‎ ‎∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3∴∴CD=BE=‎ 法一：∵，∴‎ 法二：经探索得，△BEG∽△BFC，∴，∴∴‎ ‎14.已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．‎ ‎（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF ∵AD=BC ∠DAF=∠CBF AF=BF ‎∴△DAF≌△CBF ∴∠ADF=∠BCF ∴∠FDC=∠FCD ∴∠FGH=∠FHG∴FG=FH；‎ ‎（2）解：∵AC=CE∠E=60°∴△ACE为等边三角形∴CE=AE=8∵AB⊥BC∴BC=BE=1/2CE=4∴根据勾股定理AB=4∴梯形AECD的面积=1/2×(AD+CE)×CD=1/2×(4+8)×4=24‎ ‎15. (11永州)探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，‎ 图①‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．‎ 即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎⑵方法迁移：‎ 图②‎ 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC 边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ 图③‎ ‎16．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：‎ ‎（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．‎ ‎（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．‎ ‎17.（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；‎ ‎（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN2=BM2+DN2．‎ 证明：（1）在AF上截取AG=AB，连接EG、CG，∵AG=AB，∠1=∠2，AE=AE，∴△ABE≌△AGE，∴BE=GE，∠AGE=90°，又∵E是BC中点，∴BE=CE，∴CE=GE，∴∠EGC=∠ECG，又∵∠EGF=∠ECF=90°，‎ ‎∴∠EGF-∠EGC=∠ECF-∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴GF=CF，∴AF=AG+GF=AB+CF=BC+CF； （2）延长MP交AD于Q，连接QN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DP=BP，∴∠PBM=∠PDQ，‎ 又∵∠QPD=∠MPB，∴△DPQ≌△BPM，∴BM=DQ，PQ=PM，又∵∠MPN=90°，∴PN是MQ的垂直平分线，‎ ‎∴MN=NQ，在Rt△QDN中，有QN2=DN2+DQ2，即MN2=BM2+DN2‎ ‎18.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．‎ ‎（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．‎ ‎（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．‎ 解：（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．∵∠DMC=45°，∠C=90°∴CM=CD，又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，∴四边形ABCE为正方形，∴BC=CF，∴BM=DF，在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AE，∠B=∠AFD=90°，BM=DE，∴△ABM≌△AED，∴AD=AM．‎ ‎（2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．∵∠DAM=45°，∴∠BAM+∠DAF=45°，由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，即∠DAM=∠DAN，由旋转知AM=AN，∴△ADM≌△ADN，∴DM=DN，设BM=x，∵‎ AB=BC=CE=7，∴CM=7-x又∵CD=4，∴DE=3，BM=EN=x，∴MD=DN=3+x，在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，解得： ∴BM的值为 ．‎ ‎19.当Rt△的直角顶点P在正方形ABCD对角线AC上运动（P与A、C不重合）且一直角边始终过点D，另一直角边与射线BC交于点E，‎ ‎（1）如图1，当点E与BC边相交时，①证明：△PBE为等腰三角形；②写出线段AP、PC与EC之间的等量关系 （不必证明）‎ ‎（2）当点E在BC的延长线上时，请完成图2，并判断（1）中的①、②结论是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（不必证明）‎ 解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°∵PC=PC，‎ ‎∴△PBC≌△PDC（SAS）．