梅州市2013年中考数学卷 15页

广东省梅州市2013年中考数学试卷 一、选择题．每题3分，共5小题，共15分．只有一个正确答案．‎ ‎1．（3分）（2013•梅州）四个数﹣1，0，，中为无理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 无理数 分析：‎ 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．‎ 解答：‎ 解：﹣1，0是整数，是有理数；‎ 是分数，是有理数；‎ 无理数有：．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•梅州）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解答：‎ 解：从上面看易得上面一层有1个正方形，下面一层有3个正方形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•梅州）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 众数 分析：‎ 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据求解即可．‎ 解答：‎ 解：这组数据的众数为：4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•梅州）不等式组的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥2‎ B．‎ x＞﹣2‎ C．‎ x≤2‎ D．‎ ‎﹣2＜x≤2‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．‎ 解答：‎ 解：，‎ 解不等式①得，x＞﹣2，‎ 解不等式②得，x≥2，‎ 所以，不等式组的解集是x≥2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 多边形内角与外角 分析：‎ 由于任何一个多边形的外角和为360°，由题意知此多边形的内角和小于360°．又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180°的整数倍，则此多边形的内角和等于180°．由此可以得出这个多边形的边数．‎ 解答：‎ 解：设边数为n，根据题意得 ‎（n﹣2）•180°＜360°‎ 解之得n＜4．‎ ‎∵n为正整数，且n≥3，‎ ‎∴n=3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．‎ ‎　‎ 二、填空题．每题3分，共8题，共24分．‎ ‎6．（3分）（2013•梅州）﹣3的相反数是　3　．‎ 考点：‎ 相反数 分析：‎ 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．‎ 解答：‎ 解：﹣（﹣3）=3，故﹣3的相反数是3．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•梅州）若∠α=42°，则∠α的余角的度数是　48°　．‎ 考点：‎ 余角和补角．‎ 分析：‎ 根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵∠α=42°，‎ ‎∴∠α的余角=90°﹣42°=48°．‎ 故答案为：48°．‎ 点评：‎ 本题考查了余角，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•梅州）分解因式：m2﹣2m=　m（m﹣2）　．‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接把公因式m提出来即可．‎ 解答：‎ 解：m2﹣2m=m（m﹣2）．‎ 点评：‎ 本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•梅州）化简：3a2b÷ab=　3a　．‎ 考点：‎ 整式的除法 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式利用单项式除单项式法则计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=3a．‎ 故答案为：3a 点评：‎ 此题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除单项式法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•梅州）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为　8×106　吨．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将8000000用科学记数法表示为：8×106．‎ 故答案为：8×106．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•梅州）如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是　105　度．‎ 考点：‎ 切线的性质 分析：‎ 首先通过作辅助线构建直角三角形，然后解直角三角形即可．‎ 解答：‎ 解：设圆与BC切于点D，连接AD，‎ 则AD⊥BC；‎ 在直角△ABD中AB=2，AD=1，‎ ‎∴∠B=30°，‎ 因而∠BAD=60°，‎ 同理，在直角△ACD中，得到∠CAD=45°，‎ 因而∠BAC的度数是105°．‎ 点评：‎ 运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•梅州）分式方程的解x=　1　．‎ 考点：‎ 解分式方程 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．‎ 解答：‎ 解：方程两边都乘x+1，得 ‎2x=x+1，‎ 解得x=1．‎ 检验：当x=1时，x+1≠0．‎ ‎∴x=1是原方程的解．‎ 点评：‎ ‎（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•梅州）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是　（）2013　．‎ 考点：‎ 等腰直角三角形 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 设等腰直角三角形一个直角边为1，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，可以发现n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，即可求出斜边长．‎ 解答：‎ 解：设等腰直角三角形一个直角边为1，‎ 等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍 第一个△（也就是Rt△ABC）的斜边长：1×=；‎ 第二个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：×=（）2；‎ ‎…‎ 第n个△，直角边是第（n﹣1）个△的斜边长，其斜边长为：（）n．‎ 则第2013个等腰直角三角形的斜边长是：（）2013‎ 故答案为：（）2013．‎ 点评：‎ 此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，从中发现规律．此题有一定的拔高难度，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题．共10小题，共81分．‎ ‎14．（7分）（2013•梅州）计算：．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 分析：‎ 分别进行零指数幂、二次根式的化简、绝对值、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=1×2﹣﹣3+2×=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（7分）（2013•梅州）解方程组．