∴∠PBC=∠PDC．∵∠BCD=∠DPE=90°∴∠PDC+∠PEC=180°，又∠PEB+∠PEC=180°∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB=∠PBC∴PB=PE∴△PBE为等腰三角形．‎ ‎②EC=(PC-PA)/另法：过P作PF垂直于BC，过E作EA′垂直于BC，由平行线等分线段定理得PA=PA′，易证△A′EC为等腰三角形，故A′C=2CE，所以EC=(PC-PA)/‎ ‎（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是EC=（PA-PC）/‎ ‎18.已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．‎ ‎（1）求证：∠DAE=∠DCE；‎ ‎（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE ED=DE AE=CE ∴△DAE≌△DCE （SAS），‎ ‎∴∠DAE=∠DCE ‎（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA 又∵CG=CE ‎∴∠G=∠CEG而∠CEG=2∠EAC ∠ECB=2∠CEG ∴4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，‎ ‎∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=/2CF，∴EG=2×/2CF=3CF．‎ ‎19.（2011巴蜀一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE=1/2∠BCD．‎ ‎（1）求证：BF=EF-ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，‎ ‎∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；‎ ‎（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，‎ 而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．‎ ‎20.（2011重庆外语校）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BG⊥CD于点G．‎ ‎（1）若点P在BC上，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，求证：PE+PF=BG．‎ ‎（2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的长．‎ 解：（1）作PM⊥BG于M．∵BG⊥CD，PF⊥CD，PM⊥BG，∴四边形PMGF为矩形，PF=MG．‎ ‎∵ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠C．∵PM⊥BG，CD⊥BG，∴PM∥CD．∴∠MPB=∠C=∠EBP．‎ 又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB，∴△BEP≌△PMB，∴PE=BM．∴PE+PF=BM+MG=BG； （2）过点D作DN∥AB交BC于点N．则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=4．∵BC=6，AD=4，‎ ‎∴NC=4．∴△DNC是等边三角形，∠C=60°．∴BG=BC•sin60°=6×32=33．‎ ‎21.已知，如图，，点E是AB上的点，，连接ED，过D作于F. (1)若，求梯形ABCD的周长.(2)求证：；‎ 解：①‎ ‎ ‎ ‎ 在中：‎ ‎ 由题得，四边形ABFD是矩形 ‎ 延长EB至G，使BG=CF，连接 CG ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．‎ ‎（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；‎ ‎（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=1/2EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．‎ ‎∴∠BME=2∠BCM．同理可证：DM=1/2EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形． （2）（1）题中的结论仍然成立．‎ 理由：延长DM与BC交于点N，∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．‎ ‎∴∠DEM=∠MCN．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．‎ ‎∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB-AD=BC-CN，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．∵∠ABC=90°，∴BM=1/2DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．‎ ‎23.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC-FC，∵FC=BH=1，∴AD=4-1=3．‎ ‎24.如图，四边形ABCD与四边形AEGF均为正方形，点E、F分别在AB、CD上．延长EG交CD于点M．连接BG、FM．‎ ‎（1）请你确定BG与FM的关系，并说明你的理由；‎ ‎（2）若点H在AB上，且BH=EA，连接MH，交BG于点P，求∠MPG的度数．‎ 解：（1）在正方形ABCD中，CD∥AB，正方形AEGF中，EG∥AF，∴EM∥AD．EM=AD．∵AB=AD，∴ME=AB．∵EG=EA∴MG=BE，∵∠FGM=∠GEB=90°，GE=GF，∴△GMF≌△EBG．∴BG=FM，∠FMG=∠GBE．延长BG交MF于点N，则∠BGE=∠NGM，∵∠BDG+∠GBE=90°，∴∠GMN+∠NGM=90°．∴∠MNG=90°，∴BG⊥FM．‎ ‎（2）连接FH，∵AE=FG，AE∥FG，又∵BH=EA，∴FG∥BH，FG=BH．∴四边形FHBG为平行四边形．‎ ‎∴FH=GB，FH∥GB．由（1）得，BG=FM，BG⊥FM．∴∠MFH=90°．∴△FHM为等腰三角形．‎ ‎∴∠FHM=90°，∵BG∥FH，∴∠MPG=∠FHM=45°，∴∠MPG=45°．‎ ‎25.已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED=FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分GBC交FC于H，连接DH。‎ ‎（1）求证：ED⊥FC；‎ ‎（2）求证：是等腰直角三角形.‎ 提示：证明三角形ADE与三角形DCG相似得DG：GC=1:2.‎ ‎1.如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎⑴求证：AD=AE；‎ ‎⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.‎ ‎2.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，求EF的长．‎ F D B A E C ‎3.如图，四边形ABCD与四边形AEGF均为正方形，点E、F分别在AB、CD上．延长EG交CD于点M．连接BG、FM．‎ ‎（1）请你确定BG与FM的关系，并说明你的理由；‎ ‎（2）若点H在AB上，且BH=EA，连接MH，交BG于点P，求∠MPG的度数．‎ ‎4.已知，如图，，点E是AB上的点，，连接ED，过D作于F. ‎ ‎(1)若，求梯形ABCD的周长.‎ ‎(2)求证：；‎ 初2012级重庆中考复习第25题专题训练 ‎1.我市“上品”房地产开发公司于2010年5月份完工一商品房小区，6月初开始销售，其中6月的销售单价为，7月的销售单价为，且每月销售价格(单位：)与月份为整数)之间满足一次函数关系：每月的销售面积为(单位：)，其中为整数)．‎ ‎(1)求与月份的函数关系式； ‎ ‎(2)6～11月中，哪一个月的销售额最高？最高销售额为多少万元？‎ ‎(3)2010年11月时，因会受到即将实行的“国八条”和房产税政策的影响，该公司销售部预计12月份的销售面积会在11月销售面积基础上减少，于是决定将12月份的销售价格在11月的基础上增加，该计划顺利完成．为了尽快收回资金，2011年1月公司进行降价促销，该月销售额为万元．这样12月、1月的销售额共为万元，请根据以上条件求出的值为多少？‎ 解：(1)设由题意 解得：……………..2分 ‎(2)设第x个月的销售额为万元，则 ‎………………………..4分 ‎……………………..5分 对称轴为直线当是随x的增大而减小 当x=6时，…………………6分 ‎6月份的销售额最大为9800万元。‎ ‎(3) 11月的销售面积为：‎ ‎11月份的销售价格为：‎ 由题意得：…………8分 化简得：解得：(舍) ………..10分 ‎2.为喜迎佳节，沙坪坝区某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p（盒）与时间x（天）的关系如下表：‎ 时 间x（天） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 …‎ 日销售量p（盒） 78 76 74 72 70 … ‎ 在这30天内，前20天每天的销售价格y1（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为 y1=14x+25（1≤x≤20，且x为整数），后10天每天的销售价格y2（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为 y2=-12x+40（21≤x≤30，且x为整数）．‎ ‎（1）直接写出日销售量p（盒）与时间x（天）之间的关系式；‎ ‎（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？‎ ‎（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了‎4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a的值．注：销售利润=（售价-成本价）×销售量．‎ 解：（1）p=-2x+80；‎ ‎（2）设日销售利润为w元，‎ 则 w=(-2x+80)(1/4x+25-20)=-1/2(x-10)2+450（1≤x≤20）；‎ ‎ w=(-2x+80)(-1/2x+40-20)=(x-40)2（21≤x≤30）；‎ ‎∵ w=-1/2(x-10)2+450（1≤x≤20）的对称轴为：x=10，‎ ‎∴当x=10时， w=-1/2(x-10)2+450（1≤x≤20）取得最大值，最大利润是450元．