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组；解一元一次方程 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎①+②得到方程3x=6，求出x的值，把x的值代入②得出一个关于y的方程，求出方程的解即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎①+②得：3x=6，‎ 解得x=2，‎ 将x=2代入②得：2﹣y=1，‎ 解得：y=1．‎ ‎∴原方程组的解为．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎16．（7分）（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）‎ ‎（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为　（2，﹣2）　；‎ ‎（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为　（3，2）　；‎ ‎（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．‎ 考点：‎ 关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移；概率公式 分析：‎ ‎（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；‎ ‎（2）把点A的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D的坐标；‎ ‎（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点C与点A（﹣2，2）关于原点O对称，‎ ‎∴点C的坐标为（2，﹣2）；‎ ‎（2）∵将点A向右平移5个单位得到点D，‎ 点D的坐标为（3，2）；‎ ‎（3）由图可知：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2），D（3，2），‎ ‎∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），‎ ‎∴P==．‎ 故答案为（2，﹣2）；（3，2）；‎ 点评：‎ 本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（7分）（2013•梅州）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计．图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：‎ ‎（1）九年级（1）班共有　60　名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是　18°　；‎ ‎（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有　300　名．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据“很好”的人数除以所占的百分比，即可求出九年级（1）班的人数；‎ ‎（2）根据“一般”所占的百分比乘以总人数求出“一般”的人数，进而求出“较差”的人数，求出所占的百分比，乘以360度即可求出所占的度数；‎ ‎（3）用“较差”与“一般”的百分比之和乘以1500，即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：18÷30%=60（人），‎ 则九年级（1）班的人数为60人；‎ ‎（2）“一般”的人数为60×15%=9（人），‎ ‎“较差”的人数为60﹣（9+30+18）=3（人），‎ 则“较差”所占的度数为360°×=18°；‎ ‎（3）“较差”、“一般”的学生所占的百分比之和为5%+15%=20%，‎ 则对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有1500×20%=300（名）．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2013•梅州）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（a，2）．‎ ‎（1）求a的值及反比例函数的表达式；‎ ‎（2）判断点B（，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出a的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；‎ ‎（2）将B横坐标代入反比例解析式中求出纵坐标的值，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，‎ 解得：a=1，即A（1，2），‎ 将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，‎ 则反比例解析式为y=；‎ ‎（2）将x=2代入反比例解析式得：y==，‎ 则点B在反比例图象上．‎ 点评：‎ 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．‎ ‎（1）求线段EC的长；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质 分析：‎ ‎（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；‎ ‎（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．‎ 解答：‎ 解；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，‎ ‎∴AB=AE=4，‎ ‎∴DE==2，‎ ‎∴EC=CD﹣DE=4﹣2；‎ ‎（2）∵sin∠DEA==，‎ ‎∴∠DEA=30°，‎ ‎∴∠EAB=30°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为：‎ S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB ‎=﹣×2×2﹣‎ ‎=﹣2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•梅州）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如表：‎ 单价（元/棵）‎ 成活率 植树费（元/棵）‎ A ‎20‎ ‎90%‎ ‎5‎ B ‎30‎ ‎95%‎ ‎5‎ 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：‎ ‎（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？‎ ‎（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？‎ 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ ‎（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；‎ ‎（2）根据这批树苗种植后成活了925棵，列出关于x的方程，解方程求出此时x的值，再代入（1）中的函数关系式中即可计算出总费用；‎ ‎（3）根据绿化村道的总费用不超过31000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围，即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，由题意，得 y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；‎ ‎（2）由题意，可得0.90x+0.95（1000﹣x）=925，‎ 解得x=500．‎ 当x=500时，y=﹣10×500+35000=30000，‎ 即绿化村道的总费用需要30000元；‎ ‎（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗（1000﹣x）棵时，总费用y=﹣10x+35000，‎ 由题意，得﹣10x+35000≤31000，‎ 解得x≥400，‎ 所以1000﹣x≤600，‎ 故最多可购买B种树苗600棵．