‎ ‎∵w=（x-40）2（21≤x≤30）的对称轴为x=40，‎ 且当21≤x≤30时函数值随x的增大而减小 ‎∴当x=21时，w=（x-40）2（21≤x≤30）取得最大值，最大利润是361元，‎ 综上可知，当x=10时，利润最大，最大利润是450元．‎ 这30天中第10天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元．‎ ‎（3）当x=30时，销售价格为： y2=-1/2x+40=25（元），‎ 日销售量为：p=-2x+80=20（盒），‎ 则[25（1-a%）-20]×20（1+‎4a%）=450-380，‎ 化简得：a2+‎5a-150=0，‎ 解得：a1=-15（舍去），a2=10，‎ 答：a的值为10．‎ ‎3. 某商店今年1-6月份经营A、B两种电子产品，已知A产品每个月的销售数量y（件）与月份x（1≤x≤6且x为整数）之间的关系如下表：‎ 月份x 1 2 3 4 5 6‎ 销量y 600 300 200 150 120 100 ‎ A产品每个月的售价z（元）与月份x之间的函数关系式为：z=10x；‎ 已知B产品每个月的销售数量m（件）与月份x之间的关系为：m=-2x+62，B产品每个月的售价n（元）与月份x之间存在如图所示的变化趋势：‎ ‎（1）请观察题中表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，直接写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）请观察如图所示的变化趋势，求出n与x的函数关系式；‎ ‎（3）求出此商店1-6月份经营A、B两种电子产品的销售总额w与月份x之间的函数关系式；‎ ‎（4）今年7月份，商店调整了A、B两种电子产品的价格，A产品价格在6月份基础上增加a%，B产品价格在6月份基础上减少a%，结果7月份A产品的销售数量比6月份减少‎2a%，B产品的销售数量比6月份增加‎2a%．若调整价格后7月份的销售总额比6月份的销售总额少2000元，请根据以下参考数据估算a的值．‎ ‎（参考数据：6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，6.62=43.56）‎ 解：（1） y=；‎ ‎（2）令n=kx+b（k≠0），∵n=kx+b（k≠0）过（1，30），（2，40）‎ ‎∴ {30=k+b ‎40=2k+b，‎ ‎∴ {k=10‎ b=20，‎ ‎∴n=10x+20；‎ ‎（3）利用销售总额w与y，z，mn，之间的关系，即可得出月份x之间的函数关系式；‎ ‎ w=yz+mn=600x×10x+(-2x+62)(10x+20)=600+（-20x2+580x+1240）=-20x2+580x+1840；‎ ‎（4）今年6月份A产品的售价：z=10×6=60元 今年6月份B产品的售价：n=10×6+20=80元 今年6月份B产品的销售数量：m=-2×6+62=50件，‎ ‎60（1+a%）•100（1‎-2a%）+80（1-a%）•50（1+‎2a%）=60×100+50×80-2000，‎ 令p=a%，整理得10p2+p-1=0，∴ p= ‎ ‎∵6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，而40.91更接近41，∴≈6.4，‎ ‎∴ p≈ P =0.27，∴a≈27，∴a的值约为27．‎ ‎4. 某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 价格y1（元/件）‎ ‎560‎ ‎580‎ ‎600‎ ‎620‎ ‎640‎ ‎660‎ ‎680‎ ‎700‎ ‎720‎ 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：‎ ‎（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；‎ ‎（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润；‎ ‎（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少‎0.1a% 。这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值。（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）‎ 解：(1)y1 与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．‎ ‎(2)去年1至9月时，销售该配件的利润 w＝ p1(1000－50－30－y1)‎ ‎＝(0.1x＋1.1)(1000−50−30−20x−540)‎ ‎＝(0.1x＋1.1)(380−20x)‎ ‎＝－2x2＋16x＋418＝－2( x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)‎ ‎∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；‎ 去年10至12月时，销售该配件的利润 w＝ p2(1000－50－30－y2)‎ ‎＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)‎ ‎＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝( x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，‎ 当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．‎ ‎(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），今年原材料的价格为：750+60=810（元），今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），‎ 由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－‎0.1a﹪）=1700，‎ 设t= a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴=97．∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．∵1.7（1－‎0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10．答：a的整数值为10．‎ ‎5.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：‎ 月份 ‎1月 ‎5月 销售量 ‎3.9万台 ‎4.3万台 ‎（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？‎ ‎（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了‎1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5‎ 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．‎ ‎（参考数据：，，，）‎ 解：（1）设与的函数关系为，根据题意，得 （1分）‎ 解得所以，． （2分）‎ 设月销售金额为万元，则． （3分）‎ 化简，得，所以，．‎ 当时，取得最大值，最大值为10125．‎ 答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元． （4分）‎ ‎（2）去年12月份每台的售价为（元），‎ 去年12月份的销售量为（万台）， （5分）‎ 根据题意，得． （8分）‎ 令，原方程可化为．‎ ‎．‎ ‎，（舍去）‎ 答：的值约为52.8． （10分）‎ ‎6.今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：‎ 周数x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 价格y（元/千克）‎ ‎2‎ ‎2．2‎ ‎2．4‎ ‎2．6‎ 进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2．8元/千克下降至第2周的2．4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－ x2＋bx＋c．‎ ‎（1‎ ‎）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋1．2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝-x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？‎ ‎（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0．‎8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）‎ ‎（1）通过观察可见四月份周数y与x 的符合一次函数关系式：y＝0．2x＋1．8;将（1，2．8）(2，2．4)代入y＝－ x2＋bx＋c．可得：解之：　即y＝x2 x＋3．1‎ ‎（2）（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为元.‎ ‎………………………………（3分）‎ ‎∵-0.05＜0，∴随x的增大而减小.‎ ‎∴当时，最大=-0.05+0.6=0.55.……………………………………………（4分）‎ ‎=…………（5分）‎ ‎∵对称轴为且-0.05＜0，‎ ‎∴x＞-0.5时，y随x的增大而减小. ‎ ‎∴当x=1时，最大=1.………………………………………………………………（6分）‎ 所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元.‎ ‎ (3)由题意可得：‎ 整理得：，解之得：，，‎ 所以＝8，＝－31(舍去) 所以估算a整数约为8．‎ ‎7.某农户进行某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式（，取正整数），而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示．‎ ‎（1）试确定与销售月份的函数关系式；‎ ‎（2）“五·一”节之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）若第九月份的销售量要在第八月份的基础上增加%，第九月份的售价要在历年九月份市场行情售价基础上增加%，才能满足第八月份、第九月份这两个月的销售额持平，求的值。（保留2个有效数字，参考数据：，）‎ ‎17‎ ‎10‎ ‎（元）‎ x（月）‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ‎ 第25题图 O ‎ ‎ ‎.