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•梅州）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，‎ ‎（1）求证：四边形BECF是菱形；‎ ‎（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．‎ 考点：‎ 菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质 分析：‎ ‎（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；‎ ‎（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45度．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵EF垂直平分BC，‎ ‎∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴EF∥AC，‎ ‎∴BE：AB=DB：BC，‎ ‎∵D为BC中点，‎ ‎∴DB：BC=1：2，‎ ‎∴BE：AB=1：2，‎ ‎∴E为AB中点，‎ 即BE=AE，‎ ‎∵CF=AE，‎ ‎∴CF=BE，‎ ‎∴CF=FB=BE=CE，‎ ‎∴四边形BECF是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形BECF是正方形，‎ ‎∴∠CBA=45°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=45°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识，根据已知得出∠CBA=45°是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•梅州）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；‎ ‎（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；‎ ‎（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）在二次函数的解析式y=2x2﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；‎ ‎（2）先将y=6代入y=2x2﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x2‎ ‎﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；‎ ‎（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=2x2﹣2，‎ ‎∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，‎ 又当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2，‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2；‎ ‎（2）将y=6代入y=2x2﹣2，‎ 得2x2﹣2=6，x=±2，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．‎ ‎∵平行四边形的面积为8，‎ ‎∴MN边上的高为：8÷4=2，‎ ‎∴P点纵坐标为6±2．‎ ‎①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±，‎ ‎∴点P的坐标为（，8），点N的坐标为（﹣，8）；‎ ‎②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±，‎ ‎∴点P的坐标为（，4），点N的坐标为（﹣，4）；‎ ‎（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），‎ ‎∴OB=1，OC=2．‎ ‎∵∠QDB=∠BOC=90°，‎ ‎∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：‎ ‎①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，‎ 则=，即=，‎ 解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2，‎ ‎②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，‎ 则=，即=，‎ 解得DQ=．‎ 综上所述，线段QD的长为2m﹣2或．‎ 点评：‎ 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形、平行四边形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，注意要分情况讨论求解．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：‎ 探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．‎ ‎（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；‎ ‎（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．‎ 探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 几何变换综合题 分析：‎ ‎（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；‎ ‎（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；‎ ‎（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．‎ 解答：‎ 解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：‎ 由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，‎ ‎∴CF=BC•sin30°=3×=，‎ ‎∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，‎ ‎∴PG=CG﹣CP=﹣1=．‎ 在Rt△APG中，由勾股定理得：‎ AP===．‎ ‎（2）由（1）可知，FC=．‎ 如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．‎ 过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．‎ 在Rt△AGP1中，cos∠P1AG===，‎ ‎∴∠P1AG=30°，‎ ‎∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；‎ 同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．‎ ‎∴∠PAB的度数为15°或75°．‎ 探究二：△AMN的周长存在有最小值．‎ 如答图3所示，连接AD．‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，‎ ‎∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．‎ ‎∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠MDA=∠NDC．‎ ‎∵在△AMD与△CND中，‎ ‎∴△AMD≌△CND（ASA）．‎ ‎∴AM=CN．‎ 设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．‎ 在Rt△AMN中，由勾股定理得：‎ MN====．‎ ‎△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，‎ 当x=时，有最小值，最小值为+=．‎ ‎∴△AMN周长的最小值为．‎ 点评：‎ 本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．‎