解:(1)∵过(3,17), (4,10)两点 ‎∴ ∴‎ ‎∴ (3分)‎ ‎(2)设利润介W:‎ ‎ ‎ ‎ (5分)‎ ‎∵,对称轴 ‎∴在对称轴的左边随的增大而增大.‎ ‎∵ ∴当时,(元) (6分)‎ ‎ (3)设8月份的销售量是千克 设 ∴‎ ‎∴ (9分)‎ ‎∵‎ ‎∴ (舍去)‎ ‎∴ ∴ (10分)‎ 答:的值是8.2.‎ ‎8.（育才中学2011）现在互联网越来越普及，网上购物的人也越来越多，订购的商品往往通过快递送达．当当网上某“四皇冠”级店铺率先与“青蛙王子”童装厂取得联系，经营该厂家某种型号的童装．根据第一周的销售记录，该型号服装每天的售价（元/件）与当日的销售量（件）的相关数据如下表：‎ 每件的销售价（元/件）‎ ‎200‎ ‎190‎ ‎180‎ ‎170‎ ‎160‎ ‎150‎ ‎140‎ 每天的销售量（件）‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎140‎ 已知该型号童装每件的进价是70元，同时为吸引顾客，该店铺承诺，每件服装的快递费10元由卖家承担．‎ ‎（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求第一周销售中，与的函数关系式；‎ ‎（2）设第一周每天的赢利为元，求关于的函数关系式，并求出每天的售价为多少元时，每天的赢利最大？最大赢利是多少？‎ ‎（3）从第二周起，该店铺一直按第（2）中的最大日盈利的售价进行销售．但进入第三周后，网上其他购物店也陆续推出该型号童装，因此第三、四周该店铺每天的售价都比第二周下降了%，销售量也比第二周下降了%（；第五周开始，厂家给予该店铺优惠，每件的进价降低了16元；该店铺在维持第三、四周的销售价和销售量的基础上，同时决定每件童装的快递费由买家自付，这样，第五周的赢利相比第二周的赢利增加了2%，请估算整数的值．‎ ‎（参考数据：，）‎ 解：（1）设 由题得：，解得，所以……… 2分 验证：当时，；当时，；………………3分 其他各组值也满足函数关系式；故与的函数关系式为；‎ ‎（2）…………5分 ‎ =‎ 因为，所以抛物线开口向下，所以当时，最大为10000，即每件的售价为180元时，每天的赢利最大为10000元．……………………………6分 ‎（3）根据题意得：‎ ‎………‎ ‎8分 设，则原方程可化为：‎ 化简得：，‎ ‎，‎ 所以或…………………………………………………………9分 因为，所以．‎ 答：的整数值为10．……………………………………………………………10分 ‎9.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过在本地市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表： ‎ 时间t（天）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎…‎ 日销售量m（件）‎ ‎94‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎76‎ ‎24‎ ‎…‎ 未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为 （21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：‎ ‎（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式； （2）请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在第30天，该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件，由于运输等原因，该商品每件成本比本地增加‎0.2a%少5元，在销售价格相同的情况下当日两地利润持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．‎ ‎（参考数据： ， ， ， ， ）‎ 解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的，∴确定m与t是一次函数关系，设函数关系式为：m=kt+b，∵当t=1，m=94；当t=3，m=90，∴ ，解之得： ， ∴m=-2t+96；‎ ‎（2）前20天：‎ ‎∵每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y= t+25，而商品每件成本为20元， ∴每件获取的利润为（ t+25-20）=（ t+5）元，  又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y=-2t+96，  故：前20天每天获取的利润  P=（ t+5）（-2t+96）=- t2+14t+480‎ ‎∴P=- （t-14）2+382 （1≤t≤20） 根据二次函数的相关性质可知：t=14时，日获利润最大，且为382元；‎ ‎ 后20天：‎ ‎ 每天的价格y（元）与时间t天的函数关系式为y=- ‎ t+40，而商品每件成本为20元， 故每件获取的利润为（- t+40-20）=（- t+20）元，又日销售量y（件）与时间t（天）的函数关系式为：y=-2t+96，故：前20天每天获取的利润 P=（- t+20）（-2t+96）=t2-88t+1920，∴P=（t-44）2-16   （21≤t≤40），  根据二次函数的相关性质可知： 当t=21时，日获利润最大，且为513元  综合以上：第21天时，日获利润最大，且为513元；‎ ‎   （3）在第30天，本地的销售量为m=-2×30+96=36，销售价格为：y=- ×30+40=25， 依题意得公司在外地市场的销量为：36×（1+a%）+30， 依题意得：36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+‎0.2a%）+5]，解之得a%≈2.21%，∴a≈2．‎ ‎10.某商店在1-10月份的时间销售A、B两种电子产品，已知产品A每个月的售价y（元）与月份x（1≤x≤10，且x为整数）之间的关系可用如下表格表示：‎ 时间x（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‎ 售价y（元） 720 360 240 180 144 120 120 120 120 120 ‎ 已知产品A的进价为140元/件，A产品的销量z（件）与月份x的关系式为z=20x；已知B产品的进价为450元/件，产品B的售价m（元）与月份x（1≤x≤10，且x为整数）之间的函数关系式为m=-20x+750，产品B的销量p（件）与月份x的关系可用如下的图象反映．‎ 已知该商店每个月需固定支出500元的物管杂费以及5个员工的工资，已知员工每人每月的工资为1500元．请结合上述信息解答下列问题：‎ ‎（1）请观察表格与图象，用我们所学习的一次函数，反比例函数，或者二次函数写出y与x的函数关系式，p与x的函数关系式；‎ ‎（2）试表示出商店每月销售A、B两种产品的总利润W（将每月必要的开支除去）与月份x的函数关系式，并求出该商店在哪个月时获得最大利润；‎ ‎（3）为了鼓励员工的积极性，在最后4个月的销售期间商店老板决定奖励员工，除了正常的工资外，每卖一件A产品，每个员工都提成0.75元，每卖一件B产品每个员工都提成10元，这样A产品的销量将每月减少12x件，而B产品的销量将每月增加15x件；请问在第几月时总利润（除去当月所有支出部分）可达到16750元？（参考数据： =22.47，=4.583）‎ 解：（1） y={720x(x=1，2，3，4，5，6)120(x=7，8，9，10)（1分）‎ 设P=kx+b（k≠0）‎ 由图可知：点（1，23）、（2，43）在直线上．‎ ‎∴ {k=20b=3‎ ‎∴P=20x+3（2分）；‎ ‎（2）当x=1，2，3，4，5，6时时，‎ ‎① W=(720x-140)•20x+（-20x+750-450）•（20x+3）-500-1500×5=-400x2+3140x+7300‎ ‎∵ -b‎2a=3.925‎ ‎∴当x=4时，W有最大值为13460元．（4分）‎ ‎②当x=7，8，9，10时，‎ W=（120-140）•20x+（-20x+750-450）（20x+3）-500-1500×5=-400x2+3140x+7300‎ ‎∵ -b‎2a≈0.925‎ ‎∴当x=7时，W有最大值12080元（5分）‎ ‎∵13460＞12080‎ ‎∴在第4月时利润最大（6分）；‎ ‎（3）（120-140）（20x-12x）+（-20x+750-450）（20x+3+15x）-8000‎ ‎-0.75•5•8x-10.5（35x+3）=16750（8分）‎ ‎∴-700x2+8506x-7250=16750‎ ‎∴7x2-85x+240=0‎ ‎∴ x=85+/14‎ ‎∴ x1=85+22.7414=7.67≈8（9分）‎ ‎∴在第8月时总利润可达16750元（10分）．‎ ‎11.‎2011年5月9日，我市成立了首支食品药品犯罪侦缉支队，专门打击危害食品药品安全的违法犯罪行为，食品安全已越来越受到人们的关注．我市某食品加工企业严把质量关，积极生产“绿色健康”食品，由于受食品原料供应等因素的影响，生产“绿色健康”食品的产量随月份增加呈下降趋势．今年前5个月生产的“绿色健康”食品y（吨）与月份（x）之间的关系如下表：‎ 月份x（月） 1 2 3 4 5 …‎ ‎“绿色健康”食品产量y（吨） 48 46 44 42 40 … ‎ ‎（1）请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数确定哪种函数关系能表示出y与x的变化规律，并求出y与x的函数关系式．‎ ‎（2）随着“绿色健康”食品生产量的减少，每生产一吨“绿色健康”食品，企业相应获得的利润有所提高，且每生产一吨获得的利润P（百元）与月份x（月）成一次函数关系．已知1月份每生产一吨“绿色健康”食品，企业相应获利80百元，4月份每生产一吨“绿色健康”食品企业相应获利95百元．那么今年哪月份该企业获得的利润最大？最大利润是多少百元？‎ ‎（3）受国家法律保护的激励，该企业决定今年5月份起，更新食品安全检测设备的同时，扩建食品原料基地以提高生产“绿色健康”食品的产量．更新设备检测费用和扩建原料基地费用共用去4000百元，预计从6月份起，每月生产一吨“绿色健康”食品的产量在上一个月基础上增加a%，与此同时，每生产一吨“绿色健康”‎ 食品，企业相应获得的利润在上一个月的基础上增加20%，要使今年6、7月份利润的总和在扣除设备检测费用和扩建基地费用后，仍是今年5月份月利润的2倍，求a的整数值．（参考数据： ≈3.317，≈3.464，≈3.606，≈3.742）‎ 解：（1）设解析式为y=kx+b，将（1，48），（2，46）分别代入解析式得， {k+b=48 2k+b=46，‎ 解得 {k=-2 b=50， 则解析式为y=-2x+50；‎ ‎（2）设函数解析式为P=kx+b，将（1，80），（4，95）分别代入解析式得， {k+b=80 4k+b=95，‎ 解得 {k=5 b=75． 则函数解析式为P=5x+75．‎ 则Q=yP=（-2x+50）（5x+75）=-10x2+100x+3750=-10（x-5）2+4000，‎ 可见，x=5时，函数取得最大值4000．故今年5月份该企业获得的利润最大，最大利润是4000百元；‎ ‎（3）根据题意列方程得，4000×（1+a%）（1+20%）+4000（1+a%）2×（1+20%）2-4000=8000．‎ 整理得，12（1+a%）2+10（1+a%）-25=0，‎ 解得a≈8．‎ 重庆市的重大惠民工程--公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-16x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-18x+194（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：‎ z（元/m2） 50 52 54 56 58 …‎ x（年） 1 2 3 4 5 … ‎ ‎（1）求出z与x的函数关系式；‎ ‎（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；‎ ‎（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少‎1.35a%，求a的值．‎ ‎（参考数据：≈17.7，319≈17.8，321≈17.9）‎ 解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）‎ 把（1，50），（2，52）代入，得 ‎∴{k+b=502k+b=52⇒{k=2b=48，‎ ‎∴z=2x+48．‎ ‎（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则 W1=（-16x+5）•（2x+48）‎ ‎=-13x2+2x+240‎ ‎∵对称轴x=-b‎2a=3，而1≤x≤6‎ ‎∴当x=3时，W1最大=243（百万元）‎ 当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则 W2=（-18x+194）•（2x+48）‎ ‎=-14x2+72x+228‎ ‎∵对称轴x=-b‎2a=7，而7≤x≤10‎ ‎∴当x=7时，W2最大=9614（百万元）‎ ‎∵243＞9614‎ ‎∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．‎ ‎（3）当x=6时，y=-16×6+5=4百万平方米=400万平方米 当x=10时，y=-18×10+194=3.5百万平方米=350万平方米 ‎∵第6年可解决20万人住房问题，‎ ‎∴人均住房为：400÷20=‎20平方米．‎ 由题意：20×（1‎-1.35a%）×20×（1+a%）=350，‎ 设a%=m，化简为：‎54m2‎+‎14m-5=0，‎ ‎△=142-4×54×（-5）=1276，‎ ‎∴m=-14±12762×54=-7±31954‎ ‎∵319≈17.8，‎ ‎∴m1=0.2，m2=-62135（不符题意，舍去），‎ ‎∴a%=0.2，‎ ‎∴a=20‎ 答：a的值为20．‎ 在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下表：‎ 月份x（月） 1 2 3 4 5 …‎ 二氧化碳排放量y（吨） 48 46 44 42 40 … ‎ ‎（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p（万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？‎ ‎（3）受国家政策的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：51=7.14，52=7.21，53=7.28，54=7.35）‎ 分析：（1）根据表格数据可以看出随着月份的增加二氧化碳排放量的均匀减少，由此可以确定y和x是一次函数关系，然后利用待定系数法即可确定函数关系式；‎ ‎（2）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元；‎ ‎（3）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，‎ 解：（1）根据表格知道y和x是一次函数关系，利用待定系数法得到y=-2x+50；‎ ‎（2）根据图象知道当x=1，y=80，‎ 当x=4，y=95，‎ 设p=kx+b，‎ ‎∴{80=k+b95=4k+b，‎ k=5，b=75，‎ ‎∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增的而增大，‎ ‎∴当x=12时，p最大，p=12×5+75=135万元；‎ ‎（3）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，‎ 而当x=5时，y=-2×5+50=40，‎ ‎∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%），‎ ‎7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2，‎ ‎5月份的利润为p=5×5+75=100，‎ ‎∴6月份的利润为100（1+50%）40（1-a%），‎ ‎7月份的利润为100（1+50%）40（1-a%）（1+50%）40（1-a%）2，‎ ‎∴100（1+50%）40（1-a%）+100（1+50%）40（1-a%）（1+50%）40（1-a%）2=3×100，‎ ‎∴a=2．‎